第十二章全等三角形学生版

合集下载

人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)

第7讲全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

《第12章全等三角形》全章教案

课题§12.1 全等三角形序号12备课时间8.27 授课时间主备人王暖清授课班级8.1 8.2课标要求理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．1．理解全等形和全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．教学目标2．掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．教学重点全等三角形的性质．掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角教学难点形的对应元素．课型新授课教学准备PPT课件教学过程（一）观察实践，得到概念问题1：观察下列图案，找出这些图案中形状、大小相同的图形．师生活动：学生说出图案中形状、大小相同的图形．追问1：你能再举出一些类似的例子吗？师生活动：学生根据生活实际举出类似的例子．追问2：如果把这些形状、大小相同的图形放在一起，能够完全重合吗？问题2：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？师生活动：学生动手操作，通过实践说明形状、大小相同的图形放在一起是完全重合的．教师顺势说出概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（板书课题）【设计意图】学生通过生活经验判断、猜想，进而动手实际操作，得到这些图形是能够完全重合的．培养学生观察、动手能力．（二）图形变换，加深理解图1 图2 图3问题3：（如图1）把△ABC平移，得到△DEF．（如图2）把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC．（如图3）把△ABC绕点A旋转，得到△ADE．追问：平移、翻折、旋转前后的图形，什么变化了，什么没有变化？它们全等吗？师生活动：学生分组根据要求操作，小组讨论得到平移、翻折、旋转前后的图形位置变化了，形状和大小没变，它们依然全等．教师巡回指导，并利用多媒体动画展示给学生看，加深印象．问题4：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．如，△ABC≌△DEF．把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．追问1：你能把图2和图3中全等三角形用符号表示出来，并说出它们的对应顶点、对应边和对应角吗？师生活动：教师讲解两个三角形全等的符号表示，结合图1讲解找两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角的方法．学生完成图2、图3中全等三角形的符号表示，并说出它们的对应顶点、对应边和对应角．追问2：上述几对全等三角形，它们的对应边和对应角有什么关系？为什么？师生活动：学生很容易得到全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．教师板书指出这是全等三角形的性质．追问3：全等三角形的性质怎样用几何语言表示？因为△ABC≌△DEF所以 AB=DE，AC=DF，BC=EF (全等三角形的对应边相等)∠A=∠D，∠C=∠F，∠B=∠E (全等三角形的对应角相等)【设计意图】利用三角形的平移、翻折、旋转的不变性，让学生通过具体操作直观感知，进一步理解全等三角形的概念．通过观察，猜测并验证全等三角形的性质，这种效果是抽象的讲授难以达到的．利用基本三角形变换出各种图形，然后观察它们的对应边、对应角的变化，有利于提高学生识别图形的能力．（三）习题练习，巩固新知问题5：练习：教科书第32页练习第2题．如图4，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点．说出这两个三角形中相等的边和角．解：AC=DB, OA=OD, OC=OB;∠A=∠D, ∠C=∠B, ∠AOC=∠DOB．师生活动：学生回答图中相等的边和角．问题6：如图5，将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出图中相等的量．解：可能的结论有：对应角方面：∠A=∠D, ∠B =∠DEF, ∠ACB=∠F;对应边方面：AB=DE, AC=DF, BC=EF;间接的其他结论：AB∥DE, AC∥DF, BE=CF, 四边形ABEG与四边形FDGC面积相等．师生活动：学生独立完成后，分组讨论答案，教师巡回指导．【设计意图】通过练习，加强学生找全等三角形中对应边和对应角的能力，提高学生识别图形的能力．（四）小结与反思1．什么是全等形？什么是全等三角形？2．什么是全等三角形的对应顶点、对应边和对应角？3．全等三角形的性质是什么？4．怎样找全等三角形的对应边和对应角？【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会找全等三角形的对应边和对应角的一些具体方法．（五）布置作业A类：教科书第33页习题12.1第1题，B类：教科书第33页习题12.1第2题．板书设计§12.1 全等三角形1．全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．例：2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．对应顶点、对应边、对应角3．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．（二）构建三角形全等判定的探索思路追问1：如果两个三角形满足上述六个条件中的一个可以判定两个三角形全等吗？（1）一条边相等．（2）一个角相等．追问2：如果两个三角形满足上述六个条件中的两个可以判定两个三角形全等吗？（1）一条边和一个角相等．（2）两个角相等．（3）两条边相等．追问3：如果两个三角形满足上述六个条件中的三个可以判定两个三角形全等吗？满足三个条件又有哪些情况呢？师生活动：教师引导学生分析，满足一个条件、两个条件分别有哪些情况．学生通过画图说明均不能判定两个三角形全等，接着分析满足三个条件有哪几种情况．【设计意图】让学生通过思考、实践形成认知，渗透分类讨论的思想．（三）尺规作图，探究“边边边”判定方法问题2我们先研究两个三角形满足三边分别相等的情况．任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′= BC，A′C′= AC，把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？画法：（1）画B′C′= BC；（2）分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；（3）连接线段A′B′、A′C′．追问：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？文字语言：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．符号语言：在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．师生活动：师生共同进行尺规作图，学生操作、观察是否全等．然后引导学生得出“边边边”判定方法，掌握文字和符号语言．【设计意图】通过作图、剪图、比较图的过程让学生感悟到基本事实的正确性，获得“边边边”的判定方法，培养学生发现问题的能力，锻炼学生使用数学语言的能力．（四）应用新知，解决问题问题3如图：AB=AD，BC=DC，△ABC与△ADC全等吗？为什么？师生活动：学生先口述理由，然后写出完整的证明过程，教师规范步骤．【设计意图】让学生初步掌握证明两个三角形全等的一般程序，并善于从具体问题中发现隐含条件，比如公共边等．问题4例1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD．师生活动：学生分析解题思路，然后写出完整的证明过程．【设计意图】巩固新知，培养学生规范的解题步骤．问题5：作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．师生活动：学生在教师的指导下进行作图，并掌握画法．学生思考：为什么画出的角等于已知角？【设计意图】为了作一个角等于已知角，实际上是先作出了一对全等的三角形，由全等三角形的对应角相等可知所作出的角等于已知角，这也启发学生：如果得到了全等的三角形，就能得到相等的角，当然也能得到相等的边，这为证明角相等、线段相等提供了全新的思路．师生活动：教师画一个△ABC，学生先讨论画法，再给出正确的画法．操作：（1）把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？（2）上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．【设计意图】坚持让学生动手发现，在学习三角形画法的基础上探索全等条件．三、实际应用例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C不经过池塘可以直接到达A和B。

北京中考复习——全等三角形(学生版)

北京中考复习——全等三角形一、解答题1、已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．2、如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE//DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．3、如图，点B在线段AD上，BC//DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．4、如图，△ABC中，AB=AC，D，E两点在BC边上，且AD=AE．求证：BD=CE．5、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE//DF，EC=BD，AC=FD，求证：AE=FB．6、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB=DF．7、已知：如图，E为BC上一点，AC//BD，AC=BE，BC=BD．求证：AB=DE．8、如图，点C，D在线段BF上，AB//DE，AB=DF，∠A=∠F．求证：BC=DE．9、如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．10、已知：如图，E是BC上一点，AB=EC，AB//CD，BC=CD．求证：AC=ED．11、已知：如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AB//ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．12、如图，∠C=∠E，∠EAC=∠DAB，AB=AD．求证：BC=DE．13、如图，AC与BD交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：DC//AB．14、已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB//EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．15、已知线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF（如图所示）．若∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．16、如图，点A，C，D在同一条直线上，BC与AE交于点F，AE=AC，AD=BC，F A=FC．求证：∠B=∠D．17、如图，AB⊥AD，AE⊥AC，∠E=∠C，DE=BC．求证：AD=AB．18、已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC//DE．求证：AB=CD．19、如图，点C，F在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．求证：∠ACB=∠DFE．20、已知：如图，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．21、已知：如图，C是AE上一点，∠B=∠DAE，BC//DE，AC=DE，求证：AB=DA．22、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：BE=CD．23、如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF=AC．求证：DF=DC．24、已知：如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC//DE，AC=CE，∠B=∠D．求证：△ABC≌△CDE．25、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E=∠B．求证：△ADE≌△ADC．。

全等三角形的概念和性质(基础)知识学生版

全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．举一反三：【变式】如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有______________.类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角..类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A B C ''，A B ''交AC 于点D ，则AB D '∠= °．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC∠的度数是____________.。

第12章全等三角形-一边一角构造全等(教案)

-对应角的概念，即两个全等三角形中，角度相等的角是哪些。
-如何通过测量边长和角度来确定两个三角形是否满足SSS和SAS条件。
-应用全等三角形的性质解决实际问题：重点在于学生能够将全等三角形的性质应用于解决具体的几何问题，例如计算未知边长或角度。
2.教学难点
-理解全等三角形的判定过程：难点在于学生需要理解全等判定不是简单的图形比较，而是一个逻辑推理过程。以下是具体的难点细节：
-难以将全等三角形的性质灵活运用于不同的解题场景。
-在解决综合问题时，难以决定使用哪种全等判定方法。
在教学过程中，需要通过具体的例题、图形演示和实际操作，帮助学生明确重点，突破难点。教师应设计不同难度的练习题，从基础的概念巩固到综合应用题，逐步引导学生深入理解全等三角形的判定和应用。同时，应鼓励学生主动参与，通过小组讨论、上台演示等方式，提高他们对核心知识的掌握程度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS和SAS这两个全等判定的重点。对于难点部分，比如对应边和对应角的识别，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用模型或纸片来构造全等三角形，从而演示全等的基本原理。
-难以区分SSS和SAS条件，特别是在实际应用中。
-难以理解全等判定中的“对应”概念，容易混淆哪些边和角是需要比较的。
-难以从给定的信息中识别出可用于全等判定的要素。
-在实际问题中识别和应用全等三角形：难点在于学生需要将理论知识和实际问题联系起来，以下为具体的难点：
-难以从复杂的实际问题中抽象出全等三角形的模型。

2022八年级数学上册第十二章全等三角形：角平分线的性质教案新版新人教版

八年级数学上册教案新版新人教版：12.3角平分线的性质教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB ．求法：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．12二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图11．3─6，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ．∴BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．。

第十二章全等三角形12.1全等三角形教案

其次，在讲解全等三角形的判定方法时，我尝试用了一些具体图形和实例来说明，但可能还不够充分。我打算在下一节课增加一些更具挑战性的题目，让学生们亲自动手操作，以加深对判定方法的理解。
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们在讨论全等三角形在实际生活中的应用时，思路不够开阔。为此，我计划在下一节课提前准备一些与全等三角形相关的实际问题，引导学生从不同角度去思考和探讨。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过全等三角形的定义、性质及判定方法的探讨，使学生掌握严密的逻辑推理过程，提高几何证明能力。
2.培养学生的空间想象能力：运用全等三角形的知识解决实际问题，激发学生对几何图形的空间想象，增强几何直观感知。
3.提升学生的数据分析能力：在解决实际问题时，指导学生分析数据，运用全等三角形的判定方法，培养学生从几何角度分析问题的能力。
3.全等三角形的证明：指导学生运用已知条件和全等三角形的判定方法，进行严密的逻辑推理，证明两个三角形全等。
4.实际应用：结合生活实际，让学生运用全等三角形的性质和判定方法解决一些几何问题，提高学生解决问题的能力。
5.练习题：设计具有代表性的练习题，巩固学生对全等三角形知识的掌握，提高学生的几何解题技巧。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠、剪裁等操作，演示全等三角形的基本原理。
五、教学反思
今天在讲授全等三角形这一章节时，我发现学生们对全等三角形的定义和判定方法掌握得还不错，但在实际应用上，他们似乎还有一些困难。我意识到，可能需要在以下几个方面进行改进：

《12.1 全等三角形》学历案-初中数学人教版12八年级上册

《全等三角形》学历案（第一课时）一、学习主题本节课的学习主题是“全等三角形”。

全等三角形是初中数学中的重要概念，涉及图形的性质、判定及其在实际生活中的应用。

本节课是《全等三角形》系列的第一课时，旨在使学生理解全等三角形的定义及常见性质，并学会根据题目给出的信息判定三角形是否全等。

二、学习目标1. 掌握全等三角形的概念，理解全等三角形的定义和性质。

2. 学会识别全等三角形的基本判定方法，如SSS、SAS、ASA等。

3. 培养观察、分析和解决问题的能力，能将实际问题抽象为数学问题。

4. 培养学生的空间想象能力和几何直观能力。

三、评价任务1. 课堂互动评价：通过课堂提问和小组讨论，评价学生对全等三角形概念的理解程度。

2. 作业评价：通过布置相关练习题，评价学生对全等三角形判定方法的掌握情况。

3. 课后测试评价：通过小测验或作业，评价学生综合运用所学知识解决问题的能力。

四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学过的三角形知识，引出全等三角形的概念，让学生初步了解全等三角形的意义。

2. 新课学习：（1）讲解全等三角形的定义及性质。

（2）通过例题演示如何判定两个三角形是否全等，介绍SSS、SAS、ASA等判定方法。

（3）引导学生观察、分析和总结不同判定方法的特点及适用条件。

3. 课堂练习：提供一组三角形图形，让学生运用所学知识进行判定。

教师巡视指导，及时解答学生疑问。

4. 小组讨论：分组进行讨论，分享各自的解题思路和方法，加深对全等三角形知识的理解。

5. 课堂总结：总结全等三角形的概念、性质及判定方法，强调重点和难点内容。

五、检测与作业1. 课堂检测：进行小测验，检测学生对全等三角形知识的掌握情况。

2. 课后作业：布置相关练习题，包括选择题、填空题和解答题，巩固所学知识。

3. 作业批改与反馈：及时批改作业，了解学生掌握情况，针对共性问题进行讲解和反馈。

六、学后反思1. 教师反思：反思教学过程中存在的问题和不足，总结有效的教学方法和策略，为今后的教学提供借鉴。

第12章全等三角形(单元测试基础卷)(学生版)2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破

第12章全等三角形（单元测试·基础卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知ABC A BC ''≌ ，A C BC '' ，20C ∠=︒，则ABA '∠的度数是（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．HLD ．SSS3．如图，点P 是BAC ∠平分线AD 上的一点，7AC =，3AB =，2PB =，则PC 的长不可能是（）A ．6B ．5C ．4D ．34．如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点F ，AC BE =．证明Rt Rt ACD BEF ≌ 不是利用“HL ”的条件是（）A ．AD BF =B ．AC BE ∥C ．CD EF =D ．AF BD=5．如图，已知AB CD =．若添加一个条件后，可得ABC CDA △△≌，则在下列条件中，可以添加的是（）A ．B D∠=∠B ．AD BC ∥C ．AB CD D ．AC 平分BCD∠6．如图所示，在ABC 中，AC BC =，AE CD =，AE CE ⊥于点E ，BD CD ⊥于点D ，7AE =，2BD =，则DE 的长是()A ．7B ．5C ．3D ．27．如图，在Rt ABC △中，90C = ∠，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若1CD =，4AB =，则ABD △的面积是（）A ．2B ．32C ．3D ．728．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的33⨯网格，图形ABCD 中各个顶点均为格点，设ABC α∠=，BCD β∠=，BAD γ∠=，则αβγ--的值为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒9．如图，在平面直角坐标系中，点()0,2A 处有一激光发射器，激光照射到点()1,0B 处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点C 处的接收器上，若入射角45α=︒，AB BC =，则点C 处的接收器到y 轴的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，已知AC 平分DAB ∠，CE AB ⊥于E ，2AB AD BE =+，则下列结论①()12E A A A B D =+；②180DAB DCB ∠+∠=︒；③CD CB =；④ACE BCE ACD S S S -= ．其中，正确结论的个数（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AB =CD ，AE =DF ，CE =BF ．若∠A =55°，∠E =84°，则∠DBF 的大小为12．如图，D ，E 是ABC 外两点，连接AD AE ，，有AB AD AC AE ==，，40BAD CAE ∠=∠=︒．连接CD，BE 交于点F ，则DFE ∠的度数为．13．如图，AB CF ，E 为DF 的中点，若7cm AB =，5cm CF =，则BD =cm ．14．如图，在ABC 中，CP 平分ACB ∠，AP CP ⊥于点P ，已知ABC 的面积为2，则阴影部分的面积为．15．如图，()()4,0,0,6A B ，以B 点为直角顶点在第一象限作等腰直角ABC ∆，则C 点的坐标为16．如图，在ABC ∆中，AB AC =．点D 为ABC ∆外一点，AE BD ⊥于E ．BDC BAC ∠=∠，3DE =，2CD =，则BE 的长为．17．如图，在四边形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE 平分BAD ∠，且90AED ∠︒＝，若2CD AB ＝，四边形ABCD 的周长为18，5BC =，则AB 的值为．18．如图，操场上有两根旗杆相距12m ，小强同学从B 点沿BA 走向A ，一定时间后他到达M 点，此时他测得CM 和DM 的夹角为90︒，且CM DM =，已知旗杆AC 的高为3m ，小强同学行走的速度为0.5m/s ．（1）另一旗杆BD 的高度为m ；（2）小强从M 点到达A 点还需要的时间是s ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD AC =，DE CE =，试猜想ED 与AB 的位置关系，并说明理由．20．（8分）如图，在ABC 中，AC BC =，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE BF ，，E ，F 为垂足，且AE CF =；求证：(1)EAC FCB∠=∠(2)AC BC ⊥．21．（10分）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是CAB ∠的角平分线，DE AB ⊥于E ，点F 在边AC 上，连接DF ．且DF DB =．（1）求证：CFD EBD ≌△△；（2）若40BAC ∠︒=，求AFD ∠的度数；22．（10分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，交CD 于点F ，过点E 作EG CD ∥，交AB 于点G ，连接CG ．（1）求证：90A AEG ∠+∠=︒；（2）求证：EC EG =；23．（10分）（1）【模型建立】如图1，在Rt ABC △与Rt ADE △中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ︒∠=∠=，求证：AEC ADB △≌△；（2）【模型应用】如图2，在ABC 与ADE V 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ︒∠=∠=，B D E 、、三点在一条直线上，AC 与BE 交于点F ，若点F 为AC 中点，①求BEC ∠的度数；②3CE =，求AEF △的面积；24．（12分）【阅读理解】定义：在同一平面内，点A ，B 分别在射线PM ，PN 上，过点A 垂直PM 的直线与过点B 垂直PN 的直线交于点Q ，则我们把AQB ∠称为APB ∠的“边垂角”．【迁移运用】（1）如图1，CD ，BE 分别是ABC 的两条高，两条高交于点F ，根据定义，我们知道DBE ∠是DCE ∠的“边垂角”或DCE ∠是DBE ∠的“边垂角”，DAE ∠的“边垂角”是______；（2）若AQB ∠是APB ∠的“边垂角”，则AQB ∠与APB ∠的数量关系是______；（3）若ACD ∠是ABD ∠的“边垂角”，且AB AC =．如图2，BD 交AC 于点E ，点C 关于直线BD 对称点为点F ，连接AF ，EF ，且45CAF ∠=︒，求证：BE CF CE =+．。

人教版初中数学八年级上册第十二章全等三角形

人教版数学八年级上册
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状完全相同
课后作业
作业内容
12.1 全等三角形/
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，

第12章全等三角形12.3角的平分线的性质(简答题)(学生版)

第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【简答题专练】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PD．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含m,n的代数式表示)．（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC 的面积．3．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC度数．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE 、BE 的长．5．直线//PA QB ，PAB ∠与QBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 分别与直线PA ，QB 相交于点D ，E ．（1）如图（1），当直线l 与PA 垂直时，求证：AD BE AB +=．（2）如图（2），当直线l 与PA 不垂直且点D ，E 在AB 同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）当直线l 与PA 不垂直且点D ，E 在AB 异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD ，BE ，AB 之间的数量关系（不用证明）．6．如图，OD 平分AOB ∠，OA OB =，P 为OD 上一点，PM BD ⊥于点M ，PN AD 于点N ．求证：PM PN =．7．如图，BD 平分ABC ∠，AD 平分BAC 的外角，//MD BC 与AC 相交于点N ，与AB 相交于点M ，已知7cm BM =，4cm CN =，则MN 的长为________．8．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．9．证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上．①______________．求证：②______________．请你补全己知和求证，并写出证明过程．10．如图，在ABC 中，∠C = 90°，AC=BC．AD 平分∠CAB 交BC于点D．DE AB于点E，且AB=6 cm．求ΔBDE的周长．11．已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝度；（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．的平分线．12．分别画出已知钝角和平角AOB13．已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．14．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．15．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求证：AB+AD=2AE.。

学生专用人教版八年级上册数学第十二章全等三角形含答案

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.1个2、如图，用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等3、如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°4、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF 于G，下列结论：①∠DAF=15°；②AC垂直平分EF；③BE+DF=EF；④S△CEF =2S△ABE，其中正确结论是（）A.①③B.①③④C.①②④D.②④5、如图，在等边三角形ABC 中，D是边AC上一点，连接BD，将ΔBCD绕点B 逆时针旋转60°，得到ΔBAE，连接ED．若BC=5,BD=4.5，则下列结论错误的是( )A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.ΔBDE是等边三角形D.ΔADE的周长是9.56、在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A.3B.4C.5D.67、如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（）A.3B.4C.5D.68、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD9、如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A.4B.3C.2D.110、下列命题中：1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线；3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A.1对B.2对C.3对D.4对12、△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是（）A.6B.7C.5D.413、如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D 重合），且∠ACB=∠ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A.8.5B.C.D.14、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于（）A. cmB.2cmC.3cmD.4cm15、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥AB于E点，下列四个结论中正确的有（）①DE＝DC；②BE＝BC；③AD＝DC；④△BDE≌△BDC．A.1个B.2个 C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知AC=BD，∠1=∠2，那么△ABC≌________ ，其判定根据是________。

2022年人教版八年级数学上册第十二章全等三角形教案三角形全等的判定(第2课时)

第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定第2课时利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)一、教学目标【知识与技能】掌握“边角边”条件的内容，能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形“边角边”判定定理的过程，在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.【情感、态度与价值观】通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.二、课型新授课三、课时第2课时，共4课时。

四、教学重难点【教学重点】会用“边角边”证明两个三角形全等，得到线段或角相等.【教学难点】指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等。

学生:三角尺、直尺、剪刀。

六、教学过程（一）导入新课在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗?问题:如图有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？（出示课件2-3）（二）探索新知1.师生合作，探究三角形全等判定方法2教师问1:我们学习了三角形全等的判定方法1，请同学们回一下并回答其内容.学生回答:三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.教师问2:用几何语言如何表示呢？出示课件5:符号语言表达:在△ABC和△ DEF中AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴△ABC ≌△ DEF.（SSS）教师问3:除了SSS外，还有其他情况能判定两个三角形全等吗？当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况，还有哪一些呢？（出示课件6）学生回答:两边一角和两角一边教师问4:今天我们来探究一下两边一角的情况，已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？学生讨论并回答:有两种情况:两边及夹角和两边和其中一边的对角学生问:它们能判定两个三角形全等吗？教师我们还是通过画图来验证，我们先看两边及其夹角能否判定两个三角形全等，同学们根据下边的要求作图:已知任意△ABC，画△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A.分析:(1)作∠MB′N＝∠B;(2)在射线B′M上截取B′A′＝AB，在射线B′N上截取B′C′＝BC;(3)连接B′C′.教师问5:如何画呢？学生讨论后回答，教师引导总结:作法:（出示课件9）（1）画∠DA'E=∠A;（2）在射线A'D上截取A'B'=AB，在射线A'E上截取A'C'=AC;（3）连接B'C '.教师问6:△A′ B′ C′ 与△ABC 全等吗？如何验证？学生讨论后得出如下方法:把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否能够完全重合.学生:通过作图得到这两个三角形完全重合，所以这两个三角形全等教师问7:这两个三角形全等是满足哪三个条件？学生回答:两边和它们的夹角对应相等.教师板书:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).总结点拨:（出示课件10）“边角边”判定方法文字语言:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS ”）．几何语言:在△ABC 和△ DEF中，AB = DE，∠A =∠D，AC =AF ，∴△ABC ≌△ DEF（SAS）．警示:必须是两边“夹角”例1:如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么△ ABD 和△ CBD 全等吗？（出示课件11）师生共同解答如下:分析: △ABD ≌△ CBD.(SAS)边: AB=CB(已知)，角: ∠ABD= ∠CBD(已知)，边: BD=BD(公共边)，证明:在△ABD 和△ CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD= ∠CBD(已知)，BD=BD(公共边)，∴△ ABD≌△CBD ( SAS).例2:如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC 并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?（出示课件13）师生共同解答如下:证明:在△ABC 和△DEC 中，AC = DC（已知），∠ACB =∠DCE （对顶角相等），CB=EC（已知），∴△ABC ≌△DEC（SAS）.∴AB =DE .（全等三角形的对应边相等）2.展开想象，探究SSA能否判定两个三角形全等教师问8:同学们想一下，两边一角还有那种情况呢？学生回答:两边及其一边的对角教师问9:已知两边及其一边的对角能否判定两个三角形全等？学生小组讨论后，认为利用作图观察.教师引导学生作图，提示学生考虑全面，然后给出下面的问题:（出示课件15）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？△ABC和△ABD满足AB=AB ，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD 不全等.教师问10:画△ABC 和△ABD，使∠A =∠A =30°，AB =AB=5 cm ，BC =BD =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？学生作图并且比较后回答:不全等.出示课件16:结论:两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.例3:下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )（出示课件17）A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF师生共同解答如下:解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.总结点拨:判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．（三）课堂练习（出示课件21-25）1.在下列图中找出全等三角形进行连线.2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( )A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC3.如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证:△ABC≌△ADC．4. 已知:如图，AB=AC，BD=CD，E为AD上一点.求证: BE=CE.5. 如图，已知CA=CB ，AD=BD，M，N分别是CA，CB的中点，求证:DM=DN.参考答案:1.答案如下:2.D3. 证明:∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，AD=AB (已知），∠BAC=∠DAC (已证），AC=AC (公共边），∴△ABC≌△ADC（SAS）．4. 证明:在△ABD和△ACD中，AB=AC (已知），已知），公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD=∠CAD，在△ABE和△ACE中，AB=AC (已知），∠BAD=∠CAD(已证），AE=AE (公共边），∴△ABE≌△ACE（SAS）.∴BE=CE.5. 证明: 连接CD，如图所示;在△ABD与△CBD中CA=CB，(已知）AD=BD ，（已知）CD=CD ，（公共边）∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠A=∠B又∵M，N分别是CA，CB的中点，∴AM=BN在△AMD与△BND中AM=BN ，(已证）∠A=∠B ，（已证），（已知）∴△AMD≌△BND.（SAS）DM=DN.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1. 判定定理2:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简称为“边角边”或“SAS”).2.利用SSA不能判定两个三角形全等（五）课前预习预习下节课（12.2）教材39页到41页的相关内容。

第12章《全等三角形》全章教案(11页,含反思)

第十二章全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形及全等三角形的概念．2．理解全等三角形的性质．重点探究全等三角形的性质．难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？二、探究新知1．动手做(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．观察观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．总结知识点：对应顶点、对应角、对应边．全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等，对应角相等．(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B 和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．三、应用举例例1如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．四、巩固练习教材练习第1题．教材习题12.1第1题．补充题：1．全等三角形是()A．三个角对应相等的三角形B．周长相等的三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的三角形2．下列说法正确的个数是()①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④全等三角形的面积相等．A．1B．2C．3D．43．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE 的度数与DE的长．补充题答案：1．D2．D3．∠DFE＝35°，DE＝8五、小结与作业1．全等形及全等三角形的概念．2．全等三角形的性质．作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．12．2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1．掌握“边边边”条件的内容．2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．3．会作一个角等于已知角．重点“边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．明确：三角形的稳定性．三、举例分析例1如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1，2题．学生板演．教师巡视，给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1，9题．本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性质？3．“SSS”具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC ，画一个三角形△A′B′C′，使AB ＝A′B′∠B ＝∠B ′，BC ＝B′C′. 教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？(2)上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程．五、小结与作业 1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．重点“角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．一、复习导入1．复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．二、探究新知1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”) [师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长；(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；(3)分别以A′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA′B′，∠EB ′A ′，使∠DA′B′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；(4)射线A′D 与B′E 交于一点，记为C′.即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 例如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC 和△AEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE.[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题．学生板演． 2．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．五、课后作业教材习题12.2第5，6，11题．在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS )；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或AAS )．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°.再画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB.把画好的Rt △A ′B ′C ′剪下来，放到Rt △ABC 上，它们全等吗？画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB. 想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作： (1)作∠MC′N ＝90°；(2)在射线C′M 上截取线段B′C′＝BC ；(3)以B′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C′N 于点A′；(4)连接A′B′.△A ′B ′C ′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL ”．多媒体出示教材例5如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．2．直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．12．3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．重点角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题．一、复习导入1．提问角的平分线的定义．2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．(二)角的平分线的性质试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；(4)再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质．分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程．巩固应用：解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点1．例题：教材第50页例题．2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．练习：教材第50页练习．三、归纳总结引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第1～4题．教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

数学人教版八年级上册第12章第一节全等三角形教案

5.培养学生的合作交流能力：通过小组讨论、交流分享，激发学生的团队协作精神，提高合作交流能力。
本节课的核心素养目标旨在培养学生在新教材要求下的综合能力，为学生的全面发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-全等三角形的定义：理解全等三角形的含义，即能够完全重合的两个三角形。
-全等三角形的判定方法：掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能准确应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形的基本原理和判定方法。
-实际问题转化为数学模型：学生需要将现实生活中的几何问题抽象为全等三角形的数学模型，这是学生感觉难度较大的地方。
举例解释：
-在判定方法的选择上，教师可以通过对比不同判定方法的特点，指导学生如何根据题目条件快速选择合适的方法。
-对于空间想象力的培养，教师可以设计一些动手操作的活动，如让学生制作全等三角形的模型，通过实际操作来增强空间感知。
-全等三角形的性质：了解全等三角形的对应角相等、对应边相等等性质，并能够运用这些性质解决几何问题。
-实际应用：将全等三角形的性质和判定方法应用于解决实际问题，，可以通过实际操作教具或多媒体演示，让学生直观理解全等的概念。
-在讲解判定方法时，通过具体例题，如两个三角形的三边分别相等，引导学生运用SSS判定全等。
-在实际问题转化的教学中，教师可以提供一些典型例题，如房屋建筑中的三角形结构问题，引导学生如何将实际问题抽象为数学模型，并应用全等三角形的性质和判定方法来解决。

模型12 全等三角形：手拉手模型(学生版)

全等三角形模型（十二）——手拉手模型◎结论1：如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则⑴△ABD≌△ACE;⑵BD和CE的夹角∠P=∠BAC=∠DAE.等腰三角形的手拉手⑴【证明】∵∠BAC＝∠DAE∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC,即∠BAD＝∠CAE在△ABD中，BA＝CA∠BAD＝∠CAEAD＝AE∴△ABD≌△ACE（SAS）(2)△ABD≌△ACE,可看成△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置,BA和CA的夹角为∠BAC,AD和AE的夹角为∠DAE,BD和CE的夹角为∠P,根据旋转的性质容易得到对应边的夹角等于旋转角,故∠P=∠BAC=∠DAE.找全等三角形的方法○巧○记○口○诀顶左左，顶右右【相同图形的左手拉左手，右手拉右手】◎结论2：如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90º，则⑴△ABD≌△ACE;⑵BD⊥CE等腰直角三角形手拉手◎结论3：如图所示，△ABC与△DCE是等边三角形⑴△BCD≌△ACE;⑵∠AOB=∠DOE=60º等边三角形手拉手◎结论4：如图所示，△ABC与△DCE是等边三角形，当点B、C、E共线时重要结论：1、△BCD≌△ACE2、∠1＝∠2➯∠3＝60°3、∠DOE＝∠AOB＝60°4、△BCG≌△ACF,△GCD≌△FCE5、GC＝FC,∠GCF＝60°➯△CGF为等边三角形➯∠CGF＝60°➯GF∥BE6、OC平分∠BOE1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论错误的是（）A ．∠AOB=60°B ．AP=BQC ．PQ ∥AED ．DE=DP2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，分别以AB ，AC 为边作等边ABD △和等边ACE ，连结DE ，若3AB =，5AC =，则ED =（）A ．22B ．23C ．4D ．323．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接CE 交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ．下列结论中，正确的结论有（）①CE ＝BD ；②△ADC 是等腰直角三角形；③∠ADB ＝∠AEB ；④S 四边形BCDE ＝12BD•CE ；⑤BC 2+DE 2＝BE 2+CD 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC2ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接BC'，BC'的延长线交AB'于点D，则BD的长为_____．△都是等边三角形，下列2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点B、C、E在同一条直线上，ABC与CDE≌；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是______．（填结论：①AE=BD；②DGC EFC序号）3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=_______．1．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．2．如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度数；(3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？（填“改变”或“不改变”）。