群表示理论初步
群表示的理论基础和分子对称性
4.群表示的理论基础和分子对称性教学目标与学习指导1．本章第1节讨论分子对称性。
要求掌握五种对称元素和对称操作的乘积的概念。
2．本章第2节介绍群的基本知识。
要求对群的基本知识有一般的了解。
3．本章第3节讨论分子点群。
要求掌握分子点群的确定。
4．本章第4节讨论分子对称操作的矩阵表示。
要求掌握五种对称操作的矩阵表示法。
5．本章第5节讨论群表示的基及群的表示。
要求对群表示的一般性质有所了解。
要求掌握不可约表示和可约表示的概念以及可约表示的约化，了解特征标表。
4-1分子对称性4-2群的基本知识4-3分子对称操作群4-4分子对称操作的矩阵表示（选修）4-5群表示的基及群的表示（选修）RPbPbR的键合性质Y u Chen,Michael Hartmann,Michael Diedenhofen,and Gernot Frenking*Angew.Chem.Int.Ed.2001,40,No.11，2052群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的数学。
但把它的基本理论与物质结构的具体对称性相结合之后，群论就成为研究物质微粒运动规律的一种有力工具。
在有关基本粒子、核结构、原子结构、分子结构以及晶体结构等问题的理论研究和计算中经常用到群论方法。
由于自然学科彼此间的交叉、渗透，在近代化学领域内，研究化学键理论和分子动力学，应用各种波谱技术等方面，群论已成为重要的工具。
4-1分子对称性对称性是物体所具有的,实施对称操作之前后不可分辨的性质。
通过研究分子的对称性，一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有关性质；另一方面，也可借助于分子对称性，使求解薛定谔方程的过程大为简化。
原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性，是电子运动状态及分子结构特点的内在反映。
4-1-1对称操作与对称元素4-1-2对称操作的乘积4-1-1对称操作与对称元素对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。
也就是，当一个操作作用于一个分子上，所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。
第七章 群论基础 - ===欢迎访问结构化学精品课程网站===
⎡ −1 ⎢ 2 ⎢ 2 ˆ C3 = ⎢ − 3 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 3 2 2 0⎤ ⎥ ⎥ ˆ (240) 0⎥ = C 3 ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
ˆ φ = 1200 C 3,
n
y ' = x sin φ + y cos φ
(x, y)
φ
α
z' = z
⎡ x' ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡cos φ ⎢ '⎥ ˆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y ⎥ = C (φ ) ⎢ y ⎥ = ⎢ sin φ ⎢ z' ⎥ ⎢ ⎣z⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣ ⎦ − sin φ cos φ 0 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y⎥ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ 1⎥ ⎦⎢ ⎣z⎥ ⎦
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
Ĉ3
Ĉ
Ĉ3
3
3
Ĉ
3=
Ĉ
3
2
Ĉ3
=Ê
Ĉ3
旋转轴次 n =
2π
α
； α 为基转角 （规定为逆时针旋转）
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
7.2.2 分子点群
分子中或多或少地存在一些对称元素, 这些对称元 素对应的对称操作的组合满足群的定义, 构成群, 称为对 称操作群. 因为分子中的对称元素至少通过一点公共点, 故称为点群. 对称操作构成群的命题可以用通过乘法表示验证：
量子化学与群论
对称操作的表示矩阵为：
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎣ a31
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦
第三章 群表示论§31 群表示的概念
定理：若 DGDE , D A, DB, 为群 GE, A, B, 的表示矩阵，
称D(G)和xD(G)x-1为等价表示
例：求C3v群三维表示d3的等价表示 d3 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0
且PR R; PS S; PR PS PRS RS;
{R}和{PR}有相同的表示，同构。
(r ) Ps PR (r ) (r ) (r )
r SRr r ( SR) 1 r
(r ) ((SR) 1 r ) (r ) ((SR) 1 r ) PSR (r ) Ps PR (r ) PSR (r )
第三章 群表示论
§3.1 群表示的概念
3.1.1 定义：若一组mm维的非奇异矩阵构成的群 D(G)与已知
群G同构或同态，则D(G)称为G的一个m维线性表示， 简称“表示”。 * G 中元素 R G 对应的矩阵 D ( R ) 称为 R 在表示 D ( G ) 中的表 示矩阵。 *D(R)的迹 R trDR ——R在D(G)中的特征标。
可以得到等价表示：D(A)=S-1D(A)S
1 0 0 1 0 0 D( E ) 0 1 0 , D( A) 0 1 0 , 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 3 1 3 D ( B) 0 , D (C ) 0 , 2 2 2 2 3 1 3 1 0 0 2 2 2 2 1 0 0 1 0 0 1 3 1 3 D( D ) 0 , D( F ) 0 2 2 2 2 3 1 3 1 0 0 2 2 2 2
第二章_群表示理论
第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。
线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。
【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。
空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。
矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。
群表示论基础——群在集合上的作用
群表⽰论基础——群在集合上的作⽤设Ω是⼀个集合,那么群G到对称群S(Ω)的每个同态ϕ:G→S(Ω)叫做群G在集合Ω上的⼀个置换表⽰.特别的如果ϕ是单的,那么称ϕ是忠实表⽰.注意群G中任意元素g在ϕ下的像ϕ(g)是Ω中的⼀个置换,因此我们可以将群G中的每个元素视作置换,即ga:=ϕ(g)a,∀a∈Ω形象的看就是群作⽤在集合上.如果我们在Ω中定义关系a∼b⇔∃g∈G使得ga=b,不难验证这是⼀个等价关系,那么Ω可被分解成⼀些等价类的⽆交并,如果我们记[a]={ga:g∈G}为等价类,那么Ω=⋃a[a]其中每个等价类称为G−轨道,元素a的轨道也记作Orb a:=[a]也记作O a.特别的如果Ω只有⼀条轨道,那么称G在Ω上的作⽤是传递的(也称为可迁的).那么显然G在每条轨道上的作⽤是传递的.我们来看具体的群作⽤的例⼦:例1.设G是群,取Ω=G,考虑映射ϕ:G→S(G),定义ϕ(g)a=ga,∀a,g∈G,那么ϕ是⼀个同态,这是因为∀g,h,a∈G有ϕ(gh)a=gha=ϕ(g)ϕ(h)a因此ϕ是群G在集合G上的⼀个置换表⽰,并且Kerϕ={1}我们也把这个表⽰称为群G的左正则表⽰,且显然这个表⽰是忠实的.类似的可以定义右正则表⽰.利⽤此我们可以得出如下的Cayley定理:每个群均同构于某个置换群.只需对例1中的左正则表⽰⽤同态基本定理G=G/Kerϕ≃Imϕ≤S(G),这就说明群G同构于某个置换群.例2.设H≤G,取Ω:={aH:a∈G}即为全体左陪集构成的集合,考虑映射πH:G→S(Ω),定义πH(g)(aH)=gaH,不难验证这也是⼀个同态,称为G对于⼦群H的左诱导表⽰.如果g∈KerπH,那么∀a∈G有πH(g)(aH)=gaH=aH⇒g∈aHa−1,注意a的任意性可知KerπH=⋂a∈G aHa−1即为H的全体共轭⼦群之交.类似的也可以定义右诱导表⽰.例3.设A⊂G是群G的任意⼦集,取Ω:={aAa−1:a∈G}即为A的共轭⼦集的全体.考虑映射ρA:G→S(Ω),定义ρA(g)aAa−1=gaAa−1g−1,这也是⼀个同态,称为群G对于⼦集A的共轭表⽰.类似的可求出其同态核KerρA=⋂a∈G aN G(A)a−1即为A的正规化⼦N G(A)的全体共轭⼦群之交.设a∈Ω,我们考虑集合Stab(a):=G a:={g∈G:ga=a},即为保持元素a不动的那些群元素之集合.不难验证其构成群G的⼦群,即Stab(a)≤G,称作元素a的稳定⼦群.我们有如下的:轨道-稳定⼦定理设有限群G作⽤在集合Ω上,那么∀a∈Ω有|G|=|Orb(a)|⋅|Stab(a)|↔|Orb(a)|=[G:Stab(a)]证明设G=∪n i=1g i Stab(a),注意到∀g,h∈G,那么g Stab(a)=h Stab(a)⇔h−1g∈Stab(a)⇔h−1ga=a⇔ga=ha这说明在同⼀陪集中的元素作⽤在a上的结果是相同的,且不同陪集的元素作⽤结果不同.这便说明了|Orb(a)|=[G:Stab(a)]特别的如果G在Ω上的作⽤是可迁的,那么|G|=|Ω|⋅|Stab(a)|,∀a∈Ω⽽若G 是⽆限群,轨道长度有限时,我们通常⽤后⾯的表达形式|Orb(a )|=[G :Stab(a )].特别的如果a ,b 位于同⼀轨道中,即存在g ∈G 使得b =ga ,那么我们看他们的稳定⼦群有什么关系.任取h ∈Stab(b ),则hb =b ⇒hga =ga ⇒g −1hg ∈Stab(a ),即Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,类似可得Stab(b )⊂g Stab(a )g −1,这说明Stab(b )=g Stab(a )g −1即同⼀轨道中元素的稳定⼦群是共轭的.例4.正n (n ≥3)边形的对称群.我们把平⾯中能够使得图形Γ与⾃⾝重合的正交变换(旋转和镜⾯反射)称作称作图形Γ的对称,显然全体这种对称构成⼀个群,称为图形Γ的对称群,记作S (Γ),特别的正n 边形的对称群,记作D n .我们来考虑它的结构:显然D n 可看做是对n 个顶点的置换,我们可以视作群D n 作⽤在顶点击Ω={1,2,⋯,n }上,显然这个作⽤是传递的,⽤绕中⼼旋转2πn 的置换σ=(12⋯n )依次作⽤即可.再者对于某个顶点1,保持1不动的置换只有两个,分别是恒等置换和保持1不动的反射τ={(2,n )(3,n −1)⋯n 2,n 2+2,n ≡0(mod根据轨道-稳定⼦定理|D_n|=|\Omega|\cdot|\mathrm{Stab}(1)|=2n .注意到\sigma^i\tau^j(0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1)恰为2n 个不同的置换,因此D_n=\{\sigma^i\tau^j:0\leq i\leq n-1,0\leq j\leq1\}并且运算满⾜\sigma^n=\tau^2=1,\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau 且\sigma\tau=\tau\sigma^{-1},据此可以得到更⼀般的\tau\sigma^m=\sigma^{-m}\tau,\forall m\in\mathbb Z进⼀步的我们可以求出D_n 的中⼼C(D_n).显然\sigma^i\tau\notin C(D_n),⽽若\sigma^i\in C(D_n),(0\leq i\leq n-1),注意到D_n 的结构,仅需保证其与\tau 可换即可,即\sigma^i\tau=\tau\sigma^i\Leftrightarrow\sigma^{2i}=1\Leftrightarrow n\big|2i 因此C(D_n)=\left\{\begin{matrix}\{1,\sigma^m\}&n=2m\\\{1\}&n=2m+1\end{matrix}\right.与稳定⼦群类似,\forall g\in G ,我们定义元素g 作⽤下的不动点的概念N(g):=\{a\in\Omega:ga=a\},即\Omega 中在置换g 作⽤下保持不动的那些元素.关于不动点,我们有著名的Burnside 引理:设有限群G 作⽤在集合\Omega 上,那么\Omega 中轨道的条数m=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|N(g)|直观来讲就是G 在\Omega 的作⽤时,平均有t 个不动点.下⾯给出他的证明:按照定义显然有\sum\limits_{a\in\Omega}|\mathrm{Stab}(a)|=\sum\limits_{g\in G}|N(g)|,另⼀⽅⾯注意到位于同⼀轨道中两元素的稳定⼦群是共轭的,因⽽具有相同的基数,从⽽\sum_{a\in\Omega}\mathrm{Stab}(a)=\sum_{i=1}^{m}|\mathrm{Orb}(a_i)|\cdot|\mathrm{Stab}(a_i)|=m|G|因此定理成⽴.这是组合数学中⼀个重要的计数定理，但是在实际应⽤时N(g)并不好直接计算,所以有更进⼀步的的Polya 定理来处理计数问题.有兴趣不妨查阅组合数学的教材.类似的我们可以定义群G 作⽤下的不动点:\Omega_0:=\{a\in\Omega:ga=a,\forall g\in G\}即群G 每个元素都保持不动的\Omega 中的元素. 在后⾯的Sylow 定理中会涉及整个群作⽤下不动点的应⽤.()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
2-4分子对称性群表示理论
轴且过交点的平面内必有n个
C2
轴。进而可推得，一个
Cn
2
轴与垂直于它的
C2
轴组合，在垂直于
Cn
轴的平面内有n个 C
轴，相邻两轴的夹角为
2
2n
。
（3）
x 1 0 0 1 0 0 x ˆ ˆ yz xz y 0 1 0 0 1 0 y z 0 0 1 0 0 1 z 1 0 0 x x 0 1 0 y y 0 0 1 z z
（3）
证明：（1）
ˆ ˆ yz xz
ˆ1 C 2( z )
x 1 0 0 1 0 0 x ˆ 1 y 0 1 0 0 1 0 y C 2 ( z ) ˆ xy z 0 0 1 0 0 1 z
所以：
ˆ 1 C1 C1 ˆ C 2( x ) ˆ 2( y ) 2( z )
这说明，若分子中存在两个互相垂直的 C 轴，则在其交点上必定出现垂直于这两个 2
C 2 轴的第三个 C 2
轴。推广之，交角为
2
2n
的两个
C2
Cn
，在垂直于
轴组合，在其交点上必定出现一个垂直于这两个 C 2 轴的
Cn
0 0 1
1 0 0 ' V 0 1 0 0 0 1
1 2 ' V' 3 2 0
3 1
2
2 0
0 0 1
3 1 2 0
2群论表示理论
两个子矩阵 D(1) 和 D( 2 ) 的集合也构成群 G 的表示 特征标：
( R ) (1) ( R ) ( 2 ) ( R )
推论：有限群实表示等价于实正交表示，两个等价的实表示 一定可以通过实正交相似变换联系
可约、不可约表示
如果群 G 表示 D(G) 的每一个表示矩阵 D(R) 都能通过同一 相似变换 X 化成同一形式的阶梯矩阵
D (1) ( R) M ( R ) X 1 D( R) X 0 ( 2) D ( R) 则此表示称为可约表示，否则成为不可约表示
第二章 群的表示理论
§1. 群的矩阵表示
representation 群 G 与行列式不为零的 m m 矩阵集合构成的矩阵群 D(G) 同态或同构，则称 D(G) 为群 G 的一个 m 维矩阵表示(表示)
群 元素 G R D(G ) D( R )
D(R) 称为元素 R 在表示 D(G)中的表示矩阵 R, S G, D( R) D( S ) D( RS )
1 E 0 0 0 A 1 0 0 0 0 1 0 1 0 , D 0 0 1 , 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 , B 0 0 1 , 0 1 0 0 1
等价表示
如群 G 所有元素 R 在两个表示 D(G ) 和 D (G ) 中的表示矩阵存在 同一相似变换关系，则 这两表示为等价表示：D(G ) D (G )
D ( R ) X 1 D( R ) X , R G
群论 群的线性表示 基础
2.1
2.2
有限群的表示理论
群的线性表示
等价表示、表示的幺正性和不可约表示
2.3
2.4 2.5 2.6
有限群的表示理论
有限群不可约表示的特征标表 新表示的构成 物理应用
2.1
群的线性表示
一、线性空间与线性变换
1. 线性空间 （矢[向]量空间）
是定义在数域K(如实数域R或复数域C)上的矢量集合 {x，y，z，...}=V 在V中可以定义加法和数乘两种运算： 设
2) 由乘法表写出群的正则表示 方法：♣ 群元素S的正则表示中，矩阵形式由 乘法表中S所在行的乘积元素决定
♣ 表示矩阵中第R列不为零的矩阵元素所在行 就是乘法表S行中R列的乘积元素标记的行
S R
E C4 C42 C43 mx my σu σv
按列写
σv
σv my σu mx C43 C4 C42 E
基（矢）：
1 0 0 0 1 e1 , e2 , en 0 0 0 1
线性变换：
矢量：
x1 x2 x x n
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
5. 内禀群
1) 定义： ● 群代数中，作为算符的群元素不仅可以从左面作用到矢量R 上，还可以从右面作用到矢量R上 ● 对阿贝尔群，二者相同；但对非阿贝尔群，左乘群元素与 右乘群元素结果是不同的，且两个算符的乘积也不同 如：先左乘S，再左乘T——结果：左乘TS 先右乘S，再右乘T——结果：右乘ST
E
E C4 C42 C43 mx my σu σv
C4
C4 C42 C43 E σu σv my mx
群表示理论
M
(C ' 2
)
0
1
0
0 0 1
M
(C
''
2
)
1 2
3
2
3 2
1 2
0 0001M(C32)
1 2
3 2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
1
M
(C ''' 2
)
2
3 2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
7
作业：写出C3v群在三维空间的表示矩阵。
例2. D3 群在以 u1r x2 y2,u2r 2xy为基矢的二
任意一个有限群都存在单位表示。
3. 如何确定群的表示（非单位表示）
例1. D3 群在三维实空间的表示。
D3 :
E,
C3
,
C32
,
C2'
,
C2''
,
C ''' 2
空间基矢 eˆ1, eˆ2, eˆ3 ，任意矢量
r xeˆ1 yeˆ2 zeˆ3
群元 R ↔ 算符T(R) ，T Rui u jM ji R
j
则M(R) 是群元R的一个表示。
4
C3作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。
M
(C3
)
1 2
3
2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
C' 作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。 2
1 0 0
M
(C ' 2
)
0
1
0
群论-3 群的表示理论
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组 时，也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示： x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为 矢量x的列向量表示
且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x； 加法与数乘满足分配律；
那么V称为数域F上的线性空间
F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时， V称为复线性空间。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢 线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一 组基矢 一般取e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
群论-3群的表示理论
n阶方阵实际上是n维线性空间上的一个线性变换； 给定表示空间的一组基矢，线性变换可以用矩阵形式描述
——线性表示和矩阵表示只是说法不同
群论-群的表示理论-群的线性表示 基本性质
1) D(e) = E ，E是l×l的单位矩阵；
2) D(a -1) = [D(a)] -1
3) 一个群的表示必然自动地就是其子群的一个表示。
i
利用基矢的正交归一条件(ei,ej) = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
x1
x
=
x2
x3
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
线性算符
线性空间Vn上任意一个矢量x → Vn′上有唯一的矢量 y
对应规则 Â称为Vn到Vn'的一个算符： y = Âx
如果以上对应规则是一对一的，则存在逆算符Â-1： x = Â-1y
如果空间Vn'就是空间Vn时，Â称为空间Vn上的一个算符。
物理学中的群论
——群的表示理论
主讲 翦知渐
群论-群的表示理论
第三章 群的表示理论
抽象群 → 线性变换
§3.1 线性算符及其矩阵表示 §3.2 群的线性表示 §3.3 舒尔引理和正交性定理 §3.4 表示的构造 §3.5 群表示的特征标 §3.6 投影算符 §3.7 正则表示 §3.8 特征标表的计算 §3.9 直积表示
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢变换
第二章 群表示理论 1至4节
JD1
g
D1
g
J成立，就有J
1 2
D1
g
D1
g
J
1 2
1 1
J2J2 J
21
k
Jik Dkj
k
Dik J kj
J是对角的
Jii Dij
Dij
J
，显然有
jj
Jii Dij Dij
J
jj
D1
g
J
1 2
14
相似变换不影响矩阵间的运算关系，所以，一切等 价的表示都认为是相同的表示。
等价表示构成一个表示的类。
矩阵A n n维
det A 0 det A 0
； AA1 I0
A ij Aji*，
A A， 厄米矩阵；
A A1， AA A A I0 ，幺正矩阵 （对称性高）
j
I0
可见，对于任一g∈G，一定存在非奇异矩阵S =VD1，
通过相似变换 Dg S 1DgS 使一般的群表示变成
幺正表示。
群的一切等价表示都有一个等价的幺正表示。
研究群表示时，只需研究其幺正表示形式。
18
G ~ M M g g G
有无穷多种表示：
1. 无穷多种单位表示，
x
3 2
y 2
3 2
x
1 2
y
2
1 2
u1r3 2u2r
T c3 u2 r 2 eˆ1 c31r
eˆ2 c31r
第1部分第2章 群表示论(1)
1, ( a, b ) = ( b, a )* (内积与次序有关)
2, ( a, b + c ) = ( a, b ) + ( a, c ) 3, ( a, b ) = ( a, b ) 4, ( a, a ) 0 [ a = 0, ( a, a ) = 0 ] *
二, ( 广义 ) 矢量空间的一些基本概念
*
8 可见： (1) 对称操作作用于位矢的变换矩阵 D (R)与作用于基矢
变换的变换矩阵 D’ (R) 互为转置
D’（R） = D（R） (2) 对称操作作用于位矢的变换矩阵 D (R) 就是对称操作的 表示矩阵 D (R) (3) 先求对称操作作用于基矢的变换矩阵 D’( R ), 然后将其 转置, 便得该称对称操作的表示矩阵 D ( R ). (4) 选择不同的基矢, 将获得不同的表示矩阵. *
二, 笛卡尔坐标系中对称元素的表示矩阵 1, 恒等操作 E 基矢的变换 e1 ’ = E e1 = 1 e1 + 0 e2 + 0 e3 e2 ’ = E e2 = 0 e1 + 1 e2 + 0 e3 e1 ’ = E e1 = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3 则 ┌ e1 ’ ┐ ┌ e1 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ ┌ e1 ┐ ∣ e2’ ∣ = D’ ( E ) ∣ e2 ∣ = ∣ 0 1 0 ∣ ∣ e2 ∣
D(A) D(B) = D(C)
D’(A) D’(B) = D’(C) = S-1 D(A) D(B) S = S-1 D(C) S 证明： D’(A) D’(B) = S-1 D(A) S S-1 D(B) S
= D’( C)
*
4 五, 幺正表示 unitary representation 1, 定义: 由幺正矩阵构成的群为幺正矩阵群,
理论物理中的群表示及其应用研究
理论物理中的群表示及其应用研究群表示在理论物理中是一种重要的数学工具，广泛应用于粒子物理、固体物理、化学等领域。
群表示的研究不仅有助于理解物质的基本性质，还有助于揭示自然界的基本规律。
群表示最早由埃米尔·艾尔特(Vant Hove)在1928年引入，并在之后由埃尔温·沃格尔(Erwin Winger)和埃米尔·阿尔廷格儿(Emil Artin)等人进行了深入研究。
群表示的基本思想是研究某个群在向量空间上的表示，即将群的元素通过线性变换作用于向量空间上的向量。
在理论物理中，群表示的应用非常广泛。
其中最为重要的应用之一是在量子力学中描述粒子的内禀性质。
根据量子力学的原理，粒子的内禀性质可以用量子态表示，而粒子的内禀性质在一个群的作用下应保持不变。
因此，群表示提供了一种将量子态分解为不可约群表示态的方法，这些不可约群表示态在群作用下是保持不变的，从而描述了粒子的内禀对称性。
例如，在粒子物理中，电磁相互作用的基本粒子被认为是一个SU(2)群的不可约表示，而强相互作用则是一个SU(3)群的不可约表示。
通过研究这些群的表示以及它们在物理过程中的作用，我们可以更好地理解基本粒子的互动和性质。
除了在粒子物理中的应用外，群表示还被广泛应用于固体物理的研究。
在固体物理中，晶格的对称性是非常重要的，它决定了固体的各种性质。
群表示提供了一种描述晶格对称性的有力工具。
通过研究晶格的群表示，我们可以确定晶格的点群和空间群，并进一步分析晶格的振动模式、电子能带结构、磁性等性质。
例如，研究固体中的声子振动可以通过将晶格的平移操作进行群表示，得到声子的不可约表示以及它们的能量和动量依赖关系。
此外，群表示还在化学中有重要应用。
化学中的分子和反应物具有特定的对称性，群表示可以描述这些对称性，从而揭示分子的性质和化学反应的机理。
例如，研究分子的拉曼光谱可以用到群表示的方法，通过将分子的对称操作表示成群的元素，可以得到不同振动模式对应的拉曼活性，从而解释实验观察到的拉曼光谱特征。
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0
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1
均可表示成直和形式：E Ea Eb , C3 Ca3 Cb3 , ...
1.群的表示
g根据线性代数知识，方块化矩阵乘法为方块对方块的乘法
1/ 2 例：C3σv' 3 2 0
32 1/ 2
0
0 1/ 2
0 3 2 1 0
32 1/ 2
0
0
0 1
C3aσ
'a v
0
22
0
C3bσ
'b v
11
g方块间的乘法关系和整个矩阵相同
每组子方块矩阵均构成点群的一个低维表示
a : Ea, Ca3, C23a, ......
b : Eb, C3b, C23b, ......
g表示为两个低维表示的直和• a b
1.群的表示
g定义：若存在相似变换X，对中所有Ri ,均有
不可约表示符号 j Rˆ
基函数示例：可判断轨道对称性
不可约表示的慕利肯记号
g一维表示：A或B；二维表示：E；三维表示：T F g A Cn 1; B Cn 1 g下标1 v 1; C2' 1;下标2 v 1; C2' 1 g上标' h 1；上标'' h 1 g下标g i 1；下标u i 1
R 0 0
Ri
X-1Ri X
0
R
0
0
0 ...
则称是群G的可约表示，否则是不可约的
所有矩阵能以相同 方式对角方块化 (表示成直和)
g前述示例中，为可约表示，a及b均为不可约表示 • 一个群可以有无穷多个矩阵表示，但其中很多是等价表示，对于相互等
价的表示，我们只需研究其中的一个，特征标是重要量 • 一个群可以有很多个不等价表示，但其中很多是可约的，对于可约表示，
1 0 0
σV 0 1 0
0 0 1
1/ 2 σV 3 2
0
3 2 0 1/ 2 0
0 1
1/ 2 3 2 0
σV 3 2 1/ 2 0
0
0
1
g 实际上，对点的3维坐标 x, y, z' 进行变换，我们也能得到C3v点群的一个
3维的矩阵表示 xyz
1.群的表示
3）等价表示
相似矩阵的迹相同
与'等价 (Rˆ) '(Rˆ) ，Rˆ G
g点群中，同一共轭类的操作，特征标相同 若Aˆ, Bˆ共轭，则存在Xˆ G，满足Aˆ =Xˆ -1BˆXˆ ,及A = X-1BX
Tr A Tr X-1BX Tr BX-1X Tr B Aˆ Bˆ
g例：对C3v点群的表示1,
1.群的表示
2）例如，前面已经得到，以 f1, f2, f3 x2 y2, 2xy, x2 y2 为基，
可得到C3v点群的矩阵表示1 如下：
1 0 0 E 0 1 0
0 0 1
1/ 2 3 2 0
C3 3 2 1/ 2 0
0
0 1
1/
2
32
0
C
2 3
32
1/ 2
0
0
0
1
3.不可约表示性质
1）广义正交定理（矩阵元正交定理）
* Rˆ j
Rˆ mn j'
Rˆ m'n'
h l jl j'
jj' mm' nn'
j,
j'：不可约表示；l
j
,
l
j
：相应维数，h为群的阶
'
j
Rˆ : Rˆ的矩阵表示中的第mn 矩阵元 mn
1.群的表示
1）考虑点群G Rˆ1, Rˆ2,..., Rˆn
g同一组基下 fi1,...,m ，若Rˆ R,Tˆ T，则RˆTˆ RT
若Rˆ1 f1, f2 ,..., fm f1, f2 ,..., fm R1，Rˆ2 f1, f2 ,..., fm f1, f2,..., fm R2 则Rˆ1Rˆ2 f1, f2 ,..., fm =Rˆ1 f1, f2 ,..., fm R2 = f1, f2 ,..., fm R1R2
Eˆ 3, (Cˆ3) (Cˆ32 ) 0, (V ) (V ) (V) 1
1.群的表示
4）可约与不可约表示
g矩阵直和
1/ 2
C3 3 2
0
g例：C3v的矩阵表示
3 2 0 1/2 0
0 1
1/ 2 = 3 2
3 1 /
2 2
1
=C3a
C3b
1 0 0 E 0 1 0
3维矩阵表示2，实际上，1与
构成等价表示
2
g等价表示之间，基函数存在线性变换，表示矩阵之间为相似变换
g1, g2, g3 f1, f2, f3 P
RΓ2 P 1R Γ1 P
1.群的表示
4）特征标
g定义：群表示矩阵的迹对角元素之和 称为特征标
Rˆ Tr R
g等价表示，特征标相同充要条件
0 0 1
1/ 2 3 2 0
C3 3 2 1/ 2 0
0
0 1
1/ 2 3 2 0
C23 3 2 1/ 2 0
0
0
1
1 0 0
1/ 2
σV 0 1 0 σV 3 2
0 0 1
0
3 2 0 1/ 2 0
0 1
1/ 2
3 2 0
σV 3 2 1/ 2 0
我们可以将其约化为不可约表示的直和
• 因此研究群的性质，只需研究其不等价不可约表示的性质。对于有限阶 的群，其不等价的不可约表示是有限的
2.特征标表
C3v E 2Cˆ3 3ˆv
A1 1 1 1 A2 1 1 1
1次齐次函数 z
Rz
2次齐次函数 x2 y2, z2
E 2 1 0 x y,Rx Ry x2 y2 xy, xz yz
g对点群G,在同一组基下，对称操作的矩阵表示 Ri的集合
Ri1,...,n 和G的乘法关系相同，也是群
g称集合
Ri1,...,n
为点群G的一个
mm
m维 矩阵表示
g显然，点群G的矩阵表示是不唯一的，依赖于维数和基函数
g任何点群，都有一个由数字1构成的1维 矩阵群表示，称为
全对称表示，任何标量函数都是全对称表示的基函数 Rˆf r f r
g若群的表示与'的矩阵，以同一相似变换相关联，则与'为等价表示
E, A, B,C...等价'E ', A ', B ',C '...
存在非奇异方阵P，满足A P1AP, B ' P1BP, C ' P1CP, ... P和, '的维数相同，但不一定是群表示的矩阵
g前述示例中，以 g1, g2, g3 x2, 2xy, y2 为基，曾得到C3v点群的另一个