北师大版七年级数学下册 第二章平行线讲义(含解析)

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北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线汇总

北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线汇总

北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线汇总一、基本概念1.1 直线和平行线•直线:一个没有端点的、无限长的、只有一个方向的线段。

•平行线:在同一个平面内,永远不会相交的两条直线。

1.2 相交线和交点•相交线:在同一个平面内,有共同一个交点的两条直线。

•交点:相交线的交点。

1.3 直角和垂线•直角:两条相交线夹角为 $90^{\\circ}$ 的角。

•垂线:在直角所在平面上,与另一条线垂直相交的线段。

二、平行线的判定定理2.1 直角判定定理•如果一条线段与另一条直线所形成的角是直角,那么这条线段与这条直线是平行线。

2.2 同旁内角和定理•如果两条直线与一条横截线相交,同侧内角的和为 $180^{\\circ}$,则这两条直线是平行线。

2.3 改错•如果两个角的数值相等,则这两个角是相等角,而不一定是平行线上的对应角。

三、平行线的性质3.1 垂线的性质•平行线和被它们所截的横截线所形成的各对同旁内角相等,且同旁外角互补。

•平行线和被它们所截的任何一条横截线所形成的交点之间的连线都是垂线。

3.2 平行线的传递性•如果直线l垂直于直线m,直线m平行于直线n,那么直线l垂直于直线n。

四、平行线的应用4.1 错排问题•和错排问题相似,当n个人排成一排时,共有(n−1)!种不同的排列方式。

4.2 平行四边形的性质•平行四边形的对边相等,对角线相交于中点,对角线互相平分。

五、小结通过学习本章内容,我们了解了平行线的基本概念和判定定理,并熟悉了平行线的性质及其应用。

熟练掌握平行线在几何中的应用,对我们解决实际问题的数学思维有很大的帮助。

北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》公开课课件

北师大版七年级数学下册第二章《相交线与平行线》公开课课件
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第二章 相交线与平行线
回顾与思考
学习目标
掌握平行线的三条性质, 并能用它们进行简单的 推理和计算.
性质1:两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等。
简称:两直线平行, 同位角相等. 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,
内错角相等。 简称:两直线平行, 内错角相等. 性质3:两条平行直线被第三条直线所截, 同旁内角互补。 简称:两直线平行, 同旁内角互 补.
2
F
H
变式1:若∠AEM=∠DGN,EF、GH分别 平分∠AEG和∠CGN,则图中还有平行
线吗?
变式2:若∠AEM= ∠DGN,∠1 =∠2,则图中还有平行线吗?
四、拓展升华
小明在做一个如图的工艺插件,遇到一个问 题,需要大家帮忙,小明已经量得插件的 ∠D=50º,∠E= 82º,要使∠B为多少度时, AB∥CD?
A
B
M
N
E
T
C
DP
Q
纵向延伸
探讨以下四个图形中BED,EDC EBA的关系
归纳小结
两直线平行
性质 条件
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
条件:角的关系 性质:线的关系
线的关系 角的关系
不习惯读书进修的人,常会自满于现状,觉得再没有什么事情需要学习,于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛,一只眼睛看到纸面上的话,另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月29日星期二2022/3/292022/3/292022/3/29 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/292022/3/292022/3/293/29/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献,并挑选出有意义的部分。2022/3/292022/3/29March 29, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线
与角知识点梳理汇总
本文档将概述新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角的
主要知识点,以帮助学生更好地理解和掌握相关概念。

1. 平行线的定义与性质
- 定义:平行线是在同一个平面内,永远不相交的两条直线。

- 性质:
- 平行线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。

- 平行线上的任意两个角互为对应角,对应角相等。

2. 平行线的判定方法
- 同位角相等判定法:两条直线被一条截线所切,同位角相等,则直线平行。

- 内错角相等判定法:两条直线被一条截线所切,内错角相等,则直线平行。

3. 角的概念
- 角:由两条射线共同端点所组成的形状。

- 顶点:角的共同端点。

- 边:角的两条射线。

- 内角:小于180度的角。

- 外角:大于180度小于360度的角。

4. 角的分类
- 零度角:两条重合的射线组成的角。

- 钝角:大于90度小于180度的角。

- 直角:等于90度的角。

- 锐角:小于90度的角。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角的主要知识点梳理。

通过学习和掌握这些概念,可以更好地理解平行线与角的性质和判定方法。

希望这份梳理对学生们的学习有所帮助。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——同位角、内错角、同旁内角(知识梳理与考点分类讲解)【知识点一】同位角、内错角、同旁内角的概念(“三线八角”模型)如图1,直线AB、CD 与直线EF 相交(或者说两条直线AB、CD 被第三条直线EF 所截),构成八个角,简称为“三线八角”,如图1.特别提醒:⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF 相交.⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.【知识点二】同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中,如上图1,(1)同位角:像∠1与∠5,这两个角分别在直线AB、CD 的同一方,并且都在直线EF 的同侧,具有这种位置关系的一对角叫做同位角.(2)内错角:像∠3与∠5,这两个角都在直线AB、CD 之间,并且在直线EF 的两侧,像这样的一对角叫做内错角.(3)同旁内角:像∠3和∠6都在直线AB、CD 之间,并且在直线EF 的同一旁,像这样的一对角叫做同旁内角.特别提醒:(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系,显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.【知识点三】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征图1特别提醒:巧妙识别三线八角的两种方法:(1)巧记口诀来识别:一看三线,二找截线,三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系,我们可以在图形中标出方位,判断时依方位来识别,如图2.【考点目录】【考点1】“三线八角”模型的认识;【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别;【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【考点1】“三线八角”模型的认识;【例1】(1)图1中,∠1、∠2由直线被直线所截而成.(2)图2中,AB为截线,∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角?【答案】(1)EF,CD;AB;(2)不是.【分析】(1)根据三线八角的定义求解即可;(2)根据三线八角的定义求解即可;解:(1)∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线,而另一边所在的直线为被截线.所以图1中,∠1、∠2由直线EF,CD被直线AB所截而成.(2)因为∠D的两边都不在直线AB上,所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角.【点拨】此题主要考查了“三线八角”,熟练掌握:“三线八角”的定义是解答此题的关键.【变式1】如图,下列说法正确的是()A.∠2与∠3是同旁内角B.∠1与∠2是同位角C.∠1与∠3是同位角D.∠1与∠2是内错角【答案】A【分析】根据同旁内角定义可判断A、根据同位角定义可判断B、根据内错角的定义可判断C、D即可.解:A、由图与同旁内角定义,∠2和∠3是两直线被第三条直线所截,在截线的同侧,在被截直线内部的角可知:∠2和∠3是同旁内角,故选项A正确符合题意;B、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角,不是同位角,故选项B不正确不符合题意;C、∠1和∠3是两直线被第三条直线所截,在截线的两侧,在被截直线内部的角是内错角,不是同位角,故选项C不符合题意;D、∠1和∠2是两条直线被两条直线所截得到的角不是内错角,故选项D不符合题意;故选:A .【点拨】本题考查了同旁内角、同位角、内错角,熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键.【变式2】如图,有下列说法:①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个;②能与BFE ∠构成同位角的角的个数有2个;③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有4个.其中正确结论的序号是.【答案】①【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断.解:①能与DEF ∠构成内错角的角的个数有2个,即EFA Ð和EDC ∠,故正确;②能与EFB ∠构成同位角的角的个数只有1个:即FAE ∠,故错误;③能与C ∠构成同旁内角的角的个数有5个:即CDE ∠,B ∠,CED ∠,CEF ∠,A ∠,故错误;所以结论正确的是①.故答案为:①.【点拨】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角,解题的关键是熟记相关的定义.【考点2】同位角、内错角、同旁内角的辨别;【例2】两条直线被第三条直线所截,∠1是∠2的同旁内角,∠2是∠3的内错角.(1)画出示意图,标出∠1,∠2,∠3.(2)若∠1=2∠2,∠2=2∠3,求∠3的度数.【答案】(1)见分析;(2)36°【分析】(1)根据内错角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角;同旁内角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可,进而画出图形即可;(2)利用邻补角的关系可求出∠3的度数.解:(1)如图所示:(2)∵∠1=2∠2,∠2=2∠3,∴设∠3=x,则∠2=2x,∠1=4x,故x+4x=180°,解得:x=36°,故∠3的度数为36°.【点拨】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质,得出∠1与∠3的关系是解题关键.【变式1】下列四幅图中,1∠和2∠是同位角的是几个()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据同位角的定义(截线的同一侧,被截线的同一方位)解决此题.解:根据同位角的定义,第一张图和第四张图中的∠1和∠2是同位角.故选:B.【点拨】本题主要考查同位角的定义,熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键.【变式2】如图,直线a,b被直线c所截,145∠=︒,2110∠=︒,则1∠的同位角的度数是;4∠的内错角的度数是;3∠的同旁内角的度数是.【答案】70︒/70度45︒/45度70︒/70度【分析】根据同位角,内错角和同旁内角的概念以及邻补角求解即可.解:∵24180∠+∠=︒,2110∠=︒,∴470∠=︒,∵1∠和4∠是一组同位角,∴1∠的同位角的度数是70︒;∵145∠=︒,∴31801135∠=︒-∠=︒,∴4∠的内错角的度数是180318013545︒-∠=︒-︒=︒;3∠的同旁内角4∠的度数是70︒.故答案为:70︒;45︒;70︒.【点拨】此题考查了邻补角,同位角,内错角和同旁内角的概念,解题的关键是熟练掌握以上知识点.【考点3】与同位角、内错角、同旁内角相关的综合【例3】如图,直线AB ,CD 被直线EF 所截,交点分别为G ,H ,∠CHG =∠DHG =34∠AGE .(1)CD 与EF 有怎样的位置关系?请说明理由.(2)求∠CHG 的同位角、内错角、同旁内角的度数.【答案】(1)CD ⊥EF ;(2)∠CHG 的同位角∠AGE =120°,内错角∠BGF =∠AGE =120°,同旁内角∠AGF =60°【分析】(1)先由∠CHG +∠DHG =180°及∠CHG =∠DHG ,可得∠CHG =∠DHG =90°,再根据垂直的定义得到CD 与EF 互相垂直;(2)先由∠CHG =∠DHG =34∠AGE ,可得∠AGE =120°,再根据同位角、内错角、同旁内角的定义即可求解.解:(1)CD ⊥EF .理由如下:因为CD是直线,所以∠CHG+∠DHG=180°,又∠CHG=∠DHG,所以∠CHG=∠DHG=90°,所以CD⊥EF.(2)由(1)知∠CHG=∠DHG=90°,因为∠CHG=∠DHG=34∠AGE,所以∠AGE=120°,所以∠CHG的同位角∠AGE=120°,内错角∠BGF=∠AGE=120°,同旁内角∠AGF=180°-∠AGE=60°.【点拨】本题考查了垂直的定义,邻补角的定义,同位角、内错角、同旁内角的定义,以及对顶角和邻补角的性质的计算,是基础知识,比较简单.【变式1】如图,下列判断正确的是()A.有2对同位角,2对内错角,2对同旁内角B.有2对同位角,2对内错角,3对同旁内角C.有4对同位角,2对内错角,4对同旁内角D.以上判断均不正确【答案】B【分析】根据同位角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同位角.内错角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角.同旁内角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角作答.解:观察图形可知,有2对同位角,2对内错角,3对同旁内角.故选B.【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角,完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时,应从角的两边入手,具有上述关系的角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形.注意按顺序一个点一个点的数,不要重复,不要遗漏.【变式2】如图两条直线被第三条直线所截,2∠是3∠的同旁内角,1∠是3∠的内错角,若243∠=∠,321∠=∠,则1∠的度数是.【答案】20︒/20度【分析】设1x ∠=︒,则32x ∠=︒,28x ∠=︒,根据邻补角互补可得方程,求解即可.解:如图,设1x ∠=︒,则32x ∠=︒,28x ∠=︒,∵12180∠+∠=︒,∴8180x x ︒+︒=︒,解得:20x =,∴120∠=︒.故答案为:20︒.【点拨】本题考查了内错角、同旁内角、邻补角互补、角的计算,解本题的关键是掌握内错角的边构成“Z ”形,同旁内角的边构成“U ”。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(全章知识梳理与考点分类讲解)【知识点一】平行线的判定方法11.方法1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称为:同位角相等,两直线平行.2.表达方式:因为∠1=∠2,(已知)所以a//b(同位角相等,两直线平行)特别提醒:“同位角相等,两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落:把三角尺的一边落在一直的直线上;二靠:紧靠三角尺的另一边放一直尺;三移:把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点;四画:沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒:1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式:如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒:平行线的性质的前提是“过直线外一点”,若点在直线上,则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行;【考点2】内错角相等两直线平行;【考点3】同旁内角互补两直线平行;【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度;【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度;【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离(应用).【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等;理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B=∠E,再根据垂直可得∠C=∠F=90°,然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证.解:两根旗杆的高度相等.理由如下:∵太阳光线AB与DE是平行,∴∠B=∠E,∵两根旗杆都垂直于地面放置,∴∠C=∠F=90°,∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长,∴BC =EF ,∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===∴△ABC ≌△DEF (ASA ),∴AC =DF ,即两根旗杆的高度相等.【点拨】本题考查了全等三角形的应用,根据题意找出三角形全等的条件,然后证明两三角形全等是解题的关键.【变式1】(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图,把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上,若1:23:7∠∠=,则2∠=()A .126︒B .118︒C .105︒D .94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论.解:如图,由题意知:DE BC ∥,∴31∠=∠,∵1:23:7∠∠=,∴3:23:7∠∠=,∴3327∠=∠,∵2330180∠+∠+︒=︒,∴322301807∠+∠+︒=︒,∴2105∠=︒.故选:C .【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义.熟练掌握两直线平行,同位角相等是解题的关键.【变式2】(2022·甘肃嘉峪关·校考一模)如图两平行线a、b被直线l所截,且∠1=60°,则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠3=∠1=60°,又由对顶角相等,即可求得答案.解:∵a∥b,∴∠3=∠1=60°,∴∠2=∠3=60°.故答案为:60°.【点拨】此题考查了平行线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.【考点2】内错角相等两直线平行【例2】(2014下·贵州铜仁·七年级统考期末)已知:如图,点D、E分别在AB、BC上,DE AC∥,165∠=︒,265∠=︒,请说明:F CBF ∠=∠.(不必注明依据)【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒,得出2C ∠=∠,根据平行线的判定得出AF BC ∥,再根据平行线的性质即可得证.解:∵DE AC ∥,165∠=︒,265∠=︒,∴165C ∠=∠=︒,∴2C ∠=∠,∴AF BC ∥,∴F CBF ∠=∠.【点拨】本题考查平行线的判定和性质,能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键.【变式1】(2023·吉林白城·校联考三模)已知,如图,AB ∥CD ,∠A=70°,∠B=40°,则∠ACD=()A .55°B .70°C .40°D .110°【答案】B解:AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行,内错角相等.【变式2】(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图,直线a b ,直线l 与直线a 相交于点P ,直线l 与直线b 相交于点Q ,PM l ⊥于点P ,若155∠=︒,则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质.根据平行线性质得3155∠=∠=︒,利用垂线性质即可求得2∠.解:直线a b ,3155∴∠=∠=︒,又PM l ⊥ 于点P ,90MPQ ∴∠=︒,2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒.故答案为:35.【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】(2023下·山东烟台·六年级统考期末)如图,ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ,BE 交CD 于点F ,1290∠+∠=︒.(1)试说明://AB CD .(2)若228∠=︒,求3∠的度数.【答案】(1)见分析;(2)62︒【分析】(1)根据角平分线的定义,结合1290∠+∠=︒,可得180ABD BDC ∠+∠︒=,进而即可得到结论;(2)由228∠=︒,得162∠=︒,进而得62ABF ∠=︒,结合//AB CD ,即可得到答案.解:(1)∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ,∴21ABD ∠∠=,22BDC ∠∠=,又∵1290∠+∠=︒,∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒=,∴//AB CD ;(2)∵228∠=︒,1290∠+∠=︒,∴162∠=︒,又∵BF 平分ABD ∠,∴162ABF ∠=∠=︒,又∵//AB CD ,∴362ABF ∠=∠=︒.【点拨】本题主要考查角平分线的定义,平行线的判定和性质定理,掌握“同旁内角互补,两直线平行”,“两直线平行,内错角相等”,是解题的关键.【变式1】(2012下·广东茂名·七年级统考期中)两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的比为4:5,则这两个角中较小的角的度数为()A .20︒B .80︒C .100︒D .120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ,再根据两直线平行,同旁内角互补列式求解即可.解:设两个角分别为4x 、5x ,∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角,∴45180x x +=︒,解得20x =︒,480x =︒,5100x =︒,所以较小的角的度数等于80︒.故选:B .【点拨】本题考查了平行线的性质,主要利用了两直线平行,同旁内角互补的性质,熟记性质是解题的关键.【变式2】(2023下·辽宁大连·七年级统考期末)如图,AB ∥CD ,射线AE 交CD 于点F ,若∠1=116°,则∠2的度数等于.【答案】64°【分析】根据两直线平行,同旁内角互补可求出∠AFD 的度数,然后根据对顶角相等求出∠2的度数.解:∵AB ∥CD ,∴∠1+∠AFD =180°.∵∠1=116°,∴∠AFD =64°.∵∠2和∠AFD 是对顶角,∴∠2=∠AFD =64°.故答案为64°.【点拨】本题考查了平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行,同旁内角互补.【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】(2017下·北京东城·七年级统考期中)已知:直线AB CD ,点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上,点E 为平面内一点,(1)如图1,请写出AME ∠,E ∠,ENC ∠之间的数量关系,并给出证明;(2)如图2,利用(1)的结论解决问题,若30AME ∠=︒,EF 平分MEN ∠,NP 平分ENC ∠,EQ NP ∥,求FEQ ∠的度数;(3)如图3,点G 为CD 上一点,AMN m EMN ∠=∠,GEK m GEM ∠=∠,EH MN 交AB 于点H ,GEK ∠,BMN ∠,GEH ∠之间的数量关系(用含m 的式子表示)是.【答案】(1)MEN AME ENC ∠=∠+∠,证明见分析;(2)15︒;(3)180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒.【分析】(1)过点E 作EE AB ' ,根据平行线的性质进行证明即可;(2)利用EF 平分MEN ∠,NP 平分ENC ∠,可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠,再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠,进行等量代换进行计算即可;(3)由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠,1EMN HEM AMN m∠=∠=∠,再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可.解:(1)MEN AME ∠=∠+∠,证明如下:如图1所示,过点E 作EE AB ' ,∵AB CD ,∴AB CD EE 'P P ,∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠,∵12MEN ∠=∠+∠,∴MEN AME ENC ∠=∠+∠.(2)∵EF 平分MEN ∠,NP 平分ENC ∠,∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠.∵EQ NP ∥,30AME ∠=︒,∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠.∵MEN AME ENC ∠=∠+∠,∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒,∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒.(3)180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒.证明如下:∵AMN m EMN ∠=∠,GEK m GEM ∠=∠,∴1EMN AMN m ∠=∠,1GEM GEK m∠=∠.∵EH MN ,∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠,∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠,∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠,∵180AMN BMN ∠=︒-∠,∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠,180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒.故答案为:180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒.【点拨】本题考查了平行线的判定和性质,角的平分线,熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.【变式1】(2022下·贵州黔南·七年级统考期中)如图,在五边形ABCDE 中,AE BC ∥,则C D E ∠+∠+∠=()A .540︒B .360︒C .270︒D .180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥,交AB 于点F ,由AE BC ∥,可证得AE DF BC ∥∥,然后由两直线平行,同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°,180CDF C Ð+Ð=°,继而证得结论.解:过点D 作DF AE ∥,交AB 于点F ,AE BC ∥,AE DF BC ∴∥∥,180E EDF ∴∠+∠=︒,180CDF C Ð+Ð=°,360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°.故选:B .【点拨】此题考查了平行线的性质,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.【变式2】(2023下·广东江门·七年级统考期末)如图,AB ∥CD ,∠ABF =23∠ABE ,∠CDF =23∠CDE ,则∠E :∠F 等于【答案】3:2解:如图,过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB,又因AB∥CD,根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD,∵AB∥FH,∴∠ABF=∠BFH,∵FH∥CD,∴∠CDF=∠DFH,∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF;同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE;∵∠ABF=23∠ABE,∠CDF=23∠CDE,∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23(∠ABE+∠CDE)=23∠BED,∴∠BED:∠BFD=3:2.故答案为:3:2.【点拨】本题主要考查了平行线的性质,解决这类题目要常作的辅助线(平行线),充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键.【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】(2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习)如图,A B、两处是灯塔,船只在C处,B处在A 处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向,求船只与两灯塔的视角ACB的度数.【答案】85°【分析】根据方向角的定义,可得∠BAE=45°,∠CAE=15°,∠DBC=80°,然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解.解:如图,根据方向角的定义,可得∠BAE=45°,∠CAE=15°,∠DBC=80°.∵∠BAE=45°,∠EAC=15°,∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°.∵AE ,DB 是正南正北方向,∴BD ∥AE ,∵∠DBA=∠BAE=45°,又∵∠DBC=80°,∴∠ABC=80°-45°=35°,∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°.题的关键.【变式1】(2023下·甘肃白银·八年级统考期末)如图所示,已知AB EF ∥,那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=()A .180°B .270°C .360°D .540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒,,进而可得出结论.解:过点C 作CD EF ∥,∥Q AB EF ,AB CD EF \∥∥,∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①,②,由①②+得,360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒,即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°.故选:C .【点拨】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同旁内角互补.【变式2】(四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题)一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间,且//m n ,则图中1∠=度.【答案】15【分析】如图,过点A 作AC ∥m ,则有////AC m n ,然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒,进而问题可求解.解:如图所示,过点A 作AC ∥m ,∵//m n ,∴////AC m n ,∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒,∵60BAC CAD ∠+∠=︒,∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒;故答案为15.【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定,熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键.【考点6】平行线判定与性质证明【例6】(2023下·七年级课时练习)如图,BD 平分ABC ∠,ED BC ∥,130∠=︒,4120∠=︒.(1)求2∠,3∠的度数;(2)证明:DF AB .【答案】(1)230∠=︒,360∠=︒;(2)见详解【分析】(1)根据BD 平分ABC ∠,112ABD ABC ∠=∠=∠,即有130ABD ∠=∠=︒,60ABC ∠=︒,再结合ED BC ∥,即可求解;(2)由60ABC ∠=︒,4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒,则DF AB ,问题得解.解:(1)∵BD 平分ABC ∠,130∠=︒,∴112ABD ABC ∠=∠=∠,∴130ABD ∠=∠=︒,60ABC ∠=︒,∵ED BC ∥,∴2130∠=∠=︒,360ABC ∠=∠=︒,即:230∠=︒,360∠=︒;(2)∵60ABC ∠=︒,4120∠=︒,∴ABC ∠4=180+∠︒,∴DF AB .【点拨】本题主要考查了角平分线的定义,平行线的判定与性质等知识,掌握两直线平行同位角相等;两直线平行同位角相等;两直线平行,同旁内角互补是解答本题的关键.【变式1】(2020上·河南洛阳·七年级统考期末)如图,若12∠=∠,DE BC ∥,则下列结论:①FG DC ;②AED ACB ∠=∠;③CD 平分ACB ∠;④190B ∠+∠=︒;⑤BFG BDC ∠=∠.其中,正确结论的个数为()A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等,得出②正确;再由已知条件证出2DCB =∠∠,得出FG DC ,①正确;由平行线的性质得出⑤正确;即可得出结果.解:DE BC ∥,1DCB ∴∠=∠,AED ACB ∠=∠,故②正确;12∠=∠ ,2DCB ∴∠=∠,FG DC ∴∥,故①正确;BFG BDC ∴∠=∠,故⑤正确;而CD 不一定平分ACB ∠,1B ∠+∠不一定等于90︒,故③,④错误;故选:B .【点拨】本题考查了平行线的判定与性质;熟练掌握平行线的判定与性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.【变式2】(2021下·江苏盐城·七年级统考期中)如图a b ,c 与a 相交,d 与b 相交,下列说法:①若12∠=∠,则3=4∠∠;②若14180∠+∠=︒,则c d ∥;③4231∠-∠=∠-∠;④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有(填序号)【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可.解:如图,①若∠1=∠2,则b ∥e ,则∠3=∠4,故原说法正确;②若∠1+∠4=180°,则c ∥d ;故原说法正确;③由a ∥b 得到∠1=∠6,∠5+∠4=180°,由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得,∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°,则∠4-∠2=∠3-∠1,故原说法正确;④由③得,只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时,∠1+∠2+∠3+∠4=360°.故原说法错误.正确的有①②③,故答案为:①②③.【点拨】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键.【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离(应用)【例7】(2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习)如图,直线a b ∥,AB 与a ,b 分别交于点A ,B ,且AC AB ⊥,AC 交直线b 于点C .(1)若160∠= ,求2∠的度数;(2)若6,8AC AB ==,10BC =,求直线a 与b 的距离.【答案】(1)30︒;(2)245【分析】(1)由直线a b ∥,根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒,再由AC AB ⊥,根据垂直的定义即可得到结果;(2)过A 作AD BC ⊥于D ,根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ,即可求解.解:(1)∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒(2)如图,过A 作AD BC ⊥于D ,则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==,10BC =,ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积,解题的关键是掌握:从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.【变式1】(2021下·安徽合肥·八年级统考期末)如图,123////l l l ,且相邻两条直线间的距离都是2,A ,B ,C 分别为1l ,2l ,3l 上的动点,连接AB 、AC 、BC ,AC 与2l 交于点D ,90ABC ∠=︒,则BD 的最小值为()A.2B.3C.4D.5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离,当BD⊥AC时,BD有最小值,根据题意求解即可.解:由题意可知当BD⊥AC时,BD有最小值,此时,AD=CD,∠ABC=90°,∴BD=AD=BD=12AC=2,∴BD的最小值为2.故选:A.【点拨】本题考查平行线的性质,需结合图形,根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解.【变式2】(2019下·上海金山·七年级统考期中)已知直线a∥b∥c,a与b的距离是5cm,b与c的距离是3cm,则a与c的距离是.【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定,可分情况讨论.(1)直线c在直线b的上方,直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm;(2)直线c在直线a、b的之间,直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm.解:(1)直线c在直线b1:直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm;(2)直线c在直线a、b的之间,如图2:直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm;所以a与c的距离是8cm或2cm,故答案为8cm或2cm.【点拨】此题考查两线间的距离,本题需注意直线c的位置不确定,需分情况讨论.。

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线知识点梳理汇总
本文档旨在对新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交
线的知识点进行梳理和汇总。

1. 定义与性质
- 平行线的定义:如果两条直线在同一个平面内,且它们不相交,那么我们称这两条直线为平行线。

- 平行线的性质:
- 平行线上的任意一对对应角相等。

- 平行线上的内错角、同旁内角、同旁外角相等。

2. 平行线的判定
- 相关定理:
- 如果两条直线被第三条直线截断,并且对应的内错角相等或
同旁内角互补,则这两条直线平行。

- 如果两条直线被第三条直线截断,并且对应的同旁外角相等,则这两条直线平行。

3. 直线与平面的相交关系
- 直线与平面的相交情况:
- 直线与平面相交于一点。

- 直线与平面相交于一条直线。

4. 平面与平面的相交关系
- 平面与平面的相交情况:
- 两平面交于一条直线。

- 两平面平行。

- 两平面重合。

5. 平行线与平面的相交关系
- 平行线与平面的相交情况:
- 平行线与平面相交于一点。

- 平行线与平面相交于一条直线。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与相交线的知识点梳理和汇总。

通过研究这些知识,可以帮助同学们更好地理解和应用平行线与相交线的相关概念和定理。

参考资料:
- 新北师大版七年级数学下册教材。

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案:平行线、平行线的构造(含答案)

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案:平行线、平行线的构造(含答案)

四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案(授课内容:平行线、平行线的构造)知识梳理 一、平行线1.平行线:在同一平面内,永不相交的两条直线称为平行线.用“//”表示. 2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 【例】如图1,过直线a 外一点A 作b//a ,c//a ,则b 与c 重合.3.平行公理推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 简记为:平行于同一条直线的两条直线平行. 【例】如图2,若b//a ,c//a ,则b//c .图1 图2 图34.平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.如图3,若a//b ,则Ð1=Ð2. (2)两直线平行,内错角相等.如图3,若a//b ,则Ð2=Ð3. (3)两直线平行,同旁内角互补.如图3,若a//b ,则Ð3+Ð4=180°. 5.平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行.如图3,若Ð1=Ð2,则a//b . (2)内错角相等,两直线平行.如图3,若Ð2=Ð3,则a//b . (3)同旁内角互补,两直线平行.如图3,若Ð3+Ð4=180°,则a//b . 二、平行的构造1.如图4,若a//b ,则Ð1=Ð2+Ð3 2.如图5,若a//b ,则Ð1+Ð2+Ð3=360°(c )b aAcba b a4321a b` 213`a b213图4 图5例题讲解 一、平行线下列说法中:下列说法中:①如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;①如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; ②过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线相交;②过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线相交; ③如果同一平面内的两条直线不相交,那么它们互相平行;③如果同一平面内的两条直线不相交,那么它们互相平行; ④过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.④过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行. 正确的是__________.【解析】①③④.【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理.(1)如图2-1,一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若125Ð=°,则2Ð的度数是(的度数是( ) A .155° B .135° C .125° D .115°(2)如图2-2,已知AB//CD ,EF 分别交AB 、CD 于M 、N ,EMB Ð=50°,MG 平分BM BMF F Ð,交CD 于G ,MGN Ð的度数为__________.FE AMBC N G D12图2-1 图2-2(3)证明:三角形三个内角的和等于180°.【解析】(1)D ;(2)65°;(3)证法1:如右图,过△ABC 的顶点A 作直线l//BC . 则B Ð1=Ð,C Ð2=Ð(两直线平行,内错角相等). 又因为BAC Ð1+Ð+Ð2=180°.(平角的定义) 所以B BAC C Ð+Ð+Ð=180°(等量代换). 即三角形三个内角的和等于180°. 证法2:如右图,延长BC ,过C 作CE//AB , 则A Ð1=Ð(两直线平行,内错角相等),B Ð2=Ð(两直线平行,同位角相等).又∵BCA Ð+Ð1+Ð2=180°, ∴BCA A B Ð+Ð+Ð=180°, 即三角形三个内角的和等于180°.【提示】这道题主要考查平行线的性质,(3)题证明方法老师可以自行补充,这个结论和平行公理是等价的.平行公理是等价的.另外,另外,这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证,这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证,然后然后再证明,重点强调格式.(1)根据图在()根据图在( )内填注理由:)内填注理由: ①∵B CEF Ð=Ð(已知),(已知),∴AB//CD ( );); ②∵B BED Ð=Ð(已知),(已知),∴AB//CD ( );); ③∵B CEB Ð+Ð=180°(已知),(已知),l21CB A 21DCEBAA CDBFE∴AB//CD ( ).).(2)已知:如图所示,ABC ADC Ð=Ð,BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð,AED EDC Ð=Ð.求证:ED//BF .证明:∵BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð(已知)(已知)∴EDC Ð=__________ADC Ð,FBA Ð=__________ABC Ð( ), 又∵ADC ABC Ð=Ð(已知),(已知), ∴Ð__________FBA =Ð(等量代换).(等量代换). 又∵AED EDC Ð=Ð(已知),(已知),∴Ð__________=Ð__________(等量代换),(等量代换), ∴ED//BF ( ).).【解析】(1)①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行; ③同旁内角互补,两直线平行. (2)12;12;角平分线定义;EDC ;AED ;FBA ;同位角相等,两直线平行. 【提示】这道题主要考查平行的判定,这道题主要考查平行的判定,也通过这道题规范孩子们的书写过程,也通过这道题规范孩子们的书写过程,也通过这道题规范孩子们的书写过程,这种题型也是这种题型也是各学校的必考题型.如图,已知EF BC ^,C Ð1=Ð,Ð2+Ð3=180°.证明:AD BC ^.【解析】C Ð1=ÐQ ,(已知)\GD//AC ,(同位角相等,两直线平行) \CAD Ð=Ð2.(两直线平行,内错角相等)A CD BF EABCDEFG123又Ð2+Ð3=180°Q ,(已知)\CAD Ð3+=Ð180°.(等量代换)\AD//EF ,(同旁内角互补,两直线平行) \ADC EFC Ð=Ð.(两直线平行,同位角相等)EF BC ^Q ,(已知) ADC \Ð=90°,\AD BC ^.【提示】平行的性质和判定结合,时间可以留长点.请你分析下面的题目,从中总结规律,填写在空格上,并选择一道题目具体书写证明. (1)如图5-1,已知:AB//CD ,直线EF 分别交AB ,CD 于M ,N ,MG ,NH 分别平分AME Ð,CNE Ð.求证:MG//NH .从本题我能得到的结论是:_____________.(2)如图5-2,已知:AB//CD ,直线EF 分别交AB ,CD 于M ,N ,MG ,NH 分别平分BMF Ð,CNE Ð.求证:MG//NH .从本题我能得到的结论是:_____________.(3)如图5-3,已知:AB//CD ,直线EF 分别交AB ,CD 于M ,N ,MG ,NH 分别平分AMF Ð,CNE Ð,相交于点O .求证:MG NH ^.从本题我能得到的结论是:_____________________.图5-1 图5-2 图5-3【解析】(1)两直线平行,同位角的角平分线平行.A CG EB M H NDFOACGEB MHNDF A CG EBMHNDF(2)证明:∵AB//CD ,∴BMF CNE Ð=Ð,又∵MG ,NH 分别平分BMF Ð,CNE Ð,∴GMF BMFCNE HNM 11Ð=Ð=Ð=Ð22,∴MG//NH , 从本题我能得到的结论是:两直线平行,内错角的角平分线平行. (3)证明:∵AB//CD ,∴AMF CNE Ð+Ð=180°,又∵MG ,NH 分别平分AMF Ð,CNE Ð, ∴GMF HNE AMF CNE 11Ð+Ð=Ð+Ð=90°22,∴MON GMF HNE Ð=180°-Ð-Ð=90°,∴MG NH ^.从本题我能得到的结论是:两直线平行,同旁内角的角平分线垂直.【提示】平行线的性质和判定相结合,练习平行线倒角.二、平行线的构造(1)如图6-1,已知直线a//b ,Ð1=40°,Ð2=60°,则Ð3等于_________.(2)如图6-2,l 1//l 2,Ð1=120°,=Ð2100°,则Ð3=_________.(3)如图6-3,AB//CD ,ABE Ð=120°,ECD Ð=25°,则E Ð=_________.图6-1 图6-2 图6-3【解析】(1)100°;(2)40°;(3)85°.321b aED CBAl 1l 2321【提示】练习基础的平行线倒角模型:铅笔模型和猪蹄模型.(1)如图7-1,AB//CD ,BAFEAF 1Ð=Ð3,FCD ECF 1Ð=Ð3,AEC Ð=128°,则AFC Ð的度数为________.(2)如图7-2,已知:AB//CD ,ABP Ð和CDP Ð的平分线相交于点E ,ABE Ð和CDE Ð的平分线相交于点F ,BFD Ð=54°,则BPD Ð=________,BED Ð=________.图7-1 图7-2【解析】(1)58°;(2)144°;108°. 【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合.(1)如图8-1,AB//CD ,A Ð=32°,C Ð=70°,则F Ð=________.(2)如图8-2,AB//CD ,E Ð=37°,C Ð=20°,则EAB Ð的度数为________.图8-1 图8-2【解析】(1)38°;(2)57°. 【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形.EF A BPCDFD CBEAED CBA如图,直线AC//BD ,连结AB ,直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定线上各点不属于任何部分,规定线上各点不属于任何部分,当动点当动点P 落在某个部分时,落在某个部分时,连结连结P A 、PB ,构成PAC Ð,APB Ð,PBD Ð三个角。

北师大版初一(下)数学第二章相交线与平行线教案:相交线与平行线讲义(含解析)

北师大版初一(下)数学第二章相交线与平行线教案:相交线与平行线讲义(含解析)

北师大版初一(下)数学第二章相交线与平行线教案:相交线与平行线讲义(含解析)把握对顶角和邻补角的概念;把握垂线段的定义及其画法;3.把握三线八角的定义和找法;4.把握平行线的性质与判定.相交线在同一平面内,两条直线的位置关系有_________和________。

(2)相交:在同一平面内,有__________的两条直线称为相交线。

(3)邻补角:①定义:有公共顶点,且有一条公共边,另一条边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为邻补角。

②性质:位置——互为邻角数量——互为补角(两角之和为180°)(4)对顶角:①定义:有一个公共顶点,同时有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角②性质:对顶角相等几何语言:∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3(同角的补角相等)两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:注意点:⑴对顶角是成对显现的,对顶角是具有专门位置关系的两个角;⑵假如∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之假如∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶假如∠α与∠β互为邻补角,则一定有_____________;反之假如∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。

(4)两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。

2.垂线⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做_______。

符号语言记作:如图所示:AB⊥CD,垂足为O垂线性质1:过一点_______________一条直线与已知直线垂直。

垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

简称:_______________。

3.垂线的画法:(1)过直线上一点画已知直线的垂线;(2)过直线外一点画已知直线的垂线。

新北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线知识点梳理汇总一

新北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线知识点梳理汇总一

新北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线知识点梳理汇总一第一篇:新北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线知识点梳理汇总一新北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线知识点梳理汇总一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理(一)余角与补角1、如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角的度数有关,与角的位置无关。

4、余角和补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为:(1)00001290(180),1390(180),∠∠∠∠∠∠则23∠∠∠(同角的余角或补角相相交线与平行线初一全科目课件教案习题汇总语文数学英语历史地理等)。

(2)00001290(180),3490(180),∠∠∠∠∠∠且14,∠∠∠则23∠∠∠(等角的余角(或补角)相等)。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

(二)对顶角1、两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质:对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。

(三)同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。

2、同位角:两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角。

3、内错角:两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角。

初中数学北师大版七年级下册《第2课时平行线的性质》课件

初中数学北师大版七年级下册《第2课时平行线的性质》课件
• 则∠E随+∠堂B的练度数习为__1_8_0_°__.
• (2)如图,已知∠1=∠2=∠3=62°, • 则∠4=__1_1_8_°_____.
• (3)一大门的栏杆如图所示,BA垂直于地面AE于A, CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD=___2_7_0_°__度.
• 3.如图,AB∥CD,AE,DF分别是∠BAD,∠CDA的角平分线,AE与DF平行吗?为何 ?
• •
则A.∠3D随0E°C堂的度B练.数6为习0°(
B
). C.90°
D.120°
• (2) 如图,直线DE经过点A,DE∥BC,
• ∠B=60°,下列结论成立的是( B ).
• A.∠C=60°
B.∠DAB=60°
• C.∠EAC=60°
D.∠BAC=60°
• (3)如图,已知AB∥CD,直线l分别交AB,CD于点E,F,EG
D
根据“内错角相等,两直线平行”,
E
∴EF∥CD.
又∵AB∥CD,
A
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”,
∴ EF∥AB.
C
1
2F
B
例3.如图:已知直线a∥b,直线c∥d,∠1=107°,求∠2,∠3的度数.
解:∵a∥b, 根据“两直线平行,内错角相等”, ∴ ∠2=∠1=107°.
a
21 3
b
典型例题 __∠_D_=__∠_4_;__内__错__角_相__等__,__两__直_线__平__行__;_________________
∠_D_+__∠_3_=__1_8_0_°__;__同_旁__内__角__互__补_,__两__直__线__平_行_______.
A
21 B

北师大数学七年级下册第二章平行线的性质及尺规作图(提高)

北师大数学七年级下册第二章平行线的性质及尺规作图(提高)

平行线的性质及尺规作图(提高)知识讲解【学习目标】1.掌握平行线的性质,并能依据平行线的性质进行简单的推理;2.了解平行线的判定与性质的区别和联系,理解两条平行线的距离的概念;3.了解尺规作图的基本知识及步骤;4. 通过用尺规作图活动,进一步丰富对“平行线及角”的认识.【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等.性质2:两直线平行,内错角相等.性质3:两直线平行,同旁内角互补.要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.要点诠释:(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.要点三、尺规作图1. 定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.要点诠释:(1)只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.(2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上面画刻度.(3)圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度.2.八种基本作图(有些今后学到):(1)作一条线段等于已知线段.(2)作一个角等于已知角.(3)作已知线段的垂直平分线.(4)作已知角的角平分线.(5)过一点作已知直线的垂线.(6)已知一角、一边做等腰三角形.(7)已知两角、一边做三角形.(8)已知一角、两边做三角形.【典型例题】类型一、平行线的性质1.(2015春•荣昌县期末)如图,已知射线AB与直线CD交于点O,OF平分∠BOC,OG⊥OF 于O,AE∥OF,且∠A=30°.(1)求∠DOF的度数;(2)试说明OD平分∠AOG.【思路点拨】(1)根据两直线平行,同位角相等可得∠FOB=∠A=30°,再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°,然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解;(2)先求出∠DOG=60°,再根据对顶角相等求出∠AOD=60°,然后根据角平分线的定义即可得解.【答案与解析】解:(1)∵AE∥OF,∴∠FOB=∠A=30°,∵OF平分∠BOC,∴∠COF=∠FOB=30°,∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°;(2)∵OF⊥OG,∴∠FOG=90°,∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°,∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°,∴∠AOD=∠DOG,∴OD平分∠AOG.【总结升华】本题考查了平行线的性质,对顶角相等的性质,垂线的定义,(2)根据度数相等得到相等的角是关键.举一反三:【变式】(2015•青海)如图,直线a∥b,直线l与a相交于点P,与直线b相交于点Q,且PM垂直于l,若∠1=58°,则∠2=.【答案】32°类型二、两平行线间的距离2.下面两条平行线之间的三个图形,图的面积最大,图的面积最小.【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半;两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同,所以可以通过比较平行四边形的底的长短,得出平行四边形面积的大小.【答案】图3,图2【解析】解:因为它们的高相等,三角形的底是8,8÷2=4,梯形的上、下底之和除以2,(2+7)÷2=4.5;5>4.5>4;所以,图3平行四边形的面积最大,图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质,得出梯形、三角形、平行四边形的高相等,求出三角形底的一半,梯形上、下底之和的一半,与平行四边形的底进行比较,由此得出正确答案.举一反三:【变式】下图是一个方形螺线.已知相邻均为1厘米,则螺线总长度是厘米.【答案】35类型三、尺规作图3. 如图所示,已知∠α和∠β,利用尺规作∠AOB,使∠AOB=2(∠α-∠β).【答案与解析】作法:如图所示.(1)作∠COD=∠α;(2)以射线OD为一边,在∠COD•的外部作∠DOA,使∠DOA=∠α;(3)以射线OC为一边,在∠COA的内部作∠COE,使∠COE=∠β;(4)以射线OE为一边,在∠EOA内部作∠EOB,使∠EOB=∠β,则∠AOB就是所求作的角.【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角,本题的做法有两种:一种可以先做倍数角再做差角,如本题提供的答案;另一种也可以先做差角再做倍数角.4. (苏州中考模拟)如图所示,在长为50m,宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m 的道路,余下的部分种植花草,求种植花草部分的面积.【思路点拨】因种植花草部分比较分散,且有的是不规则的图形,所以直接求其面积较困难.因小路都是宽度相同的长方形,所以可想到把小路平移到一起,这样种植花草部分将汇集成一个长方形,问题便迎刃而解.【答案与解析】解:如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘,则种植花草部分汇集成一个长方形,显然,这个长方形的长是50-2=48(m),宽是22-2=20(m),于是种植花草部分的面积为48×20=960(m2).【总结升华】若分步计算则较繁琐.但采用“平移”的手段从整体上把握,问题便迅速求解.举一反三:【变式】如图①,在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地.根据图中数据,可得耕地的面积为()A.600m2B.551m2C.550m2D.500m2【答案】B类型四、平行的性质与判定综合应用5.(黄冈调考)如图所示,AB∥CD,分别写出下面四个图形中∠A与∠P,∠C的数量关系,请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明.【思路点拨】过P点作AB的平行线,问题便会迅速得到求解.【答案与解析】解: (1)∠A+∠C=∠P;(2)∠A+∠P+∠C=360°;(3)∠A=∠P+∠C;(4)∠C=∠P+∠A.现以(3)的结论加以证明如下:如上图,过点P作PH∥AB ,因为AB∥CD,所以PH∥AB∥CD.所以∠HPA+∠A=180°,即∠HPA=180°-∠A;∠HPA+∠P+∠C=180°,即180°-∠A+∠P+∠C=180°,也即∠A=∠P+∠C.【总结升华】随着折点的不同,结论也会不同,但解法却如出一辙.都是过折点作平行线求解.举一反三:【变式1】如图,AB∥CD,∠ABG=42°,∠CDE=68°,∠DEF=26°.求证:BG∥EF.【答案】如图,分别过点G、F、E作GP∥AB,FQ∥AB,ER∥CD,又因为AB∥CD,所以AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ.∴∠1=42°,∠2=∠3,∠4=∠5,∠5+26°=68°,∴∠5=68°-26°=42°,且∠4=∠5=42°.∴∠1+∠2=42°+∠2;∠4+∠3=42°+∠3.∴∠1+∠2=42°+∠3,即∠BGF=∠GFE.∴BG∥EF.【变式2】如图所示,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是().A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】D平行线的性质及尺规作图(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 若∠1和∠2是同旁内角,若∠1=45°,则∠2的度数是()A.45°B.135°C.45°或135°D.不能确定2.(2016•安徽模拟)如图AB∥CD,∠E=40°,∠A=110°,则∠C的度数为()A.60° B.80°C.75° D.70°3.(湖北襄樊)如图所示,已知直线AB∥CD,BE平分∠ABC,交CD于D,∠CDE=150°,则∠C的度数为()A.150°B.130°C.120°D.100°4.如图,OP∥QR∥ST,则下列等式中正确的是()A.∠1+∠2-∠3=90°B.∠2+∠3-∠1=180°C.∠1-∠2+∠3=180°D.∠1+∠2+∠3=180°5. 如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD,且交EF于点O,则与∠AOE相等的角有()A.5个B.4个C.3个D.2个6.(湖北潜江)如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于()A.23°B.16°C.20°D.26°7.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,把线段EF向右平移3个单位,向下平移1个单位得到线段GH,则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是()A.3:4 B.5:8 C.9:16 D.1:2二、填空题8.(2016春•江苏月考)如图,BC∥DE,AD⊥DF,∠l=30°,∠2=50°,则∠A=.9.如图所示,AB∥CD,若∠ABE=120°,∠DCE=35°,则有∠BEC=________.10.(四川攀枝花)如图,直线l1∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3=.11.一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B,再向南偏西80°方向走了3m到点C,那么∠ABC的度数是________.12.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是_.13.如图,已知ED∥AC,DF∥AB,有以下命题:①∠A=∠EDF;②∠1+∠2=180°;③∠A+∠B+∠C=180°;④∠1=∠3.其中,正确的是________.(填序号)三、解答题14.如图所示,AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C,则∠1和∠2什么关系?并说明理由.15.已知如图(1),CE∥AB,所以∠1=∠A,∠2=∠B,∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.这是一个有用的事实,请用这个结论,在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线,求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.16.(2015春•澧县期末)已知如图,AB∥CD,试解决下列问题:(1)∠1+∠2=;(2)∠1+∠2+∠3=;(3)∠1+∠2+∠3+∠4=;(4)试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D;【解析】本题没有给出两条直线平行的条件,因此同旁内角的数量关系是不确定的. 2. 【答案】D;【解析】∵AB∥CD,∴∠A+∠AFD=180°,∵∠A=110°,∴∠AFD=70°,∴∠CFE=∠AFD=70°,∵∠E=40°,∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°,故选D .3. 【答案】C ;【解析】解:如图,∠3=30°,∠1=∠2=30°,∠C =180°-30°-30°=120°.4. 【答案】B ;【解析】反向延长射线ST 交PR 于点M,则在△MSR 中,180°-∠2+180°-∠3+∠1=180°,即有∠2+∠3-∠1=180°.5. 【答案】A【解析】与∠AOE 相等的角有:∠DCA ,∠ACB ,∠COF ,∠CAB ,∠DAC .6. 【答案】C ;【解析】解:∵AB ∥EF ∥CD ,∠ABC =46°,∠CEF =154°,∴∠BCD =∠ABC =46°,∠FEC +∠ECD =180°,∴∠ECD =180°—∠FEC =26°,∴∠BCE =∠BCD —∠ECD =46°—26°=20°.7. 【答案】B ;【解析】=22+312=10S ⨯⨯⨯阴,=44=16S ⨯正ABCD ,所以ABCD S =10:165:8S =正阴:.二.填空题8. 【答案】70°;【解析】∵AD⊥DF,∴∠ADF=90°.∵∠1=30°,∴∠ADE=90°﹣30°=60°.∵BC∥DE,∴∠ABC=∠ADE=60°,∵△ABC 中,∠ABC=60°,∠2=50°,∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°.故答案为:70°.9.【答案】95°;【解析】如图,过点E 作EF ∥AB .所以∠ABE +∠FEB =180°(两直线平行,同旁内角互补),所以∠FEB =180°-120°=60°.又因为AB ∥CD ,EF ∥AB ,所以EF ∥CD ,所以∠FEC =∠DCE =35°(两直线平行,内错角相等),所以∠BEC =∠FEB +∠FEC =60°+35°=95°.10.【答案】60°;【解析】解:如图所示:∵l 1∥l 2,∠2=65°,∴∠6=65°,∵∠1=55°,∴∠1=∠4=55°,在△ABC中,∠6=65°,∠4=55°,∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°.11.【答案】20°;【解析】根据题意画出示意图,可得:∠ABC=80°-60°=20°.12.【答案】内错角相等,两直线平行;13.【答案】①②③④;【解析】由已知可证出:∠A=∠1=∠3=∠EDF,又∠EDF与∠1和∠3互补.三.解答题14.【解析】解:∠1=∠2.理由如下:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),∴∠ADB=∠EFB=90°.∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行),∴∠1=∠4(两直线平行,同位角相等).又∵∠3=∠C(已知),∴AC∥DG(同位角相等,两直线平行).∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等),∴∠1=∠2.15.【解析】解:如图,过点D作DE∥AB交BC于点E.∴∠A+∠2=180°,∠B+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵∠3=∠1+∠C,∴∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=360°,即∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°.16.【解析】解:(1)∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补);(2)过点E作一条直线EF平行于AB,∵AB∥CD,∵AB∥EF,CD∥EF,∴∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,∴∠1+∠2+∠3=360°;(3)过点E、F作EG、FH平行于AB,∵AB∥CD,∵AB∥EG∥FH∥CD,∴∠1+∠AEG=180°,∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠4=180°;∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°;(4)中,根据上述规律,显然作(n﹣2)条辅助线,运用(n﹣1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可得到n个角的和是180°(n﹣1).。

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线复习课件

北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线复习课件
cm。 3.A、B两点间的距离等于 5cm。
因为S△ABC = 1/2 AB×CD 所=以C1D=/2.24cmAC×BC
4.你能求出点C到AB的距离吗?你是
怎样做的?小组合作交流.
等面积法
三线八角:
C
两条直线AB与CD被第三条
3
E 1
直线EF所截,形成:
75
D
(2)
解:∵AD//BC(已知)
∴∠2+∠4=180°
A1
D
4
(两直线平行,同旁内角互补) 2
3
又∵∠1=∠4(对顶角相等)
B
C
∴∠1+∠2=180°(等量代换)
已知AB∥CD,E为平面内一点(E不在AB和CD
上),连接AE,CE,探索∠AEC与∠A,∠C之间
的关系。
情况1
E在AB与CD之间且向内凹
的度数。
DC
1 25 7
3 46 AE B
16.如图,两平面镜所成的角为 ∠1,一束光线由点P发出,经 OB,OA两次反
后(,1∠)1=P1Q2与0°R∠CP平Q行B吗=4?0° B
变式 P
(2)要使 PQ与RC平行 Q
C
必须改变∠1和∠PQB任何一个角的度
数,问要改变哪一个角?这个角改变
后度数是多少?
EB与AD一定平行吗?”。 ❖小王说“一定平行”;
D
E1
❖而小李说“不一定平行”。
❖你更赞同谁的观点?
❖为什么?
A
B
C
E2
操作与解释
二、强化知识、技能训练
1.(1)若∠1=50 °,
则∠2 =___5_0_°__
ED
∠BOC=__1_3_0_°__

(完整版)北师大数学七年级下册第二章平行线的判定(基础)

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平行线的判定(基础)知识讲解【学习目标】1.熟练掌握平行线的画法;2.掌握平行公理及其推论;3.掌握平行线的判定方法,并能运用“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行. 【要点梳理】要点一、平行线的画法及平行公理1.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤:①落:用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠:用直尺紧靠三角板一条直角边.③推:沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画:沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.2.平行公理及推论平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.要点诠释:(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、平行线的判定判定方法1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:∵∠3=∠2∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)判定方法2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:∵∠1=∠2∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.【典型例题】类型一、平行公理及推论1.下列说法中正确的有()①一条直线的平行线只有一条;②过一点与已知直线平行的直线只有一条;③因为a∥b,c∥d,所以a∥d;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A.1个 B 2个C.3个D.4个【答案】A【解析】一条直线的平行线有无数条,故①错;②中的点在直线外还是在直线上位置不明确,所以②错,③中b与c的位置关系不明确,所以③也是错误的;根据平行公理可知④正确,故选A.【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容,要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征,在理解的基础上记忆,在比较中理解.举一反三:【变式】直线a∥b,b∥c,则直线a与c 的位置关系是.【答案】平行类型二、平行线的判定2.(2015秋•龙岗区期末)已知:如图,∠C=∠1,∠2和∠D互余,BE⊥FD于点G.求证:AB∥CD.21GF B【思路点拨】首先由BE⊥FD,得∠1和∠D互余,再由已知,∠C=∠1,∠2和∠D互余,所以得∠C=∠2,从而证得AB∥CD.【答案与解析】证明:∵BE⊥FD,∴∠EGD=90°,∴∠1+∠D=90°,又∠2和∠D互余,即∠2+∠D=90°,∴∠1=∠2,又已知∠C=∠1,∴∠C=∠2,∴AB∥CD.【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定,关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余.举一反三:【变式1】(2016•郑州一模)如图,能判定EC∥AB的条件是()A.∠B=∠ACE B.∠A=∠ECD C.∠B=∠ACB D.∠A=∠ACE【答案】D.提示:A、两个角不是同位角、也不是内错角,故选项错误;B、两个角不是同位角、也不是内错角,故选项错误;C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角,故选项错误;D、正确.【变式2】已知,如图,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1=∠2,求证:AB//CD.【答案】∵∠1=∠2∴ 2∠1=2∠2 ,即∠ABC=∠BCD∴ AB//CD (内错角相等,两直线平行)3.如图所示,由(1)∠1=∠3,(2)∠BAD=∠DCB,可以判定哪两条直线平行.【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”.【答案与解析】解:(1)由∠1=∠3,可判定AD∥BC(内错角相等,两直线平行);(2)由∠BAD=∠DCB,∠1=∠3得:∠2=∠BAD-∠1=∠DCB-∠3=∠4(等式性质),即∠2=∠4可以判定AB∥CD(内错角相等,两直线平行).综上,由(1)(2)可判定:AD∥BC,AB∥CD.【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论,再由这些结论推导出新的结论,直到得出结果.4.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?【答案与解析】解:这两条直线平行.理由如下:如图:∵ b⊥a, c⊥a∴∠1=∠2=90°∴b∥c (同位角相等,两直线平行) .【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.举一反三:【变式】已知,如图,EF⊥EG,GM⊥EG,∠1=∠2,AB与CD平行吗?请说明理由.【答案】解:AB∥CD.理由如下:如图:∵EF⊥EG,GM⊥EG (已知),∴∠FEQ=∠MGE=90°(垂直的定义).又∵∠1=∠2(已知),∴∠FEQ -∠1=∠MGE -∠2 (等式性质),即∠3=∠4.∴AB∥CD (同位角相等,两直线平行).平行线的判定(基础)巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列关于作图的语句正确的是().A.画直线AB=10厘米.B.画射线OB=10厘米.C.已知A,B,C三点,过这三点画一条直线.D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.2.下列判断正确的个数是().①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②两条不相交的直线叫做平行线;③在同一平面内不相交的两条射线是平行线.A.0个B.1个C.2个D.3个3.若直线a∥b,b∥c,则a∥c的依据是().A.平行的性质B.等量代换C.平行于同一直线的两条直线平行D.以上都不对4.下列说法中不正确的是().A.同位角相等,两直线平行.B.内错角相等,两直线平行.C.同旁内角相等,两直线平行.D.在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.5.如图所示,给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法,其依据是().A.同位角相等,两直线平行B.内错角相等,两直线平行C.同旁内角互补,两直线平行D.以上都不对6.(2015•福州)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是()A.B.C.D二、填空题7.两条射线或线段平行,是指 .8.如图所示,直线a,b被c所截,∠1=30°,∠2:∠3=1:5,则直线a与b的位置关系是________.9.(2015春•伊宁市校级月考)如图,(1)要证AD∥BC,只需∠B=,根据是;(2)要证AB∥CD,只需∠3=,根据是.10.如图,已知若∠1+∠2=180°,则∠3+∠4= ,AB CD.11.小军在一张纸上画一条直线,再画这条直线的平行线,然后依次画前一条直线的平行线,当他画到第十条直线时,第十条直线与第一条直线的位置关系是________.12.已知直线a、b都过点M,且直线a∥l,b∥l,那么直线a、b是同一条直线,根据是________.三、解答题13.(2015春•南平期末)已知:如图AB⊥BC,BC⊥CD且∠1=∠2,试说明:BE∥CF.解:∵AB⊥BC,BC⊥CD(已知)∴= =90°()∵∠1=∠2(已知)∴= (等式性质)∴BE∥CF()14.(黄石)已知如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线,∠1=∠2,那么CD与AB平行吗?写出推理过程.15.如图所示,∠1=60°,∠2=60°,∠3=100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度,说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D;2.【答案】A;【解析】①该点若在已知直线上,画不出与已知直线平行的直线;②平行线的定义必须强调在同一平面内,如图①中的AB与CC′不相交,但也不平行.③如图②中,射线AB与射线CD既不相交,也不平行.3.【答案】C;【解析】这是平行线的传递性,其实质是平行公理的推论.4. 【答案】C;【解析】同旁内角互补,两直线平行.5. 【答案】A;【解析】这种作法的依据是:同位角相等,两直线平行.6. 【答案】B;【解析】如图所示:∵∠1=∠2(已知),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故选B二、填空题7. 【答案】射线或线段所在的直线平行;8.【答案】平行;【解析】由已知可得:∠2=30°,所以∠1=∠2,可得:a∥b.9.【答案】∠1,同位角相等,两直线平行;∠2,内错角相等,两直线平行.10.【答案】180°,∥;【解析】∠1=∠3,∠2=4,可得:∠3+∠4=∠1+∠2=180°.11.【答案】平行;【解析】平行公理的推论12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;【解析】这是平行公理的具体内容.三、解答题13.【解析】解:∵AB⊥BC,BC⊥CD(已知),∴∠ABC=∠BCD=90°(垂直的定义),∵∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等式性质),∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行).故答案为:∠ABC;∠BCD;90°;∠3;∠4;内错角相等,两直线平行.14.【解析】解:CD∥AB.理由如下:∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线,∴∠3=12∠ADC,∠2=12∠ABC.∵∠ABC=∠ADC,∴∠3=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠3=∠1.∴CD∥AB(内错角相等,两直线平行).15. 【解析】解:∠4=100°.理由如下:∵∠1=60°,∠2=60°,∴∠1=∠2.∴AB∥CD.又∵∠3=∠4=100°,∴CD∥EF.∴AB∥EF.。

北师大版数学七年级下册第二章3平行线的性质(共77张PPT)

北师大版数学七年级下册第二章3平行线的性质(共77张PPT)

答案 B 如图,
3 平行线的性质
∵∠1=70°,∴∠3=180°-∠1=180°-70°=110°. ∵a∥b,∴∠2=∠3=110°.故选B.
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3 平行线的性质
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2.(2018四川绵阳中考)如图2-3-2,一块含有30°角的直角三角板的两个顶点 放在直尺的对边上.如果∠2=44°,那么∠1的度数是 ( )
A.14°
B.15°
C.16°
图2-3-2 D.17°
3 平行线的性质
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答案 C 如图,根据题意可知∠2+∠3=60°,因为∠2=44°,所以∠3=16°,再 根据直尺的对边平行,可知∠1=∠3=16°.
3 平行线的性质
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3.(2017江苏宿迁中考)如图2-3-3,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=80°,∠2= 100°,∠3=85°,则∠4的度数是 ( )
A.65° C.55°
B.50° D.60°
图2-3-4
3 平行线的性质
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答案 C 如图,∵直角顶点C在直线a上,∠1=35°,∴∠3=55°,∵直线a∥b, ∴∠2=∠3=55°.故选C.
3 平行线的性质
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5.如图2-3-5,点B在∠ADE的边DA上,过点B作DE的平行线BC,如果∠D=49°,
3 平行线的性质
5.如图2-3-12,如果DE∥AB,那么∠A+
=180°或∠B+
根据是
;如果∠CED=∠FDE,那么
根据是
.
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=180°,

,
图2-3-12
答案 ∠AED;∠BDE;两直线平行,同旁内角互补;DF;AC;内错角相等,两直 线平行

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段知识点梳理汇总
1. 平行线的概念
平行线是指两条不相交的直线在同一个平面内,它们永远保持相同的距离,不会相交。

2. 平行线的判定
- 垂直线判定法:如果两条直线与同一直线相交,而且交角为90度(直角),则这两条直线是平行线。

- 同位角相等性质:当一条直线与两条平行直线相交时,同位角相等。

- 内错角性质:当两条平行直线被一条第三线相交时,内错角互补。

- 外错角性质:当两条平行直线被一条第三线相交时,外错角互补。

3. 平行线的性质
- 沿平行线的线段平移不变:两条平行线上的线段进行平移,其平移后的位置关系仍然保持平行。

- 平行线的夹角性质:与平行线相交的两条直线与其所在平行线的夹角对应相等。

- 平行线的比例性质:两条平行线被一条第三线所截,对应线段的比例相等。

4. 平行线的应用
- 平行线在图形中的应用:平行线的性质可以用来解决与图形相关的问题,如求解线段的比值、证明图形的性质等。

- 平行线在实际生活中的应用:平行线的概念和性质在建筑、交通规划等方面有着重要的应用。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与线段的知识点梳理汇总。

总结起来,平行线是指两条不相交的直线在同一个平面内保持相同距离而不相交的性质。

判定平行线可以使用垂直线判定法、同位角相等性质、内错角性质和外错角性质。

平行线的性质包括沿平行线的线段平移不变、夹角性质和比例性质。

平行线的应用包括在图形中求解线段比值和证明图形性质,以及在实际生活中的建筑和交通规划等方面的应用。

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角(知识梳理与考点分类讲解)

北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——用尺规作角(知识梳理与考点分类讲解)1.尺规作图:在几何作图中,只用圆规和没有刻度的直尺来作图,称为尺规作图.2.直尺的功能:(1)在两点间连接一条线段;(2)过平面上的两点画直线;(3)作射线、线段或做延长线.3.圆规的功能:(1)以平面上任意一点为圆心,任意长为半径作圆或圆弧;(2)在直线上截取一条线段,使它等于已知线段.特别提醒:1.尺规作图是一种规定了作图工具,且能够有效地减少误差的较精确的作图方法.2.尺规作图是最基本最常见的作图方法,通常称为基本作图.【考点目录】【考点1【考点2】尺规作一个角等于已知角;【考点3】尺规作角的和与差;【考点4】过直线外一点作已知直线的平行线.【考点1】作特殊角;【例1】(2024上·安徽宿州·七年级校联考期末)利用一副三角尺能画出下列度数的角吗?如何画?试试看.(不要写出做法,要保留作图痕迹)(1)150︒.(2)15︒【答案】(1)作图见分析;(2)作图见分析【分析】(1)选用三角尺画一个60︒的角,再在这个角的外部画一个有公共顶点,有一个公共边的90︒的角即可求解;(2)先用三角尺画一个60︒的角,再在这个角的内部画一个有公共顶点、一条公共边的45︒的角即可求解.︒=︒+︒,(1)解:如图,1506090︒=︒-︒,(2)解:如图,156045【变式1】(2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习)下列各度数的角,能借助一副三角尺画出的是()A.55°B.65°C.75°D.85°【答案】C【分析】一副三角板,度数有:30 、45 、60 、90 ,根据度数组合,可以得到答案.解:利用一副三角板可以画出75 的角,是45 和30 角的组合故选:C.【点拨】本题考查特殊角的画法,审题清晰是解题关键.【变式2】(2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)用一副三角板不能画出的角是().A.75°B.105°C.110°D.135°【答案】C【分析】105°=60°+45°,105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画;75°=45°+30°,75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画;135°=90°+45°,135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画;110°角用一副三角板不能画出.解:105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画;75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画;110°角用一副三角板不能画出;135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面知识点梳理汇总

新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面知识点梳理汇总本文档旨在对新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面的知识点进行梳理和汇总,为学生复和巩固所学内容提供参考。

1. 平行线的性质- 平行线定义:在同一个平面内,不相交且不相交的直线称为平行线。

- 平行线的判定- 直线与直线的判定:若两条直线的斜率相等,则它们平行;若两条直线之间的夹角为180度,则它们平行。

- 直线与平面的判定:若一条直线与平面内的一条直线垂直,则它们平行;若一条直线与平面内的两条相交直线各自垂直,则它们平行。

2. 平行线的性质与定理- 平行线的性质和定理- 平行线性质1:同一条直线上的两点和一条直线上的一点,它们连成的线段是平行线。

- 平行线定理1:若两条直线分别与一组平行线相交,则这两条直线之间的夹角相等。

- 平行线性质2:如果两条直线与同一条平行线相交,则它们之间的夹角相等。

- 平行线定理2:在同位角中,对顶角是相等的;同位角的外角/内角互补。

- 平行线的判定- 平行定理:如果在两条平行直线上各取一点,连接这两点并与两条平行线的一条相交,则它们之间的夹角是对顶角,对顶角是相等的。

- 平行线定理3:若两条直线分别与一组平行线相交,则它们之间的夹角之和为180度。

3. 平面与平面的关系- 平行平面的性质:平行于同一个平面的平面相互平行。

- 平行平面的判定:如果两条平行线分别在两个平面上,则这两个平面平行。

4. 平面内任意三点的判定- 平行线定理4:在同一个平面内,如果两条平行线被一组平行线截断,则它们所截的线段成比例。

- Pappus定理:在同一个平面内,已知两条平行线和一组等长线段,通过连接这两条平行线相应等长线段的两点,所得的线段也是等长的。

以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与平面的知识点梳理汇总,希望对学生复习和巩固所学内容提供帮助。

北师大版数学七年级下册第二章2.3.1平行线的性质课件

北师大版数学七年级下册第二章2.3.1平行线的性质课件
C.120° 所以∠3=115°(等量代换).
1.探索并掌握平行线的性质。
D.130° 1.探索并掌握平行线的性质。
如图,直线a∥b,∠1=60°,∠2=40°,则
2 【2017·宁波】已知直线m∥n,将一块含30°角的 直角三角尺ABC按如图方式放置(∠ABC=30°), 其中A,B两点分别落在m,n上,若∠1=20°, 则∠2的度数为( D ) A.20° B.30° C.45° D.50°
相等. 猜想:交换它们的条件与结论,是否成立?
从而得∠2,∠3,∠4的度数.
(2)两直线平行时,应联想到平行线的三个性质,由
这就将说明∠DAE=∠CAE转化为说明∠
2
A
1
B
F
表达方式:如图,∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
例1 如图,直线a∥b,直线c与a,b相交,∠1=70°, 则∠2的大小是( C ) A.20° B.50° C.70° D.110°
新知小结
本题同时运用“两直线平行,同位角相等”和 “两直线平行,内错角相等”提供了一种说明两个 角相等的新思路.
巩固新知
上述相互转化,从而找到所求角与已知角之间的
已知∠1与∠2是同旁1内角.【若∠210=1507°·,安则∠顺2的度】数 如图,已知a∥b,小华把三角板
表达方式:如图,∵a∥b(已知),
*10.(2019·荆州)已知直线 m∥n,将一块含 30°角的直角三角尺 ABC 按如图方式放置(∠ABC=30°),其中 A,B 两点分别落 在直线 m,n 上,若∠1=40°,则∠2 的度数为( ) A.10° B.20° C.30° D.40°
【点拨】因为直线 m∥n, 所以∠2+∠ABC+∠BAC+∠1=180°. 因为∠ABC=30°,∠BAC=90°,∠1=40°, 所以∠2=180°-30°-90°-40°=20°.
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北师大版第二章平行线讲义平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b。

平行线的性质:平行线之间的距离处处相等.两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:∥相交;∥平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)注意:判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点,两直线相交;②无公共点,则两直线平行;③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)平行线的画法:平行线的画法是几何画图的基本技能之一,在以后的学习中,会经常遇到画平行线的问题.方法为:一“落”(三角板的一边落在已知直线上),二“靠”(用直尺紧靠三角板的另一边),三“移”(沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点),四“画”(沿三角板过已知点的边画直线).平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行平行线的判定两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行简称:同位角相等,两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行简称:内错角相等,两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行简称:同旁内角互补,两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五(平行线公理推论)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行方法六(平行线定义)在同一平面内,不相交的两条直线平行平行线的性质:性质一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等简称:两条直线平行,同位角相等性质二:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等简称:两条直线平行,内错角相等性质三:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补简称:两条直线平行,同旁内角互补两条平行线间的距离:同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两 条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等一、平行线基础【例1】(1)判断:两条直线不相交必平行.(2)平面内不相交的两条射线平行吗?【解析】略【答案】(1)错误 (2)不一定【例2】学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图2:图2从图中可知,小敏画平行线的依据有( )①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等; ③同位角相等,两直角平行;④内错角相等,两直线平行; A .①②B .②③C .③④D .①④【解析】由折纸方法可知,直线a ,b 都和直线c 互相垂直.所以a b ∥,理由是③或④.故选C 【答案】C(4)(3)(1)【例3】如图所示,将一张长方形纸对折三次,则产生的折痕与折痕间的位置关系是()A、平行B、垂直C、平行或垂直D、无法确定【解析】根据平行公理和垂直的定义解答.【答案】∵长方形对边平行,∴根据平行公理,前两次折痕互相平行,∵第三次折叠,是把平角折成两个相等的角,∴是90°,与前两次折痕垂直.∴折痕与折痕之间平行或垂直.故选C.【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解,需要熟练掌握.【例4】在同一平面内,两条直线可能的位置关系是()A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或垂直【解析】在同一平面内,两条直线的位置关系是平行或相交.【答案】根据在同一平面内,两条直线的位置关系是平行或相交.可知A、B都不完整,故错误,而D选项中,垂直是相交的一种特殊情况,故选C.【点评】本题主要考查了同一平面内,两条直线的位置关系,注意垂直是相交的一种特殊情况,不能单独作为一类.【例5】在如图的几何体中,上下底面都是平行四边形,各个侧面都是梯形,那么图形中与AB平行的线段有()A、1条B、2条C、3条D、4条【解析】根据几何体的性质,与AB同方向的棱都与线段AB平行,找出即可.【答案】如图,与AB平行的线段有:CD、A′B′、C′D′共3条.故选C.二、平行公理【例6】下列说法不正确的是()A、过任意一点可作已知直线的一条平行线B、同一平面内两条不相交的直线是平行线C、在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D、平行于同一直线的两直线平行【解析】根据平行线的定义及平行公理进行判断.【答案】A中,若点在直线上,则不可以作出已知直线的平行线,而是与已知直线重合,错误.B、C、D是公理,正确.故选A.【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理,熟练掌握公理、定理是解决本题的关键.【例7】三条直线a、b、c,若a∥c,b∥c,则a与b的位置关系是()A、a⊥bB、a∥bC、a⊥b或a∥bD、无法确定【解析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行”进行分析,得出正确答案.【答案】由于直线a、b都与直线c平行,依据平行公理的推论,可推出a∥b,故选B.【点评】本题考查的重点是平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.【例8】下列命题中真命题是()A、过一点可以画无数条直线和已知直线平行B、如果甲看乙的方向是北偏东60°,那么乙看甲的方向是南偏西30°C、三条直线交于一点,对顶角最多有6对D、与同一条直线相交的两条直线相交【解析】对各选项分析判断后利用排除法求解.【答案】A、过直线外一点可以画一条直线和已知直线平行,故本选项错误;B、如果甲看乙的方向是北偏东60°,那么乙看甲的方向是南偏西60°,故本选项错误;C、三条直线交于一点,对顶角最多有6对,正确;D、与同一条直线相交的两条直线可以相交,也可以平行,故本选项错误.故选C.【点评】本题主要考查几何基础知识,打好基础是走向成功的关键.【例9】下列说法:(1)两点之间的距离是两点间的线段;(2)如果两条线段没有交点,那么这两条线段所在直线也没有交点;(3)邻补角的两条角平分线构成一个直角;(4)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(5)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的是()A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】根据相关的定义或定理,逐一判断,排除错误答案.【答案】(1)两点之间的距离是两点间的线段长度,故(1)错误;(2)如果两条线段没有交点,那么这两条线段所在直线不一定没有交点,故(2)错误;(3)邻补角的两条角平分线一定构成一个直角,故(3)正确;(4)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故(4)正确;(5)同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故(5)错误.其中正确的是2个.故本题选B.【点评】本题主要考查公理定义,熟练记忆公理和定义是学好数学的关键.【例10】下列推理中,错误的是()A、因为AB⊥EF,EF⊥CD,所以AB⊥CDB、因为∠α=∠β,∠β=∠γ,所以∠α=∠γC、因为a∥b,b∥c,所以a∥cD、因为AB=CD,CD=EF,所以AB=EF 【解析】根据相关的定义或定理判断.【答案】A、AB⊥EF,EF⊥CD,答案不确定,有多个答案,AB可能与CD平行,也可能垂直,在空间中也可能异面等,故A选项错误;B、由∠α=∠β,∠β=∠γ,根据角的等量代换可知,∠α=∠γ,故B选项正确;C、由a∥b,b∥c,根据平行线的平行的传递性可知a∥c,故C选项正确;D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF,易知D选项正确;综上所述,答案选A.【点评】主要考查学生对平行公理及推论的运用,注意等量代换的应用.【例11】设a.b.c表示三条直线,下列推理不正确的是()A、∵a∥b,b∥c,∴a∥cB、∵a⊥b,b⊥c,∴a∥cC、∵a∥b,b⊥c,∴a⊥cD、∵a⊥b,b⊥c,∴a⊥c【解析】根据平行公理及公理的推论对各选项分析后利用排除法求解.【答案】A、∵a∥b,b∥c,∴a∥c,是平行公理,正确;B、∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c,是公理的推论,正确;C、∵a∥b,b⊥c,∴a⊥c,是公理的推论,正确;D、应为∵a⊥b,b⊥c,∴a∥c,故本选项错误.故选D.【点评】本题考查了平行公理以及公理的推论,都是需要熟记的知识.【例12】三条不同的直线a、b、c,其中a⊥b,a⊥c,则直线b与直线c的关系是()A、相交B、平行C、垂直D、不确定【解析】根据平行线的性质:垂直于同一直线的两条直线互相平行可知直线b与直线c的关系是平行.【答案】∵a⊥b,a⊥c∴a∥c.故选B.三、平行线的性质与判定∠=∠的是()【例13】下列图形中,由AB CD∥,能得到12ABC D【解析】略 【答案】B .【例14】如图,ABC ∆中CD AB ⊥于D ,DE BC ∥,交AC 与E .过BC 上任意一点F ,作FG AB ⊥于G ,求证:12∠=∠.【解析】略【答案】∵FG AB CD AB ⊥⊥,,∴GF CD ∥ ∴1BCD ∠=∠, ∵DE BC ∥, ∴2BCD ∠=∠, ∴12∠=∠【例15】有一直的纸带,如图折叠时,α∠=_________.DCB A DCB A A BCDDCBA 21122112ABCDGFE 21D CBA【解析】∵AC BD ∥∴30CBE ∠=︒由折叠问题可知:ABC ABD ∠=∠ ∴()118030752ABD ∠=︒-︒=︒ ∵AC BD ∥ ∴75ABD α∠=∠=︒【答案】75︒【例16】如图,AB CD ∥,AD AC ⊥,32ADC ∠=°,则CAB ∠的度数是 .【解析】略 【答案】122°【例17】如图,A B C ,,和D E F ,,分别在同一直线上,AF 分别交CE BD ,于点G H ,.已知C D EGF BHA ∠=∠∠=∠,.求证:A F ∠=∠.α30°EDCBA图1DCBAH BCG FE D A【解析】略【答案】∵EGF BHA ∠=∠,EGF AGC ∠=∠∴BHA AGC ∠=∠ ∴CE BD ∥ ∴C ABD ∠=∠ 又∵C D ∠=∠ ∴ABD D ∠=∠ ∴DF AC ∥ ∴A F ∠=∠【例18】如图,直线l 与直线a ,b 相交.若a b ∥,170∠=°,则2∠的度数是 .【解析】略 【答案】110°.【例19】如图,已知AB CD ∥,CE 平分ACD ∠,且交AB 于E ,118A ∠=︒,则______AEC ∠=.【解析】∵AB CD ∥∴180A ACD ∠+∠=︒图221ba l EBCDA∴62ACD ∠=︒, ∵CE 平分ACD ∠ ∴31ECD ∠=︒ ∵AB CD ∥∴31AEC ECD ∠=∠=︒【答案】31︒.【例20】如图,已知a b ∥,170∠=︒,240∠=︒,则3∠= __________.【解析】略 【答案】70︒【例21】已知:如图3,CD AB ⊥于D ,EF AB ⊥于F ,CD 平分ACB ∠.请找出与BCD∠相等的角.【解析】∵CD 平分ACB ∠(已知),∴BCD ACD ∠=∠(角平分线的定义)∵CD AB ⊥,EF AB ⊥(已知),∴CD EF ∥(垂直于同一直线的两直线平行) ∴AEF ACD ∠=∠(两直线平行,同位角相等),ACD BCD ∠=∠(等量代换) ∴与BCD ∠相等的角有ACD ∠和AEF ∠.【答案】ACD ∠和AEF ∠.b a321CBA 图2FE BDA C【例22】如图,DH EG BC ∥∥,且DC EF ∥,那么图中与BFE ∠相等的角(不包括BFE ∠)的个数是( )A. 2B. 4C. 5D. 6【解析】本题考查平行线的性质,由图形找到与BFE ∠相等的角有DCB ∠,GEF ∠,GAC ∠,HDC ∠,DAE ∠ 【答案】C【例23】如下图,已知:AB CD ∥,ABF DCE ∠=∠,求证:BFE FEC ∠=∠【解析】(法1):如图所示,过点F 作FG AB ∥,过点E 作EH CD ∥,则AB FG HE CD ∥∥∥,则1ABF ∠=∠,4DCE ∠=∠, 23∠=∠,又因为ABF DCE ∠=∠,所以14∠=∠,即BFE FEC ∠=∠(法2):如图所示,延长BF ,DC 相交于G 点,F H GED CB AFED CBA4321ABCD EF∵AB CD ∥,∴ABF BGD ∠=∠ ∵ABF DCE ∠=∠, ∴BGD DCE ∠=∠,∴BG EC ∥,∴BFE FEC ∠=∠如果延长CE ,AB 相交于H 点,如右图,也可用同样的方法证明(法3):如右图所示,连接点B ,C∵AB CD ∥,∴ABC BCD ∠=∠, ∵ABF DCE ∠=∠,∴12∠=∠ ∴BF EC ∥,∴BFE FEC ∠=∠【例24】如下图,已知AB CD ∥,14EAF EAB ∠=∠,14ECF ECD ∠=∠,求证:34AFC AEC ∠=∠【解析】如右图所示,分别过点E ,F 做AB 和CD 的平行线,GABCD EF21ABCD EF D CFEBA易得:AEC EAB ECD ∠=∠+∠444()EAF ECF EAF ECF =∠+∠=∠+∠ AFC FAB FCD ∠=∠+∠333()EAF ECF EAF ECF =∠+∠=∠+∠即有:34AFC AEC ∠=∠【例25】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有几对同位角,几对内错角,几对同旁内角.⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律.【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时,有34=12⨯对同位角,32=6⨯对内错角,32=6⨯对同旁内角;当有4条平行线时,有64=24⨯对同位角,6212⨯=对内错角,6212⨯=对同旁内角;当有5条平行线时,有10440⨯=对同位角,10220⨯=对内错角,10220⨯=对同旁内角.⑶ 当n 条线彼此平行时,被直线m 所截,即1l ∥2l ∥…∥n l ,则共有(1l ,2l )、(1l ,3l )、(1l ,4l )、…(1l ,n l );(2l ,3l )、(2l ,4l )、…(2l ,n l )、…21(,)n n l l --、2(,)n n l l -、1(,)n n l l -共()()()112212n n n n --+-+++=L 对平行线,每对平行线被m 所截,产生4对同位角,2对内错角,2对同旁内角,则共有()()14212n n n n -⨯=-对同位角,()()1212n n n n -⨯=-对内错角,()()1212n n n n -⨯=-对同旁内角.【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截,有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.⑵ 当有3条平行线时,有12对同位角,6对内错角,6对同旁内角;21ABCDEF ABEFCD当有4条平行线时,有24对同位角,12对内错角,12对同旁内角;当有5条平行线时,有40对同位角,10220⨯=对内错角,10220⨯=对同旁内角. ⑶ 当n 条线彼此平行时,被直线m 所截,即1l ∥2l ∥…∥n l ,则共有()12n n -对平行线,每对平行线被m 所截,产生4对同位角,2对内错角,2对同旁内角,则共有()21n n -对同位角,()1n n -对内错角,()1n n -对同旁内角四、图形的平移【例26】如图,△ABC 经过怎样的平移得到△DEF ( )A 、把△ABC 向左平移4个单位,再向下平移2个单位B 、把△ABC 向右平移4个单位,再向下平移2个单位C 、把△ABC 向右平移4个单位,再向上平移2个单位D 、把△ABC 向左平移4个单位,再向上平移2个单位【解析】根据平移的性质可知,图中DE 与AB 是对应线段,DE 是AB 向右平移4个单位,再向上平移2个单位得到的.【答案】由题意可知把△ABC 向右平移4个单位,再向上平移2个单位得到△DEF .故选C . 【点评】本题主要考查了平移的性质,观察图象,分析对应线段作答.【例27】作图题:在方格纸中,将△ABC 向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1,画出△A 1B 1C 1.【解析】分别找出△ABC向右平移3个单位后对应的关键点,然后顺次连接即可.【答案】如下图所画△A1B1C1即为所求.【点评】本题考查了平移变换中的作图问题,属于基础题,关键是找出平移后的关键点.【例28】将∥ABC沿AD平移,A点平移到点D,画出平移后的∥DEF.【解析】连接AD,过B、C分别做AD的平行线,并且在平行线上截取BE=CF=AD,连接ED,EF,DF,得到的△DEF即为平移后的△DEF.【答案】.【点评】用到的知识点为:平移前后的图形的对应点的连线平行且相等.课后作业1.如右图,△DEF是由△ABC平移得到的,AD=4cm,DF=7cm,那么DC=cm.【解析】根据平移的性质得出AC=DF,再利用AD=4,DF=7,即可求出DC的长.【答案】∵将△ABC沿射线AC平移得到△DEF,AD=4,DF=7,∴AC=DF,∴DC=AC﹣AD=DF﹣AD=7﹣4=3.故答案为:3.【点评】此题主要考查了平移的性质,根据题意得出AC=DF,DC=AC﹣AD=DF﹣AD=AD=CF是解决问题的关键.2.如图,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,不能判定AB∥CD的条件是()A、∠1=∠2B、∠1+∠2=90°C、∠3+∠4=90°D、∠2+∠3=90°【解析】考查平行线的判定问题,可由同位角,内错角相等及同旁内角互补等,判定两直线平行.【答案】∵AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,A、∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4,同旁内角相等,并不能判定两直线平行,故错误;B、∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即同旁内角互补,可得其平行,故B对;C、D、同B,皆由同旁内角互补,可判定其平行,故C,D都对.故选A.【点评】熟练掌握平行线的判定定理.3.如图所示,若∠1与∠2互补,∠2与∠4互补,则()A、l3∥l4B、l2∥l5C、l1∥l5D、l1∥l2【解析】由已知易得∠1=∠4,然后根据两角的位置关系判断两条被截线的关系.【答案】∵∠1与∠2互补,∠2与∠4互补,∴∠1=∠4(同角的补角相等),∴l1∥l5(内错角相等,两直线平行).故选C.【点评】解决本题的关键是运用补角的性质:同角的补角相等.。

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