矩形的折叠问题 专题

E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
D
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
B
C
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
C
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
y
B C
O
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Ax
在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º，∴ BC= ½ AB ，
∴ BD = ½ AB ，即点D为AB的中点。
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1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落 在BC边上的F点处。
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数； （2）若AB＝6cm，
AD＝10cm， 求线段CE的 长及△AEF的 面积.
(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A¹， ΔA¹MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
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练习7 如图，把一张边长为a的正 A E
方形的纸进行折叠，使B点落在AD 上，问B点落在AD的什么位置时，
。
=½(x-a/2)2+3/8 a2 2020/3/30
.
∴当x=a∕2 时，Smin=(3∕8 )a2.
二、在“位置”方面的应用
由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置 发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。
1、线段与线段的位置关系
例6 将长方形ABCD的纸片， A
FH D
沿EF折成如图所示，延长C`E 交AD于H，连结GH。求证：
（1）求对角线OB所在直线的解析式；
y
C
O
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B Ax
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到 △OBN，ON与AB交于点M。
① 判断△OBM是什么三角形，并说明理由； ② 试求直线MN的解析式.
A
D
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2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， A
F
D
沿EF折成如图所示；已知
EFG=55º，则FGE= 70º。
B
G
E
C
D' C'
练习4 如图，矩形ABCD沿
B
BE折叠，使点C落在AD边上
的F点处，如果ABF=60º，
则CBE等于（ A ）。
(A)15º (B)30º
A
(C )45º (D)60º
B
G
E
C
E源自文库与GH互相垂直平分。
D'
证明：由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴
C'
。
又
，
∴四边形 是
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，∴FE与GH互相垂直平分。
2、点的位置的确定
↑y
例7 已知：如图，矩形AOBC， A
C
以O为坐标原点，OB、OA分别
在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)， O
∠OAB=60º，以AB为轴对折后， 使C点落在D点处，求D点坐标。
M
折起的面积最小，并求出这最小值。
B
解： 如图，设MN为折痕，折起部
分为梯形EGNM，B、E关于MN对
AE
称，所以BE⊥MN，且BO=EO，设
AE=x，则BE= 。
MO
由Rt△MOB∽
，得：
，F
∴BM=
=
=
.B
D G N
C D G N C
作NF⊥AB于F，则有Rt△MNF≌ ,∴FM=AE=x,从
而CN=BM-FM= = 。∴S梯形BCNM=
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几何研究的对象是：图形的形状、大小、 位置关系；
主要培养三方面的能力：思维分析能力、 空间想象能力和逻辑推理能力；
折叠型问题的特点是：折叠后的图形具 有轴对称图形的性质；
两方面的应用：一、在“大小”方面的 应用；二、在“位置”方面的应用。
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一、在“大小”方面的应
练习8 如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90º，沿着B点的一条直线BE折
C
E
叠这个三角形，使C点与AB边上的
一点D重合。当∠A满足什么条件时，
点D恰好是AB的中点？写出一个你 B
认为适当的条件，并利用此条件证
DA
明D为AB中点。
条件：∠A=30º
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，
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C E
FD
3、求图形的全等、相似和图形的周长
例4 如图，折叠矩形ABCD一边AD，A
使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4.
(1)求证：AFB∽FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
B
D E
FC
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练习5 如图，将矩形纸片ABCD
2
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, BC
练习1 如图，有一块直角三角形 纸片，两直角边AC=6，BC=8，
A
现将直角边AC沿直线AD折叠，
E
使它落在斜边AB上，且与AE重 合，则CD等于（ B ）
C
D
B
(A)2 (B)3 (C )4 (D)5
例2 如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F
处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是
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2、如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使
纸片折叠压平，设折痕为EF。 （1）连结CF，四边形AECF是 A 什么特殊的四边形？为什么？
G FD
（2）若AB＝4cm，AD＝8cm， B
C
E
你能求出线段BE及折痕EF的
长吗？
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3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。
C分别落在AB上的D¹、C¹处， E
折痕为EF。若CD=3，EF=4，
则AD¹+BC¹=
。2
A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形ABCD纸片
对折，设折痕为MN，再把B点叠 B E
C
在折痕线MN上，若AB=3，则
折痕AE的长为（C ）。
MG
B'
N
(A) 33/2
(B) 33/4
(C ) 2
(D) 23
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
A
B
2答020/3案/30 ：矩形的长为10，宽为8。
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.
(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。
用 折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求
线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关 系等问题。
1、求线段与线段的大小关系
例1 如图，AD是ABC的中线，
ADC=45º，把ADC沿AD对
折，点C落在点C'的位置，求
BC'与BC之间的数量关系。
B
C' A
D
C
解 由轴对称可知 ADC ≌ ADC' ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD BC´D为Rt BC’=2 BD= 2
。
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可 A 知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因 AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在 RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3 B
D
E FC
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练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、
D
B →x
D
↑y
解由题意知，OA=3，∠OAB=60º， A
C
∴OB=3tan60º=3√3 .
∵Rt△ACB≌Rt△ADB, ∴AD=AC=OB=3√3 .
O
B →x
过点D作Y轴垂线，垂足为E，
E
D
在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（3/2√3 ，- 3/2）。 2020/3/30