勾股定理与美国总统

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勾股定理的三种不同证明方法

勾股定理的三种不同证明方法勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。

实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。

1．中国方法画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。

这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。

从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。

左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。

右图剩下以c为边的正方形。

于是a2+b2=c2。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。

既直观又简单，任何人都看得懂。

2．希腊方法直接在直角三角形三边上画正方形，如图。

容易看出，△ABA’≌△AA’’ C。

过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。

由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。

同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。

勾股定理奇闻异事

勾股定理奇闻异事历史的误会大约在公元前l100年左右，我国周朝初年，周武王的弟弟周公与数学家商高进行了一次伟大的历史性对话。

周公问商高：“听说您对数很精通，请问古代伏羲如何测定天体的位置?要知道天是不可能用梯子攀登上去的，地也无法用尺子来测量，请问数是从哪里来的呢?”商高回答说：“数的方法是从研究圆形和方形开始的，圆形是由方形产生的，而方形又是由折成直角的矩尺产生的。

在研究矩形前需要知道九九口诀。

设想把一个矩形沿对角线切开，使得短直角边(勾)长为3，长直角边(股)长为4，斜边(弦)长则为5。

以弦为边作一正方形，并用四个与上述直角三角形一样的半矩形把它围成一个方形盘。

从它的总面积49中，减去由勾股弦均分别为3、4、5的四个直角三角形构成的2个矩形的面积24，便得到最初所作正方形的面积25。

这种方法称为‘积矩’。

”这个故事记载于我国古代“算经十书”之一的《周髀算经》，其含义就是对直角三角形(图1．1)的特例即勾3、股4、弦5作出了直观的、简捷易懂的说明，它表明世界上最早发现并深入研究勾股定理的历史可以追溯到我国的周朝时期。

然而，在西方，直到公元前6世纪，古希腊数学家、天文学家、哲学家毕达哥拉斯才发现了“直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方”，千百年来，西方人却把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。

殊不知，历史的真相是毕达哥拉斯的发现晚了中国人的发现500—600年。

这种历史的误会不能不令人感到十分遗憾!“弦图”与勾股定理对于商高所说的“积矩”，三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，以我国古代证明几何问题的一种独特方法——割补原理，做了进一步的直观演算。

他画“弦图’’，将图形的各部分分别涂以不同的颜色，然后经过适当地拼补搭配，使其“出入相补，各从其类”，如图1．2所示。

图1．2赵爽的“弦图”商高的“积矩”可用现代数学表述为：如图1．3所示，把矩形ADBC用对角线AB分成两个直角三角形，然后以AB为边长作正方形BMNA，再用与直角三角形BAD相同的三角形把这个正方形围起来，形成一个新的正方形(方形盘)DEFG，其面积为(3+4)2=49，而这四个直角三角形的面积等于两个矩形ADBC的面积之和，即2×3×4=24。

勾股定理的史料及应用

勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。

那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。

所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。

其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。

”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。

其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。

所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。

书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。

勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的几种证明方法我们刚刚学了勾股定理这重要的知识，老师告诉我们，勾股定理的证明方法非常得多，其数量之大足可以撰写出一部书来，我对知识的探求欲望被激发了出来，随即到网络上查找了勾股定理的证明方法，现在我收集到了几种。

【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+.这是课本上面为我们提供的毕达哥拉斯的证明方法，我在网络上查阅资料发现：毕达哥拉斯是西方公认的发现勾股定理的数学家，因此，我们可以在外国的一些资料上发现，勾股定理在西方被称为毕达格拉斯定理。

【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.这个证明对我来讲也很好理解，它利用了全等三角形的性质和因式分解的知识，这对于我们初二的学生来说，是能够领会的。

总统证法勾股定理

总统证法勾股定理
勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是古希腊数学家毕达哥拉斯第一次提出的定理。

勾股定理的全称是“如果一条三角形的三条边中，两边之和大于第三边，则这三角形
存在，且满足以下关系：
即：两边长之平方和等于第三边长的平方，令：
a2 + b2 = c2
a,b,c均为正数，则称此式为勾股定理。

历史上，勾股定理是西方数学发展的重要里程碑，是西方科学思想的重要组成部分。

此定理也被用于一般复等边三角形，与古希腊数学家勃拉姆斯发现的相关现象。

勾股定理也被作为一个拓展而应用于更多的场合，比如用于求解方程，设计数学模型，精算等。

举例来说，2005 年美国总统布什敦促对更多科学数学课程实施标准化改革，其
中就包括勾股定理。

当布什总统宣布改革政策在2005年的科学、技术、工程和数学学科的教育中必须包
括鼓励学生掌握勾股定理的概念时，他其实也奠定了更广阔的思维视野，因为他以数学和
理科学科为中心，用它开发学生创新和发现能力。

勾股定理在现在的数学领域仍被广泛使用。

它可以用于证明各种数学概念，比如计算
图形的长度、计算复等边三角形的三边长、计算两点之间的距离、计算数学形状的锣鼓及
其他等。

而更重要的是，勾股定理也为学生们开启了一个极富创造性的思维，激发了学生的兴趣，培养学生在现代科学技术领域的创新能力。

勾股定理的总统证法及其他证法

勾股定理的总统证法及其他证法TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理。

它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。

迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。

其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

总统为什么会想到去证明勾股定理呢难道他是数学家或数学爱好者答案是否定的。

事情的经过是这样的；在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。

”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。

他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

他是这样分析的，如图所示：1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。

”证法。

勾股定理的证明罗洪信（2002年4月25日参加桂林市创新教育课堂教学大比武用）【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o , ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o . ∴ ∠HEF = 180o ―90o= 90o .∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE ,∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o , ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o ,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o .D G C B a b ca bca bc a b c∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o .∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90o , ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o . ∴ ∠D EC = 180o ―90o= 90o .∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90o , ∠EBC = 90o ,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o ―90o= 90o . 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o .∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o . 即 ∠CBD= 90o . 又∵ ∠BDE = 90o ，∠BCP = 90o ， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90o ，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90o ，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90o . ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90o ，∠BCA = 90o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90o ，∠P AC = 90o ， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90o ，∠BCA = 90o ，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .K∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o ，∠DHF = 90o ，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o ， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得= 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o ， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o ，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o ， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90o ，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90o ，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o ，∠BAE + ∠CAR = 90o ，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o ，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90o ，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b ac +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r . ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+ = CD CE += r + r = 2r, 即 r c b a 2=-+，∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++，∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90o ，∴ ∠ADC ≠90o ，∠CDB ≠90o .这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b .又∵ ∠CMD = 90o ，CM = a ，∠AED = 90o ， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o ，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o ， ∴ ∠ADC = 90o .∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o ， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90o ，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。

数学大发现勾股定理

数学大发现勾股定理勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。

可是，我国周朝初年（约公元前1100年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。

根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。

我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。

这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细的记载。

而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。

赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。

赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。

”开方除之2 2 2是当时开方运算的术语。

上面这句话实际上就是勾股定理即：a+b=c。

他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。

以勾股之差自相乘中黄实。

加差实亦成弦实。

”2 2即2ab+（b-a）=c2 2 2化简便得出：a+b=c这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。

勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它的证明方法。

据说，它的证明方法有500来种。

我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。

在1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了367个不同的证法。

其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。

证明勾股定理的4种方法

证明勾股定理的4种方法证明勾股定理的4种方法今天小编为大家精心整理了一篇有关数学的相关内容，以供大家阅读，更多信息请关注学习方法网！勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

当整数a,b,c满足a?2;+b?2;=c?2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a?2;+b?2;=c?2;。

在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。

《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。

开方除之，即弦。

”勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

下面我们一起来欣赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。

2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。

方法二：刘徽“青朱出入图”约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。

方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。

1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。

方法四：毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯（公元前572—前497年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所示的`位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c的平方=a的平方+b的平方方法五：达·芬奇的证明达·芬奇，意大利人，欧洲文艺复兴时期的著名画家。

勾股定理的总统证法

勾股定理的总统证法第一篇：勾股定理的总统证法勾股定理的总统证法勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法．亲爱的同学们，从上面的故事我们可以看出发明创造并非科学家、学者的专利，只要我们用心观察发现问题，认真思考钻研问题，照样可以取得成就。

第二篇：勾股定理证法证法1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。

勾股定理证明方法通用六篇

勾股定理证明方法通用六篇勾股定理证明方法范文1勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下文选取部分较为精彩的证明方法，供同学们参考.方法1：课本方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图.利用三个正方形面积之间的关系，从而得到直角三角形三边之间的关系. 基于完全可以接受的朴素观念，既直观又简单，任何人都看得懂.方法2：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为■；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2. 于是便可得如下的式子：4×■+（b-a）2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识. 他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.方法3：美国第十七任总统J·A·加菲尔德（1831～1888）在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年（当时他是众议院议员，5年后当选为美国总统），给出了勾股定理一个漂亮的证明，证明的思路是利用等积思想，如下图.S梯形ABCD=■（a+b）2=■. ①又S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=■=■. ②比较以上两式，便得a2+b2=c2.这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁.从勾股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证明. 如：欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.勾股定理证明方法范文21本章内容概述直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c 的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.2编写时考虑的几个问题2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.课本练习是一种重要的教学资源。

勾股定理16种证明方法

【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab，整理得a²+b²=c²。

1. 2【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵RtΔHAE ≌RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o,∴∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵∠GHE = 90o,∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)².∴(a+b)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。

2. 3【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90o，∴∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。

总统巧证勾股定理

总统巧证勾股定理学过几何的人都明白勾股定理。

它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。

迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。

其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

总统什么缘故会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的。

情况的通过是如此的：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，观赏黄昏的美景，他确实是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

他走着走着，突然发觉邻近的一个小石凳上，有两个小孩正在全神贯注地谈论着什么，时而大声争辩，时而小声探讨。

由于好奇心促使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清晰两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

因此伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，假如直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。

”小男孩又问道：“假如两条直角边分别为5和7，那么那个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。

”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法说明了，心理专门不是味道。

因此伽菲尔德不再散步，赶忙回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。

他通过反复的摸索与演算，终于弄清晰了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

勾股定理

勾股定理勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是初等几何中的一个基本定理。

这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，上至帝王总统，下至平民百姓，都愿意探讨和研究它的证明。

它是几何学中一颗闪亮的明珠。

所谓勾股，就是古人把弯曲成一个直角三角形模样的手臂，上臂（即直角三角形的底边）称为“勾”，前臂（即直角三角形的高）称为“股”，所以称之为“勾股”。

也许是因为勾股定理十分实用，所以便反复被人们论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理证明专辑。

从勾股定理的发现到现在，大约3000年里，勾股定理的证明方法多种多样：有的简洁明了，有的略微复杂，有的十分精彩……本文将会带着大家一起来证明勾股定理并解决一些实际问题。

勾股定理、证明、解决实际问题什么是勾股定理？又称商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。

中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。

正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。

中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。

还有的国家称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。

为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

蒋铭祖定理：蒋铭祖是公元前十一世纪的中国人。

当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。

在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《蒋铭祖算经》中记录着商高同周公的一段对话。

勾股定理的历史

勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一〞，是初等几何中的一个根本定理。

那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。

所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

〞这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国〔希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等〕对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯〔Pythagoras，公元前572?～公元前497?〕于公元前550年首先发现的。

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

著名的希腊数学家欧几里得〔Euclid，公元前330～公元前275〕在巨著?几何原本?〔第一卷，命题47〕中给出一个很好的证明。

〔右图为欧几里得和他的证明图〕中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。

中国最早的一部数学著作——?周髀算经?的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？〞商高答复说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。

其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。

〞如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话那么可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。

其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。

所以现在数学界把它称为“勾股定理〞是非常恰当的。

在稍后一点的?九章算术?一书中〔约在公元50至100年间〕〔右图〕，勾股定理得到了更加标准的一般性表达。

书中的?勾股章?说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦〞。

证明勾股定理多种常用方法

证明勾股定理多种常用方法勾股定理是数学原理，那该怎么证明呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的如何证明勾股定理内容，希望大家喜欢。

证明勾股定理的方法一最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长玫秸?叫蜛BDE 是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。

每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。

于是便可得如下的式子：4×(ab/2)+(b-a)2=c2化简后便可得：a2+b2=c2亦即：c=(a2+b2)(1/2)稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

再给出两种1。

做直角三角形的高，然后用相似三角形比例做出。

2。

把直角三角形内接于圆。

然后扩张做出一矩形。

最后用一下托勒密定证明勾股定理的方法二勾股定理：在Rt△ABC中，AB⊥AC，则：AB^2+AC^2=BC^2。

该定理有不同的证明方法，现用一种方法证明如下：如图作4个与Rt△ABC全等的三角形。

不失一般性地设AB>AC。

很明显，4个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积。

∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2，∴2AB×AC+AB^2-2AB×AC+AC^2=BC^2，∴AB^2+AC^2=BC^2。

特别地，当AB=AC时，看成小正方形的面积为0，得：2AB×AC=BC^2，改写一下就有：AB×AC+AB×AC=BC^2，得：AB^2+AC^2=BC^2。

[说明：当Ac>AB时，将上述证明过程中的字母B、C调换一下就可以了。

数学人教版八年级下册关于勾股定理的历史文化

勾股世界
两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此学派，他们首先发现了勾股定理，因此在在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年年希腊曾经发行了一枚纪念票。希腊曾经发行了一枚纪念邮《周髀算经》中。
勾股定理曾引起很多人的兴趣世界上对这个定理的证明方法很多1940年卢米斯收集了这个定理的370种证明期中包括大画家达芬奇和美国总统詹姆士阿加菲尔德的证法
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子（公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即邪至日2=勾2+股2 陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最先发明的. 勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，1940 年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达· 芬奇和美国总统詹姆士· 阿· 加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
国家之一。早在三千多年前，我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，朝数学家商高就提出，将一根直国家之一。早在三千多年前，尺折成一个直角，如果勾等于三，国家之一。早在三千多年前，股等于四，那么弦就等于五，即国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记