导数和圆锥曲线

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高二圆锥曲线及导数

命题人：湖南师大附中高二数学备课组 (考试范围：选修1－1第2－3章)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是（）A ．(0，－2)B ．(0,2)C ．(2,0)D ．(－2,0)2．θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是（） A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆3．设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上.若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是（）A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 23＋y 24＝1D ．x 212＋y 216＝14．函数y ＝x ln x 在(0,5)上是（） A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上单调递减 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上单调递增 5．若双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的渐近线方程为（）A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±24xD ．y ＝±28x6．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为（） A ．a ≥3 B ．a >3 C ．a ≤3 D ．a <37．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是 A ．x 1>x 2 B ．x 1<x 2 C ．x 1＋x 2>0 D ．x 1＋x 2<08．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9．若双曲线x 216－y 29＝1右支．．上一点P 到右焦点的距离为8，则点P 到左焦点的距离是 . 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .11．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为 .12．如果函数f(x)＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是 .13．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是 .14．若要做一个容积为108的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为时，材料最省.15．已知命题p ：方程x 2m ＋y 2m －2＝1表示的曲线为椭圆；命题q ：方程x 2m －1＋y 2m －3＝1表示的曲线为双曲线；若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题12分)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积.17．(本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )＝13x 3＋cx ＋3 ，f (x )在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直.（1）求函数y ＝f (x )的解析式；（2）设g (x )＝4ln x －f ′(x )，求g (x )的极值.18．(本小题12分)经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切的动圆的圆心轨迹为M .点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，D (x 0，y 0)，B (x 1，y 1)， C (x 2，y 2)，－x 0<x 1<x 0<x 2 ，直线BC 平行于轨迹M 在点D 处的切线。

圆锥曲线解题技巧归纳

圆锥曲线解题技巧归纳圆锥曲线是数学中的重要主题之一、它涉及到许多重要的概念和技巧，可以用于解决各种问题。

本文将归纳总结圆锥曲线解题的一些常用技巧，帮助读者更好地理解和应用这一主题。

1.判别式法：对于给定的二次方程，可以根据判别式的符号来判断它表示的曲线类型。

当判别式大于零时，曲线是一个椭圆；当判别式小于零时，曲线是一个双曲线；当判别式等于零时，曲线是一个抛物线。

2.参数方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用参数方程来表示。

通过选取合适的参数，可以将曲线表示为一系列点的集合。

这种方法可以简化问题，使得求解过程更加直观和方便。

3.极坐标方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用极坐标方程来表示。

通过将直角坐标系转换为极坐标系，可以更好地描述和分析曲线的特性。

这种方法在求解对称性等问题时非常有用。

4.曲线拟合法：对于给定的一组数据点，可以使用曲线拟合的方法来找到一个最适合的圆锥曲线。

通过将数据点与曲线进行比较，可以得出曲线的参数和特性。

这种方法在实际应用中非常常见，例如地图估算、经济预测等领域。

5.曲线平移法：对于给定的圆锥曲线，可以通过平移坐标系来使其简化。

通过选取合适的平移距离，可以将曲线的对称轴对准到坐标原点，从而更方便地进行分析和求解。

6.曲线旋转法：对于给定的圆锥曲线，可以通过旋转坐标系来改变其方向和形状。

通过选取合适的旋转角度，可以使曲线变得更简单和易于处理。

这种方法在求解对称性、求交点等问题时非常有用。

7.曲线对称性法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其对称性来简化问题。

根据曲线的对称轴、对称中心等特性，可以快速得到曲线的一些重要参数和结论。

8.曲线的几何性质法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其几何性质来解决问题。

例如，对于椭圆可以利用焦点、半长轴、半短轴等参数来求解问题；对于双曲线可以利用渐近线、渐近点等参数来求解问题。

9.曲线的微积分法：对于给定的圆锥曲线，可以通过微积分的方法来求解其一些重要特性。

导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８数学学习与研究㊀２０２２２导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用Һ吴玉辉㊀（福建省永定第一中学，福建㊀龙岩㊀３６４１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数学课本中，导数是核心知识点之一，并在求圆锥曲线参数方程中得到了很好的运用．导数加入高中数学体系后，使高中数学的知识体系得到了极大的延展，也为一些比较难的数学问题提供了一种新的解题思路．基于此，本文将通过具体例题来说明导数在圆锥曲线参数方程问题中的一些应用策略．ʌ关键词ɔ导数；圆锥曲线；应用ʌ基金项目ɔ本文系福建省教育科学十三五规划２０２０年度课题大数据驱动的高中生数学学习监控与精准干预行动研究（课题编号：ＦＪＪＫＸＢ２０－７９０）系列论文之一．导数是高中数学过渡到高等数学的重要工具，学好导数可以让学生步入大学时能够有一个良好的开端．目前，在高中数学的解题中，导数的概念得到了极大的完善和运用．因此，笔者将着重研究如何在解决圆锥曲线参数方程问题的过程中应用导数．一㊁导数与圆锥曲线的概念１．导数定义导数（Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），也称为导函数值，是微积分中一个重要的基本概念．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的自变量ｘ在点ｘ０处产生增量Δｘ，当Δｘ接近０时，函数输出值的增量Δｙ与自变量的增量Δｘ的比值在Δｘ趋于０时的极限ａ若存在，则ａ是函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处的导数，记作ｆᶄ（ｘ０）或ｄｆ（ｘ０）ｄｘ．对于可导的函数ｆ（ｘ），ｘңｆᶄ（ｘ）也是一个函数，称为ｆ（ｘ）的导数．在某个点上找到已知函数的导数或其导函数的过程称为求导．实际上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来自极限的四则运算法则．已知的导数也可以被逆转，从而找到原始函数，即不定积分．２．导数性质单调性：①若导数大于零，则单调增加；若导数小于零，则单调递减；若导数等于零，则为函数驻点，但不一定是极值点，需要代入驻点左右两侧的值以找到正负导数才能确定单调性．②若已知函数是一个递增函数，则其导数大于或等于零；若已知函数是一个递减函数，则其导数小于或等于零．根据导数的基本定理，对于可导函数，有如下定义：若函数的导数在某个区间中始终大于零（或始终小于零），则函数在该区间中单调递增（或单调递减），此区间称为函数的单调区间．其中，函数的驻点定义为导数等于零的点．在这些点上，函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）．进一步判断则需要知道导数在驻点附近的符号．ｘ改变时，函数图象的切线也会发生改变，其中，切线的斜率为对应的导数值．进一步介绍一下函数的凹凸性：若函数的导数在某个区间内单调递增，则该区间上的函数图象向下凹，否则上凸．如果函数存在二阶导数，也可以通过其正负性来判断，如果在一区间内始终大于零，则该区间内的函数向下凹，否则上凸．３．圆锥曲线定义圆锥曲线是平面截二次锥面获得的曲线，包括椭圆（圆为椭圆的特例）㊁抛物线和双曲线．对圆锥曲线的研究始于２０００多年前的古希腊．４．圆锥曲线定理圆锥曲线又叫二次曲线，通过直角坐标系可与二次方程相对应，并由此衍生出很多大家熟知的曲面，如圆柱㊁椭球面㊁单叶和双叶曲面等，这些都证明了圆锥曲线最具代表性的特征便是焦点准线．帕普斯定理的详细定义如下：圆锥曲线上一点的焦距长度等于从该点到相应方向的距离乘偏心率．帕斯卡定理的详细定义如下：圆锥曲线的内接六边形，如果相对的边不平行，则该六边形的对边的延长线的交点是共线的（这也适用于降级的情况）．布里昂雄（Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ）定理的详细定义如下：圆锥曲线的外切六边形在同一点有三条对角线．当德兰（Ｄａｎｄｅｌｉｎ）得出的冰激凌定理的结论如下：圆锥曲线几何定义与焦点准线定义具有等价性．如图１，若将圆锥的顶点设为Ｑ，则有一平面πᶄ与其相截可以得到圆锥曲线，作球与平面πᶄ及圆锥体相切，当曲线为椭圆或双曲线时，平面与球有两个切点，而抛物线只有一个，也就说明了切点就是焦点．若球与圆锥之交为椭圆，可设此椭圆所在平面π与πᶄ之交为直线ｄ，则ｄ是准线．图１㊀㊀㊀图２虽然该图仅画出一个椭圆，但证明方法适用于抛物线和双曲线．也就是说，任何一个切点都可以是焦点，ｄ为All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２９㊀数学学习与研究㊀２０２２２准线．证明：假设Ｐ是曲线上的一个点，如图２所示，连接ＰＱ与圆Ｏ交于Ｅ，设球与平面πᶄ的切点为Ｆ，令平面πᶄ和π之间的交角为α，圆锥的母线与平面π的交角为β．设Ｐ到平面π的垂足为Ｈ，从Ｈ到直线ｄ的垂足为Ｒ，则ＰＲ为从Ｐ到ｄ的垂线，又øＰＲＨ＝α，其中，由于ＰＥ和ＰＦ都是球体的切线，所以ＰＥ＝ＰＦ．因此有ＰＲ㊃ｓｉｎα＝ＰＥ㊃ｓｉｎβ＝ＰＦ㊃ｓｉｎβ＝ＰＨ，其中ＰＦＰＲ＝ｓｉｎαｓｉｎβ为常数．二㊁用导数方法求圆锥曲线的切线方程的引理论证目前，大多教师仍然采用传统的解题思路进行圆锥曲线问题的求解，导致在当前的高中数学教学中，导数并没有被实际运用到对圆锥曲线问题的求解中．例如在求直线和圆锥曲线结合的题目时，虽然利用导数方法可以更加简单清晰地进行解题，但是教师普遍会教导学生按照传统解题思路进行解题．传统解决方案比较麻烦，尤其是包含参数时．因此，我们可以将圆锥部分划分为几个函数以进行单独讨论，以便学生使用导数方法找到曲线的切线．本文将使用导数方法来证明圆锥曲线的一些性质．（一）引理一过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）作该椭圆的切线，则切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形：当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａａ２－ｘ２，ｙᶄ＝－ｂｘａａ２－ｘ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂｘ０ａａ２－ｘ２０．而ｙ０＝ｂａａ２－ｘ２０，ʑａ２－ｘ２０＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为椭圆过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线ｌ的斜率，ʑ切线ｌ：ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｂ２ｘ０ｘ＋ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０，两边同时除以ａ２ｂ２得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａａ２－ｘ２，同理可得其过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理一得证．（二）引理二过双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形，当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａｘ２－ａ２，ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂｘ０ａｘ２０－ａ２．而ｙ０＝ｂａｘ２０－ａ２，ʑｘ２０－ａ２＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为双曲线过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线的斜率．ʑ切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），整理得ｂ２ｘ０ｘ－ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０，进而有ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａｘ２－ａ２，其过点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程仍为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理二成立．同理，对于焦点在ｙ轴上的椭圆和双曲线，可以使用类似的推理方式得到相同的结论．（三）引理三过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上的一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．上述公式在高中课本中已进行推导，因此本文中将不进行具体阐述，而且本公式也可以通过导数进行推导．定理：对于二次方程：αｘ２＋βｙ２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设曲线上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为αｘ０ｘ＋βｙ０ｙ＝γ．由图象平移法则，很容易得到一个更一般的结论．推论：对于二次方程α（ｘ－ｈ）２＋β（ｙ－ｋ）２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设其上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为α（ｘ０－ｈ）（ｘ－ｈ）＋β（ｙ０－ｋ）（ｙ－ｋ）＝γ．解决切线方程问题是导数的重要应用．圆锥截面通常不是功能性图形，因此教师通常不使用导数解决圆锥截面的切线问题，而使用传统的方法来查找由直线和圆锥截面方程组成的方程组的解，但是这种方法比较麻烦，尤其对于参数而言，计算量很大．因此，应将圆锥部分划分为几个函数以单独讨论．三㊁导数在圆锥曲线方程中的实际应用（一）利用导数求圆锥曲线的切线方程例１㊀求过抛物线ｙ＝ｘ２上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程．All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３０数学学习与研究㊀２０２２２解㊀（１）当ｙȡ０时，ｙ＝ｘ，ｙᶄ＝１２ｘ，故切线的斜率为１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（２）当ｙɤ０时，ｙ＝－ｘ，ｙᶄ＝－１２ｘ，故切线的斜率为－１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝－１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝－ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．综上可得所求的切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（二）利用导数求含参数的圆锥曲线的切线方程例２㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得２ｘａ２＋２ｙｙᶄｂ２＝０，得ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．例３㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，得ｙᶄｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．四㊁利用导数求解圆锥曲线问题的方法与注意事项（一）利用导数求解圆锥曲线问题的方法学生在求解圆锥曲线问题时，需要有一定的创新思维能力．在传统的教学模式中，学生一般都先自学，然后对同一类型的多类题进行大量训练，从而提高成绩．但是考虑到学生的学习状况，教师应该兼顾学生的学习特点和学习效率，通过加强典型案例的培训方式，培养学生的创新思维能力，加强学生运用数字和组合图形的能力，提高他们对数学知识的掌握水平与对数学题型的理解能力．传统的教学方式过于单调乏味，无法因材施教．教师的教学方法应注重人性化，在教学过程中，教师的教学进度要以学生为中心，避免使用题海战术．在数学解题过程中，不仅要有创新思维，还要有与之相伴的探索性思维．这对学生来说有一定的难度，对学生的综合学习能力提出了更高的要求．高中生如果能够在实际解决问题的过程中进行探索性思考，那么就能不断提高自身解决问题的能力．在高中阶段的数学科目中，对圆锥曲线参数方程问题的求解，单一理论求解的形式较少，大多都复杂而广泛，也就导致需要使用的知识更加广泛和复杂．学生如果不能充分利用探索性思维，解决问题的难度就会逐渐增加．这里存在的问题是：学生应该如何使用探索性思维？这就要求教师在教学过程中摆脱形式主义，加强学生对基础知识的理解，运用广泛的知识，深入介绍圆锥曲线的本质．（二）利用导数求解圆锥曲线问题的注意事项高中阶段的每个科目都是相互关联的．每个知识都不应该是一个独立的个体．因此，学生在求解圆锥曲线参数方程的问题时，也需要具备一定的知识基础和思维能力．所以从知识库储备的角度来看，学生在学习之前需要了解参数方程的含义．参数方程是充分利用数形结合知识的一个方面，它用函数方程来表示圆锥截面上的一个点，并用中间变量的表达式来表示点的坐标位置．从一般意义来说，就是方程组中的ｘ，ｙ可以代表曲线上所有点的横坐标和纵坐标．目前，在高中数学中，运用导数的概念和方法进行题目解答已经逐渐普及，让高中生在面对数学难题时，多出一种解答手段．如果学生不能完全理解导数与参数方程的含义，他们就不会理解数和形的结合是什么．学生需要明白，数学思维的层次不是单一的，而是多方面的．学生解决圆锥曲线问题时，观察问题的能力是非常重要的，只有充分理解问题中条件给出的方程的表达意义，将图中提供的条件和圆锥截面知识完全整合，才能将问题和图形结合起来，从而找到解决问题的方法和思路．高中数学教学中涉及的知识点较多，教师在教学利用导数解决圆锥曲线问题时需要根据题目的实际情况进行分析，发挥理论联系实际的具体作用，改变以往的教学方式，运用导数概念来处理圆锥曲线问题，从而减轻学生的运算负担．本文主要介绍了导数与圆锥曲线的相关概念及理论论证，并通过举例论证了导数在求解圆锥曲线的切线等问题中的优势，可以使学生的解题思路更加清晰，从而让数学问题变得更加简单．ʌ参考文献ɔ［１］马志良．利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（２１）：１２－１３．［２］罗文军．利用导数破解圆锥曲线中的最值问题［Ｊ］．广东教育（高中版），２０１７（７）：６６－６７．［３］张淑滢．用导数探究圆锥曲线切线问题的方法［Ｊ］．语数外学习，２０１７（１２）：４１－４２．All 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专题14 圆锥曲线切线方程微点1 圆锥曲线切线方程的求法

专题14 圆锥曲线切线方程微点1 圆锥曲线切线方程的求法专题14 圆锥曲线切线方程微点1 圆锥曲线切线方程的求法【微点综述】圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式．此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高．下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论．一、圆锥曲线切线方程方法 1．向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式．在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程．例11．已知圆O 的方程是()()222x a y b r -+-=，求经过圆上一点()00,M x y 的圆的切线l 的方程． 2．变换法设椭圆方程为22221x y a b +=，我们作变换：,,x au y bv =⎧⎨=⎩则可把椭圆化为单位圆：221u v +=，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题．例22．求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程． 3．判别式法可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一．思维导图：设切线方程⇒联立切线与椭圆的方程⇒消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程⇒Δ0=求切线斜率⇒写出切线方程．注意：过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．例33．求经过点()2,1M 的双曲线：2222x y -=的切线l 的方程． 4．导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程．例44．设为,A B 曲线2:4x C y =上两点，,A B 的横坐标之和为4．设M 为曲线C 上一点，C在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．例55．证明：过椭圆C ：22221x y m n+=(m >n >0)上一点Q (x 0，y 0)的切线方程为00221x x y y m n +=．5．几何性质法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：（1）若焦点为12,F F 的椭圆或双曲线上有一点M ，则12F MF ∠的平分线一定与圆锥曲线相切；（2）若焦点为F 的抛物线上有一点M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则FN 的中点P 与M 的连线PM 必与抛物线相切．据此，我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线，然后再求出切线的方程．例66．求抛物线2:8C y x =上经过点()8,8M 的切线l 的方程．例77．过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．例8（2022乙卷理科）8．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，且F 与圆M ：()2241y x ++=上点的距离的最小值为4． (1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．【强化训练】（2022桃城区校级模拟）9．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022聊城一模）10．已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．则直线AB 过定点（） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022迎泽区校级月考）11．已知圆()22:14C x y -+=.动点P 在直线280x y +-=上，过点P 引圆的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点______.12．过圆2216x y +=外一点P （4，2）向圆引切线． (1)求过点P 的圆的切线方程；(2)若过点P 的直线截圆所得的弦长为(3)若过P 点引圆的两条切线，切点分别为1P 、2P ，求过切点1P 、2P 的直线方程．（2021春·黑龙江期中）13．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（）A ．13311x y+= B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += （2020．新课标△）14．已知△M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作△M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=（2022宿州期末）15．定义：若点()00,P x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，则以 P 为切点的切线方程为：00221x x y y a b +=.已知椭圆 22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线 MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点（） A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022金安区校级期末）16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（） A ．1BCD ．2（2022吉安期末理）17．过圆222x y r +=上一定点(),o o P x y 的圆的切线方程为20o x x y y r +=.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（） A ．20?x y +-= B ．30x y --= C ．2330x y +-= D ．3100x y --=（2022大连期末）18．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，若()22,N x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上一点，则过E 上点N 的切线方程为_____________. （2022泸县校级一模）19．椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是______．（2022金安区校级模拟）20．一般情况下，过二次曲线Ax2+By2=C （ABC ≠0）上一点M （x0，y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C ，．若过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点M （x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线l ，已知直线l 过点N 0,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率的取值范围是⎣，则该双曲线离心率的取值范围是______．（2022兴庆区校级一模）21．已知()00,P x y 是抛物线()220y px p =>上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在22y px =两边同时求导，得：2'2yy p =，则'py y=，所以过P 的切线的斜率0p k y =.试用上述方法求出双曲线22y x 12－＝在P 处的切线方程为_________.（2022亳州期末）22．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，离心率12e =，点P (2，3)在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程(2)求过点P 的椭圆C 的切线方程(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P 被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．（2022福州二模）23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M （4，t ），其中t R ∈，切点分别是A 、B ，试利用结论：在椭圆22221x y a b+=上的点()00,x y 处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=，证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ；(3)试探究2211AF BF +的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．（2022香坊区校级三模）24．已知点1(,2)2D -，过点D 作抛物线21:C x y =的两切线，切点为,A B .（1）求两切点,A B 所在的直线方程；（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>（1）中直线AB 与椭圆交于点P ，Q ，直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k k +=，求椭圆的方程. （2022渝中区校级月考）25．已知椭圆22122:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为12，过点)E的椭圆1C 的两条切线相互垂直.（△）求椭圆1C 的方程；（△）在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由. （2022杭州模拟）26．已知曲线1C 上任意一点到()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1，椭圆2C 的中心在原点，一个焦点与1C 的焦点重合，长轴长为4．(1)求曲线1C 和椭圆2C 的方程；(2)椭圆2C 上是否存在一点M ，经过点M 作曲线1C 的两条切线,MA MB （,A B 为切点）使得直线AB 过椭圆的上顶点，若存在，求出切线,MA MB 的方程，不存在，说明理由．参考答案：1．()()()()200x a x a y b y b r --+--=【分析】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，利用0OM ON ⋅=化简整理可得. 【详解】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，由已知得圆心(),O a b ，()()0000,,,OM x a y b MN x x y y ∴=--=--，又0OM ON ⋅=，即()0000()()()0x x x a y y y b --+--= 所以()()()()()()00000x a x a x a y b y b y b ----+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， △过圆上的点()00,M x y 的圆的切线l 的方程是：()()()()()()220000x a x a y b y b x a y b --+--=-+-，又()()22200x a y b r -+-=，△所求圆的切线l 的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．2．340x y +-=【分析】令,43yx u v ==，利用伸缩变换求得椭圆和点M 在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.【详解】令,43y x u v ==，则椭圆在新坐标系uOv 下的方程是：221u v +=，点M ⎛ ⎝⎭在新坐标系uOv 下的坐标是：⎝⎭，设过圆221u v +=上的点⎝⎭的切线方程为(22v k u -=-（易得斜率必存在），即(v k u =221u v +=整理得2221(1)(1)(21)02k u k u k k +-+--=由题意可知，22222(1)2(1)(21)0k k k k k =--+--=Δ，整理得2(1)0k +=即1k =-，所以切线方程为(v u =-，即：u v +=∴过椭圆上一点M 的切线l的方程是：43x y+340x y +-=． 3．10x y --=【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解【详解】若直线斜率不存在，过点()2,1M 的直线方程为：2x =，代入2222x y -=可得21y =，与双曲线有两个交点，不是切线；若直线斜率存在，设l 的方程是：()12y k x -=-，即：21y kx k =-+，将它代入方程2222x y -=整理得：()()()222214218840k x k k x k k ---+-+=，由已知20210,k -∆=≠，即()()()2224214218840k k k k k -----+=⎡⎤⎣⎦，解得：1k =，故所求切线l 的方程为：21y x =-+，即：10x y --=． 4．7y x =+【分析】在求得直线AB 的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出点M 的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=，于是直线AB 的斜率为121212121212()()14()4y y x x x x x x k x x x x -+-+====--，由24x y =，得2x y '=．设()33,M x y ，由题意可知：312x =，解得32x =，()2,1M ∴．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段的中点为()2,2N m +，1MN m =+将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=，当()1610m ∆=+>，即当1m >-时，12x =+22x =-从而可得12AB x =-= 因为AM BM ⊥，且BN AN =，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以BN AN MN ==，所以2AB MN =，即()21m =+，解得7m =，直线AB 的方程为7y x =+． 5．证明见解析【分析】方法一：分0y >，0y <和0y =，当0y >，0y <时，利用导数求切线方程可得；方法二：设直线方程联立椭圆方程，利用判别式等于0求切点横坐标，然后可得切线方程. 【详解】法一：由椭圆C ：22221x y m n+=，则有22221y x n m =-当0y >时，y =2nx y m '=-，△当00y >时，2000222001x n n n k x x y mm m y n =-=-=-⋅． △切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，整理为：222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，两边同时除以22m n 得：00221x x y ym n+=．同理可证：00y <时，切线方程也为00221x x y ym n+=．当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=．综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=．法二：当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，△由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=，化简可得：2222t m k n =+，△式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t =-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m k y n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=．当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=，综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=．6．280x y -+=【分析】根据线段NF 的垂直平分线经过点M 即可求得切线方程.【详解】由抛物线2:8C y x =可得其焦点()2,0F ，准线方程为：2x =-，过点()8,8M 作准线的垂线，设垂足为N ，则N 的坐标为()2,8-，又设FN 的中点为P ，则P 的坐标为()0,4，如图所示：故直线PM 的方程为：84480y x --=-，即280x y -+=，△切线l 的方程为280x y -+=． 7．答案见解析.【分析】根据两切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+，且均过均过点P ，可知弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】以22y px =（p ＞0）为例说明．设点00(,)Q x y 是抛物线22y px =上的任意一点，则过点00(,)Q x y 且与抛物线相切的直线方程为00()y y k x x -=-，联立2002()y pxy y k x x ⎧=⎨-=-⎩得：222222000000(222)20k x k x p ky x k x y kx y -+-++-=，因为二者相切，所以Δ0=，即222222000000(222)4(2)0k x p ky k k x y kx y +--+-=，化简得：0p k y =，又2002y px =，代入00()y y k x x -=-得：()00y y p x x =+，即抛物线22y px =在00(,)Q x y 处的切线方程为()00yy p x x =+. 设准线上任一点0,2p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+两切线均过点P ，则满足1012p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2022p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故过两切点的弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则弦AB 过焦点．【点睛】（1）点()00,P x y 是抛物线()220y mx m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00y y m x x =+；（2）点()00,P x y 是抛物线()220x my m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00x x m y y =+．8．(1)p ＝2(2)【分析】（1）先求42pFM =+，点F 到圆M 上的点的距离的最小值即为FM r -. （2）求出AB =和点P 到直线AB的距离d =322(6)2144PABb S ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭△，根据b 的范围即可求最大值.（1）0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到圆心4(0,)M -的距离42p FM +，所以点F 到圆M 上的点的距离的最小值为4142pFM r -=+-=，解得p ＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =，即214y x =，则12y x '=，设切点()11,A x y ，()22,B x y ，则易得PA l ：21124x x y x =-，△PB l ：22224x x y x =-，△联立△△可得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，设AB l ：y kx b =+，联立抛物线方程，消去y 并整理可得2440x kx b --=， △216160k b ∆=+>，即20k b +>，且124x x k +=，124x x b =-， △(2,)P k b -△AB ==点P 到直线AB 的距离d =△()322142PABS AB d k b ==+△△，又点(2,)P k b -在圆M ：()2241y x ++=上，故()22144b k --=，代入△得，332222(6)2112154444PAB b b b S ⎛⎫--+⎛⎫-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，而[]5,3p y b =-∈--，△当b ＝5时，()max=PAB S【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 9．A【分析】设(2,)P t ，圆心C 的坐标为(0,0)，可得以线段PC 为直径的圆N 的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦AB 的方程可得答案．【详解】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 10．A【分析】由P A △AC ，PB △BC 可知点A 、B 在以PC 为直径的圆上，设点P 坐标，写出以PC 为直径的圆的方程，然后可得直线AB 方程，再由直线方程可确定所过定点. 【详解】根据题意，P 为直线l ：20x y ++=上的动点，设P 的坐标为(),2t t --，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A △AC ，PB △BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C （0，0），(),2P t t --，则以PC 为直径的圆的方程为：()()20x x t y y t -+++=，变形可得：()2220x y tx t y +-++=，则有22221(2)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+-++=⎩，联立可得：()120tx t y -++=，变形可得：()120y t x y +--=，即直线AB 的方程为()120y t x y +--=，变形可得：()120y t x y +--=，则有1200y x y +=⎧⎨-=⎩，解可得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：A ． 11．118,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，设P 的坐标为(82,)t t -，由圆的切线的性质分析可得则A 、B 在以CP 为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线AB 的方程，据此分析可得答案．【详解】根据题意，动点P 在直线280x y +-=上，设P 的坐标为(82,)t t -，圆22:(1)4C x y -+=，圆心为(1,0)，过点P 引圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA CA ⊥，PB CB ⊥，则A 、B 在以CP 为直径的圆上，该圆的方程为(1)[(82)](0)()0x x t y y t ---+--=，变形可得：22(92)(82)0x y t x ty t +---+-=，又由A 、B 在圆C 上，即直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，则有2222230(92)(82)0x y x x y t x ty t ⎧+--=⎨+---+-=⎩，则直线AB 的方程为(711)(22)x t x y -=--，则有7110220x x y -=⎧⎨--=⎩，解可得：11787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故直线AB 恒过定点11(7，8)7；故答案为：11(7，8)7．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、公共弦方程求法、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用. 12．(1)x ＝4或34200x y +-= (2)y ＝2或43100x y --= (3)280x y +-=【分析】（1）分k 不存在和k 存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；（22，结合圆心到直线距离公式，可得解；（3）由题意12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径，写出圆的方程，过切点1P 、2P 的直线即为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的交线，求解即可. （1）当切线斜率不存在时，过点P （4，2）的直线为x ＝4，圆心到直线距离等于半径，故x ＝4为切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=．4=，即430k +=解得：34k =-，此时切线方程为34200x y +-=．△过点P 的圆的切线方程为x ＝4或34200x y +-=；（2）由（1）知，所求切线斜率存在，设直线方程为420kx y k --+=．△r ＝4，且弦长为△圆心到直线420kx y k --+=的距离2d ==，即2340k k -= 解得k ＝0或43k =．△所求直线方程为y ＝2或43100x y --=；（3）由题意，1122,OP PP OP PP ⊥⊥ 故12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径 △P （4，2），△以PO 为直径的圆圆心为(2,1)，半径||2PO r == 故圆的方程为()()22215x y -+-=，由于12,P P 也在圆2216x y +=上，故过切点1P 、2P 的直线为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的公共弦两圆方程作差可得过1P 、2P 的直线方程为280x y +-=． 13．C【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =；由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C.【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 14．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d =>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． △()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 15．C【解析】设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，即可表示出MA 的方程，又M 在MA 上，即可得到()1126132x t y t++=，即可得到直线AB 的方程，从而求出直线AB 过的定点；【详解】解：因为点M 在直线260x y --=上，设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，所以MA 的方程为11132x x y y+=，又M 在MA 上，所以()1126132x t y t ++=△，同理可得()2226132x t y t ++=△；由△△可得AB 的方程为()26132x t yt++=，即()22636x t yt ++=，即()()431260x y t x ++-=，所以4301260x y x +=⎧⎨-=⎩，解得1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线恒过定点12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C 16．C【解析】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，根据题意，求得过点B 的切线l 的方程，即可求得C 、D 坐标，代入面积公式，即可求得OCD 面积S 的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=，令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x y y x =，即111,x y ==时等号成立，所以OCD. 故选：C【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B 的切线方程，进而求得面积S 的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 17．A【解析】根据类比推理，可得直线l 的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -的切线l 的方程为31124x y-+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1，与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为(13)y x +=-一，即20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题. 18． 111x x y y +=22221x x y ya b+= 【分析】由OM 垂直切线可求出切的斜率，再利用点斜式可求出过C 上点M 的切线方程；利用导数的几何意义在点()22,N x y 处切线的斜率，再利用点斜式求出直线方程【详解】解：因为11OM y k x =，切线与直线OM ，所以所求切线的斜率为11x y -，所以所求的切线方程为1111()x y y x x y -=--，即221111y y y x x x -=-+，得221111x x y y x y +=+，因为点()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，所以22111x y +=，所以过C 上点M 的切线方程为111x x y y +=；当20y >时，设0y >，由22221x y a b +=得22221y x b a=- 22222y a x b a -= △22222()b y a x a =-△y = △1'222()(2)2b y a x x a-=-⋅-1222()bx a x a -=--=△过点()22,N x y的切线的斜率为△过点()22,N x y的切线的方程为22)y y x x -=-△点()22,N x y 在椭圆上，△2222221x y a b+=，222222222,a y a y b x a b b=+=， △2222()bx b y y x x a ay -=-⋅-，即222222()b xy y x x a y -=-- 2222222222a y y a y b x x b x -=-+，2222222222a y y b x x a y b x +=+，△222222a y y b x x a b +=，△所求的切线方程为22221x x y ya b+=，当20y <时，同理可得其切线方程为22221x x y ya b+=所以过E 上点()22,N x y 的切线方程为22221x x y ya b+=，故答案为：111x x y y +=；22221x x y ya b+= 【点睛】此题考查圆锥曲线的切线方程的求法，属于中档题 19．340x y +-=【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.【详解】△椭圆223144x y +=，△y >0时，y △23xy -'=， △x ＝1时，13y '=-，即切线斜率13k =-，△椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是()1113y x -=--，即340x y +-=．故答案为：340x y +-=． 20．【分析】求得切线方程，将N 代入切线方程，即可求得M 点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案．【详解】双曲线在M （x 0，y 0）的切线方程为00221x x y ya b-=，将N 代入切线方程，解得y 0＝﹣2b ，代入双曲线方程解得：x 0，21y b =，即y2bx +，由斜率的取值范围是⎣1≤b a ≤2，由双曲线的离心率e ＝c a1≤22b a ≤4，∴双曲线离心率的取值范围，故答案为:．【点睛】本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式，考查转化思想，属于中档题．21．20-=x y【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对2212y x ＝－两边同时求导得，22x yy x y y '∴'=＝，，0002|2x x x k y y =∴='＝， △切线方程为2(y x ，整理为一般式即：20x y －.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 22．(1)2211612x y +=；(2)280x y +-=； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求出,,a b c .（2）由直线与椭圆相切，根据判别式Δ0=即可求出直线斜率k . （3）利用向量数量积证明直线1PF 与2F P 关于直线m 对称即可；【详解】（1）由题意可得：2222212491c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得216a =，212b =，△椭圆C 的方程为：2211612x y +=；（2）显然，过点P (2，3)的切线存在斜率，设切线l 的斜率为k ，则l ：3(2)y k x -=-，由22116123(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()222348231648120k x k kx k k +--+--=，因为直线l 与椭圆C 相切，∴()()()2222Δ64234341648120k k k k k =--+--=，化为：24410k k ++=，解得12k =-．△求过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=．（3）证明：△椭圆C 的方程为：2211612x y +=，则椭圆左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ， △过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=， △过点P 的椭圆法线方程为m ：210x y --=，法线的方向向量()1,2m =--， △()14,3PF =--，()20,3PF =-， △1112cos ,PF mPF m PF m⋅==-，2222cos ,PF mPF m PF m⋅==- △直线1PF ，2F P 关于直线m 对称；△从椭圆一个焦点发出的光线照到点P ，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点．【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：△定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．△待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 23．(1)22143x y +=(2)证明见解析(3)是，常数为43【分析】（1）代入点坐标，结合2221b e a=-求解即可；（2）根据结论设出切线方程，两条切线交于点M （4，t ），可得点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，求出定点坐标即可；（3）联立直线AB 与椭圆，点点距公式表示22,AF BF ，结合韦达定理化简即得解【详解】（1）△椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．△222314b e a =-=，△221914a b +=，△，由△△得：24a =，23b =，△椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）证明：设切点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，则切线方程分别为11143x x y y+=，22143x x y y +=．又两条切线交于点M （4，t ），即1113t x y +=，2213tx y +=，即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，令0y =，可得1x = 故对任意实数t ，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB 恒过椭圆的右焦点()21,0F ．（3）将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程，得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， △122612t y y t +=+，1222712y y t =-+，不妨设10y >，20y <，21AF y =，同理22BF y =，△211212221111y y y y y y AF BF -⎫+=-=⎪⎭1243==，△2211AF BF +的值恒为常数43． 24．（1）2y x =+；（2）2214812x y +=. 【分析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，1(,2)2D -在切线上，求出两解，分别对应切点,A B 坐标，则方程可求. （2a b 、的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合123k k k +=，再建立a b 、的一个关系，则椭圆方程可求. 【详解】解：（1）设切点11(,)A x y 22(,)B x y ，则221122,x y x y ==切线的斜率为2y x '=，所以抛物线上过11(,)A x y 点的切线的斜率为12x ，切线方程为()2111112,2y y x x x y x x x -=-=-，1(,2)2D -在切线上，所以21120x x --=，12x =或11x =-，当12x =时，2114y x ==；当11x =-，2111y x ==，不妨设()(2,4),1,1A B -，1AB k =，所以两切点,A B 所在的直线方程2y x =+.（2）由e =2234c a =，又222c a b =-，所以224a b =.222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，得225161640x x b ++-=， 21651645P Q P Q x x b x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 21,Q PP Qk k y y x x ==， 1k =，又因为123k k k +=，()()3,3,223P Q P Q Q P Q Q P P P Q P Q P Qx x x x y y x y x y x x x x x x ++++===+，()2P Q P Q x x x x +=，22161642,1255b b --⨯==，248a =，所以椭圆的方程2214812x y +=.【点睛】以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题.25．(△)22143x y +=；(△)满足条件的点P 有两个.【详解】试题分析：(1) 结合椭圆的离心率可求得1c =，则椭圆方程为22143x y +=.(2)由题意首先求得切线方程的参数形式，据此可得直线BC 的方程为002x y x y =-，则点P 的轨迹方程为112y x =-，原问题转化为直线112y x =-与椭圆1C 的交点个数，即满足条件的点P 有两个. 试题解析：（△）由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为M ，x 轴下方的切点为N ，则1NE k =，NE的直线方程为y x =因为椭圆22122:1x y C a b+= ()0a b >>的离心率为12，所以椭圆22122:143x y C c c+=，所以22221,43y x x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 0∆=，则1c =，所以椭圆方程为22143x y +=.（△）设点()11,B x y ，()22,C x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=，△抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为()1112x y y x x -=-，即2111122x y x y x =+-， △21114y x =，△112x y x y =-.△点()00,P x y 在切线1l 上，△10012x y x y =-.△ 同理，20022x y x y =-.△ 综合△、△得，点()11,B x y ，()22,C x y 的坐标都满足方程002xy x y =-. △经过()11,B x y ，()22,C x y 两点的直线是唯一的， △直线BC 的方程为002x y x y =-， △点()1,1A 在直线BC 上，△00112y x =-， △点P 的轨迹方程为112y x =-.又△点P 在椭圆1C 上，又在直线112y x =-上， △直线112y x =-经过椭圆1C 内一点()0,1-， △直线112y x =-与椭圆1C 交于两点. △满足条件的点P 有两个.26．(1)21:4C x y =，222:134x y C +=(2)2y =-【分析】(1)依据曲线1C 和椭圆的定义求方程.(2) 假设点M 存在，设切线方程，M 即在抛物线又在椭圆上找到等量关系.【详解】（1）由曲线1C 上任意一点到F （0，1）的距离比到x 轴的距离大1，根据抛物线的定义，曲线1C 为以F （0，1）为焦点的抛物线，则曲线1C ：24x y =；设椭圆2C 的方程()222210y x a b a b+=>>，由24a =，a ＝2，c ＝1，2223b a c =-=，△椭圆2C ：22143y x +=；（2）若存在，由题意设AB 方程：y ＝kx +2代入24x y =，化简得2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，△ 由于12y x '=，△切线MA 方程为：()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，△同理切线MB 方程为：2221124y x x x =-，△ 由△△得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，△M （2k ，-2），又M （2k ，-2）在椭圆上，24113k +=可得：k ＝0，△M （0，-2）k ＝0代入△有：1x =2x =-△椭圆2C 上存在一点M （0，-2）符合题意，此时两条切线的方程为2y =-．【点睛】本题要证明切点弦过定点，设切点弦的直线方程，得到韦达定理，然后通过切点写出两条切线方程，可以得到交点M 的坐标，由点M 的特性可以求出M 坐标，进而求出切点，写出切线方程．。

圆锥曲线不联立导数压轴不求导

圆锥曲线不联立导数压轴不求导在数学领域，圆锥曲线和导数都是非常重要且广泛应用的概念。

然而，很多人在学习过程中都会对圆锥曲线的联立和导数的压轴求导感到困惑。

本文将从简到繁地分析这两个主题，帮助读者更深入地理解它们的内涵和应用。

一、圆锥曲线不联立圆锥曲线是指平面上由一个固定点F（称为焦点）和一个固定直线L （称为准线）决定的点P到焦点和准线的距离之比是一个常数e（离心率）的点集合。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在解析几何和微积分中，研究圆锥曲线的方程和性质对于理解曲线的形状和运动规律起着至关重要的作用。

然而，在学习圆锥曲线时，很多人会感到困惑的一个重要问题就是联立。

联立是指将两个或多个方程进行组合，通过求解共同满足的解来研究曲线的交点、相切点等问题。

而有些情况下，圆锥曲线并不需要进行联立，例如在研究特定类型的曲线时，可以直接利用曲线的性质和方程来解决问题，无需进行联立。

以双曲线为例，其方程为x^2 /a^2 - y^2 /b^2 = 1。

我们要求证曲线上一点处的切线斜率不等于2。

这时，我们可以直接利用双曲线的导数性质而无需进行联立方程。

这种情况下，圆锥曲线不需要联立，通过直接利用曲线的性质即可解决问题。

二、导数压轴不求导导数是微积分中的一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

求导是微积分中的一个核心技能，通过求导可以研究函数的增减性、凹凸性、极值等重要性质。

然而，在实际应用中，有时候我们并不需要通过求导来得到导数的具体数值，而是通过导数的性质和变化规律来分析问题。

当我们要研究函数的增减性或曲线的凹凸性时，可以通过导数的符号和零点来分析，而无需进行具体的导数计算。

这就是所谓的“导数压轴不求导”，即在分析问题时，可以通过导数的性质和规律来得到结论，而无需进行具体的导数计算。

另外，有时候我们也可以通过导数的定义和极限的性质来得到导数的性质和应用，而无需进行具体的导数计算。

这种情况下，导数的计算变得次要，而导数的性质和变化规律成为了重要的研究对象。

圆锥曲线和导数

圆锥曲线和导数圆锥曲线1.位置关系的判定方法一般有两种：（1）代数方法：转化为方程根个数的判定（2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置关系，列等量（不等）关系式.2. 直线与椭圆（双曲线）的综合（1）设：设交点A（x1，y1），B（x1，y1），设直线l：y=kx+b，椭圆（双曲线）C：mx2+ny2=1（mn>0椭圆，mn<0双曲线）；（2）联（硬解定理）：联立直线方程与椭圆（双曲线）方程{mx2+ny2=1，消去y得：{y=kx+b（nk2+m）x2+2kbnx+nb2-1=0Δ=nk2-mnb2+m>0，{x1+x2=-2kbn/nk2+m，{y1+y2=2mb/nk2+m，{x1x2=nb2-1/nk2+m {y1y2=mb2-k2/nk2+m根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一.（3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐标运算弦长公式，|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2|x1-x2|=√1+k2•√（x1+x2）2-4x1x2；|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2•√Δ/|nk2+m|=√1+k2•√nk2-mnb2+m/|nk2+m|（硬解定理）.以AB为直径的圆经过原点O⇒OE⊥OF⇒x1x2+y1y2=0⇒nb2-1+mb2-k2/nk2+m=0，即（n+m）b2=1+k2（硬解定理）.（4）整：抓住元，将结论表示成某参（一般为斜率或点坐标等）的函数式；（5）算：根据结论不同问法选取不同的求解策略求解取值范围一般有两种解题策略：①利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围；②选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题.对于比较复杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.3. 一般性质结论在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA=（x1，y2），向量CB=（x2，y2），则S△ABC=1/2|x1y2-x2y1|.在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐标分别为A（x1，y2），B（x2，y2），C（x0，y0），O为坐标原点，则S⇒AOB=1/2|x1y2-x2y1|，S⇒ABC=1/2|（x1-x0）（y2-y0）-（x2-x0）（y1-y0）|.对椭圆x2/a2+y2/b2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，若直线l1与l2的斜率之积为-b2/a2（在x轴）或-a2/b2（在y轴），则（1）x12+x22=a2；（2）y12+y22=b2；（3）S=2ab.（在x轴）或（1）x12+x22=b2；（2）y12+y22=a2；（3）S=2ab.（在y轴）4.焦点三角形的相关结论以椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2=θ，则（1）|PF1|+|PF2|=2a.（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1+cosθ.（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan（θ/2）.以双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若⇒F1PF2=θ，则（1）||PF1|-|PF2||=2a.（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1-cosθ.（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan-1（θ/2）.4. 结论：抛物线E：x2=2py第一象限上一动点P的切线，与椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）交于不同的两点A、B，线段AB中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，则点M在定直线y=-pb2/a2上，当且仅当a2=4b2时，S1/S2的最大值为定值9/4；5.曲线一般性质总结：圆锥曲线：过圆锥曲线E：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上任一点P（x0，y0）引两条弦PA、PB，若k PA k PB=k或k PA+k PB=k（k≠a/c椭圆双曲线，k≠0抛物线），则直线AB经过定点.曲线过定点题型方法归纳：①参数元关法②探索定点③关系法6.[答题模板]第一步：假设结论存在.第二步：以存在为条件，进行推理求解.第三步：明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.7. 椭圆与双曲线焦点弦性质总结：圆锥曲线上的一点P（x0，y0）到焦点的线段称为焦半径.焦半径常考公式；焦半径公式（I）：对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|.焦半径公式（Ⅱ）：对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=b2/a-ccosα（椭圆）或|PF1|=b2/|a+ccosα|（双曲线），|PF2|=b2/a+ccosβ（椭圆）或|PF2|=b2/|a-ccosβ|（双曲线），其中α、β为焦半径PF1、PF2与x轴正半轴所成的角焦点弦长公式：若椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）的焦点弦AB，设其倾斜角为α，有|AB|=2ab2/|a2-c2•cos2α|.焦点弦定理已知焦点在x轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为θ，斜率为k（k≠0），向量AF= λ向量FB，则曲线C的离心率e满足等式：|ecosθ|=|λ-1/λ+1|,e=√1+k2|λ-1/λ+1|推论已知焦点在y轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为θ，斜率为k（k≠0），向量AF=λ向量FB，则曲线C的离心率e满足等式：|esinθ|=|λ-1/λ+1|，e=√1+k-2|λ-1/λ+1|.8.抛物线性质总结：过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F作直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A在x轴上方，直线l的倾斜角为θ，A、B在准线上的射影分别为P，Q，线段PQ的中点为R，AB的中点为M.（1）y1•y2=-p2；x1•x2=p2/4；（2）k2=2p/y1+y2；（3）|AF|=x1+p/2=p/1-cosθ，|BF|=x1+p/2=p/1+cosθ（4）|AF|-1+|BF|-1=2/p；（5）|AB|=2p/sin2θ （6）S△OAB=p2/2sinθ；在直角梯形APQB中；（7）⇒PFQ=90o（以PQ为直径的圆与AB相切），⇒ARB=90o（以AB为直径的圆与准线相切）；①|AF|，|RF|，|BF|成等比数列；②|AF|，|AR|，|AB|成等比数列；③|BF|，|BR|，|AB|成等比数列；（8）直角梯形APQB对角线过原点O；（9）以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；若过焦点作直线l的垂线n交抛物线于C、D两点，倾斜角为α.（10）|AB|-1+|CD|-1=1/2p；（11）|AB|+|CD|=8p/sin22α⇒[8p，+∞）;（12）|AB|•|CD|=16p2/sin22α⇒[16p2，+∞）;（13）⇒APF的面积，⇒PFQ的面积的一半，⇒BQF的面积，成等比数列；（12）若向量AF=λ向量FB，则cosθ=|λ-1|/|λ+1|，√1+k l2=|λ+1|/|λ-1|9.曲线性质总结：曲线C：x2=2py与直线l：y=kx+b（b>0）交于M、N两点.结论1：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的横坐标与两点的横坐标成等差数列，即2x Q=x m+x N.结论2：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的轨迹为y=-b；结论3：过直线y=-b上任一点做曲线C的切线，切点分别为M、N，则直线MN恒过定点T（0，b）；结论4：当直线l经过曲线C的焦点时，有MQ⊥NQ.10.结论已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1或y2/a2+x2/b2=1（a>b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB 的中点为M.（1）直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值-b2/a2或-a2/b2；（2）若l过点（a，b），延长线段OM与C交于点P，当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线l的斜率k l=（4±√7）/3•b/a或k l=（4±√7）/3•a/b.11. 一般性结论：已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），点A为椭圆上的动点，点B为直线y=ab/c上的动点，若OA丄OB，则直线AB与圆x2+y2=b2相切. 导数1.求过某点处的切线方程解题过程①确定切点P（x0，y0）；②求导f'（x）；③求斜率k=f'（x0）；④点斜式y-y0=k（x-x0）（*）⑤将点P代入切线;⑥将求得的切点代入（*）.三次函数切线条数：过三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠O）图象的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f（x）的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）当定点P在中心N或在I和Ⅲ区域时，过点P的切线有1条；（2）当定点P在函数f（x）或切线l上且不在N时，过点P的切线有2条；（3）当定点P在Ⅱ或在Ⅳ区域时，过点P的切线有3条.记法：内一，上二，外三2.隐零点估值与代换解法(1)分而治之寻找充分条件,逐个求解不等式；(2)找点过程中放缩的出发点是使不等式能解，易解;(3)结合“点”所在的区间，以及各部分的“阶”，进行放缩.3. 极值点偏移对数不等式lnx1-lnx2>2（x1-x2）/x1+x2偏移.4.构造法的经验总结有两点：①因为图象y=e x变化递增的速度比y=lnx快，所以才去“分家”构造新函数的形式，而此时的关键是构造怎样的函数形式.②联想到常见幂函数、指数函数、对数函数两两组合构成的新函数. （1）幂函数与指数函数的组合：y=x+e x，y=x-e x，y=xe x，y=e x/x，y=x/e x，y=x n e x，y=e x/x n，y=x n/e x;（2）幂函数与对数函数的组合：y=x+lnx，y=xlnx，y=x/lnx，y=lnx/x，y=x n lnx，y=lnx/x n，y=x n/lnx.5.(1)以导数为工具证明超越不等式大致有三种不同的思路:①直接化为最值(或确界);②调整结构，分离函数，证最小值大于最大值；③部分放缩与函数逼近.(2)证明超越不等式的通性通法为直接化为最值,会涉及导函数的隐零点，也就是无法求出导函数具体零点,这时一般有两个处理方式:①整体代入化为代数式;②缩小导函数隐零点的范围，从而达到确定最值符号.。

[圆锥曲线与导数]文字素材1 新人教a版选修1-1

圆锥曲线与导数的专题复习建议圆锥曲线和导数这两块内容在高考中的地位不言而喻，经过第一轮的复习学生关于圆锥曲线和导数的基础知识有了较为系统的认识，那么在第二轮复习中应着重强调本章综合题型解题方法的归纳与总结及与其他知识点的交汇处命题的研究与探讨，本文结合圆锥曲线与导数的特点就专题复习提出自己的一些个人建议，供广大同行参考。

【圆锥曲线的专题复习】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

所以，如何做好这章的专题复习是每位高三数学教师的当务之急。

（一）圆锥曲线的特点研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

结合历届高考对本章的考查以及历届学生对本章的反映，此专题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

因此，在很大程度上成为学生能力和心理上的一道难以逾越的障碍。

（二）考纲对圆锥曲线的阐述考试内容：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。

双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。

抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。

（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

（4）了解圆锥曲线的初步应用。

（三）圆锥曲线专题复习的备课基于圆锥曲线的特点，我们在复习之前的备课非常关键。

涉及圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长求法，标准方程的求法，与圆锥曲线有关的几何性质问题、最值问题、证明问题、角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题。

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。

3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。

4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。

5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。

6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。

7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。

10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。

圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。

导数,圆锥曲线,指数函数,对数函数知识点整理

第一部分、基本初等函数第二部分圆锥曲线椭圆1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率)01c e e a ==<<双曲线3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)1c e e a ==>渐近线方程b y x a=±a y x b=±5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．抛物线6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2px =2p y =-2p y =离心率1e =第三部分导数及其应用1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．4、常见函数的导数公式：①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．8、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。

近年高考试题导数圆锥曲线及数列精选

1. (2014湖南) 设常数a>0，函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ (1)讨论f (x)在区间(0,＋∞)上的单调性；(2)若f (x)存在两个极值点x 1,x 2,且f (x 1)＋ f (x 2)>0，求a 的取值范围.112212P(x ,f(x )),Q(x ,g(x )),x 0,x 0,⇒≥>x 已知f(x)=e +sinx,g(x)=x-2，设PQ x P Q 若直线与轴平行，求、的最短距离。

x ax(a 0).(1)e ⇒>已知f(x)=x-e判断曲线f(x)在x=0处的切线能否与曲线y=相切，并说明理由；12x e 2.x a1212()若f(x )=f(x )=0(x <x )，求证:<⇒已知f(x)=ax ，g(x)=lnx ，若存在两个不等实数x 1,x 2,使f(x 1)=g(x 1)，f(x 2)=g(x 2)，求证x 1x 2>e 2⇒ (2013 四川)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 为常数，设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))为函数像上的两点,且x 1<x2(1)指出函数f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)的图像在A 、B 处的切线互相垂直，且x2<0,求x 2－x 1的最小值； (3) 若函数f (x) 的图像在A 、B 处的切线重合，求a 的取值范围。

⇒ (2014天津) 设f(x)=x －ae x(a ∈R), 已知y=f(x)有两个零点x 1,x 2，且x 1<x 2.(1) 求a 的取值范围；(2) 证明：21x a x 随着的减小而增大;(3) 证明x 1+x 2随着a 的减小而增大。

3. (2014全国新课标)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+,曲线f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x －1)＋2.(1) 求a ，b; (2)证明：f (x)>1()ln ,(1)()f x x x f x ⇒=求在[t,t+2](t>0)上的最小值；12(2)ln x x e ex∈∞>-求证对一切实数x (0,+),都有2013 ⇒（全国）已知函数f (x)=e x －ln(x ＋m)(1) 设x=0 是f (x)的极值点，求m ，并讨论f (x)的单调性；(2) 当m≤2时，证明f (x)>04.(2014浙江)已知函数f (x)=x 3＋3|x －a|(a ∈R).(1) 若f (x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a)和N(a)，求M(a )－N(a)； (2) 设b ∈R,若[f (x)＋b]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的范围. 5.(2014陕西)设函数f (x)=ln(1+x),g(x)=x f’(x),其中x≥0, f’(x)是, f (x)的导函数. (1) 令g 1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n (x)),n ∈N +,求g n (x)的表达式；(2) 若f (x )≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3) 设n ∈N +,比较g(1)+g(2)+……+g(n)与n －f (n)的大小，并加以证明.6. (2014全国大纲) 函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 设a 1=1,a n+1=ln(a n ＋1),证明 2322na n n <≤++7. (2014山东)设函数22()(ln )()x e f x k x k e x x=-+为常数，是自然对数的底(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围。

圆锥曲线简化计算技巧

圆锥曲线简化计算技巧
圆锥曲线是解析几何中一个重要的部分，它包括椭圆、双曲线和抛物线等。

在解决圆锥曲线问题时，掌握一些简化计算的技巧是非常有帮助的。

以下是一些常用的圆锥曲线简化计算技巧：
1. 参数方程法：对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以通过引入参数来简化计算。

参数方程可以将圆锥曲线的几何性质转化为代数方程，从而方便求解。

2. 极坐标法：对于一些与极坐标有关的圆锥曲线问题，使用极坐标可以简化计算。

极坐标可以将圆锥曲线的方程转化为极坐标形式，从而方便求解。

3. 对称性质：圆锥曲线具有对称性质，可以利用这些性质来简化计算。

例如，在椭圆中，关于长轴和短轴的对称性可以用来简化计算。

4. 切线性质：对于一些与切线有关的圆锥曲线问题，可以利用切线的性质来简化计算。

例如，在抛物线中，切线的斜率等于该点的导数。

5. 数形结合：在解决圆锥曲线问题时，可以将代数方程与几何图形结合起来，从而方便求解。

数形结合可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更有效的解决方案。

6. 整体代换：在一些复杂的圆锥曲线问题中，可以通过整体代换来简化计算。

整体代换可以将复杂的代数表达式转化为简单的代数表达式，从而方便求解。

7. 逐步化简：在解决圆锥曲线问题时，可以通过逐步化简来简化计算。

逐步化简可以将复杂的代数方程逐步化简为简单的代数方程，从而方便求解。

以上是一些常用的圆锥曲线简化计算技巧，掌握这些技巧可以帮助我们更有效地解决圆锥曲线问题。

导数圆锥曲线解题方法

导数圆锥曲线解题方法
求解导数圆锥曲线的方法可以分为以下几个步骤：
1. 确定圆锥曲线的方程：圆锥曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等，不同类型的曲线有不同的方程形式。

根据给定的曲线问题，确定所求曲线的方程。

2. 求取导数表达式：将确定的曲线方程进行求导，得到导数的表达式。

根据曲线的类型和方程形式，使用相应的求导规则进行计算。

3. 求取导数值或导数函数：根据具体的问题，求取导数的值或者导数的函数表达式。

这个步骤可能需要进一步的代数运算或者数值计算。

4. 分析导数的性质：通过对导数值或导数函数的分析，得出导数的性质。

例如，导数为正表示曲线上的点在递增，导数为零表示曲线上的点可能是极值点，导数为负表示曲线上的点在递减等。

5. 应用导数解题：根据问题的具体要求，利用得到的导数信息解决问题。

例如，求曲线上的最值点、确定曲线的切线方程、研究曲线的凹凸性等。

总之，求解导数圆锥曲线的方法包括确定曲线方程、求取导数表达式、求取导数值或函数、分析导数的性质和应用导数解题。

具体的步骤和方** 根据问题的不同而有所差异。

高中数学里面的圆锥曲线和导数哪个更难？为什么？

⾼中数学⾥⾯的圆锥曲线和导数哪个更难？为什么？市重点⾼中任职⼗余年之久的数学教师告诉你，⾼中数学⾥⾯导数肯定更难，为何我会得出这个结论呢？⾸先第⼀个我们从圆锥曲线与导数常考题型来分析。

参加过⾼考的⼈应该都知道。

⾼考题这些顺序都是按照从易到难的顺序出题的。

从近⼏年的全国卷，命题顺序来看，导数始终放在圆锥曲线的后⾯。

⼜或者说导数经常是放在最后⼀题，也就是我们常说的压轴题。

这类题⽬的出现它必然取⼀个选拔决定性的作⽤，也就是真正“学霸”与“中等⽣”的分界点。

真正在⾼考当中导数能得到满分的同学，那么正常试卷我相信他的数学成绩⾃然不会差，⾄少在140以上。

除了粗⼼⼤意，我觉得没有理由，他做出来的题⽬会被扣分。

⼀:圆锥曲线知识点及其对应题型:这这个地⽅我讲述⼀点，就是圆锥曲线⾥⾯⼀个定值问题都分为8类(篇幅有限，我只是选取解析⼏何⾥⾯有个重要的知识点来做出具体的总结):1:⾓为定值；2:斜率定值(倾斜⾓为定值)；3:线段长度为定值；4:⾯积定值；5:数量积为定值；6:直线⽅程定值；7:斜率积定值(椭圆⼀组的性质)；8:运算关系为定值。

其实解析⼏何的问题做多了能够得到每⼀种问题的具体解题⽅法。

我们就圆锥曲线⾯积定制来做出解释吧:只要算出点到直线的距离其实也就是它的⾼以及底边的长，那么⽤代数式来表⽰就能够得到题⽬说要我们找的关系，问题能够解决。

⼆:导数题知识点及其对应题型:导数基本知识点我们就不分析，相信⼤家都有所了解。

但是导数也就是⾼中数学与⼤学数学的⼀个过渡点，在⼤学数学内容⾥与⾼中联系最新的也就是倒数有关概念及其知识点。

相⽐于圆锥曲线这个就显得重要的多。

到时候问题是⽐较抽象的，提醒也是⽐较复杂的，常考的内容就是⼀个“零点的存在性定理”以及⼀个“隐零点”的问题。

很多的学⽣他导数学完，竟然连⼆阶求导的意义何在都弄不清楚，这是⼤部分⼈所反映的问题，但是⼀个基本的把⾓求导却是90%导数题⽬⾥⾯都必须要⽤到的。

以及我们作为⽼师来讲，做过⽆数张各省市的调研卷以及联考试卷，但是对于宝树这⼀张却⽆法得出⼀个⾮常具体机型的详细总结以及解决办法。

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法

浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。

首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。

接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。

在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。

最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。

通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。

【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。

根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。

它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。

椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。

圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。

圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。

掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。

在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。

1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。

高中数学圆锥曲线和导数知识点总结

圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+椭圆的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （20πθ ）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③设椭圆：12222=+b y a x 上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b xa y -,对椭圆：12222=+b x a y , 则k AB =2020a xb y -．弦长AB =⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （可用余弦定理与a PF PF 221=+推导）. 若是双曲线，则面积为2tan b θ.二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-双曲线的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线 2.双曲线的简单几何性质：注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(12222 b a bx a y b a b y a x =-=-.参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③焦半径：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201④设双曲线22221x y a b -=：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b x a y ,对双曲线：22221y x a b -=, 则k AB =2020a xb y ．弦长AB=⑤常设与22221x y a b -=渐近线相同的双曲线方程为2222x y a bλ-=；常设渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程为2222m x n y λ-= 例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和∆三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PF d =，PF 为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①抛物线通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.②px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．(1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义|AF |＝|AA 1|＝x 1＋p 2. 抛物线上任意一条弦的弦长为 (2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为00(,)M x y ，直线AB的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有1222p x x p k+=+②|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p =12222()p p x x k+≠，0AB p k y =，22sin AOB p S θ∆=③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑤1|F A |＋1|FB |＝2p .四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()limx yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'xxe e = ⑥()'ln (0,1)xxa a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导)法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：(上导下不导-上不导下导)÷下平方)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。

高二数学圆锥曲线与导数

一、导数1．导数的概念：f ′（x ）= 0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。

如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。

⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)例：1.（20XX 年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______。

2.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e …… 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'=c f '（x ） ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（v u ）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间；令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。

高中数学圆锥曲线选知识点总结

高中数学圆锥曲线选知识点总结高中数学圆锥曲线是高中数学的一门重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本曲线。

以下是一份完整的高中数学圆锥曲线选知识点总结：1.定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个交角不为直角的平面截一个圆锥所得到的截面图形。

2.椭圆：椭圆是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之和等于定值的点所形成的轨迹。

椭圆的性质包括离心率、焦点、焦距、长轴、短轴、半焦距等。

3.双曲线：双曲线是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之差等于定值的点所形成的轨迹。

双曲线的性质包括离心率、焦点、焦距、渐近线等。

4.抛物线：抛物线是一条平面曲线，它的定义是所有到一个给定点的距离等于定值的点所形成的轨迹。

抛物线的性质包括焦点、焦距、准线、对称轴、顶点等。

5.圆锥曲线的参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，例如椭圆的参数方程为x = a cos t，y = b sin t；双曲线的参数方程为x = a sec t，y = b tan t；抛物线的参数方程为x = at^2，y = 2at。

6.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

例如，在天文学中，行星轨道和彗星轨道就是圆锥曲线；在工程学中，喷气式飞机的外形和空气动力学研究中也常常使用圆锥曲线。

7.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。

可以通过椭圆的焦点坐标和离心率求得椭圆的方程。

8.双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) =1，其中a和b分别为双曲线的顶点到两条渐近线的距离。

同样可以通过双曲线的焦点坐标和离心率求得双曲线的方程。

9.抛物线的方程：抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

抛物线的顶点坐标为(-b / 2a, c - b^2 / 4a)，焦距为1 / 4a。

利用导数解决圆锥曲线中的切线问题

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利用导数解决圆锥曲线中的切线问题
作者：陈建参
来源：《考试周刊》2013年第51期
摘要：文章认为，根据圆锥曲线特别是抛物线的全部或局部函数性，利用导数求导的方法，可以顺利解决圆锥曲线中的切线问题.
关键词：圆锥切线函数性导数切线斜率
圆锥曲线问题与导数的工具性的交叉渗透，很自然地做了一个知识点和能力上的交汇整合.在2012年的高考题中，总体的体现是题型新颖，难度跨度增大，特别是对考生的运算求解能力的要求提高，但如果能利用好导数，则可以使解题变得简捷巧妙.
【点评】化抛物线方程为函数形式，根据曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键.
（I）求抛物线E的方程；
（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
【点评】本题考查的知识点为圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，以及定值的证明，关键是把抛物线方程化为函数形式，利用导数的几何意义求解.
【点评】开口向左或向右的抛物线方程不是函数形式，但如果只取轴的上方或下方部分，就是函数关系了，利用导数就可以解决相应切线问题.
【点评】该试题出题的角度不同寻常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，是该试题的创新之处.另外，在第二问中难度加大了，出现了另
外两条公共的切线，这样的问题在我们以后的学习中也是需要练习的.
利用导数求解圆锥曲线的切线问题，关键在于设切点求斜率，把解析几何和导数的工具性结合起来，作为一种思维方式，体现了数学的简捷、实用和综合性.。