群表示理论初步

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均可表示成直和形式：E Ea Eb , C3 Ca3 Cb3 , ...
1.群的表示
g根据线性代数知识，方块化矩阵乘法为方块对方块的乘法
1/ 2 例：C3σv' 3 2 0
32 1/ 2
0
0 1/ 2
0 3 2 1 0
32 1/ 2
0
0
0 1
C3aσ
相似矩阵的迹相同
与'等价 (Rˆ) '(Rˆ) ，Rˆ G
g点群中，同一共轭类的操作，特征标相同 若Aˆ, Bˆ共轭，则存在Xˆ G，满足Aˆ =Xˆ -1BˆXˆ ,及A = X-1BX
Tr A Tr X-1BX Tr BX-1X Tr B Aˆ Bˆ
g例：对C3v点群的表示1,
3.不可约表示性质
1）广义正交定理（矩阵元正交定理）
* Rˆ j
Rˆ mn j'
Rˆ m'n'
h l jl j'
jj' mm' nn'
j,
j'：不可约表示；l
j
,
l
j
：相应维数，h为群的阶
'
j
Rˆ : Rˆ的矩阵表示中的第mn 矩阵元 mn
g若群的表示与'的矩阵，以同一相似变换相关联，则与'为等价表示
E, A, B,C...等价'E ', A ', B ',C '...
存在非奇异方阵P，满足A P1AP, B ' P1BP, C ' P1CP, ... P和, '的维数相同，但不一定是群表示的矩阵
g前述示例中，以 g1, g2, g3 x2, 2xy, y2 为基，曾得到C3v点群的另一个
1.群的表示
2）例如，前面已经得到，以 f1, f2, f3 x2 y2, 2xy, x2 y2 为基，
可得到C3v点群的矩阵表示1 如下：
1 0 0 E 0 1 0
0 0 1
1/ 2 3 2 0
C3 3 2 1/ 2 0
0
0 1
1/
2
32
0
C
2 3
32
1/ 2
0
0
0
1
1.群的表示
1）考虑点群G Rˆ1, Rˆ2,..., Rˆn
g同一组基下 fi1,...,m ，若Rˆ R,Tˆ T，则RˆTˆ RT
若Rˆ1 f1, f2 ,..., fm f1, f2 ,..., fm R1，Rˆ2 f1, f2 ,..., fm f1, f2,..., fm R2 则Rˆ1Rˆ2 f1, f2 ,..., fm =Rˆ1 f1, f2 ,..., fm R2 = f1, f2 ,..., fm R1R2
Eˆ 3, (Cˆ3) (Cˆ32 ) 0, (V ) (V ) (V) 1
1.群的表示
4）可约与不可约表示
g矩阵直和
1/ 2
C3 3 2
0
g例：C3v的矩阵表示
3 2 0 1/2 0
0 1
1/ 2 = 3 2
3 1 /
2 2
1
=C3a
C3b
1 0 0 E 0 1 0
不可约表示符号 j Rˆ
来自百度文库
基函数示例：可判断轨道对称性
不可约表示的慕利肯记号
g一维表示：A或B；二维表示：E；三维表示：T F g A Cn 1; B Cn 1 g下标1 v 1; C2' 1;下标2 v 1; C2' 1 g上标' h 1；上标'' h 1 g下标g i 1；下标u i 1
g对点群G,在同一组基下，对称操作的矩阵表示 Ri的集合
Ri1,...,n 和G的乘法关系相同，也是群
g称集合
Ri1,...,n
为点群G的一个
mm
m维 矩阵表示
g显然，点群G的矩阵表示是不唯一的，依赖于维数和基函数
g任何点群，都有一个由数字1构成的1维 矩阵群表示，称为
全对称表示，任何标量函数都是全对称表示的基函数 Rˆf r f r
R 0 0
Ri
X-1Ri X
0
R
0
0
0 ...
则称是群G的可约表示，否则是不可约的
所有矩阵能以相同 方式对角方块化 (表示成直和)
g前述示例中，为可约表示，a及b均为不可约表示 • 一个群可以有无穷多个矩阵表示，但其中很多是等价表示，对于相互等
价的表示，我们只需研究其中的一个，特征标是重要量 • 一个群可以有很多个不等价表示，但其中很多是可约的，对于可约表示，
我们可以将其约化为不可约表示的直和
• 因此研究群的性质，只需研究其不等价不可约表示的性质。对于有限阶 的群，其不等价的不可约表示是有限的
2.特征标表
C3v E 2Cˆ3 3ˆv
A1 1 1 1 A2 1 1 1
1次齐次函数 z
Rz
2次齐次函数 x2 y2, z2
E 2 1 0 x y,Rx Ry x2 y2 xy, xz yz
'a v
0
22
0
C3bσ
'b v
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g方块间的乘法关系和整个矩阵相同
每组子方块矩阵均构成点群的一个低维表示
a : Ea, Ca3, C23a, ......
b : Eb, C3b, C23b, ......
g表示为两个低维表示的直和• a b
1.群的表示
g定义：若存在相似变换X，对中所有Ri ,均有
3维矩阵表示2，实际上，1与
构成等价表示
2
g等价表示之间，基函数存在线性变换，表示矩阵之间为相似变换
g1, g2, g3 f1, f2, f3 P
RΓ2 P 1R Γ1 P
1.群的表示
4）特征标
g定义：群表示矩阵的迹对角元素之和 称为特征标
Rˆ Tr R
g等价表示，特征标相同充要条件
0 0 1
1/ 2 3 2 0
C3 3 2 1/ 2 0
0
0 1
1/ 2 3 2 0
C23 3 2 1/ 2 0
0
0
1
1 0 0
1/ 2
σV 0 1 0 σV 3 2
0 0 1
0
3 2 0 1/ 2 0
0 1
1/ 2
3 2 0
σV 3 2 1/ 2 0
1 0 0
σV 0 1 0
0 0 1
1/ 2 σV 3 2
0
3 2 0 1/ 2 0
0 1
1/ 2 3 2 0
σV 3 2 1/ 2 0
0
0
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g 实际上，对点的3维坐标 x, y, z' 进行变换，我们也能得到C3v点群的一个
3维的矩阵表示 xyz
1.群的表示
3）等价表示