2020中考数学复习二次函数动点面积

＝12MN(xA－xB)＝12(－m2＋5m)(1－0)＝－12m2＋52m
＝－12(m－52)2＋285.
∵点 M 在第一象限，∴0＜m＜3，
∴当
m＝52时，S
25 有最大值 8 .
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
方法三：令 y＝0 代入 y＝－x2＋2x＋3， ∴0＝－x2＋2x＋3，∴x＝－1 或 3， ∴抛物线与 x 轴的交点横坐标为－1 和 3， ∵M 在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3， 过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，交 AB 于点 D，
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
③PC＝PQ 时，过点 P 作 PG⊥CQ，∴GQ＝12CQ， cos∠CQP＝GPQQ＝1－2（14m225＋m23）m＝ 15，∴m＝1. 综上所述，当△CPQ 为等腰三角形时，m＝6－2
＝1.
5或 m＝2 或 m
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
|针对训练| 1．如图 Z6－4，直线 l：y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴分别相交
图 Z6－6
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：(1)在 y＝12x＋2 中，当 x＝0 时，y＝2；当 y＝0 时，x＝－4.∴C(0，2)，A(－4，0)．
代入 y＝－12x2＋bx＋c， 2＝c，
得0＝－12×（－4）2＋b×（－4）＋c， 解得 b＝－32，c＝2. ∴抛物线的函数表达式为 y＝－12x2－32x＋2.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
方Baidu Nhomakorabea一：面积法：
∵S△PCB＝12BC·PM，∴PM＝2SB△CPCB
＝－ 105(m－3)2＋9 10 5.
∴当
m＝3
时，PM
9 的最大值是
10
5 .
方法二：转换到铅锤高：
∵cos∠MPQ＝PPMQ＝2 5 5，
∴PM＝2 5 5PQ＝－ 105(m－3)2＋9 10 5.
其实，三角形的面积就等于铅垂高乘以水平宽再除以 2.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
方法二：连接 OP，
S S S S ＝ ＋ － △PCB
△PCO
△PBO
△BCO
＝12CO·xP＋12BO·yP－12OB·OC
＝－34(m－3)2＋247.
当 m＝3 时，最大面积为247.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
如图③.
由题意知：M 的坐标为(m，－m2＋2m＋3)， ∴D 的纵坐标为：－m2＋2m＋3， ∴把 y＝－m2＋2m＋3 代入 y＝－3x＋3， ∴x＝m2－3 2m， ∴D 的坐标为(m2－3 2m，－m2＋2m＋3)，
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
∴DM＝m－m2－3 2m＝－m23＋5m，
(1)请问当 m 为何值时，△PCB 的面积最大，求出最大面 积．
图 Z6－1
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：(1)方法一：由抛物线 y＝－14x2＋x＋3，得 A(－2， 0)，B(6，0)，C(0，3)，∴直线 BC 的解析式为 y＝－12x＋3.
过点 P 作 PQ∥y 轴，交 BC 于点 Q， S△PCB＝12PQ(xB－xC)＝12×6(－14m2＋32m) ＝－34(m－3)2＋247， 当 m＝3 时，最大面积为247.
方法三：要使△PCB 的面积最大，可以把 BC 当作底边，由于底边 BC 固定， 当 BC 边对应的高最大时，△PCB 的面积最大． 把 BC 平移到与抛物线仅有一个交点的位置，此时抛物线上动点 P 到 BC 距 离最远，即 BC 边对应的高最大． 设直线 BC 平移后的解析式为 y＝－12x＋b， 因为 BC 平移后的直线与抛物线仅有一个交点， 所以由方程组yy＝ ＝－ －1142xx2＋＋bx，＋3，得到的方程－14x2＋x＋3＝－12x＋b 只有
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
类型 动点面积问题 知识储备
题型
作平行线
连接原点
利用相似比
例图
解题策略
数形结合、分类讨论、转化等数学思想
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
例 如图 Z6－1，抛物线 y＝－14x2＋x＋3 与 x 轴交于 A、
B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC.点 P 为第一象限的抛物线 上的一个动点，设 P 点的横坐标为 m.
∴P 点坐标为 P3(72，－94)，P4(－12，74)．综上所述，存在满足条
件的点：P1(3＋2
2 13－2 ，4
2)，P2(3＋2
2 13－2 ，4
2)，P3(72，
－94)，P4(－12，74)．
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
3．如图 Z6－6，在平面直角坐标系中，直线 y＝12x＋2 与 x 轴交于
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
(2)方法一：设 M 的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，
连接 OM，如图①.
∵ S △ ABM ＝ S
四边形
OAMB
－
S
△
AOB
＝
S
△
OBM
＋
S
△
OAM
－
S
△
AOB
＝
1 2
×3×m
＋
1 2
×1×(－m2＋2m＋3)－12×1×3＝－12m2＋52m
＝－12(m－52)2＋285.
(3)过点 P 作 PQ∥y 轴，交 BC 于点 Q，若△CPQ 为等 腰三角形，求 m 的值．
图 Z6－3 (3)[解析] PQ＝－14m2＋32m，CQ 用距离公式表示为 CQ＝ 25m，这个三角形在移动过程中∠CQP 不变，并且
能求出它的所有三角函数，我们在解决这个问题时就要
充分利用这个∠CQP.等腰三角形分三类：Q 为顶点：QP ＝QC；C 为顶点：CP＝CQ；P 为顶点：PC＝PQ.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
②若 P 在直线 AB 下方，则 h＝y2－y1＝(－x＋3)－(－x2＋2x＋ 3)＝x2－3x，由 S△PAB＝78S△CAB 得：12×3×(x2－3x)＝78×3，
化简得：4x2－12x－7＝0，解得 x1＝72，x2＝－12.
将 x1＝72，x2＝－12代入 y1＝－x2＋2x＋3，得 y3＝－94，y4＝74，
∴S＝12DM·BE＋12DM·OE＝12DM(BE＋OE)＝12DM·OB
1 －m2＋5m
－m2＋5m
＝2× 3 ×3＝ 2
＝－12(m－52)2＋285.
∵0＜m＜3，∴当 m＝52时，S 有最大值，最大值为285.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
2．如图 Z6－5，抛物线顶点为点 C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，
0)，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线、直线 AB 的解析式和△CAB 的铅垂高 CD 及 S ； △CAB
7 (2)点 P 是抛物线上的一个动点，连接 PA，PB，若 S△PAB＝8S△CAB， 求出 P 点的坐标．
图 Z6－5
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：(1)y1＝－x2＋2x＋3，y2＝－x＋3. ∵C 点坐标为(1，4)，∴当 x＝1 时，y1＝4，y2＝2， ∴CD＝4－2＝2，∴S△CAB＝12×3×2＝3.
点 A，与 y 轴交于点 C.抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 经过 A、C 两点， 与 x 轴的另一交点为点 B. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点．连接 BC、CD.设直线 BD 交线段 AC 于点 E，△CDE 的面积为 S1，△BCE 的面积为 S2，求SS12的 最大值．
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
(2)过点 P 作 PM⊥BC 于 M，求 PM 的最大值．
图 Z6－2
解析：(2)方法一：垂线段可以转化为三角形的高，因此用面积
法；方法二：PM 是一条垂线，随着 P 点的移动，PM 的方向不变， 过点 P 作一条 y 轴的平行线 PQ，PM 与这条线段的夹角与∠CBO 相 等，PM 可用 PQ 与∠MPQ 的余弦值表示．
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
(2)设 P 点的横坐标为 x，△PAB 的铅垂高为 h， ①若 P 在直线 AB 上方，则 h＝y1－y2＝(－x2＋2x＋3)－ (－x＋3)＝－x2＋3x，由 S△PAB＝78S△CAB， 得：12×3×(－x2＋3x)＝78×3，化简得：4x2－12x＋7＝0， 解得 x＝3±2 2. 将 x＝3±2 2代入 y1＝－x2＋2x＋3，得 y1＝13∓24 2，即 P1(3＋2 2，13－42 2)，P2(3－2 2，13＋42 2)；
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：分以下三种情况进行讨论：①QP＝QC 时， ∴－14m2＋32m＝ 25m， 解得：m1＝6－2 5，m2＝0(舍)，
②CP＝CQ 时，过点 C 作 CH⊥PQ 于 H， ∴HQ＝12PQ，cos∠CQP＝HCQQ＝12（－142m52m＋23m）＝ 15，∴m＝2.
∵点 M 在第一象限，∴0＜m＜3，
∴当 m＝52时，S 有最大值285.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
方法二：过 M 作 MN∥y 轴，交直线 AB 于 N，如图②.
设 M 的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，N(m，－3m＋3)，
∴MN＝－m2＋2m＋3－(－3m＋3)＝－m2＋5m，
S△ABM＝S△MNB－S△MNA＝12MN(xN－xB)－12MN(xN－xA)
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
解：(1)直线 l：y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴 分别相交于 A、B 两点，当 y＝0 时，x＝1；当 x＝0 时，y＝3.
∴点 A，B 的坐标分别为(1，0)、(0，3)． ∵点 B(0，3)在抛物线 y＝ax2－2ax＋a＋ 4(a＜0)上，∴3＝a＋4，∴a＝－1. ∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
(2)如图，过点 C 作 CH⊥BD 于点 H， 则 S1＝12DE·CH，S2＝12BE·CH.∴SS12＝DBEE. 过点 D 作 DM∥y 轴交 AC 于点 M、过点 B 作 BN⊥x 轴交 AC 于点 N， 则 DM∥BN.∴DBEE＝DBMN. 在 y＝－12x2－32x＋2 中，当 y＝0 时， －12x2－32x＋2＝0， 解得 x＝－4 或 1.∴B(1，0)，A(－4，0)．
∴当
m＝3
时，PM
9 的最大值是
10
5 .
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
经验小结：求面积时也用到了铅垂高，这 两种方法在本质上是一样的．所以，对于一些 倾斜的线段，我们要考虑把它转换为铅垂高， 方便计算，转换的方法多用到相似或者三角函 数．继续关注第(3)问．
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
易求直线 AC 的解析式为 y＝12x＋2，当 x＝1 时，y＝12x＋2＝ 52.∴N(1，52)，BN＝52. 设 D(t，－12t2－32t＋2)，则 M(t，12t＋2)． ∴DM＝－12t2－32t＋2－(12t＋2)＝－12t2－2t. ∴SS12＝－12t52－2t＝－15(t＋2)2＋45.∴当 t＝－2 时，SS21取最大值45.
一个实数根．
由判别式等于 0，可求出 b＝241，此时 P(3，145)，可求得△PCB 面积的最
大值为247.
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
经验小结：方法二中转换面积的方法很好，好处在于
△PCO，△PBO，△BCO 都有一边在 x 轴或者 y 轴上，
把它们作为底，那么高就可以用点的横纵坐标表示 了，其实，这三个三角形的面积也是由铅垂高乘以水 平宽除以 2 得到的． 铅垂高不仅在求面积时用处很大，在求一些倾斜线段 的长时也能提供很大的帮助．请看第(2)问．
于 A、B 两点，抛物线 y＝ax2－2ax＋a＋4(a<0)经过点 B. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，
连接 AM、BM.设点 M 的横坐标为 m，△ABM 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值．
图 Z6－4
专题六 与抛物线有关的动点面积问题
专题六丨与抛物线有关的动点面积问题
面积是平面几何中一个重要的概念，它的计算 关联着平面图形中的重要元素边与角．而由动 点生成的面积问题，是重庆中考命题常见形 式，此类题抢部分分易，得满分难，在解题的 过程中一定要克服畏难或者放弃情绪，考生需 要知道解答题是分步给分，解决此类题常用到 以下与面积相关的知识：1.图形的割补；2.等 积变形；3.等比转化．