两立体相交
两立体相交
第三十一页，共85页。
第三十二页，共85页。
六、已知四坡屋面的倾角(qīngjiǎo)α=30°及檐口 线的H投影，求屋面交线的H投影和屋面的V、W投影。
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从平面图开始(kāishǐ)作图解题，补出俯视图和主视 图:
30°
30°30°
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补出同坡屋面(wūmiàn)的左视图：
解：
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例 已知同坡屋顶的水 平投影轮廓(lúnkuò)和屋面坡角 为45度，求其水平投影 及正面投影。
解：
1 作部分斜脊和天沟(tiāngōu)---过屋檐交点作斜脊和天沟(tiāngōu)
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例 已知同坡屋顶的水
平投影轮廓和屋面(wūmiàn)坡角 为45度，求其水平投影 及正面投影。
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同坡屋面 (wūmiàn)
αα
如果(rúguǒ)同一屋面上 各个坡面与水平面的倾角α相等，称 为同坡屋面。
第二十四页，共85页。
屋顶各檐口(yán kǒu) 同高，且各屋面对地 面的倾角都相等。 同坡屋顶分为二坡顶 和四坡顶,它们都可看 成横置的三棱柱体。
第二十五页，共85页。
第五页，共85页。
求相贯线的一般步骤：
（1）进行形体分析
分析相贯体的形体特征，观察它们的相对位置，研究它们哪些部 分参与相贯、相贯线的类型等。当两形体全贯时，有两组相贯线， 当两形体互贯时，仅有一组相贯线。
（2）求相贯点（共有点） 首先求出特殊点，然后求出一定数量、 位置适当的一般点，所求点的多少根据(gēnjù)作图的精确程度 而定，但相贯线投影的最高点、最低点、最左点、最右点、最前 点、最后点以及可见、不可见分界点等特殊点必须求出。求相贯 点（共有点）的方法一般是利用积聚性用表面取点法、辅助素线 法等。
第9章 两立体相交
由已知的三视图投影，可 分析出空间物体的形状。
基本 体为轴心 线正交的
圆柱体
被 公 切
两直径相
的
等的圆柱
球
体公切于
一个球。
空间分析：：
椭圆曲线
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
例８－９：求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴4心、求线圆上柱穿相孔交后）的水的平水投平影及投侧影面及投影侧。面投 影。
二、利用辅助面法求作相贯线
圆柱和圆锥两轴心线 正交，两表面相交的共 有线（相贯线）。
空间曲线
辅助平面 直素线
空间分析：
三面共点 水平圆
辅 助 平 面 法
例8-7：求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析： 空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况 两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情 况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭 圆）或直线。如果此时两曲面立体对投 影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯 线在该投影面上的投影就具有一定的特 点和规律。了解和掌握这些特点和规律 有助于判断和绘制相贯线的投影，并可 以简化作图过程。
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。 绘制底板
题目：补画第三视图。 绘制托架
题目：补画第三视图。 绘制圆筒
题目：补画第三视图 绘制支撑板
题目：补画第三视图 完成补画第三视图
小结
该题是用形体分析法读图和画图的典型题 目, 即将组合体假想分成若干基本形体,然后 一个一个形体分析,想象出简单形体的形状和 彼此之间的位置及组合关系.看图和画图的步 骤是:
１.平面立体与平面立体相交
２.平面立体与曲面立体相交
两立体表面相交
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合， 画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴 线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大 （直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半 径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相 贯 线 的 近 似 画 法 （ 三 ）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时， 为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆
相贯线
27
28
29
30
31
32
例2
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 5' 1' 8' 3'
y
4' 6' 2' 7'
4"
5“(6 1“(2“) “) 8“(7“) 3“
4 5 1 8 3 7
33
6 2
y
例3：补全主视图 ：
确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
利用表面取点法求作相贯线
如果两回转体相交， 如果两回转体相交，其中 有一个是轴线垂直 轴线垂直于投影面 有一个是轴线垂直于投影面 圆柱， 的圆柱，则相贯线在该投影 面上的投影积聚在圆柱面上。 面上的投影积聚在圆柱面上。 利用回转体表面取点的方法 可以作出相贯线的其余投影。 可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点 的投影求其它投影的方法， 的投影求其它投影的方法， 称为表面取点法。 称为表面取点法。
41
两个回转体具有公共轴线时， 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
42
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。 三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析， 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
两立体相交
两立体相交ppt xx年xx月xx日•引言•两立体相交的基本概念•两立体相交的作图方法目录•两立体相交的实例分析•两立体相交的应用场景•结论与展望01引言探讨两立体相交的特性和方法，为进一步研究几何形状的交集提供思路。
目的几何形状的交集在计算机图形学、计算机视觉、机器人技术等领域具有广泛的应用，对于两立体相交的研究具有重要的实际意义。
背景目的和背景研究现状目前对于两立体相交的研究已经取得了一定的成果，但还存在一些问题需要进一步探讨。
问题现有的研究方法对于某些特殊情况下的两立体相交处理效果不理想，需要寻找更有效的方法来处理这些情况。
研究现状和问题02两立体相交的基本概念两立体相交是指两个立体图形在某个平面上有且仅有一个公共点。
相交的两立体图形会形成一条交线，交线是两立体图形的共有边。
1 2 3两个平面在某个方向上有且仅有一个公共点。
两平面相交两个曲面在某个方向上有且仅有一个公共点。
两曲面相交一个平面和一个曲面在某个方向上有且仅有一个公共点。
平面与曲面相交03判断两立体图形的共有边是否为交线如果两立体图形在某个方向上有且仅有一个公共点，那么这个公共边就是它们的交线。
两立体相交的判定方法01判断两立体图形的交线是否存在如果两立体图形有且仅有一个公共点，那么它们会有一条交线。
02判断交线的形状和位置根据两立体图形的形状和相对位置，可以判断交线的形状和位置。
03两立体相交的作图方法步骤选择一个合适的辅助平面，使得该平面与两个立体均相交，然后分别求出两个立体在该平面上的投影，最后根据投影的交点确定两立体相交的位置。
定义辅助平面法是一种通过引入一个或多个辅助平面来寻找两立体相交的方法。
应用范围适用于各种形状的两立体相交的情况。
辅助平面法投影法是一种通过分别在两个立体上投影对方立体的轮廓线来寻找两立体相交的方法。
定义步骤应用范围首先分别在两个立体上投影对方立体的轮廓线，然后根据投影的交点确定两立体相交的位置。
适用于具有明显轮廓线的两立体相交的情况。
9两立体相交讲义相贯线
[例题3] 平面立体与圆锥相贯，完成相贯线的投影
解题步骤 1．分析 相贯线为圆弧 和双曲线的组合；相贯 线的侧面投影已知，可 利用表面取点法求共有 点； 2．求出相贯线上的特 殊点Ⅰ、Ⅱ 、 Ⅳ； 3．求出一般点Ⅲ ； 4．光滑且顺次地连接 各点，作出相贯线，并 且判别可见性； 5．整理轮廓线。
观看动画
§9.2 两平面立体相交
一、相贯线的特点：
两平面立体的相贯线，一般情况是一条或者几 条封闭的空间折线，特殊情况是平面多边形。
二、两种情况：
一立体全部穿过另一立体，此时相贯线为分开的
两条空间折线—全贯。
两立体没有全部相交，只是一部分棱线穿过另一
立体，其相贯线为一条空间折线—互贯。
三、相贯线的求法：
[例题4] 求圆柱截交线。
1'
4'
5'
3' 6' 2'
1 (2) 6 3
4 5
解题步骤
1．分析 截交线为矩
4" 1"
形、椭圆及圆和直线 的组合；截交线的正
5"
面、水平投影为已知
3" ，侧面投影为矩形、
6" 椭圆和直线的组合；
2" 2．求出截交线上的
特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、Ⅳ、Ⅴ；
3．求一般点Ⅵ；
棱线法、棱面法、辅助平面法、辅助球面法等。
五、作图步骤：
➢ 分析两立体表面性质、两立体相对位置、相交情 况。 ➢ 求相贯线上的特殊点。 ➢ 求相贯线上的一般点。
方法：假想用辅助平面同时截切两立体，分别求 出两立体表面的截交线，截交线的交点为相贯线上 的点。
六、辅助平面选择原则： 使得辅助平面与两立体表面交线的投影都
第9章 两立体相交
相贯线是由若干段平面曲 线（或直线）所组成的空间折 线，每一段是平面体的棱面与 回转体表面的交线。
2.作图方法
求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。 求出各棱面与回转体表面的截交线。 连接各段交线，并判断可见性。
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3)两个轴线平行的圆柱相交及两共顶的 圆锥相交，其相贯线为直线 。
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4
相贯线的变化趋势
当圆柱位置变化时，相贯线的变化趋势
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当圆柱轴线位置变化时，相贯线的变化趋势
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当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势
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例题2：补全主视图
●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ● ● ●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
● ● ● ●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
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例题2：补全主视图
小 结：
无轮是两外表面相贯， 还是一内表面和一外表面 相贯，或者两内表面相贯， 求相贯线的方法和思路是 相同的。
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辅助平面的选择原则：
使辅助平面与两回转体表面截交线的投影 简单易画，例如直线或圆。
一般选择投影面平行面：
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例题5. 求圆柱和圆锥正交的相贯线。
1' 5',6' 3',4' 2'
《工程图学》 第九章 两立体相交
两相贯体相对尺寸大小发生变化，相贯线形状发生变化
两相贯体相对位置发生变化，相贯线形状发生变化
两相贯体相对位置发生变化，相贯线形状发生变化
本
章
结
束
3.作图方法 利用投影的积聚性直接找点。
用辅助面法。
4. 求相贯线的步骤
★ 空间及投影分析 相贯线的空间走向、相贯线的投影范围、作图方法 ★ 画出相贯线的投影 1） 求特殊点 极限位置点、转向点、特征点和结合点 2） 求中间点 3） 光滑连线，判断可见性 ★分析、补全轮廓线的投影
连线原则：
解题步骤
1 分析 两圆柱孔直径相同 时，它们的相贯线是平面曲 线-椭圆。 2 相贯线的水平投影和侧面 投影是积聚性的圆、半圆。 3 利用表面取点法求外表相 贯线，内部相贯线投影为两 相交直线（虚线）
例12：求圆球穿两个孔的相贯线
五、影响相贯线形状的因素
两相贯体相对尺寸大小发生变化，相贯线形状发 生变化
在两立体表面上都处于相邻素
线（纬线圆）间的点才能相连。
各投影的连线顺序应一致。 判断可见性的原则： 只有当相贯线所属两立体表面对于某一 投影面的投影同时为可见时，其投影才为可
见，否则为不可见。
一、积聚性法
例１：求两圆柱的相贯线
解题步骤
a" b" 1" d" 1) 求出相贯线 空间及投影 上的特殊点 A 、 (2") B、 C 分析： 、 D ； c" 小圆柱轴线 2) 求出若干个一 垂直于H面，水 般点Ⅰ、Ⅱ 等；
2 5 3
1 4
y
用辅助平面求共有点示意图
y
用水平面作为辅助平面求共有点
例4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
§4.3 两立体相交求相贯线
【例】如图a所示，求作三棱柱与三棱锥的相贯线，并补 全相贯体的水平投影和侧面投影。
［解］
①作诸棱线的贯 穿点和两立体的 相贯线
②补全相贯体的 水平投影和侧面 投影 （完成作图）
(c) (d) 作图过程和结果 清理图面后的投影图 (a)已知条件
(b)解题分析
【例】如图a所示，三棱锥被前后穿通了一个正三棱柱形状 的贯通孔，求作孔口线的水平投影，补全这个具有三棱柱贯 通孔的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。
作图步骤： 1.求烟囱的交线；
2 . 求同坡屋面的交线
答案：即求平面立体与平面立体的交线。
第4章 总结
平面立体
曲面立体
表面取点
相切 相贯
平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由若 干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。
求平面立体与曲面立体的相贯线，可归结为求平面 立体的表面与曲面立体的截交线，以及求平面立体的轮 廓线与曲面立体的贯穿点。 平面与曲面立体求相贯线： （1）求相贯点； （2）连接各点，得相贯线； （3）判断可见性。
E
A
D C
相贯线投影 a` b` d`(f`) e``(f``) a``(b``) c``(d``)
c`(e`)
e a c
f b d
D C
E
A
1. 相贯线为圆弧和双曲 线的组合 ; 相贯线的侧 面投影已知 , 可利用表 面取点法求共有点;
2. 求相贯线上的特殊点 Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ; 3.求一般点Ⅲ; 4. 光滑顺次连接各点 , 作相贯线 , 且判别可见 性; 5.整理;
§4-3
两立体相交求相贯线
相贯体——两个相交的形体称为相贯体。
相贯线
相贯线 —— 两个相交的物体表面的交线。
工程制图B ! 第九章--两立体相交
第九章两立体相交一、平面立体与平面立体相交（掌握）二、平面立体与曲面立体相交（掌握）三、曲面立体与曲面立体相交（掌握）相贯线相贯线：两个相交的立体。
相贯线：两立体相贯表面产生的交线。
相贯线的性质：（1）共有性。
相贯线上的点是两立体表面的共有点，相贯线是两立体表面的共有线。
（2）封闭性。
立体均有一定范围，故相贯线一般是闭合的空间图形。
9-1 平面立体与平面立体相交全贯互贯相贯线的形状：一般是空间闭合折线。
相贯线上每一折线段均是两立体表面相应棱面的交线，每一折点均是一立体棱线与另一立体棱面的交点。
求相贯线的方法：（1）交线法；（2）交点法。
相贯线的形状：若干段平面曲线或平面曲线和直线组成的空间封闭线框。
求相贯线的方法：可看作若干平面截切曲面立体。
9-2平面立体与曲面立体相交例：求作正四棱柱和圆球的相贯线。
想象成半球被正平面和侧平面截切……相贯线的形状：一般为空间封闭曲线。
特殊情况下为平面曲线或直线。
求相贯线的方法：（1）表面定点法；（2）辅助平面法（三面共点法）9-3曲面立体与曲面立体相交例1：两直径不等的圆柱正交，求其相贯线的投影。
a •b ••cd ••2b'•a'••c' (d')•2'1•d"•1" (2 ")•a" (b'')•• c"•1'两正交圆柱直径相差较大时，可采用圆弧代替相贯线投影。
例2：已知一圆柱体上有一圆柱孔，求相贯线。
•c' (d')•c 1•• 2•2'a'•b'••1'a •• b d"•a" (b")•1"(2")• • c"d •两圆柱相贯的三种形式两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交1、两柱面轴线平行或两锥面共锥顶时，相贯线为两条直线。
2、同轴回转体相贯，相贯线为垂直于轴线的圆。
§4.3 两立体相交求相贯线
共有性——相贯线是两立体表面的共有线，相关线上
的点是相贯两立体表面上的共有点。
作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。
相贯线的形状由两立体的形状和它们的相对位置所确 定。当一个立体全部贯穿另一个立体时，称为全贯，有两 组相贯线；但当一个立体全部穿进另一立体后，不穿出来 了，虽属全贯，便只有一组相贯线。当两个立体互相贯穿
空间分析： 具有同坡屋面屋顶的楼房。
同坡屋面屋顶立体图。
平脊 斜脊 屋面交线交点 屋檐多边形
斜沟
同坡屋面特点：
（1）坡屋面如前后檐口线平行
且等高时，前后坡面必相交成 水平的屋脊线，屋脊线的H投影， 必平行于檐口线的H 投影，且与檐口线等距。 （ 2 ）同坡屋面的正投影和侧面投影中斜脊线和斜沟线与 水平线的角度反映出同坡屋面和地面的坡度。 （3）三个相交的坡面的三条交线必交于一点。 作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影特点， 直接求得水平投影，再根据各坡面与水平面的倾角求得 V 面投影以及W 面投影。
立体可见表面上的点才是可见的。
当立体表面的投影有积聚性时，则可利用投影的积聚 性求作相贯线。
[例题1] 两平面立体相贯,完成相贯线投影
1.相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面 投影未知，水平投影已知；相贯线的投影 前后、左右对称; 2.求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等;
2' 1' 3'
3.顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性; 4.整理;
屋顶：平屋顶和坡屋顶。 为了排水需要，屋面均要有坡度，当坡度大于10％ 时称为坡屋面。如果同一屋面上各个坡面与水平面的 倾角α 相等，称为同坡屋面。
坡屋面的交线可以看成是平面立体被不同的截平