勾股定理、实数复习

第一讲 勾股定理、实数复习

一、勾股定理

1、熟练掌握勾股定理的各种表达形式

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号表达：如图，在Ｒt △ABC 中，∠Ｃ＝９０0,∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为a,b,c ，则 222b a c +=，222b c a -=，222a c b -= 练：1、某直角三角形的勾与股分别是另一直角三角形勾与股

的n 倍，则这个三角形与另一直角三角形的弦之比是〔〕

A. n:1

B.1:n

C.1:n²

D.n²:1

2、由四根木棒，长度分别为3，4，5，6 若取其中三根木棒组成三角形，有( )种取法，其中，能构成直角三角形的是

2、勾股定理的应用：〔1〕已知直角三角形的两边求第三边

〔2〕已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边

〔3〕利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

3、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC 的三边长分别是a,b,c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么△ABC 是直角三角形。 步骤：〔1〕先确定最大边〔如c 〕 〔2〕验证2c 与22b a +是否具有相等关系

〔3〕若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。

满足22b a +=2

c 的三个正整数，称为勾股数

如〔1〕3，4，5； 〔2〕5，12，13； 〔3〕6，8，10；

〔4〕8，15，17 〔5〕7，24，25 〔6〕9, 40, 41

(1)应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

例1、如图所示，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD 是底边上的高，

若AB=5cm,BC=6cm ，则AD=_______cm ．

(2)应用勾股定理在三角形中求边长

例2、如图,已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高,AD ＝8，

则边BC 的长为〔 〕A ．21 B ．15 C ．6 D ．以上答案都不对

(3)应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

例3、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中AB ＝4米，

∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，

则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为_______．

Ａ

Ｂ

Ｃ a b c

(4)应用勾股定理解决梯子问题

例4、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°

角，如图所示，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m．

(5)应用勾股定理解决勾股树问题

例5、如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )A．13 B．26 C．47 D．94

(6)应用勾股定理解决阴影面积问题

例6、已知：如图7所示，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为______________．

(7)直角三角形扩展为等腰三角形问题

例8、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

例9、如图10所示，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航号〞和“海天号〞两艘轮船同时从港口离开，各自沿着一个固定的方向航行。“远航号〞每小时航行16海里，“海天号〞每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，两船相距30海里，如果知道“远航号〞的航行方向是东北方向，你能知道“海天号〞是沿着哪个方向航行吗？

P M B C A 练习：1、Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为〔 〕

A 、121

B 、120

C 、90

D 、不能确定

2、等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为〔 〕

A 、56

B 、48

C 、40

D 、32

3、已知1号、4号两个正方形面积和为7，2号、3号两个正方形面积和为4，则三个正方形a,b,c 面积和为 〔 〕A ． 11 B.15 C.10 D.22

4、已知1225x x y -++-与2

1025z z -+互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角形是______三角形．

5、△ABC 中，15AB =，13AC =，高12AD =，则△ABC 的周长为___________．

6、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．

7、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．

8、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．

9、如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证： 2

22BC AP BP +=．

题7图 E 题6图 F B C ′ B A C

D A C

D

二、实数、平方根

〔一〕知识梳理：

1、无理数：叫做无理数。

2、无理数的类型：①无限不循环小数〔有些是有规律但不循环〕如等；

②含π的数，如等；③开方开不尽的数的方根，如等。

3、实数的定义：统称为实数。

4、实数的分类：

5、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的每一个点表示一个实数，实数与数轴上是一一对应的。

6、在实数X 围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数X 围内的意义完全相同。

7、如果x 2=a ，那么x 叫做a 的，也称_______方根。

8、一个正数有_______个平方根，它们互为_______；_______只有一个平方根，是；_______没有平方根。

9、叫做a 的算术平方根，零的算术平方根是______。正数a 的算术平方根用______表示，则正数a 的平方根可用______表示。_______和____________的算术平方根只有一个。

10、已知正数a ，则符号a 表示______，符号a -表示______，符号a ±表示______

11、当________时，a 有意义；当______时，a 没有意义。

12、如果x 3

=a ，那么x 叫做a 的，也称_______方根。立方根的性质：每个实数________ .

13、求一个数a 的_______的运算，叫做开平方。开平方与_______互为逆运算。

14、算术平方根的双重非负性：①：，②

15、两个公式：〔a 〕2=， =2a . 〔二〕专题精讲：类型之一：求平方根、算术平方根与立方根

1、填空：

〔1〕81的平方根是______，算术平方根是______，81的平方根是______。

3的平方根是______，算术平方根是______，3的平方根是______。

______的平方根是±4，算术平方根是______，算术平方根是4的数是______。

16的负的平方根是______，()27-的算术平方根是______。361±=______。

〔2〕一个数的平方等于它本身，这个数是______；一个数的平方根等于它本身，这个数是____；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是______；

一个数的立方等于它本身，这个数是______；一个数的立方根等于它本身，这个数是____； 一个数的算术平方根等于它的立方根，这个数是____________.