面面垂直答案

1．已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC 【答案】

【解析】要证明面面垂直，只

要在其呈平面内找一条

线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可 证明： 取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形 同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a

在RT ΔBPC 中，PB=PC=a BC=2a

∴PD=2

2a 在ΔABC 中 AD=

22BD AB -

=

2

2a ∵AD 2+PD 2

=2

2

2222⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a =a 2

=AP 2

∴ΔAPD 为直角三角形 即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC

∴AD ⊥平面PBC ∴平面ABC ⊥平面PBC 2

．

如

图

（

1

）

在

直

角

梯形

ABCD

中

，

AB

⊥

12

⊥1

sin 2

AH BD θ==ED ⊥ABCD ED ⊥BC BCD ∆2DB BC ==2DC =BC BD ∴⊥2,DB =D BEF A BEF //AD EF AD ⊥BEF ABF ⊥BEF

ABF ∆BF A BEF 1C 1C 长方体1AC 中，对角线11//BD B D . ……………2分

又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴//EF BD . ∴11//EF B D . ……………4分 又B 1D 1

平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴EF ∥平面CB 1D 1. ……………7分

（2）Q 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1 平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1.…

9分

又Q 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又Q B 1D 1

平面CB 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．……14分

4．如图，四棱锥

ABCD

P -中，底面

ABCD 为平行四边形，

22==AD AB ，3=BD ，PD ⊥底面ABCD .

(1)证明：平面⊥PBC 平面

PBD ；

A B C D

E

图2 A

B

E C

图1

F

D

A

B

C

D A 1

B 1

1

D 1

E F

(2)若二面角D BC P --为6

π

，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。

【答案】（1）略

（2

）46

2

23

sin =⋅=

=

θ

【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明和二面角与线面角的求解的综合运用。考查了同学们的逻辑推理能力和计算能力，以及分析问题和解决问题的能力。 （1）根据面面垂直的判定定理，先得到线面垂直，然后得到结论。

（2）对于该试题可以合理的建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量，得到向量与向量的夹角，从而得到线面角的表示。

5．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面

ABCD ，

若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (

Ⅰ)

EF PAD PDC ⊥PAD

A

AC CPA ∆CPA

EF ∆是EF PA PA ⊂PAD EF ⊄PAD ∴PAD EF 平面//PAD ⊥ABCD PAD I

ABCD

AD =CD AD ⊥CD ⊥PAD PDC PC 平面⊂PAD ⊥PDC

A

（1）求证: AF ∥平面PCE ; （2）求证: 平面PCE ⊥平面PCD ; （3）求AF 与平面PCB 所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）30°

【解析】证明: （1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，

∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 2

1

//

CD ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴AB 2

1

//

CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG 又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ∴AF ∥平面PCE （2）∵ PA ⊥底面ABCD

∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA I AD =A

∴CD ⊥平面ADP ，又AF ⊂平面ADP ∴CD ⊥AF 直角三角形PAD 中，∠PDA =45°

∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA ＝AD =2 ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD I PD =D ∴AF ⊥平面PCD ∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD 又EG ⊂平面PCE 平面PCE ⊥平面PCD

（3）过E 作EQ ⊥PB 于Q 点, 连QG , CB ⊥面PAB

∴⎩

⎨

⎧⊥⊥EQ PB EQ

CB ⇒QE ⊥面PCB , 则∠QGE 为所求的角. S △PEB =

21BE ·PA =21

PB ·EQ ⇒EQ =2

1 在△PEC 中, PE ＝EC ＝5, G 为PC 的中点, ∴EG ＝2, 在Rt △EGQ 中, sin ∠EGQ =2

1

=EG QE ∴∠EGQ =30°

7．(本大题14分)如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、

CC 1的中点．

F

G E

C 1C

B

B 1

D

D 1

A 1

A

（1）求证：B 1D 1∥面EFG （2）求证：平面AA 1C ⊥面EFG ． 【答案】证明略 【解析】

8．如图，在空间四边形ABCD 中，AB BC =，CD DA =，E ，F ，G 分别为

CD ，DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．

【答案】证明见答案

A

B

E

C

F

G