立体几何课本简介(1)

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.1.1 平面
知识点1 平面
1.平面的概念 几2何.平里面所的说画的法“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一3些.平①物面水体的平中表放抽示置象法的出平来面的通．常平画面成是一只个描平述行而四不边加形定，义它的的原锐始角 概薄念，知通②，无识常如不大点画果能小2 成一进. 点个行45、平度°直面量，线被。且、另几横平一何边面个里长之平的等间面平于的遮面其位挡是邻住置无边，关限长为系的延了的2展倍增符的强，号，它如表无的图示厚立①体. 知文识感字点语，3言把表平被达面遮的挡数基部学本符分号性用表质虚示（线三画文个出字公来语言理．表）如达图②数. 学符号表示
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
H E
D A
G F
C B
空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
图示
在同一个 相交直线 平面内
有且只有 一个
位置关系 共面情况
公共点 个数
图示
平行直线
在同一个平 无 面内
异面直线
不同在任何 一个平面内
无
a b
b

a
异面直线的定义
定义一：不同在 任何 一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
O
度的角称为它们的夹角, 用以刻画一条直线相对于另
外一条直线的倾斜程度, 如图.
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥ a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
b′
b
a
O a′
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如果两条异面直线

a
a ,
a // b

b
b
注意：
1.定理三个条件缺一不可.
2.简记:线面平行,则线线平行.
定理应用
(课本P59)例３：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A （1）要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线和面AC有什么关系？
小试身手
已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同 一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的中点, 求证:PQ∥平面CBE.
小试身手
已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同 一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的中点, 求证:PQ∥平面CBE.
构造平行四边形 能证明本题吗？
N M
已知：如图，P是平行四边形ABCD外一点,M、N分别为 AB,PC中点. 求证：MN//平面PAD
P
分析：找一条在平面
N
PAD内并且和MN平行
E
的线
D
C
A
M
B
证明：如图所示，取 PD 的中点 E，连接 AE，NE，∵N 是 PC 的中点，
∴N E ∥CD，N E＝12CD. 又∵在平行四边形 ABCD 中，M 是 AB 的中
例5 如图，已知平面 ， ， ，满足 //
且 a, b, 求证：a // b 。
证明 a, b,
a ,b .
//
所以a,b没有公共点

a,b
a
a//b
b
定理：两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行.
又 BEF中∠EBF =45 ， 所o 以BE与CG所成的角是45
o
(2)连接FH，
H
∵HD ∥=EA，EA F∥=B ∴HD FB∥=
E
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
O
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△
依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o
例2 P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、PD 两点M、N满足AM：MB=ND：NP。
求证：MN∥平面PBC。
P
N
D C
E
A
M
B
1.证明线线平行的常用方法
(1)平行公理: 平行于同一条直线的两直线平行 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行 (6)线面平行的性质定理 (7)面面平行的性质定理
2.证明线面平行的方法
(1)利用线面平行的判定定理(线线平行，则 线面平行) （2）先利用面面平行的判定定理证明面面 平行,再由面面平行的性质证明线面平行.
3.证明线面平行的方法
利用面面平行的判定定理(或推论)
直线和平面垂直
山东省嘉祥县第四中学
曾庆坤
直线和平面垂直
1.直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和 这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
1.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种 ①直线在平面内---有无数个公共点；
②直线与平面相交---有且只有一个公共点； ③直线与平面平行---没有公共点。 2.直线与平面的位置关系的表示
直线和平面相交或平行的情况统 称为直线在平面外。
位置 关系


//

a // ,b //
线面平行
面面平行
合作交流 运用新知
（课本57页例2）、已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
证明：
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴D1C1//A1B1，D1C1=A1B1,
AB//A1B1，AB=A1B1,
∴D1C1//AB，D1C1=AB,
简记:面面平行，则线线平行
符号语言：
//

a, a // b



b


a
b
面面平行的其它一些性质 1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行；
3、过平面外一点有且只有一个平面与这 个平面平行；
4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
实质：其中一个平面内任何一条直线都 平行于另一平面
?
不可能把其中一个平面内所有直线 都取出逐一证明其平行另一平面。
判定方法2：平面与平面平行的判定定理：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行 .
符号表示：
ba

P
①内 ②交 ③平行

a ,b
ab P

点，
∴AM∥CD 且 AM＝12CD. ∴N E ∥A M，N E＝A M.
∴四边形 AMNE 是平行四边形． ∴MN∥AE.
又∵AE⊂平面 PAD，MN⊄平面 PAD，
∴MN∥平面 PAD.
利用平行四边形对 边平行证线线平行.
利用平行线的传递 性证线线平行.
平面与平面平行的判定方法
判定方法1：定义法 如果两平面没有公共点，那么两平面平行
符号语言
a // a b // b ab A a b B
a b a b








//






aA b α
b
B
β
a
结论：直线和平面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行,则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
a// ,
公点理A在直线l上 内容A∈l
点图A在形直线l外 A∉符l 号
公点理3图A1.在平①如在平面的果一面的平一个α表内面条平示可直面法线内表A上，示∈的那为α么两平这点面α点，A平在平面面ABαC外D，且A平A∈A∉∈lα，αB，∈Bl∈，α
直面线Al在条内C 或平直面线平α在面此BD平.l面⊂α内
直线l在平面α 外
∴四边形D1C1BA为平行四边形,
∴ D1A//C1B,
又D1A 平面C1BD，
C1B 平面C1BD，

∴D1A//平面C1BD,
同理D1B1//平面C1BD,
又D1A D1B1=D1,
D1A 平面AB1D1 ,

D1B1 平面AB1D1,
∴平面AB1D1//平面C1BD.
平面与平面平行的判定定理的推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线， 那么这两个平面平行.
概念应理解为：“经过这两条直线无法作出一个平面” 或“不可能找到一个平面同时经过这两条直线
定义二：不相交也不平行的两条直线叫做异面直线
b
A
a
b
a


空间中的直线与直线的位置关系及各自 特点
相交直线: 同一平面内，有且
共面直线
只有一个公共点；
平行直线: 同一平面内，没有
公共点；
异面直线: 不同在任何一个平面内，没有公
EF // BC EF 平面AC
BC 平面AC
EF
/ /
平面ＡＣ
∴ＢＥ，ＣＦ显然都与平面ＡＣ相交．
规律总结
线线平行
线面平行的判定定理
线面平行
线面平行的性质定理
例4、 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个 平面,求证另一条也平行于这个平面.
已知a //, a // b, b ,求证 : b //.
D
所以FO与BD所成的夹角是30 o
A
G F
C B
H
E
N
G
F
M
找出异面直线HB与DG所成的角。
D
O
A
C B
求异面直线所成的角的步骤是:
（1）构造：作（或找）平行线，用平移法（常利用中位线、平行四边形）作 出异面直线所成的角(通过平移，转化为相交直线所成的角)；
（2）证明：证明所作的角为所求的异面直线所成的角； （3）计算：求角度（在一恰当的三角形中求出角） （4）结论：若求出的角为锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角； 若所求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角
a , b 所成的角为直
b 角，我们就称这两
a′ 条直O线互相垂直 ,
a记为a ⊥ b
例2 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
解：（１）如图，在平面 AC内，过点Ｐ作直线ＥＦ，使
ＥＦ// BC，并分别交棱AB，CD于点Ｅ，Ｆ．连
接 ＢＥ，ＣＦ．则ＥＦ，ＢＥ，ＣＦ就是应画的线．
（２）因为棱ＢＣ平行于平面 AC ，平面BC 与平面AC
交于BC ，所以，ＢＣ// BC．由（１）知，ＥＦ/B/ C ， 所以ＥＦ//ＢＣ，因此
中点，试判断BD与平面AEC的位置关系，并说明理
由．
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
D
A
E
C
B
又∵DE=ED’, ∴BD’//EO.
D
C
O
A
B
因此，
BD’ 平面 AEC
EO

平面
AEC


BD’//平面
AEC
BD’//EO

a在α 内
a与α 相交
a与α 平行
公共点
有无数个公共点 有且仅一个公共点 没有公共点
符号表示
a
a∩＝A
a∥
图形表示
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面内α，或者说 平面α经过直线l，记作l⊂α；否则，就说直线l不在平面内α，记作l⊄α
2.1.4平面与平面之间的位置关系
2.两个平面之间的位置关系的表示
共点
平行公理
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
———平行线的传递性
abcde
推广：在空间平行于一条已知直线的所 有直线都互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补。
A
A
0
B0
B
A1
01
B1
B1
A1 01
异面直线所成的角
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90
证明:过直线a作平面，使得 c.
b
a //

a
a




c

a
//
c



a // b
b // c
b c


b
//

c
注1：“已知直线a与平面平行，在内作一条直线c与直线a平行”，
这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的. （应以平面为媒介证明两直线平行）
⇒l⊂α
l⊄α
直线l，过m不相在交一条直线上的 公理2 于三点点A ，有且只l∩有m一＝个A平
面
平面α、β相交A，B，C三点不共线 于直线l ⇒存在唯α∩一β的＝αl 使A，B ，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点 的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β ＝l，且P∈l
2.2.1直线与平面平行的判定
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行．
a
b
a
b




a
//

a // b
注意：证明直线与平面平行，三个条件必须具 备，才能得到线面平行的结论．
直线与平面平行关系
直线间平行关系
随堂练习
如图，正方体 ABCD ABCD中 ，E为DD的