函数之复合函数之求最值值域
复合函数求值
复合函数的值域【学习目标】1．掌握复合函数求值域的几种常见方法．【学习重难点】1．熟练应用换元法求值域．【知识精讲】1．复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=，如果()x ϕ的值全部或部分在()f u 的定义域内，则y 通过u 成为x 的函数，记作()()y f x ϕ= ，称为由函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数。
如y ；()2sin 1y x =-；()tan 31y x =+等都是复合函数。
2．换元法求值域 换元的常用方法有：（1）局部换元：又称整体换元；是指在已知或未知中，某个代数式几次出现，我们用一个字母或一个符号来代替它从而简化问题．（2）三角换元：应用于去根号，或变换为三角形式易求，或表达式中有明显三角含义时进行换元，比如说：平方关系221x y +=，则可令cos ,sin x y αα==． 3．分离常数求值域（1）有界函数值域：（分离常数） ①识别出有界函数； ②反解出有界函数；③利用有界函数求原函数值域. （2）对勾函数图像求值域：①分离常数后形成对勾函数或分离常数后换元形成对勾函数； ②先确定定义域，然后根据对勾函数图像确定值域。
渐近线：对勾函数共有两条渐近线，分别为0x =和y ax =.【经典例题】例1. 函数()22log 4y x x =-的值域为（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],2-∞C ．(]0,2D ．(],0-∞【答案】B 【解析】∵()22log 4y x x =-， ∴240x x ->，∴04x <<， 令24t x x =-，∴2log y t =，∴原函数的值域转化为函数2log y t =的值域，24t x x =-，且04x <<， 易求得04t <≤， ∴2log 2t ≤，∴2log y t =的值域为：(],2-∞， 故选：B ．【变式】 求函数()()()[]()1322,2x x f x x -+=∈-的值域．【答案】116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】[]2,2x ∈-时()()13x x -+的范围是[]4,5-， 则()f x 的值域是116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例2.求函数y 的值域．【答案】[]0,3 【解析】∵ (]245,9x x -++∈-∞， ∴开根号得到[]0,3 所以函数值域为：[]0,3．【变式】求函数y =【答案】3⎝⎦【解析】令()()221311124g x x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭,∴ ()g x 的值域为:3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,由()()1f xg x =得,()max 14334f x ==,∴函数()()1f x x =的值域为:40,⎛⎤ ⎥⎦. 综上y=⎛ ⎝⎦．例3. 函数y x =+（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],1-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[]0,1【答案】C【解析】令t =0t ≥， ∴21t x =-， ∴21x t =-，∴21y t t =-+，其中0t ≥， ∴21524y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，易得所求函数的值域：5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：C ．【变式】函数4y x =的值域为 （ ）A ．[)0,+∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令t =，其中0t ≥， ∴212t x =-，∴212t x -=，∴()221y t t =-+， ∴222y t t =-++， ∴178y ≤，∴值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故选：C ．例5. 求函数求函数()3423x x f x =⋅-+，[]1,2x ∈-的值域【答案】13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令[]2,1,2x t x =∈-，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2133,,42y t t t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦.因为函数233y t t =-+的对称轴为16t =，所以函数在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故函数()f x 的值域为13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6. 求函数22121242y x x x x x ⎛⎫=+---≤- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】[)2,+∞【解析】()22212112426y f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1t x x=+，12x Q ≤-，(],2t ∴∈-∞-()()2262f t t t t ∴=--≤-()[)2,f t ∴∈+∞ 即函数的值域是[)2,+∞．【变式】已知函数()()()22,0x x y e a e a a R a -=-+-∈≠ ，求y 的最小值．【答案】当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ； 当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-【解析】()()22222x x x x y e e a e e a --=+-++- ，令x x t e e -=+，则()22222f t t at a =-+-．2x x t e e Q -=+≥，()()222f t t a a ∴=-+-的定义域为[)2,+∞，Q 抛物线的对称轴方程是t a =，∴ 当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ；当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-．例7.求函数()2222x y x R x =∈+的值域．【答案】[)0,2【解析】由题意2222x y x =+，可得222yx y=-，又因为20x ≥ ∴2202yx y=≥-，解得02y ≤< 因此函数的值域为[)0,2．【变式】已知函数[]()20,12xx e y x e =∈+,求函数的值域．【答案】22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦【解析】24222x x x e y e e ==-++ []0,1x ∈]时1x e e ≤≤ 设x e t =,则422y t =-+随t 的增大而增大 所以y 的值域为22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．例8. 已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值．【答案】5m n ==【解析】函数2328l o g1m x x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2⇔函数2281m x x n y x ++=+的定义域为R ，值域为 22[1,9](1)8y x mx x n ⇔=+=++使方程 ，即2()8()0m y x x n y -++-=有实数解的y 的取值范围为[]()()1,96440m y n y ⇔∆=---≥ 的解集为[]1,9()2y 160m n y mn ⇔-++-≤的解集为[]1,9105169m n m n mn +=⎧⇔⇔==⎨-=⎩．【变式】 已知函数()21ax bf x x +=+的值域为[]1,4-，求,a b 的值 【答案】4a =,3b =或4a =-,3b = 【解析】21ax by x +=+等价于()20x y ax y b -+-= 这个关于x 的方程有实数解则判别式0∆≥ ∴()240a y y b --≥22440y by a --≤ 值域[]1,4-即不等式的解集是14y -≤≤∴1-和4是对应的方程22440y by a --=的根 ∴ 4144b-+=,2144a -⨯=-23,16b a ==，∴4a =,3b =或4a =-,3b =．例9. 设函数()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ，()g x 是二次函数，若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域【答案】[)0,+∞【解析】Q 函数()f x 的图像如下，由于()g x 是二次函数，它的值域只有两种形式[),k +∞和(],k -∞，其中k 为二次函数顶点的纵坐标，数形结合可知，只有当()g x 的值域为[)0,+∞时，()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为[)0,+∞．【变式】设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，解不等式()()2f f x ≤【答案】2x ≤【解析】()()f f x 是()f x 的二次迭代，记()u f x =，则()2f u ≤，如下左图，由()2f u ≤数形结合可得2u ≥-，即()2f x ≥-；如下右图，由()2f x ≥-可得2x ≤．【课后练习】1．函数y =的值域为 .2．求函数2462x x y ++=的值域．3．求函数()22231x y x R x -=∈+的值域．【课后练习答案】1．【答案】[]0,2【解答】令24x x t -=，则必有0t ≥，根据二次函数的值域求法，新变元t 的范围是[]0,4， 根据二次根式函数的性质，原函数的值域为[]0,2．2．【答案】[4,)+∞【解析】令246u x x =++，则2.u y =因为()2245222u x x x =++=++≥，所以222 4.u y =≥=即函数2462xx y ++=的值域为[4,)+∞．3．【答案】[)3,2- 【解析】()222222152352111x x y x x x +--===-+++ 平方项恒非负，20x ≥ 211x +≥ ∴25051x <≤+ ∴25501x -≤-<+ ∴253221x -≤-<+ 函数的值域为[)3,2-．。
求函数的定义域和值域的方法
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
② ；③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
解：如图，设AB=2x，则AD= =
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x＞0
＞0 得0＜x＜
∴所求的函数为y=— x2+Lx（0＜x＜ ）
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。
解：（1）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0
∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥ ｝
（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤ ｝
（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集
（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。
（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
（4）与（2）相似。
解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而- ≤x≤
三角复合函数最值求法—分解函数法
．
基 本 函数 的值 域 求 出 复 合 函 数 的 最 值 ． 求 基 本 函 数 的 值 域
在（ Ⅱ） 中， 求 三 角 函 数 形 成 的 复 合 函数 ｆ （ ） 的 时 可 以采 用 单 调 性 法 、 图像 法 、 不等 式法 、 配 方 法 等 数 学 方
点评
最值 时， 引 入 了 中间 变 量 ， 把 复 合 函 数 最 值 问 题 转 化 为 三 个 基 本 函数 的 值 域 问 题 加 以解 决 ． 这 种 方 法 充 分 体 现 了 数 学 的简 洁 美 、 奇异美及转化思想 ， 具 有 很 强 的操 作 性．
例２ （ ２ ０ １ ４・江 西 ）已知 函 数 厂 （ ）＝ｓ ｉ ｎ（ ＋０ ）＋ａ ｃ ｏ ｓ
．
联 立 ① ② ， 结 合 。 Ｒ ， 日 （ 一 号 ， 詈 ） ， 解 得 。 ＝ 一 １ ，
０ 一詈 ．
点评 该 例 （Ｉ） 中， 函数－ 厂 （ ） 实际上是三 ； 角 函 数形 成 的 复合 函数 ， 求其最 值 时， 采 用 了分解 函数法 ， 引 入 了 中 间 变量 “ ， 把该复合函数分解 为两个 基本 函数 ， 通 过 求 这 两 个
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解 题 技 巧 与 方 法
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三 复会 数最傧 求潦一会 解 数 法
◎郑 有 礼 （ 天祝 县 第 二 中 学 ， 甘肃 天祝 ７ ３ ３ ２ ０ ０ ）
【 摘 要】 三角复合 函数最 值 的求法有 多种 ， 本 文 笔 者 通
数法． 例 １ （ ２ ０ １ ４ ・天 津 ）已 知 函 数 ｆ（ ）＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ・ｓ ｉ ｎ
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
重难点2-1 函数值域的常见求法8大题型(解析版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
专题二：函数值域的求法
专题二：函数值域的求法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。
遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。
原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。
本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。
一、直接法方法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
【例题1】求函数()1y x =≥的值域。
)+∞【例提2】求函数y = [)1,+∞【例题3】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
二、配方法方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例题】求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
三、最值法：方法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
【例题1】求函数y=3-2x-x2 的值域。
解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。
函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。
∴函数的值域是［0,2］【例题2】求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。
1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例题3】求函数2256y x x =-++的值域。
73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、反函数法方法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
求函数值域的方法大全
求函数值域最值的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域最值的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域最值求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用;本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域最值的求法,希望对大家有所帮助; 一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦., 反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1 例2、求函数y=2－x 的值域;解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：-∞,2 2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知： 当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y 的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++ 得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈；② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥ 15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、 求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01 x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0 解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型; 例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2 即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域;适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：x e =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1;故所求函数的值域为-1,1. 例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y 即 sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42 故函数的值域为-42,42; 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减 例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、 求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则 y 1 ,2y 在2,10上都是增函数;所以y= y 1 +2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y = 52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33;例12、求函数y=1+x -1-x 的值域; 解：原函数可化为： y=112-++x x令y 1 =1+x ,2y = 1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y= y 1 +2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1 +2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用;适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域 解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1 ∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -22≤sinβ+∏/4≤1 ∴ 0≤2sin β+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数 y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212x x+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯ cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域 解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏, ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目; 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++= 26即：-26＜y ＜26 2当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= 26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26; 注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧;如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧； 例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: ]3326,3326[+-∈y 9 、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+ 其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、 求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域 解：原函数变形为：y=x sin 2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+ x csc 2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin 2cosxy2=16x sin 4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2=8x sin 2+x sin 2+2- x sin 2/33=2764当且当x sin 2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立; 由y 2≤2764,可得：-938≤y≤938 xB故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(x x x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244xx =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是 ;A 22B 4C 2D 2 分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视; 例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解: ()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+> ∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时, ()()min 112f x f =-=-,当1x =时, ()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值.解析: 函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减, 故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明 本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x .注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用 例28、求函数y=32++x x 的值域 解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1 当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21, 当且仅当t=1,即x=-1时取等号 所以0＜y≤21; 2 当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法;例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=xx x x 42422121+++-+xx xx 42321+++=)11(222xx +-+x x21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,xx 21+=21sin β,∴y=βcos 2+21sin β=-βsin 2+ 21sin β+1 =-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg 2β都存在,故函数的值域为：－2,1617;注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1 函数y =x 2+x1 x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232 函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD 1,+∞)3 一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米 ,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4 设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________5 某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位 百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6 已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时产值千元4 3 2问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位8 在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC =x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值 参考答案1 解析 ∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1 x ≤－21的值域为－47,+∞)答案 B2 解析 令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21 t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案 A 3 解析 t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案 84 解析 由韦达定理知 x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0 ∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴 故m =1时,y min =21答案 －1 215 解 1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+4 75x －0 5,当x =－ab2=4 75百台时,y max =10 78125万元,当x >5百台时,y ＜12－0 25×5=10 75万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或 解得5≥x ≥4 75－5625.21≈0 1百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6 解 1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意 故a ≤－1或a >为35所求2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得 x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元8 解 1如图所示 设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab , ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ, ∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①abCBcA又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0, 2－1,y =2t +t2+6 在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数求值域方法总结
复合函数的值域【学习目标】1．掌握复合函数求值域的几种常见方法．【学习重难点】1．熟练应用换元法求值域．【知识精讲】1．复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=，如果()x ϕ的值全部或部分在()f u 的定义域内，则y 通过u 成为x 的函数，记作()()y f x ϕ= ，称为由函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数。
如y ()2sin 1y x =-；()tan 31y x =+等都是复合函数。
2．换元法求值域 换元的常用方法有：（1）局部换元：又称整体换元；是指在已知或未知中，某个代数式几次出现，我们用一个字母或一个符号来代替它从而简化问题．（2）三角换元：应用于去根号，或变换为三角形式易求，或表达式中有明显三角含义时进行换元，比如说：平方关系221x y +=，则可令cos ,sin x y αα==． 3．分离常数求值域（1）有界函数值域：（分离常数） ①识别出有界函数； ②反解出有界函数；③利用有界函数求原函数值域. （2）对勾函数图像求值域：①分离常数后形成对勾函数或分离常数后换元形成对勾函数； ②先确定定义域，然后根据对勾函数图像确定值域。
x)()0,.+∞)(2,abab +∞,b a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和奇偶性：奇函数，其图像关于原点中心对称渐近线：对勾函数共有两条渐近线，分别为0x =和y ax =.【经典例题】例1. 函数()22log 4y x x =-的值域为（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],2-∞C ．(]0,2D ．(],0-∞【答案】B 【解析】∵()22log 4y x x =-， ∴240x x ->，∴04x <<， 令24t x x =-，∴2log y t =，∴原函数的值域转化为函数2log y t =的值域， 24t x x =-，且04x <<，易求得04t <≤， ∴2log 2t ≤，∴2log y t =的值域为：(],2-∞， 故选：B ．【变式】 求函数()()()[]()1322,2x x f x x -+=∈-的值域．【答案】116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】[]2,2x ∈-时()()13x x -+的范围是[]4,5-， 则()f x 的值域是116,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例2.求函数y【答案】[]0,3 【解析】∵ (]245,9x x -++∈-∞， ∴开根号得到[]0,3 所以函数值域为：[]0,3．【变式】求函数y =【答案】⎝⎦【解析】令()()221311124g x x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭,∴ ()g x 的值域为:3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,由()()1f xg x =得,()max 14334f x ==,∴函数()()1f x x =的值域为:40,⎛⎤ ⎥⎦. 综上y=⎛ ⎝⎦．例3. 函数y x =（ ） A ．[)0,+∞ B ．(],1-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[]0,1【答案】C【解析】令t =0t ≥， ∴21t x =-， ∴21x t =-，∴21y t t =-+，其中0t ≥，∴21524y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，易得所求函数的值域：5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：C ．【变式】函数4y x =+ （ ）A ．[)0,+∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令t =，其中0t ≥，∴212t x =-，∴212t x -=，∴()221y t t =-+， ∴222y t t =-++， ∴178y ≤，∴值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 故选：C ．例5. 求函数求函数()3423x x f x =⋅-+，[]1,2x ∈-的值域【答案】13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令[]2,1,2x t x =∈-，则1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2133,,42y t t t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦.因为函数233y t t =-+的对称轴为16t =，所以函数在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故函数()f x 的值域为13,474⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6. 求函数22121242y x x x x x ⎛⎫=+---≤- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】[)2,+∞【解析】()22212112426y f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1t x x=+，12x ≤-，(],2t ∴∈-∞-()()2262f t t t t ∴=--≤-()[)2,f t ∴∈+∞ 即函数的值域是[)2,+∞．【变式】已知函数()()()22,0x x y e a e a a R a -=-+-∈≠ ，求y 的最小值．【答案】当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ； 当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-【解析】()()22222x x x x y e e a e e a --=+-++- ，令x x t e e -=+，则()22222f t t at a =-+-．2x x t e e -=+≥，()()222f t t a a ∴=-+-的定义域为[)2,+∞，抛物线的对称轴方程是t a =，∴ 当2a ≥时，()2min 2y f a a ==- ；当2a <且0a ≠时，()()2min 221y f a ==-．例7.求函数()2222x y x R x =∈+的值域．【答案】[)0,2【解析】由题意2222x y x =+，可得222yx y =-，又因为20x ≥ ∴2202yx y=≥-，解得02y ≤< 因此函数的值域为[)0,2．【变式】已知函数[]()20,12xx e y x e =∈+,求函数的值域．【答案】22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦【解析】24222x x x e y e e ==-++ []0,1x ∈]时1x e e ≤≤ 设x e t =,则422y t =-+随t 的增大而增大 所以y 的值域为22,32e e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．例8. 已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值．【答案】5m n ==【解析】函数2328l o g 1m x x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2⇔函数2281m x x n y x ++=+的定义域为R ， 值域为 22[1,9](1)8y x mx x n ⇔=+=++使方程 ，即2()8()0m y x x n y -++-=有实数解的y 的取值范围为[]()()1,96440m y n y ⇔∆=---≥ 的解集为[]1,9()2y 160m n y mn ⇔-++-≤的解集为[]1,9105169m n m n mn +=⎧⇔⇔==⎨-=⎩． 【变式】 已知函数()21ax bf x x +=+的值域为[]1,4-，求,a b 的值 【答案】4a =,3b =或4a =-,3b = 【解析】21ax by x +=+等价于()20x y ax y b -+-= 这个关于x 的方程有实数解则判别式0∆≥ ∴()240a y y b --≥22440y by a --≤值域[]1,4-即不等式的解集是14y -≤≤∴1-和4是对应的方程22440y by a --=的根∴ 4144b-+=,2144a -⨯=-23,16b a ==，∴4a =,3b =或4a =-,3b =．例9. 设函数()2,1,1x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()g x 是二次函数，若复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域【答案】[)0,+∞【解析】函数()f x 的图像如下，由于()g x 是二次函数，它的值域只有两种形式[),k +∞和(],k -∞，其中k 为二次函数顶点的纵坐标，数形结合可知，只有当()g x 的值域为[)0,+∞时，()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为[)0,+∞．【变式】设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，解不等式()()2f f x ≤【答案】2x ≤【解析】()()f f x 是()f x 的二次迭代，记()u f x =，则()2f u ≤，如下左图，由()2f u ≤数形结合可得2u ≥-，即()2f x ≥-；如下右图，由()2f x ≥-可得2x ≤．【课后练习】1．函数y 的值域为 .2．求函数2462x x y ++=的值域．3．求函数()22231x y x R x -=∈+的值域．【课后练习答案】1．【答案】[]0,2【解答】令24x x t -=，则必有0t ≥，根据二次函数的值域求法，新变元t 的范围是[]0,4， 根据二次根式函数的性质，原函数的值域为[]0,2．2．【答案】[4,)+∞【解析】令246u x x =++，则2.u y =因为()2245222u x x x =++=++≥，所以222 4.u y =≥=即函数2462xx y ++=的值域为[4,)+∞．3．【答案】[)3,2- 【解析】()222222152352111x x y x x x +--===-+++ 平方项恒非负，20x ≥ 211x +≥ ∴25051x <≤+ ∴25501x -≤-<+ ∴253221x -≤-<+ 函数的值域为[)3,2-．。
高中数学-复合函数的值域
巩固训练
已知函数 f (x) loga[ax2 (3a 1)x 3] 的值域为 R ，求 a 的取值
课后作业
1、已知函数 f (x) x2 2 tan x 1, x [1, 3], ，当 时，求函数 f(x)的最大值与最小值 6
2、求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1]上的最大值 3、已知函数 f (x) ax2 2ax 1在区间[3, 2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值
【变式训练】
1、已知函数 f（x）=log 2
x x
2 2
,
g
(
x)
log
2
(
x
2)
log
2
(
p
x),且
p＞2，设
F
(
x)
f (x) g(x)
（1）求 F(x) 的定义域
（2）求 F(x) 的值域
例 2、（耐克函数）求函数 f (x) x2 x a (a 0), x [1, 2] 的值域 x
4、 已知函数 y sin2 x a sin x a 1 的最大值为 2 ，求 a 的值 42
（2）求函数 y log 2 x log x (2x) 的值
例
3、（其它函数复合）求函数
y
x2
1 x2
2x
2 x
4(x
பைடு நூலகம்
1) 的值域 2
【变式训练】
已知函数 y＝(ex－3)2＋(e－x－3)2(a∈R，a≠0)，求函数 y 的最小值
【方法总结】 1、复合函数值域（最值）的求法一般用换元法，但换元时要注意中间变量的取值范围，换元后求新的函数的值域（最 值）即可 2、复合函数值域（最值）的考察一般分为两种：指、对数函数复合和其他函数复合，前一种为重点
复合函数求最值
复合函数求最值复合函数求最值是高中数学中的一个重要概念，也是数学竞赛中常见的题型之一。
在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。
首先，我们需要明确复合函数的概念。
复合函数指的是将一个函数作为另一个函数的自变量的运算方式。
例如，设有函数f(x)和g(x)，则f(g(x))就是一个复合函数。
接着，我们需要掌握求解复合函数最值的基本思路。
对于形如f(g(x))的复合函数，我们可以先求出g(x)在定义域内的最值，然后将最值代入f(x)中计算得到整个复合函数在定义域内的最值。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 求出g(x)在定义域内的最值。
这一步可以通过绘制g(x)图像或者求导等方法得到。
2. 将g(x)的最值代入f(x)中计算得到整个复合函数在定义域内的最值。
下面通过一个例子来说明如何应用上述方法求解复合函数最值：例：已知函数f(x)=x^2+1和g(x)=2x-3，请求出f(g(x))在定义域[-1,2]上的最大和最小值。
解：首先，我们需要求出g(x)在[-1,2]上的最值。
由于g(x)是一次函数，因此它在[-1,2]上的最值出现在端点处，即g(-1)=-5和g(2)=1。
因此，g(x)在[-1,2]上的最大值为1，最小值为-5。
接着，我们将g(x)的最大值和最小值代入f(x)中计算得到：f(g(2))=f(1)=(1)^2+1=2f(g(-1))=f(-5)=(-5)^2+1=26因此，f(g(x))在定义域[-1,2]上的最大值为2，最小值为26。
综上所述，求解复合函数最值需要掌握基本方法和技巧，并且需要对函数的性质有一定的了解。
通过不断练习和积累经验，我们可以更加熟练地应用这些知识解决实际问题。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
高一数学必修1复合函数定义域的求法
解:
由y
k
x2
kx 7 4kx
3
的定义域为一切实数, 可知
分母kx2 4kx 3 0对x R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0,解得: 0 k 3 4
综上(1),(2)知,当0 k 3 时 4
y
Байду номын сангаас
kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0,2],求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}
2
2
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
题型(二):已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ax2 ax 1 0恒成立，
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a
0
时
复合函数定义域、二次函数在闭区间上的最值
（对称轴固定，定义域
解析: 因为函数 f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,
即要看区间[t,t+2]与对称轴 x=1的位
置,则从以下几个方面解决如图:
t
t+2
X=1
则由上图知解为: 当t+2≤1(t≤-1)时 f(x)max=f(t)=t2-2t-3 f(x)min=f(t+2)=t2+2t+3 当 t＜1 ＜ t+2 时 f(x)max=max｛f(t),f(t+2)｝ (-1 ＜t＜1) f(x)min=f(1)=-4 当t ≥1 时 f(x) max=f(t+2)=t2+2t+3 f(x) min=f(t)=t2-2t-3
复合函数定义域
例1. 设函数 f ( x )的定义域为 [ 0 ,1 ] ，则 （1）函数 f ( x 2 ) 的定义域为________ （2）函数 f ( x 2 ) 的定义域为__________
归纳:已知 f ( x ) 的定义域，求 f [ g ( x )] 的定义域
f [ g ( x )] 中 其解法是：若 f ( x )的定义域为 a x b ，则
（5）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
t
–1 0 1
t +2 2 3 4
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值； 1 5 （3）若x∈[ , ]，求函数f(x)的最值； 2 2 y 1 3 （4）若x∈[ , ]，求 2 2 函数f(x)的最值；
(IV)第九章 第二讲 复合求导,极值最值
一、 多元复合函数
一元复合函数
求导法则 微分法则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t
z f (u, v)
u
z
v
x
y x
y
又如,
z f ( x, v) , v ( x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x
y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z 表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导 x f 表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导 x
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
在点(3,0) 处
不是极值; 不是极值;
AC B 12 6 0 ,
在点(3,2) 处
2
AC B 12 (6) 0 , A 0 ,
x y x y
eu sin v
eu cos v 1
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e
2
x2 y2 z 2
8.6 多元复合函数的极值与最值
一、多元函数的极值
二、多元函数的最值
一、多元函数的极值 定义.若函数 的某去心邻域内恒有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如： 在点 (0,0) 有极小值； 在点 (0,0) 有极大值； 在点 (0,0) 无极值.
解方程组
可得到条件极值的可疑点.
例6. 要设计一个容量为 V 0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解：设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y
的极值.
B
'' yy
C
f ( x, y ) 6 x 6 ,
'' xx
f ( x , y ) 0 , f ( x , y ) 6 y 6
'' xy
A
在点(1,0) 处 AC B 2 12 6 0 , A 0 , 为极小值；
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
值问题, 故极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记
x
fx
fy
y
极值点必满足
f x x 0 f y y 0 ( x, y ) 0
引入辅助函数 F f ( x, y ) ( x, y )
正
可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. x 0 2 2 2 2 2 当 x y 0 时, z ( x y ) z (0,0) 0 因此 为极小值.
复合函数的单调性、定义域与值域
复合函数的单调性设单调函数)(xfy=为外层函数，)(xgy=为内层函数(1) 若)(xfy=增，)(xgy=增，则))((xgfy=增.(2) 若)(xfy=增，)(xgy=减，则))((xgfy=减.(3) 若)(xfy=减，)(xgy=减，则))((xgfy=增.(4) 若)(xfy=减，)(xgy=增，则))((xgfy=减.结论：同曾异减例1. 求函数222)(-+=xxxf的单调区间.外层函数：ty2=内层函数：22-+=xxt内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.例2.求函数)2(log)(22-+=xxxf的单调区间.解题过程：外层函数：ty2log=内层函数：22-+=xxt22>-+=xxt由图知：内层函数的单调增区间：[∈x内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x例3.求函数xy cos=的单调区间解题过程：外层函数：ty=内层函数：xt cos=cos≥=xt由图知：内层函数的单调增区间：]2,22[πππkkx+-∈内层函数的单调减区间：]22,2[πππkkx+∈由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：]2,22[πππkkx+-∈复合函数的减区间为：]22,2[πππkkx+∈复合函数的定义域函数的概念：设是,A B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为集合A到集合B的函数，记作：(),y f x x A=∈。
函数之 复合函数之 求最值、值域
函数之 复合函数之 求最值、值域1．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．2.函数y=的定义域为 ，值域为 .)x log 1(log 2221+3.求函数y ＝＋2x ＋4（x ≥－32）值域．52x 514.函数()()2log 31x f x =+的值域为A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝2; (2)y ＝4x +2x+1+1.31-x 6.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值7.设，求函数 的最大值和最小值．8.已知函数（ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围．9. 已知9x -10·3x +9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x +2的最大值和最小值412110.函数在区间上有最大值14，则a 的值是_______．221(01)x x y a a a a =+->≠且[11]-且11.若函数，求函数的最大值和最小值。
0322≤--x x x x y 4222⋅-=+12.已知，求的最小值与最大值。
[]3,2x ∈-11()142x x f x =-+13.若函数的值域为，试确定的取值范围。
3234+⋅-=x x y []1,7x 本类题的特征是：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________本类题的做法是：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________答案1.8425≤≤y 2.( ，1)∪［-1，-］，［0，+∞］ 22223.解析：设t ＝x ，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．51 当t ＝－1时，y min ＝3． ∴函数y ＝＋2x ＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋）．52x 51∞ 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．4. A5.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x ｜x∈R 且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，31-x 31-x 31-x ∴y＝2的值域为｛y ｜y>0且y≠1｝.31-x (2)y ＝4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y＝4x +2x+1+1＝(2x )2+2·2x +1＝(2x +1)2>1.∴y＝4x +2x+1+1的值域为｛y ｜y>1｝.6.解：设t=3x ,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值931≤≤t 12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
复合函数概念精析
复合函数概念精析蓝田县泄湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
例如y=sin2x它与y=sinx不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin2x。
因此有人说复合函数是函数的函数。
为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。
复合函数的定义域函数表达式的求法
个性化教学辅导教案教案课题函数的单调性教师姓名学生姓名××××上课日期2018.8.3 学科数学适用年级高一教材版本人教版 A1.掌握用定义法求函数的单调性学习目标2.掌握函数最值的求法重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义.重难点难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值. 课前检查□□□□作业完成情况：优良中差建议：第 5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法&一.复合函数的定义域1.复合函数的定义：一般地：若 y f (u) ，又 u g (x) ，则函数 y f [ g( x)] 叫 x 的复合函数，其中 y f (u) 叫外层函数， u g (x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如 : f( x) 3x 5, g( x) x2 1 ；复合函数 f (g( x)) 即把 f (x) 里面的 x 换成g( x) ，f (g(x)) 3g (x) 5 3(x21) 5 3x282. 复合函数的定义域函数 f ( g( x)) 的定义域还是指x 的取值范围，而不是g (x) 的取值范围 .①已知 f (x) 的定义域，求复合函数 f [ g x ] 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f ( x) 的定义域为x a, b ，求出 f [ g( x)] 中 a g( x) b 的解x 的范围，即为 f [ g( x)] 的定义域。
第1页共1页② 已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，求 f ( x) 的定义域方法是：若 f [ g x ] 的定义域为 x a,b ，则由 a x b 确定 g( x) 的范围即为 f (x) 的定义域③ 已知复合函数 f [ g( x)] 的定义域，求 f [ h( x)] 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义域。
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函数之 复合函数之 求最值、值域
1．函数y =(log x )2
－log x 2
＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．
2.函数y=)x log 1(log 2221+的定义域为 ，值域为 .
3.求函数y ＝5
2x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）值域． 4.函数的值域为
A. B. C. D.
5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝2
3
1
-x ; (2)y ＝4x +2x+1
+1.
6.已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1
-9x
的最大值和最小值 7.设 ，求函数
的最大值和最小值． 8.已知函数
（
且
） （1）求
的最小值； （2）若
，求
的取值范围．
9. 已知9x
-10·3x
+9≤0，求函数y=（
41）x-1-4·（2
1）x
+2的最大值和最小值 10.函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 11.若函数0322≤--x x ，求函数x x y 4222
⋅-=+的最大值和最小值。
12.已知[]3,2x ∈-，求11
()142
x
x f x =
-+的最小值与最大值。
13.若函数3234+⋅-=x
x
y 的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。
本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________
答案
1.
2.( 22，1)∪［-1，-22］，［0，+∞］
3.解析：设t ＝x 5
1
，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3． 4
14
1()()
2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞⎡⎣()1,+∞)1,+∞⎡⎣84
25
≤≤y
- 3 -
∴函数y ＝52x ＋2x 5
1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 4. A
5.解：(1)∵x-3≠0，∴y ＝2
3
1-x 的定义域为｛x ｜x ∈R 且x ≠3｝.又∵3
1
-x ≠0，∴231
-x ≠1，
∴y ＝2
3
1
-x 的值域为｛y ｜y>0且y ≠1｝.
(2)y ＝4x
+2x+1
+1的定义域为R.∵2x
>0,∴y ＝4x
+2x+1
+1＝(2x )2
+2·2x
+1＝(2x
+1)2
>1. ∴y ＝4x
+2x+1
+1的值域为｛y ｜y>1｝. 6.解：设t=3x ,因为-1≤x ≤2，所以
93
1≤≤t ，且f(x)=g(t)=-(t-3)2
+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
7.分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为
，利用闭区间上
二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设
，由
知，
，函数成为 ，
，对称轴 ，故函数
最小值为
，因端点
较
距对称轴
远，故函数的最大值为
．
8．解：（1） ， 当
即
时， 有最小值为
（2） ，解得
当 时， ；
当
时，
．
9.解：由已知得（3x
）2
-10·3x
+9≤0 得（3x
-9）（3x
-1）≤0 ∴1≤3x
≤9 故0≤x ≤2 而y=(
41)x-1-4·(21)x +2= 4·（21）2x -4·（21）x
+2 令t=（
21）x （14
1
≤≤t ） 则y=f （t ）=4t 2
-4t+2=4（t-
2
1）2
+1 当t=2
1
即x=1时，y min =1
- 3 -
当t=1即x=0时，y max =2
10.分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-． ∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，
∴1x a a a ≤≤，即1
t a a
≤≤．
∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）； 当01a <<时，∵[]11x ∈-，，
∴1x a a a ≤≤，即1
a t a ≤≤，
∴ 1t a =时，2
max 11214y a ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，
解得13a =
或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13
． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 和-96
12.2
21113()142122124224x x x x x x x f x -----⎛
⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝
⎭,
∵[]3,2x ∈-, ∴
1
284
x -≤≤. 则当12
2x
-=
,即1x =时,()f x 有最小值4
3；当28x
-=,即3x =-时，()f x 有最大值57。
13.243232
323x
x
x
x y =-⋅+=-⋅+，依题意有
22(2)3237(2)3231x x x x ⎧-⋅+⎪⎨-⋅+⎪⎩≤≥即1242221
x
x x
⎧-⎪⎨⎪⎩或≤≤≥≤，∴ 224021,x x
<或≤≤≤ 由函数2x
y =的单调性可得(,0][1,2]x ∈-∞。