1样本空间和随机事件
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
教学设计1：10.1.1 有限样本空间与随机事件
10.1.1有限样本空间与随机事件教材分析本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限样本空间与随机事件》，本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础.并加深对概率思想方法的理解.从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养.教学目标与核心素养教学重难点1.教学重点：随机试验的概念及特点；2.教学难点：理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间.课前准备多媒体.教学过程这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作.近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域.许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的.在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率.本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.随机现象普遍存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有的有无穷个可能结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无穷，例如，对掷硬币试验，等待首次出现正面朝上所需的试验次数，具有可列无穷个可能结果；而预测某地7月份的的降水量，可能结果则充满某个区间，其可能结果不能一一列举，即有不可列无穷个可能结果.所以，常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.高中阶段主要研究离散型概率模型.研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分囊数；记录某地区7月份的降雨量等等.我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random experiment)，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω ={h，t}.例2.抛掷一枚骰子（touzi)，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用i表示朝上面的“点数为i”，因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω ={1，2，3，4，5，6}.构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可以利用集合工具（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程.解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用（x，y)表示.于是，试验的样本空间Ω ={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解：如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}.如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.一方面数学追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面的研究中会带来很大的方便. 理解样本与样本空间以及随机事件：(1)由于随机试验的所有结果是明确的，从而样本点也是明确的.(2)样本空间与随机实验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间. (3)随机试验、样本空间与随机事件的关系： 随机试验⟶样本空间子集→ 随机事件. 练一练1.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为(x ，y )．(1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x ＋y ＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x <3且y >1”呢？ (4)“xy ＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x ＝y ”呢？解：(1)Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x ＋y ＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)； “x <3且y >1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy ＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x ＝y ”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．思考2. 在体育彩票摇号实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的20.（3）手电筒的电池没电，灯泡发亮；（4）一个电影院某天的上座率超过50%.（5）如果a＞b，那么a一b＞0；（6）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；（7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；（8）随机选取一个实数x，得|x|<0.【答案】（1）-（8）随机事件；必然事件；不可能事件；随机事件；必然事件；随机事件；随机事件；不可能事件例4.如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”.解：(1)分别用x1，x2和x3表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1，x2，x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω={(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}.(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1，x2，x3) ∈Ω，且x1，x2，x3中恰有两个为1，所以M={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}.“电路是通路”等价于(x1，x2，x3) ∈Ω，x1=1，且x2，x3中至少有一个是1，所以N={(1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)}.同理，“电路是断路”等价于(x1，x2，x3) ∈Ω，x1=0，或x1=1，x2=x3=0.所以T={(0，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，0，0)}.如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件．(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率．(3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.解：(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}.(2)对于串联电路，M={(1，1)}.(3)对于并联电路，N={(0，0)}.5.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机模出一个球(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“孩到球的号码是偶数”.解：(1) Ω={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.(2)A={1，2，3，4}；B=5，6，7，8，9；；C={2，4，6，8}.教学反思本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础.教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学.从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养.。
2022年《1随机事件和样本空间导学案教师版》优秀教案
§随机事件和样本空间目标要求1、理解并掌握随机试验，样本空间，随机事件、必然事件、不可能事件．2、理解并掌握事件的判断．3、理解并掌握样本空间及随机事件的结果．4、理解并掌握事件的关系及运算学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：样本空间及随机事件的结果；难点：事件的关系及运算．教学过程根底知识点1随机试验对某随机现象进行的实验、观察,称为随机试验,简称__试验___2样本空间定义:①样本点:随机试验的每一个可能的结果②样本空间:所有样本点组成的集合记作:Ω3随机事件、必然事件、不可能事件1随机事件:样本空间的子集称为随机事件,也简称事件表示:一般用大写英文字母A,B,C表示2根本领件:当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为根本领件3必然事件:Ω全集是必然事件4不可能事件:空集是不可能事件【思考】判断一个事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件的关键是什么提示:关键是看每次试验中事件A中某个样本点是否出现,假设试验中总有一个样本点发生,那么事件A为必然事件;假设试验中不包含任何样本点,那么事件A为不可能事件;假设试验中某个样本点可能发生也可能不发生,那么事件A为随机事件【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A随机试验的结果是不确定的B一次随机试验所有可能出现的结果只有一个C样本空间中的样本点是有限的D异性电荷相互吸引是必然事件【答案】选CD提示:A×随机试验的结果可能确定,也可能不确定B×一次随机试验所有可能出现的结果可能有多个C√只讨论样本点为有限的情况D√异性电荷相互吸引一定会发生，所以它是必然事件题2下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②异性电荷相互吸引;③35>10必然事件是A②B③C①D②③【解析】选A①是随机事件;②是必然事件;③是不可能事件题3“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为奇数〞记为事件A,“抛掷一枚骰子,结果向上的点数大于4〞B=________,AB=________【解析】记“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为〞为,那么,那么答案:关键能力·合作学习类型一事件的判断数学抽象【题组训练】题4以下事件:①明天下雨;②3>2;③某国发射航天飞机成功;④;⑤某商船航行中遭遇海盗;⑥任给∈R,2=0其中随机事件的个数为【解析】选D①明天下雨这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;②3>2,是必然事件;③某国发射航天飞机成功可能发生也可能不发生,是随机事件;④是不可能事件;⑤这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;⑥任给∈R,2=0可能发生也可能不发生,是随机事件即①③⑤⑥是随机事件题5以下事件中,不可能事件为A三角形内角和为180°B三角形中大边对大角,大角对大边C锐角三角形中两个内角和小于90°D三角形中任意两边的和大于第三边【解析】选C假设两内角的和小于90°,那么第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A,B,D均为必然事件题6从6个篮球、2个排球中任选3个球,那么以下事件中,是必然事件的是个都是篮球B至少有1个是排球个都是排球D至少有1个是篮球【解析】选D从6个篮球、2个排球中任选3个球,A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件【解题策略】判断事件类型的方法1看条件:在事件阐述过程中,一定要看试验是在什么条件下,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,随着条件的变化,试验的结果也可能会发生相应的改变2看结果:事件是按照事件发生与否标准分类的,结果一定发生的是必然事件;不一定发生的是随机事件;一定不发生的是不可能事件类型二样本空间及随机事件的结果数学抽象【典例】题7袋子中有5个大小和质地相同的小球,其中三个红球,标号为1,2,3,另外两个为黑球,标号为4,5,从中依次随机摸出两个球,写出试验的样本空间【解题策略】试验结果书写的考前须知1准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是求概率的根底2在写试验结果时,一般采用列举法,必须要明确事件发生的条件,根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果不重不漏【跟踪训练】题8集合,从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,那么事件“点落在轴上〞包含的样本点共有个个个个【解析】选C“点落在轴上〞这一事件记为M,那么,包含9个样本点类型三事件的关系及运算数学抽象、数学运算角度1 事件的关系【典例】题9在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}与是什么关系【思路导引】判断事件发生时事件是否发生【解析】因为事件发生,那么事件必发生,所以,同理包含于【变式探究】题10 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}写出事件的和事件及事件的交事件【解析】设G={出现的点数为奇数}={出现1点,出现3点,出现5点},所以{出现的点数大于3}={出现4点,出现5点,出现6点},{出现的点数小于5}={出现1点,出现2点,出现3点,出现4点},所以角度2 事件的运算【典例】题11盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球中有两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}那么:1事件D与事件A,B是什么样的运算关系2事件C与事件A的交事件是什么事件【思路导引】列举出事件中可能的样本点,然后进行各事件的运算【解析】1对于事件D,可能的样本点为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B2对于事件C,可能的样本点为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故C∩A=A【解题策略】事件间运算的方法1利用事件间运算的定义列举出同一条件下的试验所有可能出现的样本点,分析并利用这些样本点进行事件间的运算2利用Venn图借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的样本点,把这些样本点在图中列出,进行运算【题组训练】题12打靶3次,事件表示“击中i发〞,其中i=0,1,2,3那么表示A全部击中B至少击中1发C至少击中2发D以上均不正确【解析】选B所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发题13抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2〞为事件A,“向上的点数是2或3〞为事件B,那么⊆B=BB表示向上的点数是1或2或3 表示向上的点数是1或2或3【解析】={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},AB表示向上的点数是1或2或3课堂检测·素养达标题14以下现象:①连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点;②走到十字路口,遇到红灯;③明天早晨有雨;④抛一石块,下落其中是随机现象的个数是【解析】选C由随机现象的概念可知①②③是随机现象,④是确定性现象题15为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,那么包含的样本点共有个个个个【解析】选C由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机〞“数学与航空模型〞“计算机与航空模型〞,共3个题16一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,那么所有的样本点有A男,女,男,男,女,女B男,女,女,男C男,男,男,女,女,男,女,女D男,男,女,女【解析】选C由题知所有的样本点是男,男,男,女,女,男,女,女题17在10个学生中,男生有人现从10个学生中任选6人去参加某项活动,有以下事件:①至少有1个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生假设要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,那么为______【解析】由题意知,10个学生中,男生人数少于5,但不少于3,所以=3或=4答案:3或4题18袋中有8个大小和质地相同的小球,标号为1,2,3,4,5,6,7,8,从中随机摸出一个球,用集合表示以下事件:1A=“摸到球的号码小于5〞;2B=“摸到球的号码为奇数〞【解析】从中摸出一个球,样本空间:Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}1事件“摸到球的号码小于5〞表示为A={1,2,3,4}2事件“摸到球的号码为奇数〞表示为B={1,3,5,7}。
§1.1随机事件与样本空间
§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。
例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
1.随机事件与样本空间
6.逆事件(或对立事件)
在一次试验中，事件A与事件B必然有一个发生，且仅 有一个发生，即事件A与B满足条件
A B U, A B 则称事件A与事件B互逆，又称A是B的对立事件或逆事 件(B是A的对立事件或逆事件)，记成A= B (B= ). A 显然， A =U-A. 例如：抛骰子时，A=“出现奇数点” B=“出现偶数点” 则A与B为对立事件.
概率统计的研究内容？
观察自然界的现象 ■ 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。
实例： “上抛的石子必然下落”， “太阳从东方升起”， “水从高处往低处流”， “同性电荷互斥” 等。
随机现象
在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。
E1
“在相同条件下抛一枚硬币，观察哪面朝上”
结果有可能出现正面 也可能出现反面
事件的运算法则
对于任意三个事件 A，B，C，满足下列运算：
1) 若 2) 则
A B, B C ,， A C
3)A B A B A A 交换律
4) 结合律 A ( B C ) ( A B) C
A B B A, A B B A
A ( B C ) ( A B) C
样本空间 样本点
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，用w表示. 由全体样本点组成的集合称为样本空间，用U表示.
实例
E1：“抛一枚硬币，观察哪面朝上”. 则样本空间 U={正面朝上，反面朝上}. 若用w_1表示正面朝上，w_2表示反面朝上, 则样本空间也可表示为 U={w_1，w_2}.
E2 “掷一颗均匀骰子，观察出现的点数情况” 则样本空间为 U={1，2，3，4，5，6}.
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
一概率论的基本概念
2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。
3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。
注： 样本空间是一个有限或无限的点集。 样本空间的元素是由试验的目的所确定。
随机事件（简称事件）：
随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件。
通常用大写字母A，B,…表示。 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一
20 同色球无区别。 k
例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄， 求 1）第3个邮筒恰好投入1封信的概率； 2）有两个邮筒各有一封信的概率。 解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信” 两封信任意投入4个邮筒，共有 42 种 而事件A的不同投法有
2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”
P(A )
r P365 r
例6 设有n个球每个球都以同样的概率 格子（N≥ n）的每个格子中，试求 1）某指定的n个格子中各有一球的概率。
落到N个
2）任何n个格子中各有1球的概率。 解 设 A =｛某指定的n个格子中各有一球｝
B =｛任何n个格子中各有一球｝ 1 2 3 n
N
例7：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4 个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率
例(5) 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
(365) r P365 P(A ) 1 P(A ) 1 r (365)
于是 P ( A) 1 P ( A ) 1 1 1 2! 3! 3
1 1 n1 1 1 (1 ( 1) ) 2! 3! n! 1 1 n 1 ( 1) 2! 3! n!
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
数一概率论考试大纲
数一概率论考试大纲
一、随机事件与概率
1.样本空间、随机事件
2.事件的概率及其性质
3.由概率求事件的概率
4.随机事件的运算
二、随机变量与分布律
1.随机变量的概念和分类
2.离散型随机变量及其分布定律
3.连续型随机变量及其概率密度函数
4.随机变量函数的分布律
5.常见离散分布和连续分布（二项分布、泊松分布、正态分布等）
三、数理统计基础
1.样本、总体、统计量
2.样本均值、样本方差及其性质
3.抽样分布及中心极限定理
4.参数估计方法（矩法、最大似然法）
5.假设检验及其基本方法
四、随机过程基础
1.随机过程的概念及分类
2.随机过程的描述及其统计特征
3.马尔可夫过程及其性质
4.泊松过程和排队论基础
五、随机模拟实验
1.随机数及其生成方法
2.蒙特卡洛方法的原理及应用
3.随机模拟的程序设计和实用技巧
六、应用举例与习题解析
1.典型应用举例
2.常见习题解析及思路分析
以上内容为数一概率论考试大纲的基本框架，具体考察内容以实际考试安排为准。
样本空间和随机事件的定义
样本空间和随机事件的定义
样本空间和随机事件是统计学中的常用概念，主要用来表示一种不确
定的结果或者过程。
它们的定义比较特殊，可以概括为以下几个步骤：
#### 一、定义样本空间
样本空间是统计学中表示实验抽样结果集合的概念，可以理解为“实
验集合”，它包含所有可能的实验抽样结果，其中所有元素叫做样本点。
要想定义一个样本空间，需要明确几个要素：样本空间的类型，
即数量上的限制；样本空间元素的表示方式；样本空间元素之间的关系，例如概率。
#### 二、定义随机事件
随机事件是指在某个样本空间里，我们关注的一个特定的实验结果。
它是用来描述一定条件下事件发生的概率。
相对于样本空间，随机事
件一般具有较小的范围，并且只包含满足某一特定条件的样本点。
也
就是说，随机事件是根据样本空间里的某一部分的元素而进一步定义的。
#### 三、样本空间和随机事件的关系
在定义完样本空间和随机事件之后，我们可以把它们两个之间的关系
总结为一句话：随机事件是样本空间的子集。
也就是说，样本空间是
一个完整的集合，而随机事件是它的一部分。
定义好样本空间和随机
事件之后，可以通过求解概率，来推断未知变量的取值情况，或者预
测某个事件是否会发生。
总之，样本空间和随机事件是统计学中经常使用的概念，它们之间的关系是样本空间是随机事件的父集，而随机事件是样本空间的子集，可以用来描述某个事件发生的概率，决定未知事件发生的可能性。
它们的定义和使用是根据不同的应用场景而有所不同，且有其自身的特点。
样本空间与随机事件
4 .1 样本空间与随机事件
3.随机事件 在随机试验E中，可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称
事件，一般用大写字母A，B，C…表示。在引入样本空间后，事件便 可以表示为样本空间的子集。 每次试验中，一定发生的事件称为必然事件，记为月，每次试验中一 定不发生的事件称为不可能事件，记为Ф，这两个事件是确定性事件， 不是随机事件，但为今后讨论问题方便，也把它们看成随机事件。
是可以事先明确知道的。 (3)每一次试验，实际只出现一种结果，至于实际出现哪一种结果，试验
之前是无法预先知道的。 以上3个特点是随机试验所具有的共同特点，我们就是通过大量的随机
试验去研究随机现象的。 2.样本空间 在研究随机试验E时，首先必须弄清楚这个试验可能出现的所有结果，
称每一个可能的结果为样本点，一般用小写字母ω或e等表示，全体样 本点构成的集合称为样本空间，一般用大写字母Ω或S等表示。
点”，显然事件A的发生必然导致事件B的发生，即A是B的子集。
对任一事件AΩ 。
2.事件相等
若“事件A B且B A”，则事件A与B相等，记为A=B。
上一页 下一页 返回
4 .1 样本空间与随机事件
3.事件的积(交) “事件A与B同时发生”的事件，称为事件A与事件B的积(交)事件，记为
A ∩ B或简记为AB。即由A与B的公共样本点组成的集合。 例如，某公司2009年同时进行了A和B两种投资方案，事件A表示“A
上一页 下一页 返回
4 .1 样本空间与随机事件
如上述随机试验E1中，样本空间Ω={ω正， ω反}，样本点简记为: 随机试验E2中，样本空间Ω={ω1 ， ω2 ， … ， ω6}，样本点记为: 随机试验E3中，若用x表示灯泡使用寿命，则x的取值为某个范围，若灯
随机事件和样本空间知识点
随机事件和样本空间知识点
随机事件是在一次试验中可能发生或不发生的事件。
样本空间是指所有可能的结果构成的集合。
以下是关于随机事件和样本空间的相关知识点：
1. 样本空间：在一次试验中，所有可能的结果构成的集合。
通常用大写字母S表示，其中的元素称为样本点。
例如，掷一
枚硬币的样本空间为S = {正面，反面}。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集称为随机事件。
也就是说，随机事件是样本空间中的一个特定的结果组合。
例如，从掷一枚硬币的样本空间中，可以定义一个事件A，表示出现正面，即A = {正面}。
3. 必然事件和不可能事件：样本空间和空集分别对应着必然事件和不可能事件。
必然事件是指在每次试验中必然发生的事件，记作S；而不可能事件是指在每次试验中不可能发生的事件，
记作∅。
4. 事件的运算：事件之间可以进行运算，包括并集、交集和补集。
- 并集：表示同时包含两个事件的结果。
例如，事件A和事
件B的并集为A∪B，表示包含事件A和事件B中任意一个
结果的集合。
- 交集：表示同时满足两个事件的结果。
例如，事件A和事件B的交集为A∩B，表示包含同时满足事件A和事件B结果的集合。
- 补集：表示不属于一个事件的结果。
例如，事件A的补集为A的补，记作A'，表示所有不属于事件A结果的集合。
5. 事件的概率：事件发生的可能性称为概率。
概率一般用一个实数表示，范围在0到1之间。
这些是关于随机事件和样本空间的基本知识点，可以帮助我们理解随机事件的概念和计算概率的方法。
概率与统计中的样本空间与随机事件
概率与统计中的样本空间与随机事件概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究的是在不确定性条件下，通过样本空间和随机事件的概念，对现实世界中事件的发生进行量化和解释。
在本文中，我们将深入探讨概率与统计中的样本空间与随机事件的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、样本空间的定义与性质在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验所有可能结果的集合。
举个例子来说，如果我们进行一次抛硬币的实验，那么样本空间可以表示为{正面，反面}。
样本空间中的每个元素称为一个样本点，而样本空间的大小称为样本点的个数。
样本空间可以用数学符号Ω表示。
样本空间具有以下性质：1. 样本空间是一个集合，其中的元素表示所有可能的结果。
2. 样本空间中的元素是互斥的，即一个实验结果只能对应样本空间中的一个元素。
3. 样本空间中的元素是完备的，即包含了实验的所有可能结果。
4. 样本空间是随机试验的基本概念，是进行概率计算的起点。
二、随机事件的定义与性质在样本空间的基础上，我们可以定义随机事件。
随机事件是指样本空间的子集，即由样本空间中的若干个样本点构成的集合。
举个例子来说，如果我们定义事件A为抛硬币的结果是正面朝上，那么事件A 可以表示为{正面}，它是样本空间的一个子集。
随机事件具有以下性质：1. 随机事件是样本空间的一个子集，由样本点构成。
2. 随机事件可以是单个样本点，也可以是多个样本点组成的集合。
3. 随机事件可以是空集，即不包含任何样本点的事件。
4. 样本空间本身以及包含所有样本点和空集的事件也是随机事件。
三、样本空间与随机事件在实际问题中的应用概率与统计作为一门应用广泛的学科，其样本空间与随机事件的概念在实际问题中具有重要的应用价值。
以下是一些典型的应用场景：1. 投资决策：在金融领域中，投资决策往往需要对不同投资方案的风险和回报进行评估。
通过建立样本空间和定义相应的随机事件，可以对不同投资方案进行量化和比较，从而做出更明智的决策。
1.1随机试验、样本空间、随机事件
随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间， 记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象 概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.
概率论中的随机事件和样本空间
概率论中的随机事件和样本空间概率论是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律的学科。
在概率论中，随机事件和样本空间是非常基础的概念。
它们的理解对于理解概率论的整个体系以及应用非常重要。
本文将深入解析随机事件和样本空间的概念、性质和应用。
一、随机事件和样本空间的概念随机事件指可能发生也可能不发生的结果，可以用事件的形式来描述。
例如扔一枚硬币，事件可以表示为“正面朝上”或“反面朝上”。
而样本空间指所有可能出现的结果组成的集合，通常用大写字母S来表示。
以扔一枚硬币为例，样本空间可以表示为S={正，反}。
其中正和反为样本点，也可以表示为ω1和ω2。
二、随机事件和样本空间的性质1、不可能事件：事件不会发生，即概率为0。
例如扔一枚硬币出现“正”和“反”的可能性是相等的，所以不可能事件为硬币竖直立着，既不朝上也不朝下。
2、必然事件：事件一定会发生，即概率为1。
例如扔一枚硬币一定朝上或朝下，所以必然事件为“硬币朝上”和“硬币朝下”。
3、事件的互斥性：如果两个事件A和B至少有一个发生的话，那么这个事件的概率就是A和B概率之和。
4、事件的独立性：如果事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，那么称A和B是互相独立的。
三、样本空间和事件的应用概率论在现实生活中有广泛应用，例如赌博、证券交易、保险、抽样调查等。
下面以抽样调查为例，说明样本空间和事件的应用。
在抽样调查中，研究对象的总数往往很大，难以全部进行统计和研究。
因此，需要从总体中抽取一部分进行研究，这部分就被称为样本。
在这个过程中，样本空间是指可能被抽到的所有样本组成的集合。
例如，假设要进行某市民的选举调查，抽取1000人作为样本。
样本空间可以表示为S={第1个受访者，第2个受访者，…，第1000个受访者}。
而事件则是针对研究对象的某种特征或情况而定义的，例如这1000个受访者中有多少人会投票选某位政治人物。
事件的概率表示着该事件发生的可能性大小，它是通过概率分布函数（PDF）或概率密度函数（PDF）来计算的。
随机事件和样本空间
由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4， ，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或 积） ，记作 A B（或ＡＢ） ，它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则
， 也就是说 A 与 B 互不
A
B
Байду номын сангаас图 1.5
7 . 若 A 是一个事件,令 A =
A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称
件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然） 即A与 有 A A =
A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A
A
=
（A B） C=（A C）（ B C） （1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai
1.1 样本空间与随机事件解析
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等均为随机事件
例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正 面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至 少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机 事件A,B,C。 练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红 (x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事 件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。
习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现 情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚 骰子点数之差等于1。
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
注 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. eg S={H,T} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.1样本空间和随机事件基本术语
样本空间——随机试验E所有可能的结果组成的集合称为样本空间记为®
样本空间的元素，即左的直接结果，称为
样本点（01•基本事件）常记为. > 伞=
随机事件——伞的子集，记为A ,B，… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
从死亡线上生还的故事
1.事件的包含
2.事件的相等
——A与B的和事件
发生
U事件A与事件B至少有—个发生
的和事件—
的和事件
或
——A与B的积事件
发生
U事件A与事件於同时发生
的积事件
的积事件
5.事件的差
A与B的差事件
发生
C事件A发生■但
事件B不发生
6.事件的互斥（互不相容）
——A与B互斥
久B不可能同时发生
两两互斥
两两互斥
7. 事件的对立
称B 为A 的对立事件（or 逆事件）f
记为 注意：与方互相对立”与
“力与E 互斥”是不同的概念
A 与
B 互相对立
每次试验A ■ B 中 有
且只有_个发生
&宪备事件组
□吸收律
□重余律
□幕等律
□差化积 O 运算律 事件 集合
对应。