有理数的意义-知识讲解(学)

有理数的意义

责编：杜少波

【学习目标】

1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；

2．理解正数、负数、有理数的概念；

3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．

【要点梳理】

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、、

+584等大于

0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．

要点诠释：

（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.

（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．

（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．

要点二、有理数的分类

（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：

要点诠释：

（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．

【典型例题】

类

型一、正数与负数

1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方

程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）

A ．支出20元

B ．收入20元

C ．支出80元

D ．收入80元

【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

【答案】C

【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，

则﹣80表示支出80元．

12+12

-π

故选：C ．

【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

举一反三：

【高清课堂：有理数的意义 356786 概念的应用例3（1）】

【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）

A ．50.0千克

B ．50.3千克

C ．49.7千克

D ．49.1千克

【答案】D ．

解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．

【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .

(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？

【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.

【变式3】如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）．

A ．－20m

B ．－40m

C ．20m

D ．40m

【答案】B

2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过

的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0

（1） 这8名男生有百分之几达到标准？

（2） 他们共做了多少引体向上？

【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，

而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；

答：这8名男生有62.5%达到标准.

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）

答：他们共做了引体向上56个.

【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么. 类型二、有理数的分类

【高清课堂：有理数的意义 356786 概念的应用例2】

3．下面说法中正确的是( )．

A ． 非负数一定是正数．

B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数．

C ．一定是负数．

5100%62.5%8

⨯=a -

D ．正整数和正分数统称正有理数．

【答案】D

【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；

(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对

【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.

举一反三：

【变式1】判断题：

（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.

（ ）

（3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）

【答案】√， ，，

【变式2】下列四种说法，正确的是( ).

(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数

(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数

【答案】D

4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.

1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， . 正整数集合:{ …}， 负整数集合:{ …}，

整数集合:{ …}， 正分数集合:{ …}，

负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，

非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.

【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，

；

负分数： -3.88，； 分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，； 非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，

； 非正数：-700, -3.88, 0, a a -⨯⨯⨯723-723

-723

-723

-