7实系数方程T

教学内容

【知识结构】

一、复数的平方根与立方根

1. 平方根

如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．

2. 立方根

如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．

（1） 1的立方根：21,,ωω: 13i 22ω=-+，213i 22

ωω==--，31ω=．210ωω++=． （2） 1-的立方根：13131,i,i 2222

z z -=

+=- 二、复数方程

1. 常见图形的复数方程 （1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆

（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）

（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆

（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线

2. 实系数方程在复数范围内求根

求根公式：0≥∆ 一对实根a

ac b b x 2422,1-±-= 0<∆ 一对共轭虚根a

b a

c i b x 2422

,1-±-= 注：韦达定理仍适用

【例题精讲】

例1、求i 247+的平方根。

解：设i 247+的平方根为bi a +（a 、R b ∈）

∴ i abi b a bi a 2472)(2

22+=+-=+ ∴ ⎩⎨

⎧==-242722ab b a ∴

⎩⎨⎧==34b a 或⎩⎨⎧-=-=34b a

∴ 平方根为)34(i +±

拓展：1）求1的立方虚根。 解：13=x ，013=-x

0)1)(1(2=++-x x x 2312||1i i x ±-=∆±-=

2）1,13=≠ωω，求302302ωωω+++ 的值。

解：原式ω)28252219161310741(+++++++++=

2

)29262320171411852(ω++++++++++

323165155145)30963(ωωωω++=++++ （1）i 2321+-=ω时 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145-=+--++-=

（2）i 2321--=ω 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145+=++-+--=

3）,0,0,22=++≠y xy x y x ，求20052005)()(y

x y y x x +++的值。

解：022=++y xy x 01)(2=++y x y x ω=±-=i y x 2321 原式20052005)()(

y x y y x x +++=20052005])1([])1([y y y y ωωω+++=

20052005)11()1(ωωω+++=

注：1)1(3

-=+ω （1）i 2321+-=ω 原式1)1()1(1)1()1()11()1(66866820052005=+-++-=+++=ωωωωωω

（2）

i 2321

+-=ω 原式1)1()1(1)1()1(668668=+-++-=

ωωω

∴ 1)()(

20052005=+++y x y y x x

例2、已知：1+i 是方程 32

271060x x x -+-=的一个根，求：其余的根

解：i -1也为其根 0))(22(2=++-b ax x x

3,2-==b a

2

3=

x

拓展：1）设 1x ,2x 是实系数一元二次方程 2

0x x m ++=的两个虚根，且 123x x -=，求：m 的值。

解：设bi a x ±= 3=+-+bi a bi a

23=b 2

1-=a 2

5=m

2）设关于x 的方程 2236(1)10x k x k --++=的两根的模的和为2，求：实数k 的值。

解：若两根为实根

0>∆

2)1(2±=-k

2=k （舍） 0=k

若两根为实根

0<∆

设bi a x ±=

⎪⎩

⎪⎨⎧+=-=311)1(222k k a 2=k 2-=k （舍）

3）已知复数ω满足i )23(4ωω-=- （i 为虚数单位），25-+=

ωωz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程。

解：i i 34)21(+=+ω i i i -=++=22134ω i i i

z +=-+-=325 若实系数一元二次方程有虚根i z +=3，则必有共轭虚根i z -=3

6=+z z ，10=⋅z z 01062=+-x x

例3、βα,为方程0)34()2(2=++--i x i x 的根，求（1）22βα+（2）33βα+（3）

βα11+。 解：（1）i i i 105)34(2)2(2)(2222--=+--=-+=+αββαβα

（2）]3))[(

(2

33αββαβαβα-++=+