导学案032数列的综合运用

数列的综合运用

考纲要求

能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题.

考情分析

1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式．

2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查．

3.各种题型都有可能出现.

教学过程

基础梳理

1．等比数列与等差数列比较表

2.

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．

(3)求解——求出该问题的数学解．

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．

3．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系．

双基自测

1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ( ) A．800 B．820

C．840 D．860

2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌

在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6秒钟B．7秒钟

C．8秒钟D．9秒钟

3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( )

A．0 B．1

C．2 D．不能确定

4．5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册．

5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π

3

，公差为

π

36

，则这个

多边形的边数为________．

典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用

[例1] (2010·福建高考)数列{a n}中，a1＝1

3

，前n项和S n满足S n＋1－S n＝

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

3

n+1(n

∈N*)

(1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n；

(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．

变式1．(2012·北京东城区综合练习)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q ∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S1

1

＋

S2

2

＋

S3

3

＋…＋

S n

n

最大时，求n

的值．

对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．

考点二数列在实际问题中的应用

【例2】在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司许诺第一年月工资数为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：

(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？

(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？

(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)？并说明理由．

(参考数据log1.052.3＝17.1)

变式2. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多． (计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)．

在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．

银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？

答案：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差模型．

复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比模型．

考点三、数列与函数、不等式、解析几何的交汇问题

【例3】►(2012·南昌模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．