高中数学-几何概型测试题
高中数学第3章概率3.3几何概型自我检测苏教版必修3
3.3 几何概型自我检测 基础达标 一、选择题1．圆内有一内接正方形，今投射1镖，则落入正方形内的概率是（ ）A ．2π B ．π2 C ．π1D ．π21答案：B2．在线段［0，3］上任取一点，则此点坐标不小于2的概率是（ ）A ．31 B ．21 C ．32D ．97答案：A3．两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为（ ）A ．31 B ．32 C ．21D ．65答案：A4．有1杯10升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ） A ．0.1B ．0.01 C ．0.001D ．0 答案：B 二、填空题5．公交车30 min 一班，在车站停2min ，某乘客到达站台立即乘上车的概率是________. 答案：151 6．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10min 的概率为__________. 答案：61 解析：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的概率公式得，P （A ）=605060-=61． 三、解答题7．现向如右图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率.解：由⎩⎨⎧-==--．，10436y y x得A （61，-1）. ∵B(1,-1),∴|AB|=1-61=65． 同理，由⎩⎨⎧=--=，，04361y x x 得y=32.∴C(1,32), ∴|BC|=32-(-1)= 35.∴S △ABC =21×65×35=3625．而正方形面积为2×2=4．因此所求概率为1442543625=．8．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，求弦长超过半径的概率.解：如右图所示，|AB|=|AC|=OB （半径），则弦长超过半径，相当于动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上.由几何概型的概率计算公式，得P=32234=OB OBππ.答：弦长超过半径的概率为32.9．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字.旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］上的概率.解析：如右图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］，由几何概型求概率公式得P=83)8141(22=+=rr S S ππ圆阴更上一层1．一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在8小时内随机到达.顾客甲需要1小时服务时间，顾客乙需2小时.求两人都不需要等待的概率. 解：设顾客甲到达的时间为x ，顾客乙到达的时间为y.则 0≤x ≤8 0≤y ≤8无人需要等待所包含的基本事件为y-x ≥1 x-y ≥2试验的每个结果都是等可能的，由几何概型的条件知，只要在阴影部分就表示无人需要等待.∴P=2228621721⨯+⨯=正阴SS=66.4%．2．把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.分析：要构成三角形，则必须满足三角形中任意两边之和大于第三边，关键在于确定它所包含的基本事件.解：设其中两段的长为x、y，则所有基本事件：x>0,y>0 x+y<a而构成三角形所包含的基本事件：x<2a,y<2a,x+y>2a.P=4121)22(212=⨯⨯aaa=0.25．答：可构成三角形的概率是0.25．3．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？思路分析：到达乙地的时间是9.5时到10时之间的任一时刻，汽车从乙地出发的时间是9.75时到10.25时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内以x轴表示到达乙地的时间，y轴表示汽车从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和汽车从乙地出发的时间是随机的，则随机试验的所有结果（x,y)是正方形内等可能的任一点，事件A（他能赶上车）发生的充要条件是x≤y，即对应正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积有关，适用于几何概型.解析：在平面直角坐标系内，以x和y分别表示到达乙地和汽车从乙地出发的时间，则能赶上汽车的充要条件是x≤y.而（x,y）的所有可能结果是边长为0.5的正方形，而可能赶上车的时间由上图中的阴影所表示.这是一个几何概率问题.由公式得P（A）=2225.021 25.05.0⨯-=0.875．答案：能赶上车的概率为0.875．。
高考数学 考点一遍过 专题52 几何概型 理-人教版高三全册数学试题
专题52 几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式() P AA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个X围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率()n Mf AN作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A的概率.典例1某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A．12B．13C．23D．35【答案】A故所求概率为201402=,选A ． 典例2 在区间[]0,2上随机抽取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】A【解析】区间[]0,2的长度为2, 由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭可得302x ≤≤, 所以所求事件的概率为P =33224-=.1．公共汽车在7:00到7:20内随机到达某站,李老师从家里赶往学校上班,7:15到达该站,则她能等到公共汽车的概率为A ．13B ．23 C ．14D ．342．在长度为10的线段AB 上任取一点C (不同于A ,B ),则以AC ,BC 为半径的圆的面积之和小于58π的概率为A ．B ．C ．D ．考向二 与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 在如图所示的扇形AOB中,∠AOB=,半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为A．B．C．D．【答案】A则所求概率P=1-SS=1-,故选A．典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x2图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________.【答案】3．圆O 内有一内接正三角形,向圆O 内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为 A 33B ．3C ．33．34．已知1Ω是集合()22{,|1}x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){,|1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机地投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为________.考向三 与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A．512B．23C．127D．425【答案】C5．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食落在圆锥外面”的概率是A．π14B．π12C．π4D．π112-考向四随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()AP A=随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()随机取点构的成事全部件的区结果构成的区域面积域面积AP A=列等式求解.典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶3,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(3≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C6．如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m 的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为A ．83 m 2 B ．2 m 2C ．38m 2 D ．3 m 21．在[]0,π内任取一个实数x ，则1sin 2x ≤的概率为 A ．2 3B ．1 2C ．13D ．1 42．若任取[]0,1、x y ∈,则点(),P x y 满足y x >的概率为A ．23B ．13 C ．12D ．343．在区间[]0,4上随机地选择一个数,p 则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为A ．13B ．23 C ．12D ．144．在直角坐标系中,任取n 个满足x 2+y 2≤1的点(x ,y ),其中满足|x|+|y|≤1的点有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4m n B ．4nmC ．2m n D ．2nm5．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为 A ．127B ．116C ．38D ．8276．如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,以A 为圆心、1为半径作圆弧DE ,点E 在线段AB 上,在圆弧DE 上任取一点P ,则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是A ．1 4B ．13C ．25D ．357．已知函数()2,01(e 1,1e x x f x x x⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为自然对数的底数)的图象与直线e 、x x =轴围成的区域为E ,直线e 1、x y ==与x 轴、y 轴围成的区域为F ,在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为A ．43e B ．23e C ．23D ．2e8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．3π 10B ．3π 20C ．3π110-D ．3π120- 9．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于18米的概率为__________. 10．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一天内随机到达,若两船同时到达则有一艘必须等待,试求这两艘轮船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.12．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.13．已知函数()22(,f x ax bx a a b =-+∈R ).(1)若a 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,求方程()0f x =有实根的概率;(2)若b 从区间[]0,2中任取一个数,a 从区间[]0,3中任取一个数,求方程()0f x =没有实根的概率.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．343．（2017某某）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．4．（2016某某理科）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 .1．【答案】 C2．【答案】C【解析】设AC =x ,则BC =10-x ,0<x <10,由题意πx 2+π(10-x )2<58π,得x 2-10x +21<0,得3<x <7, 故所求的概率为.3．【答案】C4．【答案】2π【解析】易知1Ω的面积1πS =,2 Ω的面积22S =, 根据几何概型可得所求事件的概率为P=2.π5．【答案】D【解析】由题意可知,正方体的体积V =8,圆锥的体积V 1=212ππ1233⨯⨯⨯=,所以“鱼食落在圆锥外面”的概率是P=1π112V V V -=-. 6．【答案】A变式拓展【解析】由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到正方形不规则图形S S =3751000,所以该不规则图形的面积大约为1000375=83(m 2).1．【答案】C【解析】若1sin 2x ≤,则在[]0,π内π5π0π66或x x ≤≤≤≤， 所以所求概率为π216π03P ⨯==-.选C ．2．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式可知P =11112112⨯⨯=⨯.故选C ．3．【答案】A【解析】因为方程2380x px p -+-=有两个正根,所以()243800,380p p p p ∆⎧=--≥⎪>⎨⎪->⎩所以8p ≥或 84,3p <≤ 又因为[]0,4,p ∈所以所求概率为841343P -==. 4．【答案】D5．【答案】D【解析】依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为(626-)3=827,故选D.6．【答案】B【解析】连接AC,交圆弧DE于点M.在Rt△ABC中,AB3BC=1,所以tan∠BAC=3BCAB=即∠BAC=π6.要使直线AP与线段BC有公共点,则点P必须在圆弧EM上,于是所求概率为P=π16π32=.故选B．7．【答案】A【解析】由题意，区域F的面积为e;区域E的面积S=1e2011d dx x xx+⎰⎰=31e0114|ln|33x x+=,所以在区域F内任取一点,则该点落在区域E内的概率为43e.8．【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径r=8151732+-=，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率P =18159π3π211208152⨯⨯-=-⨯⨯. 9．【答案】3410．【答案】【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4,而棱长为4的正方体的体积为43,该正方体的内切球的半径为2,体积为×23,所以所求概率P =.11．【解析】设甲船到达的时间为x ,乙船到达的时间为y ,则0≤x <24,0≤y <24.若有一艘在停靠泊位时必须等待,则|y-x|<6,如图中阴影部分所示,所以所求概率为1-=1-=.12．【解析】（1）用，x y 分别表示小陈、小李到班的时间，则][10,3010,30，x y ⎡⎤∈∈⎣⎦，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD ，如图所示．（2）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y -≥，对应区域为△BEF ，则所求概率为1151592202032△BEF ABCDS P S ⨯⨯===⨯．“b a ≥或0a =”.于是此时,a b 的取值情况为()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,2,3,1,1,2,2,3,3,即A 包含的基本事件数为10．故 “方程()0f x =有实根”的概率为()105168P A ==． （2）从区间[]0,2中任取一个数,b 从区间[]0,3中任取一个数,a 则试验的全部结果构成区域(){,|03,02}a b a b ≤≤≤≤, 这是一个长方形区域,其面积为236⨯=,设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为(){,|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤>，其面积为162242-⨯⨯=．由几何概型的概率计算公式可得“方程()0f x =没有实根”的概率为()4263P B ==．1．【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 2．【答案】B【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B ． 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．直通高考4．【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即3d =<，解得3344k -<<，而[1,1]k ，所以所求概率P =33224=.。
高考数学专练题 随机事件、古典概型与几何概型(试题部分)
专题十一概率与统计【真题探秘】11.1随机事件、古典概型与几何概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机事件的概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.(3)理解古典概型及其概率计算公式.2019课标Ⅰ,6,5分古典概型排列与组合★★★2018课标Ⅱ,8,5分古典概型组合2018课标Ⅰ,10,5分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积2.古典概型2017课标Ⅰ,2,5分与面积有关的几何概型圆的面积3.几何概型2016课标Ⅰ,4,5分与长度有关的几何概型(4)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(5)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (6)了解几何概型的意义2016课标Ⅱ,10,5分与面积有关的几何概型随机模拟分析解读本节是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.破考点练考向【考点集训】考点一随机事件的概率1.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为()A.13B.12C.23D.56答案D2.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=()A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案A考点二古典概型1.(2020届河南百校联盟9月联合检测,4)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理条例》正式实施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类,没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶,若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶,则该居民会被罚款和行政处罚的概率为()A.13B.23C.14D.34答案D2.(2019江西南昌一模,6)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19答案B考点三几何概型1.(2020届贵州贵阳8月月考,7)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12答案B2.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,3)已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.12B.14C.16D.18答案B炼技法提能力【方法集训】方法1古典概型概率的求法1.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为()A.13B.14C.16D.112答案B2.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A.12B.23C.14D.13答案D方法2几何概型概率的求法1.(2020届河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asin x在R上单调递增的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C2.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A.1-π4B.π12C.π4D.1-π12答案A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一古典概型(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案C考点二几何概型1.(2018课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A2.(2017课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4答案B3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B4.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn答案CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一古典概型1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案C2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.答案7103.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.答案310考点二几何概型1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.14-12πC.12-1πD.12+1π答案 B2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=√6+x -x 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 . 答案593.(2015福建,13,4分)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f(x)=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .答案512C 组 教师专用题组考点一 古典概型1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78答案 D2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案563.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 答案564.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= . 答案 85.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41+C 32C 102=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32+C 32+C 42C 102=415,P(X=1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以,随机变量X 的分布列为X 01 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.6.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟)25 3035 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.2 0.3 0.4 0.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1+T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)+P(T 1=30,T 2≤40)+P(T 1=35,T 2≤35)+P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1+T 2>70)=P(T 1=35,T 2=40)+P(T 1=40,T 2=35)+P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P(A )=0.91.考点二 几何概型1.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≥12”的概率,p 2为事件“|x-y|≤12”的概率,p 3为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2 D.p 3<p 2<p 1答案 B2.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx 与圆(x-5)2+y 2=9相交”发生的概率为 . 答案34【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届陕西百校联盟九月联考,4)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花的故事.她们分别是中国古代的四大美女,某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为()A.13B.712C.512D.12答案B2.(2020届四川成都青羊石室中学10月月考,9)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.136B.116C.18D.16答案D3.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34,某人猜测事件A∩B发生,则此人猜测正确的概率为()A.1B.12C.14D.0答案C4.(2019河北石家庄3月教学质量检测,9)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为()A.16B.29C.518D.19答案B5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中第一次素质测试,8)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行.长三角城市群包括上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.2764B.916C.81256D.716答案B6.(2020届四川石室中学高三开学考试,7)一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”,如图是由三个半圆构成的图形,最大半圆的直径为6,若在最大的半圆内随机取一点,该点取自阴影部分的概率为49,则阴影部分图形的“周积率”为()A.2B.3C.4D.5答案B7.(2019山西阳泉二模,8)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图1).类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形内的概率是()图1 图2A.2√1313B.413C.2√77D.47 答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西静乐第一中学高三月考,15)如图所示,阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=2及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .答案 18-112π9.(2018广东江门一模,16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为 .答案 0.44。
《3.3 几何概型》(同步训练)高中数学必修3_人教A版_2024-2025学年
《3.3 几何概型》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在掷一枚公平的六面骰子的实验中，事件A为“掷出的点数为偶数”，事件B 为“掷出的点数大于3”。
那么事件A与事件B的关系是：A、互斥事件B、对立事件C、相互独立事件D、互不相交事件2、在掷一枚均匀的骰子两次的实验中，事件A：“至少掷出一个6点”与事件B：“两次掷出的点数相同”的概率分别为P(A)和P(B)，则下列结论正确的是（）A、P(A) > P(B)B、P(A) < P(B)C、P(A) = P(B)D、无法确定P(A)与P(B)的大小关系3、在区间[0,4]上随机取一个实数，则该数大于1的概率是（）)A.(14)B.(34)C.(12)D.(134、从装有5个红球、4个蓝球和3个黄球的袋子里，随机取出2个球，取出的两个球颜色相同的概率是：A. 5/21B. 8/21C. 12/21D. 15/215、在一个圆盘上随机投针，圆盘的半径为10cm，针的长度为6cm，恰好针完全落在圆盘内的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.66、在下列四个事件中，属于古典概型的是（）A、抛掷一枚硬币，它落地时是正面的概率B、从一副52张的扑克牌中，随机抽取一张，抽取到红桃的概率C、从0,1,2,3,4中任取两个不同的自然数，所取得的两个数的和为偶数的概率D、从10000个零件中随机抽取一个，它是合格品的概率7、在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，E为AD上的中点，F为CE的延长线与AB的交点，若AB=6，则AF与BF的比值是：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:18、在一个正方形中，随机取一点，该点距离正方形中心的距离与正方形边长的比值是：A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.6二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在下列事件中，属于几何概型的是（）A. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率C. 从0到1之间随机取一个数，这个数小于0.5的概率D. 从5个不同的球中随机抽取3个，抽到3个特定颜色的概率2、设在长为2的线段上随机取两个点，将线段分为三段，若这三段可以构成三角形的概率为P，则P的值为：A、1/4B、1/2C、1/3D、1/63、在一个等边三角形ABC中，内角A的对边长度为8cm，现从顶点A向BC边引一高AD，并假设在BC边上有一点P使得AP与AD垂直。
高二数学几何概型试题
高二数学几何概型试题1.如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则P （B|A）=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由条件概率及几何概率可知：P（B|A），故选Ａ．【考点】条件概率及几何概率．2.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．【答案】【解析】阴影部分面积为，∴所求概率为.【考点】定积分计算曲边图形的面积，几何概型.3.如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是______________．【答案】【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为，面积为，故飞镖落在阴影区域的概率．【考点】几何概率．4.已知，直线和曲线有两个不同的交点，他们围成的平面区域为，向区域上随机投以点,点落在内的概率为，若，则实数的取值范围是：【答案】【解析】将直线变形为，可知此直线过定点，为直线的斜率.曲线表示圆心在原点半径为2的上半个圆。
当直线与轴重合时平面区域和区域重合，此时；当直线位置时，区域的面积为,区域面积为，此时。
所以。
【考点】1不等式表示平面区域；2直线过定点问题及直线的斜率；3几何概型概率。
5.如图，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率 .【答案】【解析】以为原点为轴建立空间直角坐标系，则，设，则,则，从而.【考点】1.空间向量的数量积；2.几何概型.6.四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点。
在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据几何概型得,取到的点到O的距离大于2的概率：，选C.【考点】几何概型7.有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为．【答案】【解析】空间内到点的距离等于1的点，是在以点为球心，1为半径的球面上，那么距离比1大的点在球的外部，因为基本事件总数是无限的，可以考虑几何概型，即圆柱内半球外部的体积与圆柱的体积比【考点】1、几何体的体积；2、几何概型.8.如图所示的矩形内随机撒芝麻，若落入阴影内的芝麻是628粒，则落入矩形内芝麻的粒数约是【答案】800【解析】由已知中矩形的长和宽可知，长是宽的2倍，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为芝麻落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S的方程，阴影解方程即可求矩形区域的粒数，故答案为800．【考点】几何概型点评：本题考查的知识点是几何概型与随机模拟实验，利用阴影面积与矩形面积的比例约为黄豆的方程，是解答本题的关键．落在阴影区域中的频率，构造关于S阴影9.取一根长度为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于平方米的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设剪断后的两段绳长分别为x,y，那么可知的概率即为矩形区域的面积为25，那么满足题意的区域为，那么可知由几何概型概率可知为10：25=2：5，故答案为C.【考点】几何概型点评：主要是考查了几何概型的运用，分析区域长度和面积来求解，属于基础题。
高考数学一轮复习考点规范练55几何概型含解析新人教A版
考点规范练55 几何概型基础巩固1.(2021全国Ⅰ,文7)在区间(0,12)随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.16答案:B解析:所求事件的概率P=13-012-0=23.2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B.π4C.π6D.π8答案:B 解析:所求概率为S 半圆S 长方形=12π·122×1=π4,故选B .3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为( )A.1213 B.113C.314D.213答案:B解析:设水深为x 尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x 2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案:D解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500×(1-45)=100(m).5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案:C解析:如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15√2 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.38C.3π16D.12+3π32答案:B解析:如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x ,则sin πS 4的值介于-12与√22之间的概率为( )A.14 B.13C.23D.56答案:D解析:∵-1≤x ≤1,∴-π4≤πS 4≤π4.由-12≤sinπS 4≤√22, 得-π6≤πS 4≤π4,则-23≤x ≤1.故所求事件的概率为1-(-23)1-(-1)=56.8.记函数f (x )=√6+S -S 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 . 答案:59解析:由6+x-x 2≥0,即x 2-x-6≤0得-2≤x ≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5].由几何概型的概率公式得x ∈D 的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.9.记集合A={(x ,y )|x 2+y 2≤4}和集合B={(x ,y )|x+y-2≤0,x ≥0,y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M (x ,y ),则点M 落在区域Ω2的概率为 .答案:12π解析:作圆O :x 2+y 2=4,区域Ω1就是圆O 内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为24π=12π.10.在圆C :(x-3)2+y 2=3上任取一点P ,则锐角∠COP<π6(O 为坐标原点)的概率是 .答案:23解析:当∠COP=π6时,直线OP 的方程为x ±√3y=0,圆心C 到直线OP 的距离d=32.又圆C 的半径为√3,此时弦所对的圆心角为π3,所以所求概率P=1-π3×22π=23.能力提升11.在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为( ) A.34 B.23C.12D.13答案:C 解析:要使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1相交,应满足√52√≥1,解得-12≤k ≤12,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C .12.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为( )A.√55B.2√55C.15D.√33答案:B解析:设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x ,1+x ,√S 2+(1+S )2. 由几何概型可得12S 2+(1+S )2=15,解得x=1(x=-2(舍)),所以直角三角形的边长分别为1,2,√5,直角三角形较大锐角的正弦值为√5=2√55,故选B .13.已知函数f (x )=x 2+bx+c ,其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件{S (2)≤12,S (-2)≤4为事件A ,则事件A 发生的概率为( ) A.14 B.58 C.12 D.38答案:C 解析:由题意, 得{4+2S +S ≤12,4-2S +S ≤4,0≤S ≤4,0≤S ≤4,即{2S +S -8≤0,2S -S ≥0,0≤S ≤4,0≤S ≤4,表示的区域(阴影部分)如图所示,可知阴影部分的面积为8, 所以所求概率为12,故选C .14.设点(a ,b )是区域{S +S -4≤0,S >0,S >0内的任意一点,则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数的概率为 . 答案:13解析:作出不等式组{S +S -4≤0,S >0,S >0所对应的平面区域如图△AOB 区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为S △AOB =12×4×4=8. 若f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数,则{S >0,--2S 2S=S S ≤12,即{S >0,S -2S ≥0.则A (0,4),B (4,0), 由{S +S -4=0,S -2S =0得{S =83,S =43.即C (83,43). 则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内为增函数的点(a ,b )所构成的区域为△OBC ,其面积为12×4×43=83.故所求的概率为838=13.15.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在边BC 上任取一点M ,则∠AMB ≥90°的概率为 .答案:14解析:如图,在Rt △ABC 中,作AD ⊥BC ,D 为垂足,由题意可得BD=12,且点M 在BD 上时,满足∠AMB ≥90°,故所求概率为SSSS=122=14.16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 . 答案:78解析:以横坐标x 表示报纸送到时间,纵坐标y 表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为1×1-12×12×121×1=78.高考预测17.若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组{S -S ≥0,S +S ≥0,S ≥2S -6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为 . 答案:π24解析:分别作出平面区域M 和平面区域N 如图所示,可知平面区域M 与平面区域N 重叠部分的面积为14π(√2)2=π2,平面区域N 的面积为12×3×2+12×3×6=12,故所求的概率为12π12=π24.。
新课标北师大版《必修三》高一数学几何概型 (1)
1 P 3
4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点, 求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的 概率.
P
8
某事件A发生的概率
构成事件A的区域长度（面积或体积） P(A) . 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
模型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等
2 1 P(获得50购物券)= 20 10
4 1 P(获得20购物券)= 20 5
巩固练习
1.如图,在下面每个图形内随机撒一粒小芝麻,分 别求它落到阴影部分的概率. 2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻 度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指 针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求 不能看到准确时间的概率. 1/6
P=0.121
巩固练习
3.在区间(0,1) 中随机地取两个数,求下列事件的概率: (1) 两个数中较小(大)的小于1/2 ; 3/4, 1/4 7/8 0.5966
(2) 两数之和小于3/2 ;
(3) 两数之积小于1/4 .
想一想
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,
先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.
求二人能会面的概率.
解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是
0 X 5, 0 Y 5
即点 M 落在图中的阴影部分. 所有的点构成一个正方形,即 有无穷多个结果.由于每人在 任一时刻到达都是等可能的, 所以落在正 方 形 内 各 点是 等可能的.
5 4 3 2 1
y
.M(X,Y)
0 1
高中数学必修三-几何概型
几何概型知识集结知识元几何概型知识讲解1．几何概型1．定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）＝称为事件A的几何概率．例题精讲几何概型例1.设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）<1的概率为（）A．B．C．D．例2.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）A．2 B．3 C．4 D．5例3.'已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），求当x，y∈R时，P满足（x-2）2+（y-2）2≤4的概率．' 当堂练习单选题练习1.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的文化信息，现有一幅剪纸的设计图（如图），其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的邻边，若在该正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．（3-2）（π-2）D．练习2.已知正数a，b均小于2，若a、b、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是（）A．B．C．D．练习3.如图，在矩形OABC中的曲线分别是y=sin x，y=cos x的一部分，A（，0），C（0，1），在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则（）A．P1<P2B．P1>P2C．P1=P2D．大小关系不能确定练习4.利用Excel产生两组[0，1]之间的均匀随机数：a=rand（），b=rand（）：若产生了2019个样本点（a，b），则落在曲线y=1、y=和x=0所围成的封闭图形内的样本点个数估计为（）A．673 B．505 C．1346 D．1515练习5.将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ，曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，则（）A．p1+p2>1 B．p1+p2<1C．p1+p2=1 D．p1=p2填空题练习1.中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头就记载了利用赵爽弦图证明了勾股定理，赵爽弦图（如图所示）是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成若在大正方形中随机取一点该点落在阴影部分的概率为，则直角三角形中较小角的正切值为__．_练习2.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为α，现_向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则cosα=__练习3.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为___．练习4.已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[-1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆_C相交”发生的概率为__解答题练习1.'已知两数f（x）=ax2-bx+1．（1）若a，b都是从集合{0，1，2，3}中任取的一个数，求函数f（x）没有零点的概率；（2）分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b），若P={x|1≤x≤3}，Q={x|0≤x≤4}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．'练习2.'已知函数f（x）=ax+b∙2x-2，其中，0≤b≤4．（1）当a=1时，求函数f（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立的概率；（2）当0≤a≤2时，求函数f（x）在区间x∈[0，1]上有且只有一个零点的概率．'练习3.'袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个，从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（1）记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；（2）在区间[0，2]内任取2个实数x，y，记（a-b）2的最大值为M，求事件“x2+y2<M”的概率．'。
【数学】3.3《几何概型》测试(苏教版必修3)
高中苏教数学③3.3~3.4几何概型、互斥事件水平测试一、选择题1．设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是（ ） Ａ．34 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．35答案：B2．某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则该射手射击一次未命中环靶的概率为（ ）Ａ．0.1 Ｂ．0.65 Ｃ．0.70 Ｄ．0.75答案：A3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域， 在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是23， 则阴影区域的面积为（ ） Ａ．43 Ｂ．83Ｃ．23 Ｄ．无法计算 答案：B4．在某试验中，若A B ，是互斥事件，则（ ）Ａ．()()1P A P B +< Ｂ．()()1P A P B +≤Ｃ．()()1P A P B +>Ｄ．()()1P A P B +=答案：B5．如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =2cm ，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是（ ） Ａ．π4 Ｂ．14 Ｃ．π8 Ｄ．12答案：C二、填空题6．假设一个小组有6个学生，现要通过逐个抽取的方法从中抽取3个学生参加一项活动，第一次抽取时每个被抽到的概率是 ，第二次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是 ，第三次抽取时，余下的每个被抽到的概率都是 ． 答案：111654，， 7．三角形ABC 中，E F G ，，为三边的中点，若在三角形上投点且点不会落在三角形ABC 外，则落在三角形EFG 内的概率是 ．答案：148．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是 ． 答案：139．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数被2或3整除的概率为 ． 答案：23三、解答题10．判断下面各对事件是否“互斥”．（1）某人射击1次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙二人各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中8环”；（3）甲、乙二人各射击一次，“甲、乙二人都击中目标”与“甲、乙二人都没有击中目标”；（4）甲、乙二人各射击一次．“至少有一个人击中目标”与“甲未击中目标，但乙击中目标”． 解：（1）互斥；（2）不互斥；（3）互斥；（4）不互斥．11．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A 为“抽到一等品”，事件B 为“抽到二等品”，事件C 为“抽到三等品”，且已知()0.7()0.1()0.05P A P B P C ===，，．求下列事件的概率：（1）事件D “抽到的是一等品或二等品”；（2）事件E “抽到的是二等品或三等品”．解：由题知A B C ，，彼此互斥，且D A B =+，e b c =+，（1）()()()()0.70.10.8P D P A B P A P B =+=+=+=；（2）()()()()0.10.050.15P E P B C P B P C =+=+=+=．12．连续10次抛掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子均匀吗？解：不均为，6点的那面比较重，这是因为：如果它是均匀的，一次试验出现每个面的可能性是16，从而连续出现10次1点的概率是1081 1.6538106-⎛⎫≈⨯ ⎪⎝⎭，这在一次试验中几乎是不可能发生的，而这种结果恰好发生了，我们有理由认为，这枚骰子的质量不均匀，6点的那面比较重．13． 在集合{}()0504x y x y ，，且≤≤≤≤内任取一个元素，能使代数式1903412y x +-≥的概率是多少？解：如右图，集合{}()|0504x y x y ，，且≤≤≤≤为矩形内（包括边界）的点的集合，19()|03412x y x y ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭，≥上方（包括直线）所有点的集合，所以所求概率143324510S S ⨯⨯===⨯阴影矩形．高中苏教数学③3.3~3.4几何概型、互斥事件水平测试一、选择题1．甲、乙两人进行下棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（ ）Ａ．0.8 Ｂ．0.4Ｃ．0.2 Ｄ．0.6答案：D2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是（ ）Ａ．都不是一等品Ｂ．恰有一件一等品Ｃ．至多一件一等品Ｄ．至少有一件一等品答案：C3．在△ABC 内任取一点P ，则△ABP 与△ABC 的面积比大于23的概率为（ ） Ａ．13Ｂ．14 Ｃ．16 Ｄ．19答案：D4．一只蚂蚁在图所示的地板砖（除颜色不同外，其余部分相同）上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是（ ） Ａ．13Ｂ．23 Ｃ．14 Ｄ．18答案：A二、填空题5．取一个边长为a 的正方形，如图所示，随机地向正方形内丢一粒沙子，则沙子落入阴影部分的概率是 ． 答案：4π2- 6．一栋楼房有4个单元， 甲、乙两人住在此楼内 ，则甲、乙两人住同一个单元的概率 为 ． 答案：14三、解答题7．一海豚在水池里自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．答案：解：如右图，区域D 是长30m ，宽20m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2m ”，于是23020600(m )D μ=⨯-，230202616184(m )d μ=⨯-⨯=，()0.31d DP A μμ=≈．8．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．解：用x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是15x y -≤，在平面上建立直角坐标系如图所示，则()x y ，的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示，这是一个几何概型问题，由等可能性知，22260457()6016d D P A μμ-===．备选题1．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 ． 答案：572．鱼池中共有N 尾鱼，从中捕出n 尾鱼并标上记号后放回鱼池中，经过一段时间后，再从鱼池中捕出s 尾，其中有记号的有t 尾，则估计鱼池中共有鱼N = 尾． 答案：ns t3．袋中有12个小球，其中有外形，重量一样的红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，分别试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记“摸得红球”，“摸得黑球”，“摸得黄球”，“摸得绿球”分别为事件A B C D ，，，， 则有5()()()12P B C P B P C +=+=， 5()()()12P C D P C P D +=+=， 又1()3P A =，故2()1()3P B C D P A ++=-=， 所以1()4P B =， 1()6P C =，1()4P D =． 4．在区间(01)，上随机取两个数m 、n ，求关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率．解：在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m n ，的值，因为m 、n 是(01)，中任意取的两个数，所以点()m n ，与右图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m -+=有实根，则事件40()|101n m A m n n m n ⎧⎫⎧-⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，≥，所对应的区域为右图中的阴影部分， 且阴影部分的面积为18．故由几何概型公式得 1()8S P A S ==阴影正方形，即关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率为18．。
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得或，即或，则的值介于到之间的概率为：.故选A.【考点】几何概型的问题.2.甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由随机事件特点可知，甲乙两人可以在跑道上任何位置，且互不影响.同时考虑到两人距离不超过50米，将跑到建立数轴，且设甲乙两人的坐标为.则,满足几何概型.，，故B【考点】几何概型.3.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为 ()．A．B．C．D．【答案】C【解析】观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB的方程为6x-3y-4=0中，令x=1得A（1，），令y=-1得B（，-1）．∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×（1+）（1-）=，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：P=．故选C．【考点】几何概型．4.在棱长为3的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故概率为p=．【考点】几何概型．5.如图，在△AOB中，已知∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率为（）A．0．6B．0．4C．0．2D．0．1【答案】B【解析】点C的活动范围在线段OB上，所以D的测度为5，△ACO为钝角三角形包含∠OAC，∠OCA为钝角，△AOC为钝角三角形时，∠ACO为钝角，或∠OAB是钝角．当∠ACO=90°时，如下图由勾股定理可求 OC=1；∠OAB=90°时，由直角三角形中的边角关系可得OC=4，BC=1,综上，所以d的测度为2，故△AOC为钝角三角形的概率等于=0．4，故选B．【考点】几何概型．6.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1．5 cm的圆，中间有边长为0．5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．【答案】【解析】如图，．【考点】几何概型．7.如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。
2020版高考数学一轮复习专用精练：第6讲 几何概型_含解析
第6讲 几何概型一、选择题1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，即x ≤1，故所求的概率为( ) A.45B.35C.25D.15解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数x ，且x ≤1，即－2≤x ≤1，故所求的概率为P ＝35. 答案 B2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( ) A.π3B.πC.2πD.3π解析 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得S S ′＝13，则S ＝3π.答案 D3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14解析 由－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，所以事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A. 答案 A4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4. 答案 B5.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12B.1－π12C.π6D.1－π6解析 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部. ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.答案 B6.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16B.13C.12D.23解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.答案 C7.设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D.答案 D8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14B.316C.916D.34解析 由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A (4，2)，S 正方形＝16， S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.答案 D9.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( ) A.78B.34C.12D.14解析 当点P 到底面ABC 的距离小于32时， V P －ABC ＜12V S －ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.答案 A10.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析 因为复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )且|z |≤1，所以|z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，即点(x ，y )在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y ≥x表示直线y ＝x 左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P ＝14·π·12－12×1×1π·12＝14－12π. 答案 D 二、填空题11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去. 当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3. 答案 312.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.解析 因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16. 答案 1613.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x－5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3.则|5k －0|k 2＋1＜3，解之得－34＜k ＜34，故所求事件的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.答案 3414.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1.答案4π－1 15.在区间[－1，4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( ) A.12B.13C.25D.35解析 由2x －x 2≥14，得－1≤x ≤2.又－1≤x ≤4. ∴所求事件的概率P ＝2－（－1）4－（－1）＝35.答案 D16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为( ) A.112B.512C.13D.15解析 根据几何概型公式，小于3km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P (A )＝5π12π＝512. 答案 B17.已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( ) A.12B.13C.23D.34解析 由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，故所求概率为12.答案 A18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( ) A.1πB.2πC.13D.23解析 由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]， 解之得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.答案 C19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117B.217C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217. 答案 B20.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.23B.13C.89D.π4解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13，故点P 到O 的距离大于1的概率为23. 答案 A21.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A.p 1<p 2<12 B.p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D.p 1<12<p 2解析 (x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，满足xy ≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21＞12，所以p 1＜12＜p 2，故选D.答案 D22.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( ) A.1－π8 B.1－π4 C.1－π2D.1－3π4解析 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，可得Δ＝(2a 2)－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 答案 B23.(2017·安徽江南名校联考)AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________. 解析 依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12. 答案 1224.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127. 答案 12725.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×（12）2π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×（14）2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 答案 131626.随机地向半圆0＜y ＜2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为________.解析 由0＜y ＜2ax －x 2(a ＞0). 得(x －a )2＋y 2＜a 2. 因此半圆域如图所示.设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.1 2＋1π答案。
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题（含答案解析）1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品，其余为合格品.现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中，得到的数不能被5和2整除的概率为（）A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<V SABC的概率是()A. B.C. D.4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点，则点在圆内的概率为.10．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．11．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．15.（2015菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．16．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2．【答案】B【解析】总的事件数为，得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3，有，故所求概率为0.4.3．【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，4．【答案】A【解析】5．【答案】A【解析】∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴6．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是7．【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种，点落在圆内的有，，，共4种，故所求的概率为.10．【答案】【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11．【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.12．【答案】【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14．【答案】解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．16．【解析】(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班，乘客甲随机的到达车站，则甲等待的事件不超过3分钟的概率为（）A. B. C. D.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M，以AM为半径作圆，则该圆的面积在和之间的概率为（）A. B. C. D.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b，则使得函数有零点的概率为.12．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．13.（2015河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．14.（14分）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从1，2，3，4，5四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间[1,5]任取的一个数，是从区间[1,4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即，又a,b的取法共种，其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3．【答案】D【解析】在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为.4．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准，概率为.6．【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝7．【答案】D【解析】由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9．【答案】A【解析】依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于10．【答案】B【解析】因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0,4)，B(4,4),C(4,0),O为坐标原点，若函数有零点，则解之得，满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12．【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，又当m∈(0,3)时，，∴··<，解得0<m<2，∴P＝三、解答题13.【解析】（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝，1红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况，所以概率为．14.【解析】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共20个：事件中包含个基本事件，所以事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为，∴,构成事件的区域为，∴,所以所求的概率为．15．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝＝.∴所求事件的概率为。
高三数学几何概型试题答案及解析
高三数学几何概型试题答案及解析1.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由题知，以AB为直径的圆的半径为1，故质点落在以AB为直径的半圆内的概率为=，故选B.考点:几何概型2.在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在区间[0，2]上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y≥2x，对应区域的面积为×1×2=1，∴所求的概率为，故选B．考点:几何概型3.张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．【答案】【解析】以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝．4.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M．(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【答案】（1）（2）【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A．∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝．(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)| }内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12．而所求事件构成的平面区域为{(x，y)| }，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝．∴所求事件的概率为P＝＝＝．5.在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为________．【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈[，]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x，故只要x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，若在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6)内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是＝．6.在可行域内任取一点，规则如流程图所示，求输出数对(x，y)的概率．【答案】【解析】可行域为中心在原点，顶点在坐标轴上的正方形(边长为)，x2＋y2≤表示半径为的圆及其内部，所以所求概率为＝．7.在长为的线段上任取一点，并且以线段为边作正三角形，则这个正三角形的面积介于与之间的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：边长为的正三角形的面积为，由得:在长为的线段上任取一点,有无限个可能的结果，所有可能结果对应一个长度为20的线段，设“以线段为边的正三角形面积介于与之间”为事件M，则包含M的全部基本事对应的是长度为6的线段，所以故选D.【考点】几何概型.8.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，此题为几何概型，,故选C.【考点】几何概型9.一只昆虫在边长分别为、、的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于的地方的概率为 .【答案】.【解析】如下图所示，易知三角形为直角三角形，昆虫爬行的区域是在三角形区域内到以各顶点为圆心，半径为的圆在三角形区域内的部分，实际上就是三个扇形，将这三个扇形拼接起来就是一个半圆，其半径长为，面积为，三角形的面积为，因此昆虫爬行时到三角形顶点的距离小于的地方的概率为.【考点】几何概型10.如图，一半径为的圆形靶内有一个半径为的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为环，圆环区域记为环，某同学向该靶投掷枚飞镖，每次枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.（1）求该同学在一次投掷中获得环的概率；（2）设表示该同学在次投掷中获得的环数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据题中条件确定相应的事件为几何概型，然后利用几何概型的概率计算公式（对应区域面积之比）求出相应事情的概率即可；（2）（1）由题意可得是几何概型，设，该同学一次投掷投中环的概率为；（2）由题意可知可能的值为、、、，，，，，的分布列为环，答：的数学期望为环.【考点】1.几何概型；2.离散型随机变量分布列与数学期望11.已知正方体的棱长为2，在四边形内随机取一点,则的概率为_______ ，的概率为_______.【答案】；【解析】四边形为矩形且。
高中数学高考65第十一章 概率 11 2 几何概型
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有_无__限__多__个_； (2)等可能性：每个结果的发生具有_等__可__能__性__. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机 事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤 是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的 意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频 率fn(A)＝MN 作为所求概率的近似值.
跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动， 则此点落在正方体内部的概率为
A.6π
B.32π
C.π3
√D.23π3
解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球 的直径是正方体的体对角线长，
故球的半径 R＝ 23，球的体积 V2＝43π× 233＝ 23π， 则此点落在正方体内部的概率 P＝VV12＝23π3.
√4－π
D. 4
123456
题组三 易错自纠 5.在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝_3__. 解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 0<m≤2 时，由题意得26m＝65，解得 m＝2.5，矛盾，舍去. 当 2<m<4 时，由题意得m－6－2＝56，解得 m＝3.故 m＝3.
件 A＝“y0<2x0”，那么事件 A 发生的概率是
人教A版高中数学必修三3-3-1 几何概型
[归纳总结] 几何概型的两个特点，一是无限性，即在 一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能 性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．
(2)计算公式． 在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：
构成事件A的区域长度或面积或体积 P(A)＝ 试验的全部结果构成的区域长度或面积或体积 .
[破疑点] 几何概型的概率计算公式中的“长度”并不 是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成 的区域，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的 “长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何体的体 积．
[特别提醒] 解几何概型问题时，常常需要寻找不等关 系．要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不 等关系．
取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率是多少？
[分析] 从每一个位置上剪断绳子，都是一个基本事件， 剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点，基本事件有 无穷多个，而且每一个基本事件的发生是等可能的，因此事 件发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关，符合几 何概型的条件．
(4,3)，(4,4)共16种．能使
x y
为整数的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，
(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)8种，
∴xy为整数的概率为186＝12.
新课引入
数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学 知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中 的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的 知识还能积极探索！
记等车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的 时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15， 区域T1T的长度为5.所以P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13.
高一数学几何概型试题答案及解析
高一数学几何概型试题答案及解析1.已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为（）A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】0≤x≤2π，|y|≤1所对应的平面区域如下图中长方形所示，“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示：根据余弦曲线的对称性可知，蓝色部分的面积为长方形面积的一半，故满足“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”的概率P=．故选A．【考点】几何概型.2.甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设甲到达会面处的时该为７点x分钟,则，设乙到达会面处的时该为７点y分钟,则；根据题意知所有可能情况为不等式组，两人能会面则必须满足，画出不等式组所表示的平面区域：，则所求的概率为：，故选C．【考点】几何概率．3.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为 ()．A．B．C．D．【答案】C【解析】观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB的方程为6x-3y-4=0中，令x=1得A（1，），令y=-1得B（，-1）．∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×（1+）（1-）=，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：P=．故选C．【考点】几何概型．4.在区间（0,1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是【答案】【解析】设在区间（0,1）中随机地取出的两个数为，满足条件的为图中阴影部分，所以概率为阴影部分面积：总面积=．【考点】几何概型．5.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【答案】A【解析】第一个转盘中奖的概率为；第二个转盘中奖的概率为；第三个转盘中奖的概率为；第四个转盘中奖的概率为，所以中奖最高为A。
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高中数学-几何概型测试题
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(·厦门高一检测)两根电线杆相距100m,若电线遭受雷击,且雷击点距电线杆10m之内时,电线杆上的输电设备将受损,则遭受雷击时设备受损的概率为
( ) A.0.1 B.0.2 C.0.05 D.0.5
【解析】选B.如图,两根电线杆相距MN=100m,MP=10m,QN=10m,则当雷击点在MP或QN范围上时,设备受损,故P==0.2.
2.将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A. B. C. D.
【解题指南】求出阴影部分的面积,利用几何概型求概率.
【解析】选B.阴影部分的面积S阴=π×12=,长方形的面积S=2×1=2.
所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是==.
3.(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A. B. C. D.
【解析】选B.至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.
【补偿训练】如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设事件A表示小鸡正在正方形的内切圆中,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概
率公式可得P(A)==,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是
( ) A. B. C. D.
【解析】选B.体积型几何概型问题.P==.
5.如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选 C.由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P=
==.
6.如图所示,设M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长超过R的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选D.过圆心O作与OM垂直的直径CD,连接MD,MC,则MD=MC=R.当点N不在半圆弧上时,MN>R,故所求的概率P==.
7.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L,则L与线段BC相交的概率为
( ) A. B. C. D.
【解题指南】从角度方面考虑,注意和射线的区别.
【解析】选B.由于直线向两端无限延伸,当直线绕点A旋转时,直线和线段BC相交的概率为=.
【延伸探究】本题中若将直线改为射线,则结果如何呢?
【解析】选C.由于射线不是向两端无限延伸的,所以当射线绕点A旋转时,射线和线段BC相交的概率为=.
8.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则= ( )
A. B. C. D.
【解题指南】解本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件,首先是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD,最后分别以A,B为圆心以AB为半径作圆弧交CD于F,E,当EF=CD时满足题意.
【解析】选D.如图,
在矩形ABCD中,以B,A为圆心,以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,则DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF 中,AD==,所以=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(·山东高考改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为________.
【解题指南】本题是以对数函数为背景的长度之比型几何概型的计算.
【解析】由-1≤lo≤1得≤x+≤2,即0≤x≤,故所求概率为=.
答案:
10.一个球形容器的半径为3cm,里面装有纯净水,因不小心混入了1个感冒病毒,从中任取1mL水(体积为1cm3),含有感冒病毒的概率为________.
【解析】水的体积为πR3=π·33=36π(cm3)=36π(mL),则含感冒病毒的概率为P=. 答案:
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)=-x2+ax-b.
(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率.
(2)若a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,求f(1)>0成立时的概率.
【解题指南】准确判断概率模型是古典概型还是几何概型的关键是:基本事件是否只有有限个,每个基本事件发生是否等可能.
【解析】(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=5×5=25(个). 函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0,即a2≥4b.
因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),
(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.所以事件“a2≥4b”的概率为P=.
(2)因为a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,f(1)=-1+a-b>0,所以a-b>1,此为几何概型,所以事件“f(1)>0”的概率为P==.。