有限元第三章 最小势能原理和分片插值
有限元法的基本思想
单元模型构造方法
整体坐标系法 局部坐标系法
Lagrange插值方法 Hermite插值方法
单元模型构造方法
2节点线单元
1. 假设插值多项式
u(x) a0 a1x
u1 u
u2
1
2
x1 x
x2Βιβλιοθήκη ox2. 利用节点值求 a0 和 a1
uu21
a0 a0
a1x1 a1x2
a0
u1x2 x2
① 组合单元 抵抗拉压变形的二维单元+板单元+单元局
部随体坐标系。适合于薄壳单元和中厚壳单 元
常用单元模型
准三维空间单元 ② 壳理论单元
由空间壳理论严格构造的壳单元。适合 于薄壳单元和中厚壳单元
③ 退化单元 由三维实体单元退化成的壳单元。只适 合于中厚壳单元
单元模型构造
有限元法的基本思想 通过单元分片近似，在每个单元内假设 近似函数来分片表示系统的场函数
xx
yy
zz xy
y
z
zx
yz 0
xx
yy
zz
xy
线弹性问题本构方程—平面应力
平面应力状态
xx yy xy
1
E
2
1
0
1 0
1
0 0
2
xx yy xy
De
E
1
2
1
1
0
0
1
0 0 2
线弹性问题本构方程—平面应变
二维问题
平面应变状态
zz 0 xz 0 yz 0 xz 0
插值多项式选择条件
深入分析
E为弹性模量；为泊松比
0 0 0
1 2
计算固体力学第三章_1
8. 可处理大变形和非线形材料带来的非线形问题.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
3 协调模型分析
1. 建立协调模型的一般方法
大部分有限单元,都是根据虚功原理, 或由它导出的能量 原理建立的, 这类单元统称为“协调模型”或“相容模 型”（Conforming model)。
每个节点有三个转动 分量和三个位移分量.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
如图1.4, 用120个节点和297个平面应变三角形单 元模拟. 将对称性应用于整个杆端的一半. 此分析 的目的是找出杆端应力集中最高的位置.
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
TSINGHUA UNIVERSITY
有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
一点的位移列阵： 一点的应变列阵：
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
最小势能原理变分法
最小势能原理变分法
最小势能原理是变分原理的一种，它在所有可能的位移中，真实的位移使得系统总势能取最小值。
这种方法以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题。
变分原理实质上是把求解偏微分方程边值问题转换为求解某一泛函的最小值问题。
对于最小势能原理，变分方程除了满足给定的位移边界条件之外，等价于平衡微分方程和面力边界条件。
在应用变分法求解时，首先计算总势能的一阶变分，并令其为零，得到满足平衡方程和力边界条件的位移场。
具体的操作过程是，通过位移场使总势能泛函取驻值，相当于该位移场对应的应力场满足域内平衡方程和力边界条件。
特别的，若总势能泛函是位移场的凸泛函，驻值即是最值。
因此，最小势能原理和偏微分方程边值问题仅仅是形式的不同，实质是相同的。
它们都是基于能量原理，通过求解某一泛函的最小值（或驻值）来得到满足给定条件的解。
这种方法在弹性力学、结构力学等领域有广泛的应用。
以上信息仅供参考，如有需要，建议咨询专业人士。
第三章变分原理与有限元方法
第三章变分原理与有限元方法1.引言在工程实践中，我们经常面临解决微分方程的问题，如结构力学问题和热传导问题。
变分法和有限元方法是两种常用的数值方法，用于求解这些微分方程。
2.变分原理变分法是一种通过变分问题建立微分方程解的数值近似的方法。
变分法的基本思想是将要求解的微分方程问题转化为一个泛函极小化问题。
在这个问题中，泛函是一个函数，它以一些函数（称为试探函数）为自变量。
通过求取使泛函极小化的试探函数，可以得到微分方程的近似解。
3.最小作用量原理变分法的核心原理是最小作用量原理，也称为哈密顿原理。
该原理指出，真实的系统在任意的微小变分下，其作用量是不变的。
作用量是系统的能量和时间的乘积，用来描述系统的运动轨迹。
根据最小作用量原理，可以得到一个极小化问题，通过对试探函数进行变分，使得作用量取得极小值。
有限元方法是一种通过将实际问题离散化为一个有限个子区域，然后在每个子区域内建立适当的数学模型，并进行逼近求解的方法。
有限元方法的核心思想是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数问题来得到连续问题的近似解。
5.有限元离散化有限元离散化是有限元方法的第一步，通过将连续的问题离散化为一组离散点上的代数问题。
这个过程中，将整个域划分为有限个子区域，即有限元，每个有限元内部的物理变量可以近似为一个简单的函数，比如常数或低阶多项式。
我们在每个有限元中引入一组基函数，将物理变量表示为这组基函数的线性组合。
6.有限元弱型表达有限元弱型表达是有限元方法的关键步骤，通过将原始的微分方程乘以一个试验函数并在整个域上积分，得到一个弱形式的表达式。
这个表达式中包含了未知函数及其导数的积分项，通过解这个弱形式的表达式，可以得到未知函数的近似解。
7.有限元方程组和边界条件通过离散化和弱型表达，可以得到一组线性代数方程组，其中未知数是有限元的节点上的物理变量。
这个方程组可以通过标准的数值方法求解。
边界条件是方程组的一部分，它指定了在边界上的物理变量的值。
有限元变分原理的通俗理解
有限元变分原理的通俗理解有限元变分原理，听起来高大上，其实一说起来，就像咱们日常生活中那些小道理，简单又有趣。
想象一下，咱们在家里做一块拼图，拼图上的每一片都是一小部分。
把这些拼图块合起来，才能看到整体的图案，对吧？有限元方法就像拼图，把一个复杂的问题拆分成很多简单的小块，逐个解决。
这些小块可以是小的三角形、四边形，甚至是更复杂的形状。
你看，问题被拆得稀巴烂，但其实每一块都有它的重要性。
再说了，变分原理就更好玩了。
它就像是一个聪明的数学家，告诉我们：嘿，想要找到最好的解决办法，不妨试试“最小化”这个方法。
听起来简单，可实际上就像是在赛跑，你要找到最短的路线，才能跑得快。
变分原理的核心就是找到一个最优解，这个解就好比是你在迷宫里找到的出口，让你顺利走出困境。
我们把这个过程形象化一下，就像是给每个拼图块都贴上了个标签，告诉它该怎么放，最终组成一个完整的图案。
说到这里，可能有人会问，这个原理到底有什么用呢？其实啊，它的应用广泛得很，建筑、机械、航空，甚至是咱们的手机设计，哪里没有它的影子？就好比你在家里修东西，有了工具箱，啥都能搞定。
比如说，你想设计一座大桥，必须考虑到风、雨、雪等各种因素。
有限元方法就像是一个精密的测量仪器，让你在设计的时候，能够计算出桥的每一部分该承受多大的力量，确保它安全可靠。
你知道吗？在这个过程中，计算机也成了我们的好帮手。
以前，咱们得靠手算，搞得头晕脑胀，现在一台电脑就能轻松搞定。
这就好比你去超市买东西，推着一辆购物车，电脑就是那个购物车，帮你把所有的“小块”都装进去，最后再把它们合并成一个“超市账单”。
所以，有限元变分原理不仅是一个理论，它还是一个实际操作的指南，教会我们如何处理复杂问题。
有限元方法可不是一成不变的，它可以根据不同的需求进行调整。
就像你炒菜，今天想吃辣，明天就可以清淡一些。
它能根据不同的情况，给出不同的解决方案，这让设计师们大开眼界，发挥创意。
比如，你想做个新型的跑车，有限元方法可以帮你测试车身在高速行驶时的稳定性，确保它在赛道上表现优异。
第三章势能极小
势能极小原理的有限元解法
有限元法的出现是从实际结构的直接离 散化开始的，但很快被人们认识到，它 是变分问题里兹解法的一种。由此而巩 固了有限元法的数学基础。
了解有限元法的数学基础
有助于理解方法的数学实质； 有助于扩大可用的函数形式； 有助于扩大方法的应用范围； 有助于估计近似计算得误差。
受外力作用的梁的可能变形曲线 {F}
真实变形曲线
物理意义
若有梁受外力{F}作用而变形，可以设想 在满足变形连续条件的前提下，它有多 种变形曲线的可能，如图中的虚线和实 线所示。但是总有一条变形曲线是真正 的变形曲线。例如，图中实线所示的变 形曲线。其它的满足变形连续条件的可 能变形曲线则是它的接近曲线
按照力学中的一般说法，最小位能原理可叙述 为：与精确解（真实位移）相应的位能小于与 任何其它可能位移相应的位能。 自最小位能原理可知，精确解与其它的变形可 能位移的差别在于是否满足平衡条件，即真实 位移除满足连续条件外还必须满足平衡条件 （包括外力已知的边界条件），而可能位移则 不一定满足这个条件。
元的分片插值，靠单元缩小来逼近真解， 而单元又不是无限小，因此单元内的插值 函数也应满足一定条件，以保证能趋近于 真解，这称为完备性要求。
4．1 相容性
以平面问题为例，有限元分片插值，应使泛 函式(3．1)可以求积，积分式为
求解域剖分为单元之后，选取了单元内连 续的形状函数，则位移{u}和应变{}在单元 内部都是连续的，而单元之间则只允许有一 类间断(有界)。
n
在弹性理论中，泛函п是根据能量守恒原理求得 的能量表达式。如前述的位能表达式，当以位 移为未知函数时，上式是一系列变形可能位移 的线性组合， fi可以理解为形状函数，而ai则是 节点位移。
第三章变分原理与有限元方法
（第三章 变分原理与有限元方法）
蔡中义
变分理论与数值分析方法
第三章 变分原理与有限元方法
泛函的极值函数可以通过求解相应的 Euler 方程（微分方程的边值问题）来获得，另一方面， 也可以通过求解泛函的极值函数获得相应微分方程的解。这就是说，求解微分方程边值问题等价于 求解相应泛函极值问题，这种相关性通常叫做变分原理。把这一原理应用于各类物理问题就构成了 各种物理问题的变分原理，变分原理是以积分形式表达的物理定律，这种积分形式的泛函常常代表 能量，习惯上也把微分方程边值问题转化为泛函极值问题的求解方法叫做能量法，如力学中的最小 势能原理、虚功原理等。
对于 M 中任意的 u u0 ，应有
J[u] J[u0 ] L(u0 ),u0 2 f ,u0
（3.1.3-3）
因为 L 是对称正算子，根据内积的性质，上式可以展开
J[u] L(u0 ),u0 L(u0 ), L(),u0 L(), 2 f ,u0 2 f ,
J[u] L(u),u 2 f ,u
（3.1.3-1） （3.1.3-2）
4
变分理论与数值分析方法
在 u u0 处取极小值。
定理中的泛函 J[u] ，一般称为算子方程的能量泛函。
证明 先证明必要性：
若 u u0 是算子方程（3.1.3-2）的解，则有
L(u0 ) f 0
由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。
从内积的定义可以得到内积的如下性质：
设为 u(P) 、 v(P) 、 u1 (P) 、 u2 (P) 是定义域在 上的连续函数， 、 是任意实数，则 ① 对称性： u, v v, u ② 线性： (u1 u2 ), v u1 , v u2 , v ③ 非负性： u, u 0 ④ u, u 0 u(P) 0 ， P
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元基础-单元和插值函数的构造
2 1
0
l
如引入无量纲坐标
(3.2.5)
其中 l 表示单元长度，则 Lagrange 插值多项式可 表示为：
(3.2.6)
当 n＝2 时，1＝0，2=1，则有
2 1
0
1
当 n＝3，且 x2＝(x1+x3)/2 时， 1＝0， 2＝1/2， 3＝1，则有
如引进另一种无量纲坐标 (3.2.9)
其中 xc＝(x1+xn)/2 是单元中心坐标，则 Lagrange 插值多项式（3.2.3）同样可表示为：
二维 Lagrange 单元和 Hermite 单元均是采用 将沿两个相互正交方向的一维插值函数相乘而得 到
1. Lagrange 矩形单元 考察图示单元
(r,0)
(r,p)
( I, J )
(0,0)
(0,p)
沿 方向插值：
它在第 J 列诸结点上等于 1，而在其它列结点上等于 0。
(r,0)
(r,p)
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
角结点
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
边内结点：
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
边内结点：
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
边内结点：
1
4
9
5
10
8
2
6
7
3
中心结点：
1
4
9
5
10
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。
它将连续的物理问题离散化为有限数量的小区域，通过对每个小区域进行数学建模和计算，最终得到整个问题的近似解。
有限元法在工程、物理学、地质学、生物学等领域都有着广泛的应用。
有限元法的基本原理可以分为以下几个步骤，建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程、后处理。
下面将逐一介绍这些步骤。
首先，建立数学模型。
将实际问题抽象为数学模型是使用有限元法的第一步。
这需要对问题进行合理的假设和简化，以便将其表达为数学形式。
例如，对于结构力学问题，可以假设材料是均匀、各向同性的，结构是线性弹性的。
然后，将问题的几何形状、材料性质、边界条件等信息输入模型中。
其次，离散化。
将连续的问题划分为有限数量的小区域，即有限元。
这需要选择合适的离散化方法和网格划分技术，以确保模型的准确性和计算效率。
通常情况下，问题的复杂性会决定有限元的数量和类型。
然后，建立方程。
利用变分原理或最小势能原理，可以得到问题的弱形式，再通过有限元离散化，得到线性方程组。
这些方程通常是大型、稀疏的，需要采用合适的数值方法进行求解，如直接法、迭代法等。
接着，求解方程。
通过数值计算方法，求解得到方程组的近似解。
在这一步中，需要考虑数值稳定性、收敛性和计算精度等问题，以确保结果的可靠性。
最后，进行后处理。
对求解得到的数值结果进行分析和解释，得出对实际问题有意义的结论。
这包括计算应力、应变、位移等物理量，评估结构的安全性和稳定性，优化设计等。
总之，有限元法是一种强大的数值分析工具，可以有效地解决各种工程和科学问题。
通过建立数学模型、离散化、建立方程、求解方程和后处理，可以得到问题的近似解，并为实际工程和科学研究提供有力的支持。
有限元变分原理
有限元变分原理1有限元变分原理有限元是求解偏微分⽅程的数值⽅法，在数学上属于变分法范畴，是古典的Ritz－Galerkin⽅法与分⽚多项式插值的结合。
古典的Ritz－Galerkin⽅法的试函数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分⽚多项式。
作为变分法的试函数产⽣了很⼤区别：古典的Ritz－Galerkin⽅法的试函数要求域内的连续或平⽅可积且满⾜位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积空间。
有限元法的试函数要求在单元域内连续或平⽅可积，且不⽤考虑位移边界条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代⼊位移边界条件，但是单元间出现了连续性条件，即所谓的平⾯和三维弹性问题的C0连续，和薄板问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin⽅法的试函数是⼀种⼴义函数。
有限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为⼴义导数空间。
2 分⽚检验2.1分⽚检验长期以来在有限元收敛理论中的分⽚检验成为关注的焦点，同时也是⼀个疑难症。
分⽚检验所以倍受关注，是因为它不仅可以⽤于检验单元的收敛性还可以⽤于构造收敛单元，⽽且⼗分⽅便。
分⽚检验的研究⼤致经历了如下三个⾥程。
第⼀，1965年Irons提出了不协调元的分⽚检验条件(Patch Test) [1,2]，这是⼀个通过数值计算检验单元的收敛性的⽅法，可以通过对⼀⼩⽚有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实⽤的检验单元收敛性的⽅法，但是，作为⼀种数值检验的⽅法，在数学和⼒学原理上的提法都不够严密，⽽有限元的单元收敛性⼜是不能回避的问题。
鉴于这个⽅法的有效性和实⽤性，⼈们⼀直对其开展系列的理论研究⼯作。
1972年Strang⾸先给出分⽚检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对⼀个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使⽤很⽅便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分⽚检验⼀直缺少严格的数学证明。
有限元第三章 最小势能原理和分片插值
沿BC：σy=τxy=0 沿CD：σx=τxy=0 沿AD：σy=q,τxy=p
(2) 梁的平面弯曲
总势能和强制边界条件为
v
q(x)
Q M x
1 P (v) EI (v ) 2 q vdx Q v( L) M v ( L) 20 0 v(0) v (0) 0
解法２：基函数取正弦函数
1 L P EI (v ) 2 dx P v( ) 20 4
L
2x 1 ( x) sin , 2 ( x) sin L L
x
4 2 2 4 2 1 2 EIL 1 1 P 2 P 2 4 L L 2
y
PA
rA o
rB x
PB
p 0
（c）
图３－１
最小势能原理：
在所有满足给定位移边界条件和协调条件的位移中，满足平衡条件的位移 使总势能取驻值，若驻值是最小值，则平衡是稳定的。
f(x)
最小势能原理和平衡方程是否等价？ ２. 无限自由度系统 弹性体
荷f(x)。x=0 端固定，x=L 端受端点集中力P。 设位移u(x)满足： (i) u(0)=0 (位移边界条件) (ii) u(x) 在[O, L]上连续（协调条件） (iii) 使总势能取最小值。
③两种描述方法对函数的光滑程度（即 可微性）要求不同。用微分方程描述时 要求u(x) 有连续的二阶导数（记作 u∈C2(0, L)）。而用最小势能原理描述 时，为了保证变形能存在，要求u’(x)平 方可积（记作u∈H１(0, L)）
u (0) 0 EAu ( L) P 0
（位移边界条件） （力边界条件）
第三讲有限元一般过程
e 34
↓ Q6
Q 2e → Q 2 Q 3e → Q 5
K11 K 21 K 31 K 41 K 51 K 61 K 71 K81 K12 K13 K14 K 22 K 23 K 24 K 32 K 33 K 34 K 42 K 43 K 44 K 52 K 62 K 72 K82 K 53 K 63 K 73 K83 K 54 K 64 K 74 K84 K15 K 25 K 35 K 45 K 55 K 65 K 75 K85
e T e b
e s
n
n
e s
{Q} {Pi } = ∑{Q } {P }+ ∑{Q e }T {Pse }+ {Q}T {Pi } +
T n e T n e=1 e b e=1
Q 将 { } , {P } 变换形式写成 将 { } , {P } 变换形式写成 Q
e T
~ {Q}T , {Pbe } ~ {Q}T , {Pse }
∏ ——结构势能
W p ——外力势能，数值上为在假定位移下外力的虚功的负值。
结构弹性应变能可以表示为：
U
——内力势能，即结构弹性应变能
1 1 T T U = ∫∫∫ {ε } { }dV = ∫∫∫ {ε } [D ]{ε }dV σ 2V 2V
v —— 结构或弹性体的体积
外力虚功可以表示为：
{u} {Fb }dV + ∫∫ {u}T {Fs }dA W p = ∫∫∫
四、整体分析 目的： 目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理： 1、计算整个结构的弹性应变能。
n 1 1 eT 1 T ~e ~ T e e U = ∑U = ∑ { } [K ] { }= ∑ {Q} [K ] {Q} = {Q} (∑ [K e ]) {Q} Q Q e=1 2 e =1 e =1 2 2 n e n
最小势能原理
λ λ K = K (i)
(i)T (i) (i)
T
T
轴力单元刚度矩阵
⎡ Cx Cy 0 0 ⎢⎢− Cy Cx 0 0
0 0⎤ 0 0⎥⎥
⎢
λ( i ) T
=
⎢
⎢
0 0
0 1 0 0 0⎥ 0 0 Cx Cy 0⎥⎥
⎢0 ⎢
0
0 −Cy
Cx
0⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 1⎥⎦
轴力单元刚度矩阵
⎢⎢u2
⎥ ⎥
⎡ S1 ⎤
⎢ ⎢
S2
⎥ ⎥
u(i)
=
⎢⎢⎢uu43
⎥ ⎥ ⎥
S (i)
=
⎢ ⎢ ⎢
S3 S4
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎢u5
⎥ ⎥
⎢ ⎢
S5
⎥ ⎥
⎢⎣u6 ⎥⎦
⎢⎣S6 ⎥⎦
⎡ 1 0 0 −1 0 0⎤
⎢ ⎢
0
00
0
0 0⎥⎥
K (i)
=
AE l
⎢0 ⎢⎢−1
0 0
0 0
0 1
0 0⎥ 0 0⎥⎥
−
6EI l2
⎥ ⎥
4EI ⎥
l ⎥⎦
局部坐标系中的单元刚度矩阵
单元刚度矩阵是对称矩阵； 单元刚度矩阵是奇异矩阵； 刚度元素Kij的物理意义是，当单元仅在 第j个方向上有一个单位位移时，在第i个方 向上产生的杆端力的大小。
斜杆单元刚度矩阵
整体坐标系中的单元刚度矩阵
在整体分析时，各单元需要统一的坐 标系——整体坐标系。
0⎤ 0⎥⎥
(i)
K
=
AE
⎢ ⎢
l⎢
0 − Cx2
有限元插值函数总结
13 6 2
7
(i = 5, 6,9,10) (i = 7,8,11,12)
∑l
k =0
n
n k
(ξ ) = 1
why ?
φ = ∑ lkn (ξ )φk
k =0
n
2. 二维Lagrange多项式
对所有的点沿着两个方向编号，设第i个点对应的编号为 (I,J)，其对应的插值函数为： N i ≡ N IJ = lIn (ξ )lJm (η )
1 (0,m) (I,J) (n,m) 1
6
8
ˆ N 1
4 7 3
N5
4 8 7
N8
3
8 1.0 1 5 2
6 1.0 1 5 2
6
ˆ −1 N N 1 5 2
1 1 ˆ N1 − N5 − N8 2 2
位移函数的特点(边上节点为p+1个)： 一个方向一次乘以另一个方向的p次Lagrange多项式 在Pascal三角形中的分布
1 ξ ξ2 ξ2η ξp ξpη ξηp η
4 (-1,1) η 3 (1,1)
ξ 1 (-1,-1) 线性 2 (1,-1)
1 N i = (1 + ξ 0 )(1 + η0 ) 4 其中 ξ 0 = ξξi η0 = ηηi
(i = 1, 2,3, 4) (ξi ,ηi )为节点i的自然坐标
4 7 8 5 1 二次 6
3
2
1 角节点：N i = (1 + ξ0 )(1 + η0 )(ξ 0 + η0 − 1) (i = 1, 2,3, 4) 4 边中点： 1 (ξi = 0, i = 5, 7) N i = (1 − ξ 2 )(1 + η0 ) 2 1 N i = (1 + ξ 0 )(1 − η 2 ) (ηi = 0, i = 6,8) 2
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解法２：基函数取正弦函数
1 L P EI (v ) 2 dx P v( ) 20 4
L
2x 1 ( x) sin , 2 ( x) sin L L
x
4 2 2 4 2 1 2 EIL 1 1 P 2 P 2 4 L L 2
第三章 最小势能原理和分片插值
(有限单元方法的核心内容之一)
在这一章中我们将介绍： • 最小势能原理及具体应用； • 同一力学问题的几种不同的表达方式及它们之间的联系； • Ritz方法在单元内的应用 • 两种最常用的插值形式（Lagrange型和 Hermite型）； • 协调的位移型单元的收敛条件。
y, v
n
q(x) A
n
D (fx, fy)
P(x)
n
(能量泛函)
T
u f x u p tdxdy tdx f v v q y AD
u∣AB=v∣AB=0 x 1 1 T E T E T E T E 0 2 2 y dxdy dxdy L X ds
LX LY -1 0 0 -1 1 0 0 1
T
T
以及沿边AB：δu=δv=0 则(3-1-5)对任意δu,δv都成立的充分必要条件为：
x 0 y
0 y x
T
x fx y 0 f y yx
u f x u p E tdxdy) tdxdy tdx v f y v q AD (3-1-5) T 0 T x L 0 T x X f u u p x y tdxdy 0 LY y tds tds 0 v q y f y v AD L L Y X yx yx 略去了积分过程 x AB BC CD DA ，外法线 n的方向余弦为
EAu
f 0
用最小势能原理描述时，要求函数满 足位移边界条件 u (0) 0 而力边界条 件将作为势能取驻值的自然结果。
EAu ( L) P 0
① 由势能取驻值可以推出平衡方程。 反之也对，说明两种描述方法在力学上等 价。 ② 两种描述方法对边界条件的要求 不同。用微分方程描述时，u必须满足： EAu f 0 （平衡方程）
（Essential Boundary Condition） (Natural Boundary Condition )
(2) 平面应力问题
正方形区域边长为a，厚度为t，受到体积力 (fx, fy), 边界AB固定。边界BC、CD自由。边界AD的法向 力为q(x)，切向力为p(x)。
T 1 P u, v E tdxdy 2 T
格林公式
（其中LX，LY 为区域Ω之边界Г 的外法线 n 的方向余弦）。
总势能πP 的驻值条件为：
P (
1 2
T
T x u 0 v y 注意到沿边界Г
沿BC：σy=τxy=0 沿CD：σx=τxy=0 沿AD：σy=q,τxy=p
(2) 梁的平面弯曲
总势能和强制边界条件为
v
q(x)
Q M x
1 P (v) EI (v ) 2 q vdx Q v( L) M v ( L) 20 0 v(0) v (0) 0
③两种描述方法对函数的光滑程度（即 可微性）要求不同。用微分方程描述时 要求u(x) 有连续的二阶导数（记作 u∈C2(0, L)）。而用最小势能原理描述 时，为了保证变形能存在，要求u’(x)平 方可积（记作u∈H１(0, L)）
u (0) 0 EAu ( L) P 0
（位移边界条件） （力边界条件）
A NA
（a）
T
T’
B NB PB
y
PA
(1) 平衡方程 (2) 虚位移原理
A:
X 0 Y 0
B:
p A rA pB rB T AB 0
X 0 o Y 0 T k l0 AB
A T
x
（b）
T’
B
1 2 (3) 总势能取驻值 p k AB l 0 p A y A p B y B 2
P (u u) P (u) 0
L
的充分必要条件是：
L
对任意满足(3-1-2)的δu(x) 有：
P EAu u dx f udx Pu L 0
0 0
(3-1-3)
u ( P EAu u dx f udx Pu L 0
考察两总势能函数之差
1 P (u u ) P (u ) EAu u dx f udx Pu L EA(u ) 2 dx 20 0 0 1 P EA(u ) 2 dx 20
L
L
L
L
因πP(u) 取最小值，即
0 L
EI v
xL
Q v( L) 0
(3-1-7)
使(3-1-7)对任意δv(x) 都成立的充分必要条件是：
EIv q 0
EIv ( L) M 0 EIv Q 0
xL
（平衡方程）
（自然边界条件）
微分方程的阶数为４。关于v’’、v’’’ 的边界条件为自然边界条件，关于v、v’ 的边界条件为强制边界条件。当用微分方程描述时要求v(x)有四阶的连续导 数[v∈C4(0,L)]。用最小势能原理描述时，为保证变形能存在，只要求v’’(x) 平方可积[v∈H2(0,L)]。 本节讨论的三个例题，可作为维数不同，阶数不同的问题的代表。现把一 些重要结论归纳如下表。其中，“方程阶数”是以位移为基本未知量来计算 ，“可微性要求”是对最小势能原理而言的。 问题 杆的拉伸 平面问题 梁的弯曲 方程阶数 ２ ２ ４ 强制边界条件 关于u 的边界条件 关于u, v 的边界条件 关于 v, v’ 的边界条件 协调条件 u 连续 u, v 连续 v, v 连续 可微性要求 u’ 平方可积 u’, v’ 平方可积 v’’ 平方可积
B O
x, u
n
C
图
0 u y v x
T
3-3
x y xy
x
x
dxdy dxdy LY ds y y
11 2 2 n n
(iii) 将试探函数作为近似解代入描述问题的能量泛函中，由泛函取驻值， 即
P P P 0, 0, 0, 1 2 n
A
v L/4
P
定出系数α1~αn。从而得到近似解。 以简支梁为例，求解在集中力P作用下的变形
§3-2 Ritz法 (有限元方法的基础之一)
由于有限单元方法可以理解为在单元（子域）内应用的Ritz法。Ritz法是一 种求近似解的常用方法，它的基本步骤是：
(i) 选一组满足强制边界条件、协调条件和可微性要求的基函数
1 , 2 , n
(ii) 假定近似解（试探函数trial function）的形式为
0
(3-1-3)
若假定 u’’(x) 存在、连续，则对（3-1-3）分部积分一次，并利用（3-1-2）, 可得到
EAu 0
L
f udx EAu ( L) Pu ( L) 0
（平衡方程） （力边界条件）
(3-1-4)
(3-1-4) 式对任意δu(x) 都成立的充分必要条件是：
y
PA
rA o
rB x
PB
p 0
（c）
图３－１
最小势能原理：
在所有满足给定位移边界条件和协调条件的位移中，满足平衡条件的位移 使总势能取驻值，若驻值是最小值，则平衡是稳定的。
f(x)
最小势能原理和平衡方程是否等价？ ２. 无限自由度系统 弹性体
荷f(x)。x=0 端固定，x=L 端受端点集中力P。 设位移u(x)满足： (i) u(0)=0 (位移边界条件) (ii) u(x) 在[O, L]上连续（协调条件） (iii) 使总势能取最小值。
L L
Ｏ
Ｐ
x, u
Ｌ
图 3-2
(1) 轴向受拉的直杆。 设杆长为Ｌ，截面积为Ａ，弹性模量为 E 轴向分布载
总势能=变形能—外力之功
1 p (u ) EA(u ) 2 dx f udx P u ( L) 20 0
(3-1-1)
u(x)即为该问题的解
设：u(x)+δu(x)为不同于u(x) 的另外一种位移分布函数，也满足上述的位移边界条件和 协调条件 ，则
B
C L
x
解法１ 基函数取多项式
1 ( x ) x ( L x ) 2 ( x) x 2 ( L x)
1 P 7 PL 1 , 2 64 EI 128 EI
vx 11 ( x) 2 2 ( x) 7 PL 1 PL 2 x( L x) x ( L x) 128 EI 64 EI
P 0 1 P 0 2
u( x) u( x)x0 u(0) u(0)
将u(x)+δu(x)代入总势能函数