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中考数学抛物线与平行四边形题+答案
1、如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形； （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，解得：b=2，c=﹣3，则解析式为：y=x 2+2x ﹣3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x 2+2x ﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0）， ∴AC=，CD=，AD=，由AC 2+CD 2=AD 2，所以△ACD 为直角三角形； (3)123(1,4),(3,12),(5,12)F F F --- 2、如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0），腰BC 所在直线的解析式为y ＝－14x ＋3．（1）求顶点B 的坐标；（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点E ，点O 关于直线l 的对称点为O ′，连接CO ′并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当CD ＝5时，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P 是直线l 上的动点，点Q 是直线OD 上的动点，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P 的坐标；如果不能，说明理由．解：（1）∵直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0）∴∠OAB ＝∠AOC ＝90°，点C 在y 轴上 又∵A （4，0），∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－14x ＋3中，得y ＝2∴B （4，2） ····································································· 3分 （2）如图1，过C 作CF ⊥DA 于F由y ＝－14x ＋3，点C 在y 轴上，得C （0，3） ∵AB ∥OC ，∴∠OCE ＝∠DEC∵点O ′和点O 关于直线l 对称，∴∠DCE ＝∠OCE ∴∠DCE ＝∠DEC ，∴ DE ＝DC ＝5∵y ＝－14x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，∴OC ＝AF ＝3 ∵CF ＝OA ＝4，∴DF ＝DC 2－CF 2＝3 ∴FE ＝DE －DF ＝2，AE ＝AF －FE ＝1 ∴E （4，1）设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C 、E 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧3＝b1＝4k ＋b 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝3∴直线l 的解析式为y ＝－12x ＋3 ················································（3）∵DA ＝DE ＋AE ＝6，∴D （4，6）易得直线OD 的解析式为y ＝32x ①当BC 为边时，设P （x ，－12x ＋3）i ）如图2，∵B （4，2），C （0，3），∴Q （x －4，－12x ＋4） ∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋4＝32(x －4)，∴x ＝5∴P 1（5，12） ···································································· 9分 ii ）如图3，则Q （x ＋4，－12x ＋2）∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋2＝32(x ＋4)，∴x ＝－2∴P 2（－2，4） ·································································································· 10分②当BC 为对角线时，如图4，设P （a ，－12a ＋3），Q （b ，32b ），则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4－12a ＋3＋32b ＝5 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2 ∴P 3（2，2） ······································································································ 11分 综上，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能成为平行四边形，点P 的坐标为：P 1（5，12），P 2（－2，4），P 3（2，2） ··························································· 12分3、如图，抛物线y ＝13x 2－mx ＋n 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l ． （1）求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使四边形ABDC 的面积为3，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由（使用图1）；（3）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标（使用图2）．解：（1）∵抛物线与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l∴⎩⎨⎧n ＝－1－－m 2×13＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23n ＝－1∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1 ·························· 2分 令13x 2－23x －1＝0，得：x 1＝－1，x 2＝3∴A （－1，0），B （3，0） ·········································· 4分（2）设在x 轴下方的抛物线上存在点D （x ，13x 2－23x －1）（0＜x ＜3），使四边形ABDC 的面积为3，过D 作DH ⊥AB 轴于H则S 四边形ABDC ＝S △AOC ＋S 梯形OCDH ＋S △BHD ＝12×1×1＋12[1－(13x 2－23x －1)]＋12(3－x )[－(13x 2－23x －1)]＝－12x 2＋32x ＋2由－12x 2＋32x ＋2＝3，解得：x 1＝1，x 2＝2当x ＝1时，13x 2－23x －1＝43；当x ＝2时，13x 2－23x －1＝－1图1图2∴D 1（1，43），D 2（2，－1） ·············································································· 8分 （3）①当AB 为边时，只要PQ ∥AB ，且PQ ＝AB ＝4即可又知点Q 在y 轴上，所以点P 的横坐标为4或－4，这时，符合条件的点P 有两个当x ＝－4时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝53∴P 1（－4，7），P 2（4，53） ············································································· 10分②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1 所以点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个 当x ＝2时，y ＝－1 ∴P 3（2，－1）综上，满足条件的点P 有三个，其坐标分别为：P 1（－4，7），P 2（4，53），P 3（2，－1） ···················· 12分4．已知抛物线y ＝12x 2－mx ＋2m －72．（1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．解：（1）∵y ＝12x 2－mx ＋2m －72∴△＝(－m )2－4×12×(2m －72)＝m 2－4m ＋7＝(m －2)2＋3＞0 ∴无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点 （2）①∵抛物线的对称轴为直线x ＝3∴－－m2×12＝3，∴m ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－3x ＋52＝12(x －3)2－2 ∴顶点C 坐标为（3，－2）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝12x 2－3x ＋52得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7y 2＝6 ∴A （1，0）∵当x ＝3时，y ＝x －1＝3－1＝2，∴D （3，2）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，抛物线与x 轴的另一交点为P 则E （3，0），P （5，0）∴AE ＝PE ＝DE ＝CE ＝2，又DC ⊥AP ∴四边形ACPD 是正方形 ∴点P （5，0）即为所求②（Ⅰ）设直线CD 向右平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3＋n∴M （3＋n ，2＋n ），N （3＋n ，12n 2－2）∵D （3，2），C （3，－2），∴DC ＝4i ）当M 在N 上方时，MN ＝2＋n －(12n 2－2)＝－12n 2＋n ＋4∵MN ＝DC ，∴－12n 2＋n ＋4＝4 解得n 1＝0（舍去），n 2＝2∴直线CD 向右平移2个单位能使得四边形CDMN 是平行四边形ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2＋n )＝12n 2－n －4∵NM ＝DC ，∴12n 2－n －4＝4解得n 1＝1－17（舍去），n 2＝1＋17∴直线CD 向右平移(1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形（Ⅱ）设直线CD 向左平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3－n∴M （3－n ，2－n ），N （3－n ，12n 2－2）i ）当M 在N 上方时，MN ＝2－n －(12n 2－2)＝－12n 2－n ＋4∵MN ＝DC ，∴－12n 2－n ＋4＝4解得n 1＝0（舍去），n 2＝－2（舍去）ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2－n )＝12n 2＋n －4∵NM ＝DC ，∴12n 2＋n －4＝4解得n 1＝－1＋17，n 2＝－1－17（舍去）∴直线CD 向左平移(－1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形综上所述，直线CD 向右平移2或(1＋17)个单位或向左平移(－1＋17)个单位，能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形。
难点攻关 抛物线与平行四边形【含答案】
难点攻关 抛物线与平行四边形
近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，
1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过A ，B ，C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q
从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同
时停止．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t
为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？ 解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．
由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝0
16a+4b+2＝2 解得: ⎪⎨⎪⎧a=－1
16
b=14
∴⎩⎪⎨⎪⎧a−b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝−52 解得 : ⎩⎨⎧a=12b=－2c=－52。
中考数学满分之路(七)—抛物线与平行四边形、特殊的平行四边形
中考数学满分之路（七）——抛物线与平行四边形、特殊的平行四边形 一、抛物线与平行四边形 1. 中点坐标公式在平面直角坐标系xOy 中，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点M 为线段AB 的中点，则1212(,)22x x y y M ++.2. 平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点M ，则M 的坐标可以表示为(,)22A C A C x x y y M ++，也可以表示为(,)22B D B Dx x y y M ++. 若四边形ABCD 为平行四边形，则A C B D x x x x +=+且A C B D y y y y +=+； 若A C B D x x x x +=+且A C B D y y y y +=+，则四边形ABCD 为平行四边形.方法技巧 在具体的应用中，一般是已知,,,A B C D x x x x （或,,,A B C D y y y y ）中的三个，根据上述等量关系求出剩下的那一个，再代入相应解析式中，可求出其坐标.y 2)1. 如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C . 点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （14m <<）. 连接AC ，BC ，DB ，DC . （1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为4的正方形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上. 点D 是OA 的中点，连结CD ，过D 作DE CD ⊥，且DE CD =，以点D 为顶点的抛物线刚好经过E 点. P 为射线CB 上一点，过点P 作PF CD ⊥于点F . （1）求E 点坐标及抛物线的表达式；（2）若点P 从C 出发，沿射线CB 以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？（3）点Q 为抛物线上一点，当点Q 在直线PF 上，且满足以点D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q 的坐标.备用图二、抛物线与矩形1. 有一个角为90°的平行四边形是矩形.2. 垂直的处理方式之一——斜率关系.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1-；反之，如果它们的斜率之积等于1-，那么它们互相垂直. 即12121l l k k ⊥⇔⋅=-. （其中1l ，2l 都有斜率）一般地，12l l ⊥⇔121k k ⋅=-或1k 、2k 中一个为值为0另一个不存在.3. 垂直的处理方式之二——构造“K 型”相似.例 如图，抛物线的解析式为223y x x =-++，点(1,0)A -，(0,3)B ，BD ⊥AB 交抛物线于D ，求点D 的坐标. 构造与坐标轴平行的直线，得△BND ∽△AMB ，∴ND BN BM AM =，即13ND BN=，设ND ＝t ，BN ＝3t ，则(3,3)D t t -，代入223y x x =-++即可求解.3. 已知，如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --，(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C .（1）求抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）在抛物线上A ，M 两点之间的部分（不包含A ，M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）上下平移直线AB ，设平移后的直线与抛物线交于'A ，'B 两点（'A 在左边，'B 在右边），且与y 轴交于点(0,)P n ，若''90A MB ∠=，求n 的值.备用图4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y ax ax a =--（0a <）与x 轴交于,A B 两点，（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =. （1）直接写出点A 的坐标，并求出直线l 的函数表达式（其中,k b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为54，求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点,,,A D P Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由.（备用图）三、抛物线与菱形.1. 邻边相等的平行四边形是菱形.2. 两点间的距离公式.在平面直角坐标系xOy 中，11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB .3. 直线与抛物线相交于两点A ，B ，则AB ＝？例 已知抛物线的解析式为223y x x =-++，直线的解析式为1y kx =+，设直线与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长度. （用含k 的代数式表示）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则111y kx =+，221y kx =+，∴1212()y y k x x -=-，联立2231y x x y kx ⎧=-++⎨=+⎩，消去y 并整理得2(2)20x k x +--=，224(2)80b ac k ∆=-=-+>，∴122bx x k a +=-=-，122x x =-，AB ∴====5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，一条抛物线经过点A 、点B ，并与x 轴交于另一点C ，抛物线的对称轴1x =-与抛物线的交点为点D . （1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，直线PQ 将△ABD 的面积分为1:3的两部分，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点E 从点A 出发，沿线段AB 由A 向B 运动，同时点F 从点C 出发，沿线段CA 由点C 向A 运动，E 、F 的运动速度都是每秒1个单位长度，当F 点到达A 点时，E 、F 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点M ，使E 、F 运动过程中的某一时刻，以A 、E 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.备用图6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)3y a x =+-与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点8(0,)3C -，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .过点H 的直线l 交抛物线于,P Q 两点，点Q 在y轴的右侧.（1）求a 的值及点,A B 的坐标；（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3:7的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否成为菱形?若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由.（备用图）四、抛物线与正方形 1. 邻边相等的矩形是正方形. 有一个角为直角的菱形是正方形.邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形.2. 正方形（等腰直角三角形）最高效的处理方式——构造“K 型”全等例 如图，已知抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-（其中0a <），抛物线与x 轴负半轴的交点为A ，与y 轴交点为C ，过点C 作AC 的垂线交抛物线于点D ，连接AD ，当△ACD 为等腰直角三角形时，a ＝_____.解：如图，易得△CND ≌△AMC ，∴CN ＝AM ＝－3a ，DN ＝CM ＝1，∴(3,31)D a a ---，代入抛物线解析式，得329610a a ++=，三次方程不要求会解. 用计算器解得其实数根约为－0. 828528.3. 已知点(,)A a b ，(,)M m n ，MA 绕点M 顺时针旋转90°得到MB ，MA 绕点M 逆时针旋转90°得到MC ，求点B 与点C 的坐标；点A 与点M 的相对位置改变时，点B 与点C 的坐标形式不变；注意顺时针和逆时针的区别.b －n ，n ＋m －a )－b ，n －m ＋a )7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(4,0)A ，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，对称轴32x =与x 轴交于点H . （1）求抛物线的函数表达式；（2）直线1y kx =+（0k ≠）与y 轴交于点E ，与抛物线交于点P ，Q （点P 在y 轴左侧，点Q 在y 轴右侧），连接CP ，CQ ，若△CPQ，求点P ，Q 的坐标； （3）在（2）的条件下，连接AC 交PQ 于G ，在对称轴上是否存在一点K ，连接GK ，将线段GK 绕点G 逆时针旋转90°，使点K 恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由.备用图8. 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2y ax bx c =++与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为(0,4)D，AB =，设点(,0)F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线'C . （1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线'C 上的对应点为'P ，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由.图1图2【随机练习】9. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，2BED BAC CED ∠=∠=∠，AD ＝BD ，则CE 的长为______.10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，P 是AC 边上一动点，CH ⊥PB 于H ，DH ⊥AH 交AB 于D ，则AD 长度的最小值为______.AD B CD。
两定两动畅游在抛物线上的平行四边形课件
数学建模中两定两动平行四边形的应用有助于解决实际问题。
详细描述
在数学建模中，两定两动平行四边形可以用于解决一些实际问题，如建筑设计、机械运动等。通过设定两个定点 和两个动点，可以构建出满足特定条件的平行四边形，进一步建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
总结与展望
本章总结
01
02
介绍了抛物线的基本概 念和平行四边形的性质。
平行四边形的相对边平行于抛 物线的对称轴，且相对顶点沿 抛物线轨迹运动。
随着相对顶点的移动，平行四 边形的大小和形状会发生变化， 但仍然保持平行四边形的特性。
两定两动平行四边形在抛物线上的运动轨迹
固定在抛物线对称轴上的两个顶 点，其运动轨迹是垂直于对称轴
的两条直线。
另外两个顶点沿抛物线轨迹运动， 其运动轨迹是抛物线的一部分。
两定两动平行四边形在抛 物线上的应用
两定两动平行四边形在几何作图中的应用
总结词
几何作图中的两定两动平行四边形是解决复杂几何问题的重 要工具。
详细描述
在几何作图中，两定两动平行四边形可以用于解决一些复杂 的几何问题，如作图、证明等。通过合理设定两个定点和两 个动点，可以构造出满足特定条件的平行四边形，进而解决 一系列的几何问题。
两定两动平行四边形的性质
01
02
03
性质1
两定两动平行四边形具有 平行四边形的所有性质， 如对边相等、对角相等、 对角线互相平分等。
性质2
由于其中一个顶点是动点， 因此两定两动平行四边形 具有一个顶点在抛物线上 的性质。
性质3
两定两动平行四边形的面 积等于两个定点之间的距 离乘以顶点到定点的距离。
通过两定两动的设定， 详细阐述了如何在抛物 线上构造平行四边形。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之平行四边形(含解析)
中考数学抛物线压轴题之平行四边形1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A 运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝﹣1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标．（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．16．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．解析1．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝6，∴C（6，0），把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+x+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），∴EG＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣+4m，∴S△BEC＝EG•OC＝×6（﹣+4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，∵﹣2＜0，∴S有最大值，此时E（3，8）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x2﹣5x+﹣）+4＝﹣（x﹣）2+；对称轴是：x＝，∴A（﹣1，0）∵点Q是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y＝﹣x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣）；②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，由（2），可得点M的横坐标是3，∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，∴P的横坐标为，∴P（，﹣）；③以AM为对角线时，如图4，∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，∴点P的坐标是（﹣，），综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．2．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2；故答案为：，2；（4分）（2）∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，﹣x2+x+2），则D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，有S＝PD•OB＝×4（﹣+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2＝＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC＝，（10分）∴S＝BC•PH＝×2×＝5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴＝＝＝S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）3．【解答】解：（1）依题意，将B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，代入抛物线解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．∴A（﹣2，0），则AB＝6，当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．∵OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°．又∵DM⊥OA，∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，当点M运动t秒时，AM＝t，∴MD2+AD2＝AM2＝t2，∴DM＝t，∴，∴由二次函数的图象及性质可知，当时，S最大值为；（3）存在，理由如下：①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴y B﹣y C＝y Q﹣y P＝2，x B﹣x C＝x Q﹣x P＝4，∵y P＝0，∴y Q＝2，将y＝2代入，得 x1＝1+，x2＝1﹣，∴当x Q＝1+时，x P＝﹣3+；当x Q＝1﹣时，x P＝﹣3﹣，∴P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0）；②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，∵y P＝y B＝0，∴y Q＝y C＝﹣2，将y＝﹣2代入，得 x1＝0（舍去），x2＝2，∴x Q＝2时，∴x P﹣x B＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝6，∴P3（6，0）；③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，由②知，x Q＝2，∴x B﹣x P＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝2，∴P4（2，0）；综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P3（6，0），P4（2，0）．4．【解答】解：（1）直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x＝1，则A点坐标为（1，0）；当x＝0时，y＝3，则C点坐标为（0，3）；抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则B点坐标为（﹣3，0）；把C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得3＝﹣3a，解得a＝﹣1，则此抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），如图1，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设直线BC的关系式为：y＝mx+n，把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得，解得，∴直线BC的关系式为y＝x+3，∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴△PBC的面积＝S△PBM+S△PCM＝＝×3（﹣x2﹣3x）＝﹣+，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△PBC的面积有最大值是，∴P点坐标为（﹣，）；（3）①当以BC为对角线，如图2，∵四边形BMCN为平行四边形，∵C点（0，3），N点横坐标为﹣1，B点横坐标为﹣3，∴M点横坐标为﹣2，∴M点纵坐标为y＝﹣4+4+3＝3，∴M点坐标为（﹣2，3）；②当以BC为边时，如图3，∵四边形BCNM为平行四边形，∵C点（0，3），B（﹣3，0），N点横坐标为﹣1，∴M点横坐标为﹣4，∴M点纵坐标为y＝﹣16+8+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）；同理可知如图4，存在四边形BCMN为平行四边形，可得M的横坐标为2，当x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．综上所述，M点坐标为（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．5.解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．方法二：（3）∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴，∴，∵∠DEC=∠COB=90°，∴△DEC∽△COB，∴∠DCE=∠CBO，∴∠DCE+∠OCB=90°，∴DC⊥BC，∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点，∴M X==2，M Y==2，∴△BCD的外接圆圆心M（2，2）．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．方法二：（1）略．（2）把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=3，∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），K BD==1，K AB==﹣1，∴K BD•K AB=﹣1，∴AB⊥BD，即△ABD为直角三角形．（3）略．（4）∵，解得：x1=1（舍），x2=2，∴G（2，﹣3），∵A（1，﹣4），B（0，﹣3），D（3，0），∴GA==，BD==3，AB==，∴S△BDG==4．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，则D′E′===10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（，﹣）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|=••（3﹣1）=；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P1（﹣，）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P2（，﹣）．综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方法一：过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠GDE=90°．∵∠ODC+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠GDE．在△OCD和△GED中，∴△ODC≌△GED （AAS），∴EG=OD=1，DG=OC=2．∴点E的坐标为（3，1）．∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，将C、E点的坐标代入解析式，得．解得，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；方法二：过点E作EG⊥x轴于G点．DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，∴E（3，1），∴9a+3b+2=0，∵﹣=2，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；（2）方法一：①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC=OD=1，∴t=1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．∴PC=PD，∴DF=CD．∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，∴CD=，∴DF=．∵=，∴PC=PD=×=，t=，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法二：过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，∵PF⊥CD⇒K PF×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），∴，∴m=，∴F（，﹣），∴=，∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，①，∴，∴t=，②，∴，∴t=1，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法三：若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，∴K OO′×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴H（m，﹣2m+2），∴﹣2×=﹣1，∴m=，∴H（，），∵H为OO′中点，∴O′（，），∴l O′D：y=，令y=2，∴x=，即P（，2），∴t=．（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），∴1=x+2，解得x=﹣2，∴B（﹣2，1），∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），∵抛物线经过A，D两点，∴，解得，∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣6；（2）∵点E（m，n）在直线l上，∴n=m+2，∴S=×1×[±（m+2）]=±（m+1），即S=m+1（m＞﹣4）或S=﹣m﹣1（m＜﹣4）；（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，作EH∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≌△CDA，∴GH=AD=1，∴E的横坐标为±1，∵点E在直线l上，∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=当AC为对角线时，有E和G的横坐标之和等于A和C的横坐标之和，故可求得E（﹣5，﹣1/2）∴E（﹣1，）；（1，）或（﹣5，﹣1/2）；由于E为抛物线的顶点，G为抛物线与y轴的交点，故将其坐标代入y=﹣x2+bx+c，检验可知当E取（1，）或（﹣5，﹣1/2）时，与此时的A、C、E构成平行四边形的G点并不是y轴与抛物线的交点，与前提相矛盾；综上，满足题意的E的坐标为（﹣1，）．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意把抛物线：y1=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣[（x﹣2）2﹣4]=﹣（x﹣2）2+2，故抛物线y1的顶点坐标为：（2，2）；（2）∵抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=﹣（x﹣4）2+3，整理得y2=﹣x2+4x﹣5；（3）符合条件的N点存在．如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，∴∠PAO=∠MBN=90°，若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，∴∠POA=∠BMN，在△POA和△NMB中∴△POA≌△NMB（AAS），∴PA=BN，∵点P的坐标为（4，3），∴NB=PA=3，∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方，①点N在抛物线y1上，则有：﹣x2+2x=﹣3解得：x1=2﹣，x2=2+，②点N在抛物线y2上，则有：﹣（x﹣4）2+3=﹣3解得：x3=4﹣2或x4=4+2故符合条件的N点有四个：N1（2﹣，﹣3），N2（4﹣2，﹣3），N3（2+，﹣3），N4（4+2，﹣3）．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．方法二：（1）略．（2）∵E（0，6），C（8，0），∴l EC：y=﹣x+6，∵，EP=2t，∴P x=t，∴P（t，﹣t+6），Q（8﹣t，0），∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．当PQ⊥OC时，Px=Qx，即t=8﹣t，∴t1=，当PQ⊥PC时，K PQ•K PC=﹣1，∴t2=．（3）M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形．设N（4，t），C（8，0），E（0，6），∴，∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），∴﹣t，∴t=﹣，﹣×（﹣4）2+（﹣4）=t+6，∴t=﹣38，﹣×122+×12=t﹣6，∴t=﹣26，综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（4，），N1（4，﹣）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．。
难点攻关 抛物线与平行四边形
难点攻关 抛物线与平行四边形
近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，
1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过A ，B ，C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长
度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t
为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？
解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．
由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝016a+4b+2＝2 解得: ⎩⎪⎨⎪⎧a=－116b=14
∴⎩⎪⎨⎪⎧a−b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝−52
解得 :
⎨⎧a=12b=－2c=－52。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之平行四边形(含解析)
中考数学抛物线压轴题之平行四边形1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A 运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝﹣1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标．（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．16．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．解析1．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝6，∴C（6，0），把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+x+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），∴EG＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣+4m，∴S△BEC＝EG•OC＝×6（﹣+4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，∵﹣2＜0，∴S有最大值，此时E（3，8）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x2﹣5x+﹣）+4＝﹣（x﹣）2+；对称轴是：x＝，∴A（﹣1，0）∵点Q是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y＝﹣x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣）；②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，由（2），可得点M的横坐标是3，∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，∴P的横坐标为，∴P（，﹣）；③以AM为对角线时，如图4，∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，∴点P的坐标是（﹣，），综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．2．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2；故答案为：，2；（4分）（2）∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，﹣x2+x+2），则D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，有S＝PD•OB＝×4（﹣+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2＝＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC＝，（10分）∴S＝BC•PH＝×2×＝5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴＝＝＝S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）3．【解答】解：（1）依题意，将B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，代入抛物线解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．∴A（﹣2，0），则AB＝6，当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．∵OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°．又∵DM⊥OA，∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，当点M运动t秒时，AM＝t，∴MD2+AD2＝AM2＝t2，∴DM＝t，∴，∴由二次函数的图象及性质可知，当时，S最大值为；（3）存在，理由如下：①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴y B﹣y C＝y Q﹣y P＝2，x B﹣x C＝x Q﹣x P＝4，∵y P＝0，∴y Q＝2，将y＝2代入，得 x1＝1+，x2＝1﹣，∴当x Q＝1+时，x P＝﹣3+；当x Q＝1﹣时，x P＝﹣3﹣，∴P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0）；②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，∵y P＝y B＝0，∴y Q＝y C＝﹣2，将y＝﹣2代入，得 x1＝0（舍去），x2＝2，∴x Q＝2时，∴x P﹣x B＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝6，∴P3（6，0）；③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，由②知，x Q＝2，∴x B﹣x P＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝2，∴P4（2，0）；综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P3（6，0），P4（2，0）．4．【解答】解：（1）直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x＝1，则A点坐标为（1，0）；当x＝0时，y＝3，则C点坐标为（0，3）；抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则B点坐标为（﹣3，0）；把C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得3＝﹣3a，解得a＝﹣1，则此抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），如图1，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设直线BC的关系式为：y＝mx+n，把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得，解得，∴直线BC的关系式为y＝x+3，∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴△PBC的面积＝S△PBM+S△PCM＝＝×3（﹣x2﹣3x）＝﹣+，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△PBC的面积有最大值是，∴P点坐标为（﹣，）；（3）①当以BC为对角线，如图2，∵四边形BMCN为平行四边形，∵C点（0，3），N点横坐标为﹣1，B点横坐标为﹣3，∴M点横坐标为﹣2，∴M点纵坐标为y＝﹣4+4+3＝3，∴M点坐标为（﹣2，3）；②当以BC为边时，如图3，∵四边形BCNM为平行四边形，∵C点（0，3），B（﹣3，0），N点横坐标为﹣1，∴M点横坐标为﹣4，∴M点纵坐标为y＝﹣16+8+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）；同理可知如图4，存在四边形BCMN为平行四边形，可得M的横坐标为2，当x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．综上所述，M点坐标为（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．5.解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．方法二：（3）∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴，∴，∵∠DEC=∠COB=90°，∴△DEC∽△COB，∴∠DCE=∠CBO，∴∠DCE+∠OCB=90°，∴DC⊥BC，∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点，∴M X==2，M Y==2，∴△BCD的外接圆圆心M（2，2）．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．方法二：（1）略．（2）把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=3，∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），K BD==1，K AB==﹣1，∴K BD•K AB=﹣1，∴AB⊥BD，即△ABD为直角三角形．（3）略．（4）∵，解得：x1=1（舍），x2=2，∴G（2，﹣3），∵A（1，﹣4），B（0，﹣3），D（3，0），∴GA==，BD==3，AB==，∴S△BDG==4．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，则D′E′===10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（，﹣）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|=••（3﹣1）=；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P1（﹣，）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P2（，﹣）．综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方法一：过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠GDE=90°．∵∠ODC+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠GDE．在△OCD和△GED中，∴△ODC≌△GED （AAS），∴EG=OD=1，DG=OC=2．∴点E的坐标为（3，1）．∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，将C、E点的坐标代入解析式，得．解得，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；方法二：过点E作EG⊥x轴于G点．DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，∴E（3，1），∴9a+3b+2=0，∵﹣=2，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；（2）方法一：①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC=OD=1，∴t=1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．∴PC=PD，∴DF=CD．∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，∴CD=，∴DF=．∵=，∴PC=PD=×=，t=，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法二：过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，∵PF⊥CD⇒K PF×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），∴，∴m=，∴F（，﹣），∴=，∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，①，∴，∴t=，②，∴，∴t=1，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法三：若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，∴K OO′×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴H（m，﹣2m+2），∴﹣2×=﹣1，∴m=，∴H（，），∵H为OO′中点，∴O′（，），∴l O′D：y=，令y=2，∴x=，即P（，2），∴t=．（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），∴1=x+2，解得x=﹣2，∴B（﹣2，1），∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），∵抛物线经过A，D两点，∴，解得，∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣6；（2）∵点E（m，n）在直线l上，∴n=m+2，∴S=×1×[±（m+2）]=±（m+1），即S=m+1（m＞﹣4）或S=﹣m﹣1（m＜﹣4）；（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，作EH∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≌△CDA，∴GH=AD=1，∴E的横坐标为±1，∵点E在直线l上，∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=当AC为对角线时，有E和G的横坐标之和等于A和C的横坐标之和，故可求得E（﹣5，﹣1/2）∴E（﹣1，）；（1，）或（﹣5，﹣1/2）；由于E为抛物线的顶点，G为抛物线与y轴的交点，故将其坐标代入y=﹣x2+bx+c，检验可知当E取（1，）或（﹣5，﹣1/2）时，与此时的A、C、E构成平行四边形的G点并不是y轴与抛物线的交点，与前提相矛盾；综上，满足题意的E的坐标为（﹣1，）．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意把抛物线：y1=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣[（x﹣2）2﹣4]=﹣（x﹣2）2+2，故抛物线y1的顶点坐标为：（2，2）；（2）∵抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=﹣（x﹣4）2+3，整理得y2=﹣x2+4x﹣5；（3）符合条件的N点存在．如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，∴∠PAO=∠MBN=90°，若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，∴∠POA=∠BMN，在△POA和△NMB中∴△POA≌△NMB（AAS），∴PA=BN，∵点P的坐标为（4，3），∴NB=PA=3，∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方，①点N在抛物线y1上，则有：﹣x2+2x=﹣3解得：x1=2﹣，x2=2+，②点N在抛物线y2上，则有：﹣（x﹣4）2+3=﹣3解得：x3=4﹣2或x4=4+2故符合条件的N点有四个：N1（2﹣，﹣3），N2（4﹣2，﹣3），N3（2+，﹣3），N4（4+2，﹣3）．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．方法二：（1）略．（2）∵E（0，6），C（8，0），∴l EC：y=﹣x+6，∵，EP=2t，∴P x=t，∴P（t，﹣t+6），Q（8﹣t，0），∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．当PQ⊥OC时，Px=Qx，即t=8﹣t，∴t1=，当PQ⊥PC时，K PQ•K PC=﹣1，∴t2=．（3）M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形．设N（4，t），C（8，0），E（0，6），∴，∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），∴﹣t，∴t=﹣，﹣×（﹣4）2+（﹣4）=t+6，∴t=﹣38，﹣×122+×12=t﹣6，∴t=﹣26，综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（4，），N1（4，﹣）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．。
2020年中考数学压轴题专题之抛物线上的特殊平行四边形问题探究
抛物线上的特殊平行四边形问题探究专题导入导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：导例如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值O A．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5典例类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．类型二：菱形的存在性问题例2 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．类型三：正方形的存在性问题例3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求的最大值；②如图3，若点P 在x 轴的上方，连接PC ，以PC 为边作正方形CPEF ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E 或F 恰好落在y 轴上，直接写出对应的点P 的坐标．【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）作PF ∥BO 交AB 于点F ，证△PFD ∽△OBD ，得比例线段，则PF 取最大值时，求得的最大值；（3）（i ）点F 在y 轴上时，P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，根据正方形的性质可证明△CPH ≌△FCO ，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 专题突破1、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。
中考压轴题——抛物线平行四边形(含详细答案分析)
中考总复习抛物线之平行四边形题型1．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．2．已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．3．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．5．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．8．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．13．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B 的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．15．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．1.解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．方法二：（3）∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴，∴，∵∠DEC=∠COB=90°，∴△DEC∽△COB，∴∠DCE=∠CBO，∴∠DCE+∠OCB=90°，∴DC⊥BC，∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点，∴M X==2，M Y==2，∴△BCD的外接圆圆心M（2，2）．2．（2012•东营）已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得．所以抛物线的解析式为，①将①式配方，得，所以顶点P的坐标为（4，﹣2），令y=0，得，解得x1=2，x2=6．所以点B的坐标是（6，0）．（2）在直线y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形．理由如下：设直线PB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），P（4，﹣2）分别代入，得，解得，所以直线PB的解析式为．又因为直线OD的解析式为，所以直线PB∥OD．设直线OP的解析式为y=mx，把P（4，﹣2）代入，得，解得．如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形．设直线BD的解析式为，将B（6，0）代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组，得，同样还存在第二种情况，如图所示，D′点和D关于原点对称，因此D′的坐标为（﹣2，﹣2），所以D点的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．（3）符合条件的点M存在．验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM，BM，由于AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，可得△AMP≌△AMB．因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB．方法二：（4）过点G作x轴垂线，垂足为H，∵⊙G为△OBD的外接圆，∴点G在线段OH的垂直平分线上，且GO=GD，∵B（6，0），∴l GH：x=3，设G点坐标为（3，m），O（0，0），D（2，2），∴（3﹣0）2+（m﹣0）2=（3﹣2）2+（m﹣2）2，∴m=，∴G点的坐标为（3，）．3．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．方法二：（1）略．（2）把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=3，∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），K BD==1，K AB==﹣1，∴K BD•K AB=﹣1，∴AB⊥BD，即△ABD为直角三角形．（3）略．（4）∵，解得：x1=1（舍），x2=2，∴G（2，﹣3），∵A（1，﹣4），B（0，﹣3），D（3，0），∴GA==，BD==3，AB==，∴S△BDG==4．4．（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，则D′E′===10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．5．（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（，﹣）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|=••（3﹣1）=；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P1（﹣，）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P2（，﹣）．综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．6．（2015•湖北）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方法一：过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠GDE=90°．∵∠ODC+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠GDE．在△OCD和△GED中，∴△ODC≌△GED （AAS），∴EG=OD=1，DG=OC=2．∴点E的坐标为（3，1）．∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，将C、E点的坐标代入解析式，得．解得，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；方法二：过点E作EG⊥x轴于G点．DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，∴E（3，1），∴9a+3b+2=0，∵﹣=2，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；（2）方法一：①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC=OD=1，∴t=1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．∴PC=PD，∴DF=CD．∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，∴CD=，∴DF=．∵=，∴PC=PD=×=，t=，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法二：过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，∵PF⊥CD⇒K PF×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），∴，∴m=，∴F（，﹣），∴=，∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，①，∴，∴t=，②，∴，∴t=1，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法三：若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，∴K OO′×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴H（m，﹣2m+2），∴﹣2×=﹣1，∴m=，∴H（，），∵H为OO′中点，∴O′（，），∴l O′D：y=，令y=2，∴x=，即P（，2），∴t=．（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．7．（2015•广安）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），∴1=x+2，解得x=﹣2，∴B（﹣2，1），∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），∵抛物线经过A，D两点，∴，解得，∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣6；（2）∵点E（m，n）在直线l上，∴n=m+2，∴S=×1×[±（m+2）]=±（m+1），即S=m+1（m＞﹣4）或S=﹣m﹣1（m＜﹣4）；（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，作EH∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≌△CDA，∴GH=AD=1，∴E的横坐标为±1，∵点E在直线l上，∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=当AC为对角线时，有E和G的横坐标之和等于A和C的横坐标之和，故可求得E（﹣5，﹣1/2）∴E（﹣1，）；（1，）或（﹣5，﹣1/2）；由于E为抛物线的顶点，G为抛物线与y轴的交点，故将其坐标代入y=﹣x2+bx+c，检验可知当E取（1，）或（﹣5，﹣1/2）时，与此时的A、C、E构成平行四边形的G点并不是y轴与抛物线的交点，与前提相矛盾；综上，满足题意的E的坐标为（﹣1，）．8．（2012秋•义乌市校级期中）已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意把抛物线：y1=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣[（x﹣2）2﹣4]=﹣（x﹣2）2+2，故抛物线y1的顶点坐标为：（2，2）；（2）∵抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=﹣（x﹣4）2+3，整理得y2=﹣x2+4x﹣5；（3）符合条件的N点存在．如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，∴∠PAO=∠MBN=90°，若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，∴∠POA=∠BMN，在△POA和△NMB中∴△POA≌△NMB（AAS），∴PA=BN，∵点P的坐标为（4，3），∴NB=PA=3，∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方，①点N在抛物线y1上，则有：﹣x2+2x=﹣3解得：x1=2﹣，x2=2+，②点N在抛物线y2上，则有：﹣（x﹣4）2+3=﹣3解得：x3=4﹣2或x4=4+2故符合条件的N点有四个：N1（2﹣，﹣3），N2（4﹣2，﹣3），N3（2+，﹣3），N4（4+2，﹣3）．9．（2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B 落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c 经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．方法二：（1）略．（2）∵E（0，6），C（8，0），∴l EC：y=﹣x+6，∵，EP=2t，∴P x=t，∴P（t，﹣t+6），Q（8﹣t，0），∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．当PQ⊥OC时，Px=Qx，即t=8﹣t，∴t1=，当PQ⊥PC时，K PQ•K PC=﹣1，∴t2=．（3）M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形．设N（4，t），C（8，0），E（0，6），∴，∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），∴﹣t，∴t=﹣，﹣×（﹣4）2+（﹣4）=t+6，∴t=﹣38，﹣×122+×12=t﹣6，∴t=﹣26，综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（4，），N1（4，﹣）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．10．（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q （x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）=﹣x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+∴△APC的面积的最大值为．11．（2014•赤峰）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∵抛物线过点（0，﹣3），∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），∴a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4）．（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC=•（3+4）•1+•2×4﹣•3•3=+﹣=3S△ABC=•AB•OC=•4•3=6，∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）存在，理由如下：①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，∵四边形ACQP为平行四边形，∴PQ平行且相等AC，∴△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得x=2或x=0（与C点重合，舍去），∴Q（2，﹣3）．②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP平行且相等AC，∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x=1+或x=1﹣，∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）方法二：（1）略．（2）连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，交BC于H，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴l BC：y=x﹣3，当x=1时，y=﹣2，∴H（1，﹣2）∴S△BCM=（3﹣0）（﹣2+4）=3，∵S△ABC=AB×OC=×3×4=6，∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2，（3）∵PQ∥AC，∴当PQ=AC时，A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，即|Q Y|=|C Y|，设Q（t，t2﹣2t﹣3），∴|t2﹣2t﹣3|=3，①t2﹣2t﹣3=3，解得：t1=1+，t2=1﹣，②t2﹣2t﹣3=﹣3，解得：t1=0（舍），t2=2，综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．12．（2014•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．【解答】方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），∴c=4 ①．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a ②．∵抛物线过点A（﹣2，0），∴0=4a﹣2b+c ③，由①②③解得，a=﹣，b=1，c=4，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，则FH=﹣t2+t+4，FG=t，∴S△OBF=OB•FH=×4×（﹣t2+t+4）=﹣t2+2t+8，S△OFC=OC•FG=×4×t=2t，∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F；（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），∵B（4，0），C（0，4），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．由y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，∴顶点D（1，），又点E在直线BC上，则点E（1，3），于是DE=﹣3=．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．①当0＜m＜4时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，由﹣m2+2m=，解得：m=1或3．当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，∴m=3，P1（3，1）．②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，由m2﹣2m=，解得m=2±，经检验适合题意，此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．方法二：（1）略．（2）∵B（4，0），C（0，4），∴l BC：y=﹣x+4，过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），∴H（t，﹣t+4），∵S四边形ABFC=S△ABC+S△BCF=17，∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4=17，∴t2﹣4t+5=0，∴△=（﹣4）2﹣4×5＜0，∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．（3）∵DE∥PQ，∴当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∵y=﹣x2+x+4，∴D（1，），∵l BC：y=﹣x+4，∴E（1，3），∴DE=﹣3=，设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|=，∴m2﹣2m=或m2﹣2m=﹣，∴m=1，m=3，m=2+，m=2﹣，经检验，当m=1时，线段PQ与DE重合，故舍去．∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．13．（2014•济宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣．（2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D，∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10）∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD．∵OA=5，AC=10，∴OC===．∵S△OAC=OC•AD=OA•AC，∴AD=．∴AA′=，在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°，∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．∴，即．∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4），当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A′在该抛物线上．（3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b，则，解得∴直线CA′的解析式为y=x+设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）．∵PM∥AC，∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10．解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）当x=2时，y=﹣．∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形．方法二：（1）略．（2）设AA′与直线OC的交点为H，∵点A，点A′关于直线OC：y=2x对称，∴AA′⊥OC，K OC•K AA′=﹣1，∵K OC=2，∴K AA′=﹣，∵A（5，0），∴l AA′：y=﹣x+，l OC：y=2x，∴H（1，2），∵H为AA′的中点，∴⇒，∴A′X=﹣3，A′Y=4，∴A′（﹣3，4），当x=﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4，∴点A在抛物线上．（3）∵PM∥AC，要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC，∵直线AC⊥x轴，∴C x=A x，∵A（5，0），∴C x=5，∵l OC：y=2x，∴C Y=10，∴C（5，10），∵A′（﹣3，4），∴l CA′：y=x+，∵M在线段CA′上，点M在点P的上方，∴设M（t，），∴P（t，t2﹣t﹣），∴﹣（t2﹣t﹣）=10，∴t1=2，t2=5（舍），∴P（2，﹣）．14．（2014•东营）如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．。
中考数学专题：抛物线与平行四边形PPT课件
（1,0），交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点， 点F是线段BC的中点，直线L过点F且与y轴平行，在直线L 上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M.N为顶点的四边 形是平行四边形，求点N的坐标。AOB FC NhomakorabeaE
(五)课堂小结
研究已知确定的两点，求第三个点或第四 个点坐标的平行四边形问题，主要是抓住已知线 段为对角线或已知线段为边，分情况讨论。
中考数学专题 教学设计
课题：抛物线与平行四边形
近几年来中考26题多是二次函数与几何图形相结合的代 几综合题。
（一）常见考点: （1）确定二次函数解析式 （2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、 直角三角形、等腰三角形全等三角形、类似三角形、特殊四 边形等） （3）函数类最值问题 （4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想） 本节课主要解决与动点有关的平行四边形问题的研究方法和 策略 （二）解题策略：
AO
B
C D
思维提示：
1.A、B、C三点坐标有什么特点？二次函数有哪几种表现情 势？
2.动点M在x轴上方的抛物线上还是在下方的抛物线上？
3.满足条件的动点M有几个？这些点是否具有一定的特征？
y=x2-2x-3
AO
B
C D
y=x2-2x-3 点M的坐标为（1，-4）
N
y=x2-2x-3
点M的坐标为（-3，12）和（5，12）
动点（线、面）→画出符合条件的静态图形→设出关键点 坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求 解符合条件的点坐标→验证符合题意
（一）例题探究 问题1、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交A(-1,0)、B（3,0）两
（完整版）抛物线与平行四边形专题.docx
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已知点A、B和直线l，
在l上求点P，使△PAB 为等腰三角形分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作AB中垂线，两圆和中垂线与l的交点即为所有P点
已知点A、B和直线l，
在l上求点P，使△PAB 为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点已知平面上不共线的三个点A、B、C，求一点P，
使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条线的交点即为所有点P 已知平面上两个点A、B，
求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形（题目中P、Q的位置有具体限制）分两种情况讨论：
①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；
②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置。
抛物线与平行四边形(教师用)
A BC Oxy 抛物线与平行四边形 (简单)1．（2011年连云港）如图，抛物线y ＝12x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y ＝－2x 上． （1）求a 的值； （2）求A ，B 的坐标；（3）以AC ，CB 为一组邻边作□ABCD ，则点D 关于x 轴的对称点D ′ 是否在该抛物线上？请说明理由． 解：（1）抛物线的顶点坐标为(1,a －12)∵顶点在直线y ＝－2x 上，∴a －12 ＝－2．即a ＝－ 32（2）由（1）知，抛物线表达式为y ＝12 x 2－x － 32，令y ＝0，得12 x 2－x － 32＝0．解之得：x 1＝－1，x 3＝3．∴A 的坐标 (－1,0)，B 的坐标 (3,0)； （3）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点C ，D 关于对角线交点(1,0)对称 又∵点D ′ 是点D 关于x 轴的对称点， 点C ，D ′ 关于抛物线的对称轴对称．∴D ′ 在抛物线上．【考点】在曲线上点的坐标满足方程，一元二次方程，中心对称，轴对称。
【分析】（1）利用在曲线上点的坐标满足方程，直接求解。
（2）A ，B 两点都在X 轴上，所以只要令y ＝0可求。
（3）利用中心对称，轴对称可证。
也可这样证：由□ACBD 可得对角线中点坐标 (-1,0) 。
点C ，D 关于对角线交点(1,0)对称 ，可得 D 点坐标 (2, 32) 。
由D ，D ′ 关于x 轴对称，可得 D ′ 点坐标 (2,-32 ) 。
把x ＝2代入函数关系式得y ＝12 ×22－2－ 32 ＝－32 。
因此D ′ 在抛物线上。
(简单)2、（2011•临沂）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。
抛物线与四边形
中考专题复习《抛物线与四边形》解抛物线与四边形相关的问题，特殊四边形的性质与判定是解题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解题的关键。
以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊的四边形，有以下基本形式：（1）抛物线上的点能否构成平行四边形;（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形或正方形；（3）抛物线上的点能否构成梯形;下面，我就通过几个具体的实例来探讨解析抛物线与四边形结合的综合题。
一、抛物线与平行四边形将二次函数与方程（组）、平行四边形的知识有机的结合在一起。
这类试题难度较大，解这类试题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用平行四边形的有关性质定理与判定定理，二次函数的知识，并充分挖掘题目中的隐含条件，用分类讨论的方法分析答案有几种可能。
例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．分析：（1）设出抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，由于抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c．（2）要分类讨论AB 是边还是对角线两种情况，AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ =AB=4，进而求出P 点坐标，当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分，进而求出P 点坐标．解答：（1）设该抛物线的表达式为y=ax 2+bx+c 根据题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-10390c c b a c b a 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=13231c b a ∴所求抛物线的表达式为y=132312---x x （2）①AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ=AB=4即可。
又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1，P2 而当x=4时，y=32；当x=-4时，y=7， 此时P1（4，32）,P2（-4,7） ②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可又知点Q 在Y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P 为P1（4，32）,P2（-4,7）,P3（2，-1） 二、抛物线与矩形、菱形或正方形我们解决这类问题要能够熟练运用配方法求抛物线的对称轴、顶点坐标以及与x 轴、y 轴的交点坐标，并且要充分理解矩形、菱形和正方形的性质和判定，注意它们之间的联系与区别。
抛物线与平行四边形专题
1.与等腰三角形、直角三角形综合问题作图求点坐标“万能法”其他方法等腰三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作AB中垂线，两圆和中垂线与l的交点即为所有P点分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB=AP②AB=BP③BP=AP列方程解出坐标作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2=BP2+AP2②BP2=AB2+AP2③AP2=AB2+BP2列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系问题作图求点坐标已知三个点已知平面上不共线的三个点A、B、C，求一点P，使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条线的交点即为所有点P①分别求出直线P1P2、P2P3、P1P3的解析式，再求出交点即为P点；②可由点的平移来求坐标已知两个点已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形（题目中P、Q的位置有具体限制）分两种情况讨论：①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置①通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；②由中点坐标公式可推出：坐标系中平行四边形ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足DBcAxxxx+=+DBCAyyyy+=+；。
九年级上册数学二次函数专题3抛物线与四边形
九年级上册数学二次函数专题3抛物线与四边形知识纵横：抛物线与直线形的结合另一种表现形式是以抛物线为载体，探究是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成平行四边形。
（2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形、正方形。
特殊四边形的性质和判定是解决这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是这类问题的关键。
例题讲解例1：如图，已知抛物线)0(22≠+--=a a x x y 与y 轴相较于点A 点，顶点为M ，直线a x y -=21分别与x 轴，y 轴相交于点B,C 两点，并且与直线MA 相交于N 点。
（1）若直线BC 和抛物线有两个不同的交点，求a 的取值范围，并用a 表示点M,A 的坐标。
（2）将△NAC 沿着y 轴翻折，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD 的值。
（3）在抛物线)0(22>+--=a a x x y 上是否存在点Q ，使得以Q,A,C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；不存在，请说明理由。
例2：如图，抛物线322--=x x y 与x 轴交于A,B 两点，直线l 与抛物线交于A,C 两点，其中C 点的横坐标为2. （1）求A,B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式。
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段PE 的长度的最大值。
（3）点G 是抛物线上的一个动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A,C,F,G 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点的坐标；如果不存在，请说明理由。
例3：二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（-1,4），且与直线121+-=x y 相交于A,B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （-3,0）（1）求二次函数的表达式（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 的上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值。
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已知点A、B和直线l，
在l上求点P，使△PAB 为等腰三角形分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作AB中垂线，两圆和中垂线与l的交点即为所有P点
已知点A、B和直线l，
在l上求点P，使△PAB 为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点
已知平面上不共线的三个点A、B、C，求一点P，
使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条线的交点即为所有点P
已知平面上两个点A、B，
求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形（题目中P、Q的位置有具体限制）分两种情况讨论：
①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；
②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置。