全等三角形中的截长补短-学生版

第九讲

板块

考试要求

A 级要求

B 级要求

C 级要求

全等三角 形的性质 及判

定

会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和

性质，会用全等三角形的性质和

判定解决简单问题

会运用全等三角形 的

性质和判定解决 有关

问题

全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等.

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的，公共边常是对应边. (4) 有公共角的，公共角常是对应角. (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角. (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边 (或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或

最小角)是对应边(或对应角).

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.

(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

全等三角形中的截长

补短

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证

明的过程中，注意有时会添加辅助线.

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明

两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.

例题精讲

板块一、截长补短

【例1】（06年北京中考题）已知ABC中，A 60°，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.

【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数量关

系？

M B

【例3】 如图2-9所示.已知正方形 ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且/ BAE=2 /

DAM .求证：AE=BC+CE .

【例4】（“希望杯”竞赛试题 ）如图，AD 丄AB , CB 丄AB , DM=CM=a , AD=h , CB= k , /

AMD =75° / BMC =45° 贝U AB 的长为 （ ）

,

k h ,

A. a

B . k

C.

D. h

2

【例5】 已知：如图， ABCD 是正方形，/ FAD= / FAE.求证：BE+DF=AE.

【例6】 以 ABC 的AB 、AC 为边向三角形外作等边

ABD 、 ACE ，连结 CD 、BE 相交

于点0 .求证：OA 平分 DOE .

B

D

M E

C

D A

E

B

O

C

【例7】（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.

【例8】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120。的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.

【巩固】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在ABC中，AB AC , D是底边BC上的一点，E是线段AD 上的一点，且BED 2 CED BAC,求证BD 2CD .

D

【例 9】 五边形 ABCDE 中，AB=AE , BC+DE=CD ，/ ABC+ / AED=180° 求证：AD 平分 /

CDE

【巩固】（2009浙江湖州）若P 为 ABC 所在平面上一点，且

APB BPC CPA 120 ,

则点P 叫做ABC 的费马点.

⑴若点P 为锐角 ABC 的费马点，且 ABC 60 , PA 3, PC 4，则PB 的值

⑵ 如图，在锐角 ABC 外侧作等边 ACB',连结BB'. 求证：BB'过ABC 的费马点P ，且

BB ' PA PB PC .

板块—、全等与角度

【例10】如图，在 ABC 中， BAC 60°, AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求

ABC 的度数•

【例11】在等腰 ABC 中，AB AC ，顶角 A 20，在边AB 上取点D ，使AD BC , 求 BDC

•

B'

A

【例12】（“勤奋杯”数学邀请赛试题 ）如图所示，在 ABC 中，AC BC , C 20°，又

M 在 AC 上，N 在 BC 上，且满足 BAN 50°, ABM 60°，求 NMB •

E ，使 DBE DBC ，且 BE BA ，求 BED

.

【例13】在四边形ABCD 中，已知 AB AC ， ABD 60， 求

DBC 的度数. ADB 76， BDC 28，

【例14】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，

CAB 36， ABD 48，

【例15】（河南省数学竞赛试题）在正

在四边形ABCD 中， DBC 24，求 ACD 的度数.

DAC 12 ，

ABC 内取一点D ，使DA DB ，在ABC 外取一点

J

D

B C

C

A B