二元一次方程组,里程碑上的数
《应用二元一次方程组—里程碑上的数》二元一次方程组
03
里程碑上的数问题概述
问题的定义
• 里程碑上的数问题：在数学中，里程碑上的数问题是指通过 使用二元一次方程组来找出两个数，这两个数的和等于一个 给定的数，同时它们的差也等于一个给定的数。
问题的背景
里程碑上的数问题源于古代数学难题，但随着数学的发展， 它逐渐成为代数领域的一个重要问题。
在实际生活中，里程碑上的数问题可以应用于各种场景，如 计算两个物体的距离和重量，或者解决与时间相关的计算问 题。
表示方法
用大括号把两个方程式括 起来，并加上“{}”表示 一个方程组。
特点
二元一次方程组中至少有 一个方程是线性方程。
二元一次方程组的解法
步骤
2. 解出未知数的值。
解法：通过代入、消元、加减等 方法将方程组中的两个方程转化 为一个或两个一元一次方程，从 而求解两个未知数的值。
1. 观察方程组中两个方程的系数 特点，选择适当的方法进行消元 或转化。
3. 检验所求得的未知数的值是否 满足原方程组中的每个方程。
二元一次方程组的应用场景
里程碑上的数
通过解决里程碑上的数的问题，可以应用二元一次方程组来求解实际生活中 的问题。
实际应用
二元一次方程组可以应用于各种实际场景，如行程问题、价格问题、时间问 题等。通过对这些问题的求解，可以得出实际问题的答案，从而指导我们的 决策和行动。
通过学习二元一次方程组，学生可以更好地理解这些实际问题的数学模型，提高 解决实际问题的能力。
课程目标
理解二元一次方程 组的概念和解题思 路。
学会用二元一次方 程组解决实际问题 ，如里程碑上的数 问题。
掌握二元一次方程 组的解法，如代入 法、消元法等。
课程大纲
第一部分：二元一次方程组的概念和解题思路 什么是二元一次方程组
5.5应用二元一次方程组--里程碑上的数(教案)
-对于难点三，通过反复练习和讲解，让学生熟悉解方程组的各种技巧。
-对于难点四，通过实际案例的讲解和练习，让学生学会如何将数学解应用于实际问题，并理解其含义。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用二元一次方程组--里程碑上的数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过计算两地距离或时间的情况？”比如，计算从家到学校的时间或距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索里程碑问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们讨论成果和实验操作的结果。（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
\[
\begin{cases}
\frac{y}{15} + \frac{y}{10} = 4 \\
\end{cases}
\]
学生在解决这个方程时可能会遇到分数的运算困难，以及如何将总时间与速度的关系正确表达为方程的问题。
在教学过程中，针对这些难点，教师应有意识地通过以下方法帮助学生突破：
-对于难点一，通过实际情境的引入，引导学生观察、分析和抽象问题。
3.培养学生的合作交流能力：在案例分析及练习过程中，鼓励学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
应用二元一次方程组里程碑上的数
02
建立数学模型
定义变量
x
表示里程碑上的数
y
表示另一变量，可以是时间、速度等其他物理量
建立数学方程
根据题目描述，建立以下方程
1
x + y = 100 (总里程碑数)
2
3
x - y = 50 (去程和回程的差值)
确定方程组的解
01
使用线性代数方法求解该方程组，找 出x和y的值。
02
解得：x=7
执行计算
按照计算器的提示进行计算，得到方程组 的解。
手动解法
导入已知量
将二元一次方程组中的已知量用代 数式表示。
建立方程式
根据二元一次方程组的方程式建立 相应的等式。
解方程式
利用代数方法解方程式，得到未知 量的值。
整合答案
将解出的未知量值代入原方程组中 ，验证答案是否正确。
二元一次方程组的特点
二元一次方程组的特点是只包含两个未知数，并且每个未知数的次数都是1。
二元一次方程组的解通常有无数个，除非有特定的条件限制。
二元一次方程组的应用场景
二元一次方程组广泛应用于各种领 域，如数学、物理、工程、经济等 。
VS
例如，在数学中，二元一次方程组 可以用来解决一些几何问题；在物 理中，它可以用来描述物体的运动 状态；在工程中，它可以用来解决 一些设计问题；在经济中，它可以 用来描述供求关系等。
03
该数学模型可以用于描述一个里程碑 系统，其中x表示总里程碑数，y表示 另一变量，根据实际情况可以是时间 、速度等其他物理量。通过建立数学 方程，我们可以找出x和y的值。这种 数学模型可以广泛应用于各种不同的 领域，例如物理学、工程学、经济学 等。
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北师大版数学八年级上册5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级上册第五章第五节“应用二元一次方程组—里程碑上的数”。教学内容主要包括：
1.理解里程碑问题的背景，掌握如何将实际问题转化为二元一次方程组。
2.利用里程碑问题，掌握二元一次方程组的求解方法，包括代入消元法和加减消元法。
举例：在处理一个涉及两个未知数的实际问题中，学生可能会在确定等量关系时感到困惑。例如，如果问题涉及到两个物品的价格和数量，学生需要理解总价等于单价乘以数量这一等量关系。
针对这一难点，教师可以通过以下步骤帮助学生：
a.引导学生仔细阅读题目，找出所有涉及数量和价格的信息。
b.通过图示或表格形式，将信息进行整理，帮助学生理清思路。
c.指导学生识别和建立等量关系，如总价等于单价乘以数量。
d.逐步引导学生将等量关系转化为方程，进而形成方程组。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用二元一次方程组—里程碑上的数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两地之间距离和时间的情况？”比如，计划一次旅行时，我们需要知道从家到目的地的距离以及所需时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索如何使用二元一次方程组来解决这类问题。
其次，在方程组的求解过程中，部分学生对代入消元法和加减消元法的运用不够熟练。我觉得在今后的课堂中，应该多花一些时间，通过具体例题和练习，让学生反复练习这两种方法，以便他们能够更加熟练地解决类似问题。
此外，课堂上的小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对自己的观点缺乏信心。为了提高学生的参与度，我考虑在下次课堂中引入一些有趣的元素，如竞赛或游戏，激发学生的兴趣，鼓励他们更积极地参与到讨论中来。
5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数 北师大版八年级数学上册教案
应用二元一次方程组 ——里程碑上的数教学目标1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
教学过程教学反思一、学习目标：1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。
3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
二、自学指导：1．自觉思考：（1）小明的爸爸骑着摩托车，载着小明在公路上匀速行驶。
小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看见里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。
完成下面问题。
①设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看见里程碑上的数表示出来吗？②本题的等量关系有哪些？（2）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。
已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。
①假设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为。
②你能列出怎样的方程组？（3）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？2．小组交流，讨论。
3．教师点评。
三、当堂训练：1．课后习题2．北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。
北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》说课稿1
北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》这一节内容，是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行进一步的拓展和应用。
通过这一节内容的学习，学生将能够更好地理解和掌握二元一次方程组的应用，提高解决实际问题的能力。
本节课的主要内容是通过实际问题引入二元一次方程组，并通过解方程组的方法求解实际问题。
这些问题涉及到年龄问题、距离问题等，都是与生活实际密切相关的问题。
通过解决这些问题，学生不仅能够巩固和提高二元一次方程组的知识，还能够提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析在教学之前，我对学生的学情进行了分析。
根据我的了解，大部分学生对二元一次方程组的基础知识已经有了较好的掌握，能够熟练地列出和求解二元一次方程组。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，这就需要我们在教学中进行引导和培养。
同时，学生在解决实际问题时，往往对问题的理解不够深入，解题思路不够清晰。
因此，在教学过程中，我们需要引导学生深入理解问题，明确解题思路，提高解题效率。
三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我制定了以下教学目标：1.知识与技能：使学生能够理解和掌握二元一次方程组的应用，能够通过解方程组的方法求解实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度和良好的学习习惯。
四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.重点：理解和掌握二元一次方程组的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何通过解方程组的方法求解实际问题。
五. 说教学方法与手段为了实现教学目标，我采用了以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过实际问题引入二元一次方程组，激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望。
北师大版八年级数学上册《应用二元一次方程组——里程碑上的数》精品教案
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题列方程式要注意哪些点？列出方程；（2）13：00时小明看到的数可表示为，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是；（3）14：00时小明看到的数可表示为，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是；[归纳总结]在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设为未知数。
解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再进行求解。
活动探究二：想一想，回答下面的问题（小组讨论，3min）例两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．活动探究三：想一想，回答下面的问题（小组讨论，3min）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴交流一下.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:审清题意,找出等量关系;(鸡兔同笼、增收开支、里程碑上的数)设未知数x,y;列出二元一次方程组解方程组；检验；答题.变式1：一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？变式2：小亮和小明做加法游戏,小明在第一个加首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。
学生通过练习检验自己对本节知识的掌握情况．动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。
本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。
应用二元一次方程组——里程碑上的数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题5.20应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】里程碑上的数字问题两位数：十位数字×10+个位数字.三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字.四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字.......例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别.特别提醒：1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000.2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系.【考点目录】【考点1】数字问题；【考点2】几何问题；【考点3】图表信息题；【考点4】开放问题；【考点5】其他问题.【考点一】数字问题【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x ，乙数为y ．则得方程组（）A ．1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩B ．1001511001001089x y x y x x y +=⎧⎨+=++⎩C ．1001001089100151x y x y y x y +=++⎧⎨+=⎩D ．1001001089100151x y x y y x y +=+-⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．解：设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，得方程组1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩，故选A ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP ，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了．．．．．．．．．．．586步，则出门时看到的步数是．【答案】26【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为一位正整数，即可得出x ，y 的值，再将其代入()10x y +中，即可求出结论．解：设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得：()1001010586y x x y ++-+=，∴1164y x =+.又∵x ,y 均为一位正整数，∴2 6x y =⎧⎨=⎩，∴10102626x y +=⨯+=，即出门时看到的步数是26．故答案为：26．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【考点二】几何问题【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ，求原正方形的边长；（2）已知一个长方形，若它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变．求这个长方形的面积．【答案】（1）12cm ；（2）224cm 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：（1）设原正方形的边长为cm x ，根据“正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ”，列出方程，即可求解；（2）设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，根据“它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解．（1）解：设原正方形的边长为cm x ，()22381x x +-=，解得12x =．答：原正方形的边长为12cm ；（2）解：设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，依题意，得()()()()4121x y xy x y xy ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：4422x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，所以这个长方形的面积23824cm S xy ==⨯=．答：这个长方形的面积是224cm ．【举一反三】【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为34的大长方形ABCD 被分成7个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（）A ．10B ．14C ．20D ．30【答案】A 【分析】本题中的两个等量关系是：长方形长的四倍与宽的七倍之和为34；长的二倍等于宽的五倍，据此建立二元一次方程组求解即可．解：设长方形的长为x ，宽为y ，根据题意，得：473425x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩，∴5210xy =⨯=，∴每个小长方形的面积为10．故选：A ．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式2】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD 的面积是2cm ．【答案】560【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．解：设小长方形的长、宽分别为cm cm x y ，，依题意得212328x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解之得164x y =⎧⎨=⎩，∴小长方形的长、宽分别为16cm 4cm ，，∴12220cm,28cm AB y BC =+==，∴大长方形ABCD 的面积22028560cm AB BC =⋅=⨯=，【考点三】图表信息问题【例3】（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A 、B 若干次（每次A 、B 两种商品都购买，且A 、B 都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示：购买商品A 的数量/个购买商品B 的数量/个购买总费用/元第一次购物65980第二次购物37940（1）求商品A 、B 的标价；（2）若张老师第三次购物时，商品A 、B 同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？【答案】（1）商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个；（2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B【分析】（1）设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可；（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案．（1）解：设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据题意得：6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x x =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个．（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据题意得：800.61000.6960m n ⨯+⨯=，∴5204m n =-．当4n =时，15m =；当8n =时，10m =；当12n =时，5m =．答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B ．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A ．10gB ．20gC ．25gD ．30g【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量50=克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．解：设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克．由题意列方程组得：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩．即：每块巧克力的质量是20克．故选：B ．【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a b +=．【答案】6-【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．解：由题意知，322224a a b +=-⎧⎨-=+-⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩，∴336a b +=--=-，故答案为：6-．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【考点四】开放问题【例4】（2017下·江苏南通·七年级校考期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一），答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一）设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意,得3422{2623x y x y +=+=，解得4{ 2.5x y ==.则x+y=4+2.5=6.5（吨）.答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【举一反三】【变式1】（2020上·辽宁铁岭·八年级校联考期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．25【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，依题意得：32192321x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴解这个方程组为：35x y =⎧⎨=⎩，∴大壮的得分为：432023x y +=+=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm ，小红所搭的“小树”的高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =，y =．【答案】45解：根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4和5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．【考点五】其他问题【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用．（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，40901320601201860a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：158a b =⎧⎨=⎩，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：()151008600.81584⨯+⨯⨯=（元），方案二的花费为：()15100860100521660⨯+⨯-÷⨯=（元），1660158476-=（元），15841660<，答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【举一反三】【变式1】（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm【答案】D 【分析】设1支塑料凳子的高度为 cm x ，每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，列出二元一次方程组，解之求出x 、y 的值，即可解决问题．解：设1支塑料凳子的高度为 cm,x 每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，依题意得：60380x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：5010x y =⎧⎨=⎩10501010150x y ∴+=+⨯=，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm ．故选：D ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A ，B 两种奖品若干个，那么可以购买B 种奖品个．【答案】4或8【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，利用总价=单价×数量，可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出n 的值．解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据题意得：2410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩，∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，根据题意得：2015160m n +=，∴384m n =-，∵m ，n 均为正整数，∴54m n =⎧⎨=⎩或28m n =⎧⎨=⎩，∴可以购买B种奖品4或8个．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．。
5.5_应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)
-里程碑上的数问题案例分析。
-引导学生找出问题中的等量关系，列出二元一次方程组。
-演示如何求解方程组，得出答案。
-设计练习题，让学生独立解决类似实际问题。
本节课旨在让学生在实际问题中运用二元一次方程组，提高他们的数学应用能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用的意识。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.5_应用二元一次方程组-里程碑上的数（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》七年级下册第五章第五节“应用二元一次方程组-里程碑上的数”。教学内容主要包括：
1.理解里程碑上的数问题，掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法。
2.能够根据题目中的等量关系列出方程组，并求解。
3.通过里程碑上的数问题，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
-强调代入法和消元法的适用条件和步骤，确保学生能够熟练操作。
2.教学难点
-识别问题中的等量关系，将实际问题转化为数学模型。
-理解并掌握二元一次方程组的解法，特别是消元过程中的符号变化和计算准确性。
-在解决实际问题时，能够灵活选择合适的解法，避免陷入计算误区。
举例解释：
-在讲解等量关系时，通过具体案例引导学生识别隐藏在问题中的关键信息。
2.提高学生的逻辑思维和推理能力，通过分析问题，找出数量关系，培养数学抽象素养。
八年级数学上册《第五章5 应用二元一次方程组——里程碑上的数》讲解与例题
借物喻人蚂蚁作文八篇导读:可敬的蚂蚁我喜欢蚂蚁，不仅喜欢它们的勤劳.团结的性格；最令我敬佩的，是它们在有挣扎求全的精神。
记的有一天，我发先两三只蚂蚁在出房的墙壁上匆匆爬行着。
我一时高兴起，用双手截水，泼在墙上，水流向它们，它们受了惊，四处逃跑。
我在用水泼去，它们被水冲的更远了，还被豆大的水粘着。
这几只可怜的蚂蚁拼命爬了好久才爬出包围着它们的水。
我又泼一些水上去，我想这回它们爬不出来了吧？这几只蚂蚁拼命爬了好久，还是寸步难移。
过了一会儿它们大概是精疲力尽了，就停下来歇息一会儿，又重新挣扎着爬起来。
如此连续几次终余到了没水的地方。
我看着这些脱险的小蚂蚁，看到它们那种不畏困难的精神，我不由想到那些在小挫折面前就底头，甘心失败的人，只觉那些蚂蚁比人还坚强许多。
团结的蚂蚁星期天下午，我在家里无所事事。
我来到院子里，忽然，我的眼睛一亮，地上有一群蚂蚁。
于是，我蹲在地下，好好观察了这群蚂蚁。
只见蚂蚁排着整齐的队伍向前走去，原来它们在运我掉在地上的面包屑。
我拿起一杯水，“哗”的一声把水倒在了几只蚂蚁的身上，沾水的那几只蚂蚁艰难地向前移动，可是没走几步就倒在地上。
正在这时候，几只蚂蚁站在一片树叶上，划着“桨”慢慢地向那两只蚂蚁靠近。
终于，它们把那两只蚂蚁救上了“船”，它们又划着“桨”，慢慢地靠近岸边。
我以为它们要休息好一阵子才能走，可是没想到它们只休息了一二分钟，就继续朝前走去。
我想在做一个实验来证明蚂蚁团结力量大。
我左思右想，终于想出了一个好主意。
我找了一个小石子，拿在手里，悄悄地跟着蚂蚁走，来到蚂蚁的洞口，那是一个米粒大小的洞口。
我把小石子堵在洞口上。
想看看蚂蚁会怎么做？蚂蚁们都把面包屑放在地上，围住小石子，慢慢地把石子抬起来，我仿佛听见蚂蚁在说：“一二，一二，加油呀！”不大一会儿就把石子抬过去了。
它们又把食物背在背上，排着队有秩序的进了洞。
我想：我们人类，为什么连一只小小的蚂蚁都不如呢？如果我们的同学之间，也能像蚂蚁一样团结友爱，遇到困难共同想办法克服，那么，我们的生活会更快乐！勇敢的蚂蚁在动物界里，蚂蚁虽然很小，可是它却可以打败比它们强大几十倍甚至上百倍的动物，这是为什么呢？以前连我自己都不相信，自从我亲身经历过的这件事，让我知道了蚂蚁的厉害。
二元一次方程组的应用——里程碑上的数
利用二元一次方程组——里程碑上的数
一、相关知识
1、一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个两位数可表示为10b+a；在这个两位数中间加一个0，得到一个三位数，那么这个三位数可表示为100b+a.
2、两个两位数x和y，若把x写在y的左边，得到一个四位数，这个四位数可表示为100x+y.
二、知识点数字问题（重难点）
两位数等于十位数字×10＋个位数字；
三位数等于百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字；
四位数等于千位数字×1000＋百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字；
……
例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这两位数表示为（10 y＋x）.
注意：数字问题的应用题一般采用间接设法，通常设组成这个多位数的各个数位上的数字. 例：有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已
知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数.
题中的等量关系如下：
（1）百位数字的9倍＝由十位和个位数字组成的两位数－3
（2）新三位数＝原三位数－45
解：设原来的三位数的百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数字为y，则这个原三位数为100x＋y，对调后的新三位数为10y＋x. 根据题意，得
9x=y-3
10y+x=100x+y-45
解得x=4
Y=39
答：这个三位数是439.
练习题：
一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数.。
5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)2021-2022学年北师大版数学八年级上册
4.通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决生活中问题的能力。
本节课主要围绕以下例题进行教学：
（1）小明从A地出发，以每小时5公里的速度骑车去B地，1小时后，小华从A地出发，以每小时6公里的速度骑车追赶小明。问小华出发多少小时后能追上小明？
（2）A、B两地相距100公里，一辆汽车从A地出发，以每小时40公里的速度向B地行驶，同时，一辆摩托车从B地出发，以每小时30公里的速度向A地行驶。问它们多久后相遇？
-举例：在里程碑问题中，学生需要理解速度、时间、距离之间的关系，并能列出相应的方程组。如小明和小华的问题中，设小华追上小明所需时间为t小时，则小明行驶的距离为5(t+1)公里，小华行驶的距离为6t公里，两者相等，即5(t+1)=6t。
2.教学难点
-难点1：理解实际问题中的数量关系，并将其转化为数学模型。学生可能难以从描述中抽象出数学关系，需要通过图示、表格等辅助手段帮助学生理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的，它可以用来解决含有两个未知数的线性问题。它在解决实际问题，如相遇问题、购物问题等方面有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用二元一次方程组解决相遇问题，以及它如何帮助我们找到相遇的时间和地点。
5.培养学生合作交流能力，通过小组讨论、问题探究等形式，促进生生互动，共同提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握二元一次方程组的应用，能够从实际问题中抽象出二元一次方程组。
-学会使用消元法解二元一次方程组，并应用于解决实际问题。
应用二元一次方程组——里程碑上的数
【跟踪训练】
1.小亮和小明做加法游戏,小明在第一个加数的后面多写一 个0, 所得和是242; 小亮在另一个加数的后面多写一个0, 所得和是341；求原来的两个加数分别是多少? 【解析】设第一个加数为x，第二个加数为y. 根据题意得：
10 x x
y 10 y
242 341
x y
21 32
中到广元全长约为126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴 中、广元两地相向开出，经过45 min相遇，相遇时小汽车比 货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km／h , y km／h，则下列方程组正确的是（
45 x y 126 A. 45( x y ) 6
【解析】设十位上的数字为x，个位上的数字为y， 根据题意得：
x y 5 ( x 10 y ) (10 x y ) 143
x 9 解得 y 4
答：这个两位数是94
6.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里
程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看
C．1.6 km，3.2 km．
B．1.8 km，3 km；
D．3.2 km，1.6 km．
【解析】选Ａ.设上坡用x时，下坡用y时，据题意得： 6x+12y=4.8，
x＋y＝0.5.
解之得 x＝0.2， y＝0.3.
0 .2 6 1 .2 ,0 .3 12 3 .6
2.A、B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行
★ 列 出二元一次方程组;
★ 解 方程组； ★ 检 验； ★ 答 题.
1.小颖家离学校4 800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段 为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡 时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h. 问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
八年级上 5.5 二元一次方程组的应用之里程碑上的数
4
的速度通过平路，到达乙地共用 1 h6 min；他回来时先以每小时 12 km 的速度通过平路，又以每小时 8 km 的速度 上坡，回到甲地用了 1 h 30 min，则甲、乙两地相距多少千米？ 3．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑 10m，那么甲跑 5s 就能追上乙；如果甲让乙先跑 2s，那么甲跑 4s 就能追上乙，则甲、乙两人每秒钟各跑多少米？( ) A．甲跑 6m，乙跑 4m B．甲跑 8m，乙跑 5m C．甲跑 9m，乙跑 6m D．甲跑 10 m，乙跑 8m 1．解：设此人上下扶梯的行走速度为 x，自动扶梯的速度为 y，则，7.5(x-y) =1.5(x+y),即 x
乙在 14 h 后追上甲，求甲、乙两人的速度？
2
1．解：设甲的速度为 xkm/h，乙的速度为 ykm/h． 由题意，得
6 x 6 y 42, x 2, 解得 y 5. 14y 14x 42.
一、专题精讲
题型一：数字问题
例 1 一个三位数，三个数位上的数字之和为 17，百位上的数字与十位上的数字之和比个位数字大 3，把百位 上的数字与个位上的数字对调后，所得的新数比原数小 198.求原数． 分析：可设百位数字、十位数字、个位数字分别为 x，y，z 等量关系为：三个数字之和=17；百位数字＋十位 数字=个位数字+3；原数一新数=198. 解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为 x，y，z， 根据题意，得
x y z 17, x 9, 解得 y 1, x y z 3, 100x 10 y z (100z 10 y x) 198. z 7.
答：原三位数为 917.
变式训练
1．有大小不同的两个两位数，在大数的右边写上一个 0 之后再写上小的数，得到一个五位数；在小数的右边 写上大数，然后再写上一个 0，亦得到一个五位数．第一个五位数除以第二个五位数得到的商为 2，余数为 590.此 外，大数的 2 倍与小数的 3 倍之和是 72，求这两个两位数． 1．解：设大的两位数是 x，小的两位数是 y，则第一个五位数是 1000x +y，第二个五位数是 1000y +10x，由题 意，得
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
——里程碑上的数
知识回顾
储蓄问题
程二
组元
的一
应次
用方
增长率
问题
增（减）量
× 100％
基数
增长（降低）的数量=基数×（1±增
长（降低）率）
增长（降低）率：
利润
× 100％
进价
总利润=总销售额﹣总成本=（售价﹣
进价）×销量
利润率：
销售问题
学习目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决
设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，
上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从
学校到家里需 15 min.小华家离学校多远？
等量关系：
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min；
走上坡路的时间+走平路的时间= 15 min．
直接设元法：
的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数
字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设
这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根
万元.
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比
原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和
个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两
位数-3.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成
= 45,
5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数 课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册
反思
甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米， 再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍． 求甲、乙两人的平均速度．
解：设甲的平均速度为 x 千米/时，乙的平均速度为 y 千米/时． 3x＋3y＝30－3，
根据题意，得 30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]， x＝4，
写出原数
目标二 会用二元一次方程组解决行程问题
例2 教材补充例题 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设她始终 保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，那么她从 家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.请问小华家离学校多远．
解：设平路有 x m，坡路有 y m. x ＋ y ＝10， 60 80
3x＋3y＝30－3， 根据题意，得 30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，
x＝4， 解得 y＝5.
(2)若两人相遇之后相距 3 千米， 3x＋3y＝30＋3，
根据题意，得 30－（3＋2）x＝2[30－（3＋2）y]，
x＝513， 解得 y＝523. 综上，甲的平均速度为 4 千米/时，乙的平均速度为 5 千米/时，或甲的平均 速度为 5 13千米/时，乙的平均速度为 5 23千米/时．
解得 y＝5. 所以甲的平均速度为 4 千米/时，乙的平均速度为 5 千米/时． 上面的解答过程正确吗？如果不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．
解：不正确． 理由：错解在于对“经过 3 小时后相距 3 千米”理解不透，是指甲、乙两人相遇之前 相距 3 千米，还是他们相遇之后相距 3 千米，条件没有明确交代，造成解题错误． 正解：设甲的平均速度为 x 千米/时，乙的平均速度为 y 千米/时． (1)若两人相遇之前相距 3 千米，
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个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为．
3.有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为．
第二环节探究活动
1.独立思考·解决问题（小组讨论，展示）
完成课本引例仔细阅读P120
总结：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；
2.例两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到
一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
东升学校八年级上数碑上的数课型：新授主备陈剑文审核：八年级数学组
学习目标：
1．通过设置问题串，让学生学会分析复杂问题．
2、会用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题。
学习过程：
第一环节复习回顾（独立完成对子互批）
填空：
1.一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为．
设较大的两位为x，较小的两位数为y。
分析：
问题1：在较大数的右边写上较小的数，所写的数可表示为
问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为
解：
第三环节、轻松尝试（独立思考，展示）
1．已知一个两位数，十位数是个位数的二倍还多一，将十位数字与个位数字对调所得的新数比原数小27，求这个两位数。
2．甲、乙两人相距42km，如果两人从两地相向而行，2小时后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，14小时后乙追上甲，求二人的速度。
3、一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数．
4、甲、乙两人做加法运算.甲将一个加数后面多写了一个0,所得和是2342,乙将同一个加数后面少写了一个0,所得和是65.则原来的两个数分别是多少？
第四环节作业布置：全品
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