混合型随机变量的分布及其数字特征
四随机变量的数字特征-文档资料
考点与例题分析
考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.
例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各
部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部
件数,试求X的E(X)和D(X).
（二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差：(X)D (X)
2.计算 (1) 离散型： D (X ) [x k E (X )2p ]k.
(2)连续型： D (X )k [xE (X )]2f(x)d x.
(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).
(5)(6) XY 1; (6)(7)XY 1 X与Y以概率1线性相关,即存在a,b
且a≠0,使 P (Y a X b ) 1 .
(8)
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
（四）矩与混合矩
3.随机变量函数的数学期望
（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.
离散型：E (Y)E [g(X )] g(xk)p k;
连续型：E (Y ) E [g (X )] k g (x )f(x )d x .
随机变量的分布与数字特征
在决策树中，期望值可以用于评估每个分支的预 期收益或损失，以选择最优路径。
概率分布的确定
通过计算期望值，可以确定概率分布的中心趋势 和平均水平。
03
方差与其他数字特征
方差的定义与性质
方差是衡量随机变量离散程度的量，其计算公 式为：$sigma^2 = E[(X-mu)^2]$，其中$X$ 是随机变量，$mu$是期望值，$E$表示期望。
离散概率分布的性质
离散随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可加性。
连续随机变量的分布
连续随机变量
连续随机变量是在一定范围内可以连续取值的随机变量，例如人 的身高。
连续概率分布
连续随机变量的概率分布可以表示为一个概率密度函数，该函数描 述了随机变量在各个取值范围内的概率。
连续概率分布的性质
连续随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可积性。
随机变量的分布与数 字特征
目 录
• 随机变量的分布 • 随机变量的期望值 • 方差与其他数字特征 • 协方差与相关系数 • 随机变量的其他数字特征
01
随机变量的分布
离是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，例 如投掷一枚骰子出现的点数。
离散概率分布
离散随机变量的概率分布可以表示为一系列概率值的集合，每个 概率值对应一个可能的结果。
分位数
分位数
描述数据分布的位置。例如，中位数是位于数据中间 的数，表示数据的中心位置；上四分位数和下四分位 数分别表示位于数据分布的25%和75%位置的数。
计算方法
对于任意给定的概率p，分位数qp = inf{x | F(x) ≥ p}
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
利用数学软件计算
随机变量的数字特征
例 若随机变量X的概率密度为
f(x)(1 1x2), x
则称X服从柯西(Cauchy)分布。
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
所以柯西分布的数学期望不存在。
《医药数理统计方法》
§3.1
三、数学期望的性质
1、E(C)=C 2、E(CX)=C×E(X) 3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)
n
n
3)设X1,X2,…,Xn相互独立，则 V(Xi)V(Xi)
i1
i1
V (1 n i n 1X i) n 1 2i n 1 V (X i) 1 n [1 n i n 1 V (X i)]
解：红细胞的变异系数为 C V(X1)4 0..1 27 98 16.965%
血红蛋白的变异系数为
10.2 C V(X2)117.68.673%
所以，血红蛋白的变异较大。
《医药数理统计方法》
§3.2
二、方差的性质
1、V(C)=0 证明：V(C)=E{[CE(C)]2} =E[(CC)2]=0
2、V(CX)=C2V(X) 证明：V(CX)=E{[CXE(CX)]2}
而 E (X 2 ) E (X X ) E (X )E (X ) 1 1 1
339
计算是错误的！！
《医药数理统计方法》
§3.2
§3.2 方差、协方差和相关系数
一、方差 二、方差的性质 三、其他数字特征
《医药数理统计方法》
§3.2
一、方差
例3.15 为了比较甲、乙两个专业射击运动 员的技术水平，令每人各射击5次，分别以 X1,X2表示他们射击的环数，结果如下：
即
E(X) xf(x)dx
概率论与数理统计第二章笔记
概率论与数理统计第二章笔记一、引言概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在第二章中，我们将深入探讨随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
二、随机变量及其分布1. 随机变量的定义及分类在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象数值特征的变量。
根据随机变量可取的值的性质，可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量只取有限个或无限可数个值，而连续随机变量则可以取在一定范围内的任意一个值。
2. 随机变量的分布及特征随机变量的分布是描述其取值的概率规律。
对于离散随机变量，常见的分布包括二项分布、泊松分布等；对于连续随机变量，则有均匀分布、正态分布等。
通过对随机变量的分布进行分析，可以推导出其数字特征，如均值、方差等。
三、随机变量数字特征1. 随机变量数字特征的意义随机变量的数字特征是对其分布的定量描述，包括均值、方差、标准差等。
这些数字特征可以帮助我们更直观地理解随机变量的分布规律，从而作出合理的推断和决策。
2. 随机变量数字特征的计算对于离散随机变量，其均值、方差的计算可通过对其分布进行加权平均；对于连续随机变量，则需要进行积分计算。
这些计算方法在实际问题中起着重要作用，例如在风险评估、市场预测等方面的应用。
四、总结和回顾概率论与数理统计第二章主要介绍了随机变量及其分布，以及随机变量的数字特征。
通过对离散和连续随机变量的分类和分布进行深入讨论，我们对随机现象的规律性有了更清晰的认识。
通过数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，为实际问题的分析和决策提供了有力工具。
个人观点和理解在学习概率论与数理统计第二章的过程中，我深刻认识到随机变量和其分布对于随机现象的定量分析至关重要。
通过对数字特征的计算，我们可以更准确地描述和解释随机现象的规律，这对于我在日常生活和工作中的决策和分析将有着实质性的帮助。
结论概率论与数理统计第二章所介绍的内容为我们提供了深入了解随机现象规律性的基础，并且为日后的学习和实践奠定了坚实的基础。
中国精算师考试用书
4．偿付能力监管
偿付能力监管概述；欧盟及北美偿付能力监管实践及其进展；偿付能力监管中的资产评估；偿付能力管理的措施；我国偿付能力监管的实践和发展方向
D．养老金（分数比例约为15%）
1．养老金概述
养老金计划的基本概念；精算成本因素；给付分配的精算成本法；成本分配的精算成本法。
04寿险精算数学
考试时间：4小时
考试形式：客观判断题（单项选择题）
考试内容和要求：
考生应掌握生命表、纯保费（趸缴、均衡）、责任准备金（均衡、修正）、总保费、多元生命函数、多元风险模型等主要内容。能够熟练运用精算现值的概念以及平衡原理计算纯保费、年金和责任准备金。理解纯保费与总保费的影响因素的差别。对于多元生命函数和多元风险模型，能够熟练运用精算现值的概念以及平衡原理计算纯保费和年金。初步了解养老金计划的精算方法。
2.其他类型的证券，包括：可赎回债券、系列债券、其他证券。
F.利息理论的应用（分数比例约为10%）
利息理论的应用，包括：诚实信贷、不动产抵押贷款、APR的近似方法、折旧方法、投资成本。
参考书目：
《利息理论》（中国精算师资格考试用书）主编刘占国，中国财政经济出版社，2006年11月第1版第1～5章、第6章第6.1节
A.利息的基本概念（分数比例约为15%）
1.利息的度量，包括：名义利率与实际利率、单利与复利、名义贴现率与实际贴现率、利息强度。
2.利息问题的求解，包括：价值方程、投资期的确定、未知时间问题、未知利率问题。
B.年金（分数比例约为20%）
1.年金的标准型，包括：期初付年金与期末付年金、任意时刻年金、永续年金以及年金的非标准期、未知时间、未知利率等问题的求解。
随机变量的分布与期望
应用条件
要求随机变量序列独立同分 布，且期望和方差存在。
中心极限定理
含义
中心极限定理是概率论中讨论随 机变量序列部分和分布渐近于正 态分布的一类定理。这组定理是 数理统计学和误差分析的理论基 础，指出了大量随机变量近似服 从正态分布的条件。
种类
包括独立同分布的中心极限定理 、德莫佛-拉普拉斯定理等。
随机变量性质
随机变量取值随试验结果而定，但其 取值带有随机性，同时取某一区间内 的任何实数值都有一定概率。
离散型随机变量
离散型随机变量定义
01
全部可能取到的值是有限个或可列无限多个的随机变量。
常见的离散型随机变量分布
02
二项分布、泊松分布、超几何分布等。
离散型随机变量的数学期望和方差
03
数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取
关系
边缘分布函数可以从联合 分布函数中推导出来，但 联合分布函数不能由边缘 分布函数唯一确定。
条件分布与独立性
条件分布
在多维随机变量中，当已知其中 部分随机变量的取值时，其他随 机变量的分布称为条件分布。
独立性
如果多维随机变量中任意两个子 集的联合分布等于各自边缘分布 的乘积，则称这两个子集相互独 立。
随机变量的分布与期望
汇报人：XX 2024-01-29
目录
• 随机变量基本概念 • 常见离散型随机变量分布 • 常见连续型随机变量分布 • 随机变量数字特征：期望与方差 • 多维随机变量及其分布 • 大数定律与中心极限定理
01 随机变量基本概 念
随机变量定义及性质
随机变量定义
设随机试验的样本空间为S={e}， X=X(e)是定义在样本空间S上的实值 单值函数。称X=X(e)为随机变量。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
第4章数字特征与特征函数
( ) a0 ( ) a0 1 ( ) ( )
例: 有5个相互独立的电子装置串联组成整机,它们每一个 的寿命 X kபைடு நூலகம்(k 1, 2,3, 4,5) 服从同一指数分布,其概率密度为
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
y0 y0
于是Y的数学期望为
fY ( y )
0,
y0
E (Y ) y fY ( y )dy y5 e y dy
0
1 5
例: 随机变量X服从柯西分布,其分布密度为
1 f ( x) , x 2 (1 x )
求E(X)。 解:
xf ( x, y )dxdy
yf ( x, y )dxdy
xf X ( x) dx
yfY ( y ) dy
推广: E (c1 X1 c2 X 2 cn X n ) c1E ( X1 ) c2 E ( X 2 ) ④设X与Y相互独立,则 E ( XY ) E ( X ) E (Y )
所以X的数学期望不存在。
1 1 x dx 2 x dx 2 2 0 (1 x ) (1 x ) 1 ln(1 x 2 ) 0
三、随机变量函数的数学期望 定理: 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是单值连续函数), 当X是离散型随机变量时,若 g ( x ) p 绝对收敛，则
推广: n个相互独立的随机变量 E ( X1 X 2
X n ) E ( X1 ) E ( X 2 )
《概率论与数理统计》课件 第七章 随机变量的数字特征
i 1,2, , 如果 xi pi ， 则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
28
第二节 方差与标准差
29
引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67
随机变量的数字特征
12
E (e 2 X ). 例 设随机变量X~E (1)，求
解 X的概率密度为
e x , x 0 p ( x) 0, x 0E(e2 XFra bibliotek) e
2 x
p( x)dx e3 x dx
0
1 1 3 x e 3 3 0
10000
0.5
20000
0.2
E( X ) 40000 0.3 10000 0.5 20000 0.2 13000
存入银行的利息: 8000 故应选择股票投资.
练 设随机变量的分布律为
p
0
1
2
0.2
3
0.1
0.4 0.3
2
求E，E ，E 2 - 1
解：E 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 1
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
A胜出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
4 5 6 1/4 1/2 1/4
X2 P
2
3
5
7
8 1/8
1/8 1/8 1/2 1/8
若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？ 两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大， 如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。
理学席第讲随机变量数字特征
若 g(xi , y j ) pij
i, j
期望存在，而且有
绝对收敛，则Z的数学
E(Z ) E[g( X,Y )] g(xi , y j ) pij
i, j
（2） 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合 密度为 f (x, y), Z= g(X,Y)也是连续型随机变量
若
g( x, y) f ( x, y)dxdy
如果 xk pk 绝对收敛，则称它为X的数学期望 k 1
或均值，记为E(X), 即
E( X ) xk pk
k 1
若
xk pk 发散，则称X 的数学期望
k
不存在。
例2：已知X 的分布如下
X
100 200
P
0.01 0.99
求E(X) 解
E:( X ) 100 0.01 200 0.99
•
测量结•a•• •
甲仪器测量结果
•••• •a•• •••
乙仪器测量结果
••
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：
• •
中•心 ••
•
•
•
••中•••心•• •••
••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度.
这个数字特征就是我们下面要介绍的 方差
§4-2 方 差
一. 方差的概念
定义 设 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 为 E(X), 若 E(XE(X))2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称 X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即
第四章 随机变量的数字特征总结
第四章随机变量得数字特征㈠数学期望表征随机变量取值得平均水平、“中心”位置或“集中”位置.1、数学期望得定义(1) 定义离散型与连续型随机变量X得数学期望定义为其中Σ表示对X得一切可能值求与.对于离散型变量,若可能值个数无限,则要求级数绝对收敛;对于连续型变量,要求定义中得积分绝对收敛;否则认为数学期望不存在.①常见得离散型随机变量得数学期望1、离散型随机变量得数学期望设离散型随机变量得概率分布为,若,则称级数为随机变量得数学期望(或称为均值),记为, 即2、两点分布得数学期望设服从0—1分布,则有,根据定义,得数学期望为、3、二项分布得数学期望设服从以为参数得二项分布,,则。
4、泊松分布得数学期望设随机变量服从参数为得泊松分布,即,从而有。
①常见得连续型随机变量得数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布,ξ～U[a,b] (a<b),它得概率密度函数为:= 则=∴E(ξ)=(a+b)/2. 即数学期望位于区间得中点.2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布,ξ～N(μ,σ2),它得概率密度函数为:(σ>0, <μ<+ )则令得∴ E(ξ)=μ 、3)指数分布设随机变量服从参数为得指数分布,得密度函数为,则、(2) 随机变量得函数得数学期望设为连续函数或分段连续函数,而X就是任一随机变量,则随机变量得数学期望可以通过随机变量X 得概率分布直接来求,而不必先求出得概率分布再求其数学期望;对于二元函数,有类似得公式:()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型 d d ,, ,,,y x y x f y x g y Y x X y x g Y X g Z i jj i j i P E E 设为二维离散型随机变量,其联合概率函数 如果级数绝对收敛,则得函数得数学期望为 ; 特别地、设为连续型随机变量,其概率密度为,如果广义积分 绝对收敛,则得函数得数学期望为. 设为二维连续型随机变量,其联合概率密度为,如果广义积分绝对收敛,则得函数得数学期望为;特别地 ,、注:求E(X,Y)就是无意义得,比如说二维(身高,胖瘦)得数学期望就是无意义得,但就是二维随机变量函数Z= E(X,Y)就是有意义得,她表示得就是函数下得另一个一维意义。
概率论与数理统计知识点总结
连
续
型
密度函数
分
布
分布函数
期望
（ EX ） 方差（ DX ）
均 匀 分
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0, x a
0, 其他
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
EX a b 2
(b a)2 DX
12
布
1, x b
记作 X ~U[a,b]
n
n
n
P Ai 1 P(Ai ) 1 (1 P(Ai ))
i1
i1
i1
（4）伯努利概型
伯努利定理：在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在 n 重伯努利试验中，事
件 A 恰好发生 k 次的概率为： b(k; n, p) Ckn pkqnk ，其中 q 1 p . 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，“事件 A 在第 k 次试验中才首
数 n 有关），如果 n 时， npn （ 0 为常数），则对任意给定的 k ，有
lim
n
b(k; n,
pn
)
k k!
e
.
当二项分布 b(n, p) 的参数 n 很大，而 p 很小时，可以将它用参数为 np 的泊松分布来近
似，即有
b(k; n, p) (np)k enp . k!
4.常用的连续型分布
k
N2 N
nk
.这一近似关系的严格
数学表述是：当 N
时， N1
， N2
，且
N1 N
p，
N2 N
1
p ，则对任意给
随机变量的基本理论
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
• 正态分布函数为 • 标准正态分布函数通常用Φ(x)表示,即
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1.3 随机变量的分布函数与概率密度
• 2. 均匀分布 • 如果随机变量X 的概率密度函数为
• 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布。均匀分布概率密度曲线如图1.4 所示。
• 3. 瑞利分布 • 如果随机变量X 的概率密度函数为
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1.3 随机变量的分布函数与概率密度
• 其中,σ 为常数,则称X 服从瑞利分布。瑞利分布概率密度曲线如图1.5 所示。
• 4. 指数分布 • 如果随机变量X 的概率密度函数为
• 其中,u 为常数,则称X 服从指数分布。指数分布概率密度曲线如图1.6 所示。
中却具有某种规律性的事件,称为随机事件,简称为事件,如投掷硬币出 现正面就是一个随机事件。
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1.1 概率论的基本术语
• 4. 基本事件
• 随机试验中最简单的随机事件称为基本事件,如投掷骰子出现1,2,…,6 是基本事件,出现偶数点是随机事件,但不是基本事件。
• 5. 样本空间
• 随机试验E 中所有基本事件组成的集合称为样本空间,记为S,如投掷
• X 的取值可以是连续的,也可以是离散的。所以,根据X 取值的不同,可 以分为连续型随机变量和离散型随机变量。
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1.2 随机变量的定义
• 所谓离散型随机变量是指它的全部可能取值为有限个或可列无穷个。 离散型随机变量的概率特性通常用概率分布律来描述。
• 称式(1.2.1)为X 的概率分布或分布律,通常如表1.1所示。
• 为随机变量Y 在X =x 时的条件概率密度,或称为Y 对X 的条件概率密 度。
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混合型随机变量的分布及其数字特征
【摘要】混合型随机变量的相关知识在一般的本科教材中少有介绍，本文给出混合型随机变量的一些例子，并在此基础上介绍混合型随机变量的分布及数字特征。
【关键词】混合型随机变量分布函数期望方差
0引言
在本科《概率论与数理统计》课程的教材中，绝大多数都是只介绍离散型和连续型随机变量的分布及数字特征，很少有涉及混合型随机变量也称为奇异型随机变量的相关知识，甚至有些教材根本不提及混合型随机变量的存在。
而在历年的研究生入学考试题目中曾多次出现混合型随机变量的题目，因而对于准备考研的同学来说有必要掌握混合型随机变量的相关知识。
本文通过一些例子来介绍混合型随机变量，并在此基础上介绍混合型随机变量的分布以及如何计算混合型随机变量的期望与方差。
1.混合型随机变量
根据随机变量的取值情况可以将其分成三种类型，离散型随机变量的取值为有限个或可数无穷多个，连续型随机变量的取值为不可数无穷多即可以取得某一区间内的任何值，且连续型随机变量取得它的任一可能值的概率等于零。
而混合型随机变量既取得一些离散的值（取这些值的概率大于零），也取得某一区间内的任何值。
通俗来讲，混合型随机变量既含有离散部分，也含有连续部分。
例1随机变量X既取得数值0，又取得区间[2，3]中的任何值，且取到数值0的概率P（X=0）=114，在区间[2，3]中取值的概率为P（2≤X≤3）=314。
本例中的随机变量X是混合型随机变量。
它有离散部分，因为它取值0的概率大于零。
它又有连续部分，因为它的取值充满区间[2，3]。
2.混合型随机变量的分布
混合型随机变量既含有离散部分，也含有连续部分，因此既不能用离散型的分布列来描述其分布，也不能用连续型的概率密度来描述其分布。
而只能采用描述随机变量分布的一般方式，即用分布函数来对它的分布进行描述。
例2假设随机变量X取值-1和0的概率分别为P（X=-1）=118，P（X=0）=114，且在区间[1，3]中取值的概率为P（1≤X≤3）=518。
在事件1≤X≤3出现的条件下，X在[1，3]内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比，求X的分布函数。
解：随机变量X的取值为-1，0以及区间[1，3]，为混合型随机变量。
当x<-1时，F（x）=P（X≤x）=0；当-1≤x<0时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）=118；
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）+P（X=0）=118+114=318；
当1≤x<3时，F（x）=P（X≤x）=P（X=-1）+P（X=0）+P（1≤X≤x）=318+P （1≤X≤x），而
P（1≤X≤3）=518，且P（1≤X≤x1≤X≤3）=x-112，因此
P（1≤X≤x）=P（1≤X≤3）P（1≤X≤x1≤X≤3）=518×x-112=5x-5116，所以
当1≤x<3时，F（x）=318+P（1≤X≤x）=318+5x-5116=5x+1116；
当x≥3时，F（x）=P（X≤x）=1。
所以得X的分布函数为
F（x）=01x<-1
1181-1≤x<0
31810≤x<1
5x+111611≤x<3
11x≥3 。
分布函数描述了混合型随机变量的分布，我们可以通过分布函数求得混合型随机变量取得某个值或取值于某个区间的概率。
3.混合型随机变量的分布函数的分解
理论上，混合型随机变量的分布函数可以分解为一个离散型随机变量的分布函数与一个连续型随机变量的分布函数的线性组合，且满足组合的系数之和为一。
即若混合型随机变量的分布函数为F（x），则F（x）=aF1（x）+bF2（x），其中F1（x）为一离散型随机变量的分布函数，F2（x）为一连续型随机变量的分布函数，且a+b=1。
例3例2中混合型随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中
F1（x）=01x<-1
1131-1≤x<0
11x≥0 ，
F2（x）=01x<1
x-11211≤x<3
11x≥3 ，
可以看出，F1（x）是一个离散型随机变量的分布函数，其分布列为
X11-110p（xi）11131213而F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数。
4.混合型随机变量的数字特征
对于一般的随机变量X，设其分布函数为F（x），若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF （x）满足绝对收敛，则X的数学期望存在，且EX=∫+∞-∞xdF（x）。
对于斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞xdF（x），由实变函数与泛函分析的知识知道，当F（x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞xdF（x）=∑1ixipi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞xdF（x）=∫+∞-∞xp（x）dx。
例4计算例2中的混合型随机变量X的数学期望。
解：通过例3可知，例2中混合型随机变量X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），其中F1（x）是离散型随机变量X1的分布函数，F2（x）是一个服从区间[1，3]上的均匀分布的连续型随机变量的分布函数，由一般随机变量的数学期望的定义可得
EX=∫+∞-∞xdF（x）=318∫+∞-∞xdF1（x）
+518∫+∞-∞xdF2（x）
=318（-1×113+0×213）+518∫31xd（x-112）
=-118+518×112∫31xdx=918。
若斯蒂尔切斯积分∫+∞-∞g（x）dF（x）满足绝对收敛，则随机变量X的函数g（X）的数学期望存在，且E[g（X）]=∫+∞-∞g（x）dF（x）。
同样地，当F （x）为跳跃函数，在xi（i=1，2，…）具有跳跃度pi时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∑1ig（xi）pi；当F（x）存在导数F′（x）=p（x）时，∫+∞-∞g（x）dF（x）=∫+∞-∞g （x）p（x）dx。
从而可得随机变量X的方差为
DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）
例5计算例2中的混合型随机变量X的方差。
解：由X的分布函数可以分解为F（x）=318F1（x）+518F2（x），则
DX=E（X-EX）2=∫+∞-∞（x-EX）2dF（x）
=∫+∞-∞（x-918）2dF（x）
=318[（-1-918）2×113+（0-918）2×213]
+518∫31（x-918）2d（x-112）
=4511512+518×112∫31（x-918）2dx=3011192
以上关于混合型随机变量的相关知识，可以推广到多维的情况。
参考文献
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