三角函数的图像与性质(一轮复习)PPT课件

[备考方向要明了] 考什么
1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角 函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调 性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切 函数在区间－π2，π2内的单调性.
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怎么考
1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周 期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．
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1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常
借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的求法
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：(1)
形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的
Z)时是偶函数，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时是奇函数．
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[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)设函数 f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则 f(x)是
A．最小正周期为 π 的奇函数
()
B．最小正周期为 π 的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
D．最小正周期为π2的偶函数
解析：∵f(x)＝sin2x－π2＝－cos 2x，
D．在π2，π∪－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数 解析：由函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的图象可知，该函数在
－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上是减函数．
答案：B
.
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3．函数 y＝ cos x－12的定义域为 A.－π3，π3 B.kπ－π3，kπ＋π3，k∈Z C.2kπ－π3，2kπ＋π3，k∈Z D．R 解析：∵cosx－12≥0，得 cos x≥12，
y＝tan x
对称中心 (kπ，0)，k∈Z 对称
对称中心
对称中心
kπ＋π2，0， k2π，0(k∈Z) k∈Z
性
对称轴 l：
x＝kπ＋π2，k∈Z
对称轴 l： x＝kπ，k∈Z
无对称轴
周期
2π
2π
π
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[探究] 1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数 y＝tan x 在每一个区间
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(k∈Z)
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4
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
x＝2kπ＋π2(k∈Z) x＝ 2kπ(k∈Z)
最
值
时，ymax＝1 x＝ 2kπ－π2(k∈Z)
时，ymax＝1 x＝ 2kπ＋π(k∈Z)
无最值
时，ymin＝－1
wenku.baidu.com
时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
.
5
函数
y＝sin x
y＝cos x
形式，再求最值(值域)；(2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，
可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如 y
＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos
x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．
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[自主解答] (1)要使函数有意义，必须有
2sin x－1>0， 1－2cos x≥0，
sin 即
cos
x>12， x≤12，
解得ππ63＋ ＋22kkππ<≤xx<≤56π5＋3π＋2k2πk，π
(k∈Z)，
即π3＋2kπ≤x＜56π＋2kπ(k∈Z)．
故所求函数的定义域为π3＋2kπ，56π＋2kπ(k∈Z)．
解析：函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为 3＋2＝5，此
时 x＋π4＝π＋2kπ，即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)． 答案：5 34π＋2kπ(k∈Z)
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三角函数的定义域和值域
[例 1] (1)求函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定 义域；
(2)求函数 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域．
kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不
是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，
φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？
提示：函数 y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当
φ＝kπ＋π2(k∈Z)时是偶函数；函数 y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈
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(2)y＝2cos2x＋5sin x－4 ＝2(1－sin2x)＋5sin x－4
＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－2sin
x－542＋98.
故当 sin x＝1 时，ymax＝1，
当 sin x＝－1 时，ymin＝－9，
故 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域为[－9,1]．
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∴2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z. 答案：C
.
()
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4．(教材习题改编)函数 f(x)＝ 3sinx2－π4，x∈R 的最小 正周期为________．
解析：函数 f(x)＝ 3sinx2－π4的最小正周期为
T＝21π＝4π. 2
答案： 4π
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5．函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为____________，此时 x＝____________.
∴f(x)是最小正周期为 π 的偶函数．
答案：B
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2．(教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是减 函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值 问题．如2012年湖南T6等．
3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北 京T15等.
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[归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
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函数 定义域 值域
y＝sin x R
[－1,1]
y＝cos x R
[－1,1]
y＝tan x xx≠π2＋kπ，k∈Z }
R
递增区间：
2kπ－π2，2kπ＋π2
递增区间： [2kπ－π，2kπ]
递增区间：
单调性 (k∈Z) 递减区间：
(k∈Z) 递减区间： kπ－π2，kπ＋π2
2kπ＋π2，2kπ＋32π (k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)