量子力学第9章-含时微扰

Ψ =
构成正交完备系， 定态波函数 Ψn 构成正交完备系，整个体 展开： 系的波函数 Ψ 可按 Ψn 展开：
∑
n
a n ( t )Ψ n
∂ ˆ ih ∑ an(t )Ψ = H(t )∑ an(t )Ψ n n ∂t n n
∂ d ih∑ an(t )Ψn + ih∑ an(t ) Ψ ∂t n dt n n ˆ ˆ′ n n 相 = ∑ an(t )H0Ψ + ∑ an(t )H (t )Ψ ∂ ˆ Ψ ih Ψ = H0 n n n n 消 ∂t
比较等式两边得
( (1 δnk = an0) (0) + λan ) (0) +L
(0 an ) (0) = δ nk (1 (2 an ) (0) = an ) (0) = L= 0
幂次项得： 比较等号两边同 λ 幂次项得：
不随时间变化，所以a 因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = δnk。 后加入微扰，则第一级近似： t ≥ 0 后加入微扰，则第一级近似：
（4）讨论
1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下， 1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率 上式表明 将与时间无关，且仅在能量ε 将与时间无关，且仅在能量εm ≈εk ，即在初态能量的小范围内才 有较显著的跃迁几率。 有较显著的跃迁几率。 在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态， 在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说 末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。 末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。
该式是通过展开式
Ψ =
∑
n
a n ( t )Ψ n
改写而成的
Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。 Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。 方程的另一种形式
其中 ˆ H′ = ψ * H′(t )ψ dτ mn n ∫ mˆ 1 → ωmn = [ε m − ε n ] h → 微扰矩阵元
以Ψm* 左乘上式后 对全空间积分
ih∑
n
d * * ˆ an(t )∫ ΨmΨndτ = ∑ an(t )∫ ΨmH′(t )Ψndτ dt n
d * ˆ ih∑ an(t )δ mn = ∑ an(t )∫ ψ mH′(t )ψ nei[εm −εn ]t / hdτ n dt n d ˆ′ ih am(t ) = ∑ an(t )Hmneiωmn t dt n
( ( ( an = an0) + λan1) + λ2an2) +L
∑
n
n
n
n
mn
零级近似波函数 am 不随时 (0 dam ) 间变化， = 0 间变化，它由未微扰时体系 (4)解这组方程 解这组方程， (4)解这组方程，我们可得到关于 所处的初始状态所决定。 所处的初始状态所决定。 dt 的各级近似解， an 的各级近似解，从而得到波函 da(1) m (0 ˆ ′ 的近似解。实际上， 数 Ψ 的近似解。实际上，大多数 ih n = ∑ an ) Hmneiωm t dt 情况下，只求一级近似就足够了。 情况下，只求一级近似就足够了。 n (2 1， （最后令 λ = 1，即用 H’mn代替 dam ) (1 ˆ ′ n ih = ∑ an ) Hmneiωm t dt n λ H’mn，用a m (1)代替 λa m (1)。） L L= L L L L L L
§2
量子跃迁几率
（一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系
体系的某一状态
（一）跃迁几率
Ψ = ∑ am (t )Ψ m
t 时刻发现体系处于 Ψm 态的几率 等于 |a m (t)| 2
m
am(0) (t) = δmk
1 t ′ + ∫ Hmk eiωmk t dt +L 0 ih
ω = ∫ dε m ρ(ε m )ωk→m 2π ′ | Hmk |2 δ (ε m − ε k ) = ∫ dε m ρ(ε m )
= 2π ′ | Hmk |2 ρ(εk ) h
h
黄金规则
（三）简谐微扰
t=0 时加入一个简谐 振动的微小扰动
（1）Hamilton 量
0 ˆ ′(t ) = H ˆ Acosωt t <0 t >0
第5章 -2 量子跃迁
§1 含时微扰理论 §2 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收
§1 含时微扰理论
(一) 引言 （二）含时微扰理论
(一) 引言
上一章中， 上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的 修正， 算符不显含时间， 修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是 方程。 定态 Schrodinger 方程。 算符含有与时间有关的微扰， 本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰 ， 即：
=−
hωmk
′ Hmk
[e ω
m t k
−1 = −
]
hωmk
′ Hmk
[e ω
i
m t k
−1
]
eiωmk t / 2 eiωmk t / 2 − e−iωmk t / 2
2ieiωmk t / 2 sin( 1 ωmk t ) 2
[
]
（3）跃迁几率和跃迁速率
(1 Wk→m =| am) (t ) |2
sin 2 ( 1 ωmkt) 2 = πδ( 1 ωmk ) = 2πδ(ε m − ε k ) = 2πhδ (ε m − ε k ) 2 lim 1 ω 2t t →∞ h mk 4
于是： 于是：
Wk→m =
2πt ′ | Hmk |2 δ (ε m − ε k ) h
跃迁速率： 跃迁速率：
dWk→m 2π ′ |2 δ (εm −εk ) ωk→m = = | Hmk dt h
式中的δ(ε 反映了跃迁过程的能量守恒。 2. 式中的δ(εm -εk) 反映了跃迁过程的能量守恒。 3. 黄金定则 设体系在ε 附近dε 范围内的态数目是ρ(ε 设体系在εm附近dεm范围内的态数目是ρ(εm)dεm，则跃迁 附近一系列可能末态的跃迁速率为： 到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：
(0)
假定t 假定t ≤ 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 ψk。而且由于 exp[t/h t=0 于是有： exp[-iεn t/h]|t=0 = 1，于是有：
( ( ( ψk = ∑ an (0)Ψn (0) = ∑ an0)ψn = ∑ [an0) (0) + λan1) (0) +Lψn ] n n n
假定 H0 的本征 函数 ψn 满足： 满足：
（二）含时微扰理论
ˆ H0ψn = ε nψn
ih ∂ ˆ Ψ = H0Ψ n n ∂t
ih
∂ ˆ Ψ = H ( t )Ψ ∂t
的定态波函数可以写为： H0 的定态波函数可以写为： exp[/h Ψn =ψn exp[-iεnt /h] 方程. 满足左边含时 S - 方程. 代 入
t
Fmk ei[ωmk +ω]t ei[ωmk −ω]t = i[ω +ω] + i[ω −ω] m k m k ih 0
Fmk ei[ωmk +ω]t − 1 ei[ωmk −ω]t − 1 =− + [ω +ω] [ωm −ω] m k k h
F 是与 t无关 只与 r 有关的算符
t <0 t >0
0 为便于讨论， 为便于讨论，将上式改 ˆ H′(t ) = 写成如下形式 ˆ
iωt −iωt ] F[e + e
（2）求 am(1)(t)
ˆ ′ Hmk =<φm | H′(t ) | φk >
H’在 H0 的第 k 个和第 m 个本征态 φk 和 φm 之间的微扰矩阵元
(0 (1 am(t ) = am ) (t ) + am) (t ) +L= δmk
末态不等于初态时 δmk = 0，则 0，
(1 am(t ) = am) (t ) +L
跃迁到末态Ψ 所以体系在微扰作用下由初态 Ψk 跃迁到末态Ψm 的几率 在一级近似下为： 在一级近似下为：
(1 Wk→m =| am) (t ) |2 =
1 Hmk eiωmk t dt ∫0 ′ ih
t
2
（二）一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
H'在 这段时间之内不为零，但与时间无关， 设 H'在 0 ≤ t ≤ t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：
0 ˆ r ˆ H′ = H′(r ) 0 t <0 0 ≤ t ≤ t1 t > t1
an(0)(t) = δn
(1 dam)
k
ih
(1 dam)
dt
(0 ˆ ′ n = ∑ an ) Hmneiωm t n
dt
1 ˆ′ δnk Hmneiωmn t = ∑ ih n 1 ˆ ′ = Hmk eiωknt ih
对 t 积 得 分 ：
(1 am)
1 t ˆ ′ = ∫ Hmk eiωknt dt ih 0
(t)不含对时间 因 H’(t)不含对时间 (t) 的偏导数算符, t 的偏导数算符,故可 对易。 与 an(t) 对易。
d ˆ ih∑ an(t )Ψn = ∑ an(t )H′(t )Ψn n dt n
ih∑
n
d ˆ an(t )Ψn = ∑ an(t )H′(t )Ψn dt n
（2）一级微扰近似 am(1)
(1 am) (t ) =
H'mk 与 t 无关 (0 ≤ t ≤ t1)
= ′ Hmk ih
i
1 t Hmk eiωmk t dt ∫0 ′ ih
1
∫
t
0
eiωmkt dt
=
′ Hmk ih
=−
=−
hωmk
hωmk ′ Hmk
′ Hmk
iωmk
[e
iωm t k
]
t 0
Bohr 频率
求解方法同定态微扰中使用的方法： 求解方法同定态微扰中使用的方法：
（1）引进一个小参量λ，用λ H' 代替 H'（在最后结果中再令λ = 1）； ）引进一个小参量λ （在最后结果中再令λ ）； 展开成下列幂级数； （2）将 an(t) 展开成下列幂级数； ） （3）代入上式并按λ幂次分类； ）代入上式并按λ幂次分类；
=−
hωmk
′ Hmk
2
2ieiωmk t / 2 sin( 1 ωmk t ) = 2
′ 4 | Hmk |2 sin2( 1 ωmk t ) 2 h2ωmk 2
极限公式： 极限公式：
sin2(αx) lim παx2 = δ ( x) α→∞
则当t 上式右第二个分式有如下极限值： 则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值：
ˆ ˆ H(t ) = H0 + H′(t )
量与时间有关， 因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， 而定态微扰法在此又不适用， 而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理 论。 含时微扰理论可以通过 含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
ˆ =<φm | F[eiωt + e−iωt ] | φk >
ˆ =<φm | F | φk > [eiωt + e−iωt ] = Fmk [eiωt + e−iωt ]
(1 am) (t ) =
F k m ih
∫0
t
t
k [eiωt + e−iωt ]eiωm t dt
=
Fmk ih
∫0
[ei[ωmk +ω]t + ei[ωmk −ω]t ]dt
几点分析: 几点分析:
ω→ωm k
lim
ei[ωmk −ω]t − 1
[ωm −ω] k
百度文库
= it
(I) 当ω = ωmk 时，微扰频率ω 微扰频率ω 与 Bohr 频率相等，上式第二项 频率相等， 分子分母皆为零。求其极限得： 分子分母皆为零。求其极限得：
(0 (1 (2 dam ) dam) dam ) 2 ( (1 ( ih ] ˆ′ +λ +λ +L = ∑ [an0) + λan ) + λ2an2) +L λHmneiωmn t dt dt dt n [λa(0) + λ2a(1) + λ3a(2) +L H′ eiωmn t ]ˆ =