辅助圆-重要的辅助线

辅助圆——不太熟悉但很重要的辅助线

添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．

一、根据圆的定义作辅助圆

例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．

E

D C

B

A

解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A．因为AB＝AC＝AD，所以B、C、D

三点在⊙A上．

延长BA交⊙A于点E，连结DE．因为DC∥EB，所以弧ED＝弧BC，所以ED＝BC＝q．

在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD＝．

例2 如图，PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值．

E

C

D

B

A

P

解析：以点P为圆心、PＢ为半径的作⊙P．因为PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，所以点Ａ、B、C在⊙P上．此时⊙P的直径BE＝10，DE＝8，DB＝2，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB＝８×２＝16

二、作三角形的外接圆

例3 如图，D、E为△ABC边BC上的两点，且BD=CE，∠BAD=∠CAE，求证：AB=AC．

N

M O

E

D

C

B

A

解析：作△ADE 的外接圆，分别交AB 、AC 于点M 、N ，连结MD 、NE ． 因为∠BAD ＝∠CAE ，所以∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE+∠DAE ，即∠NAD ＝∠MAE ．因为∠BDM ＝∠MAE ，∠CEN ＝∠NAD ，所以∠BDM ＝∠CEN ．

又BD ＝CE ，DM ＝EN ，所以△BDM ≌△CEN ，所以∠B ＝∠C ，即AB ＝AC ．

例 4 如图，△ABC 中，BF 、CE 交于点D ，BD ＝CD ，∠BDE ＝∠A ，求证：BE ＝CF ．

解析：作△ABC 的外接⊙O ，延长CE 交⊙O 于G ，连接BG ．

因为∠G ＝∠A ，∠BDE ＝∠A ，所以∠G ＝∠BDE ，所以BG=BD ．又BD ＝CD ，所以BG ＝CD.

又因为∠G ＝∠CDF ，∠GBE ＝∠DCF ，所以△GBE ≌△DCF ． 所以BE ＝CF ．

例 5 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：BC ＝BD ＋AD ．

O

E

D

C

A

解析：作△ABD 的外接圆交BC 于E ，连结DE ．

因为BD 是∠ABC 的平分线，所以弧AD ＝弧DE ，所以AD ＝DE ．

在△BDE 中，∠DBE ＝20°，∠BED ＝180°―100°＝80°，所以∠BDE ＝80°， 所以BE ＝BD ．

在△DEC 中，∠EDC ＝80°―40°＝40°，所以EC ＝DE ． 所以BC ＝BE ＋EC ＝BD ＋AD ．

三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆

例6 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D 是边BC 上的一点，且A Ｄ＝１，求BD·DC 的值．

解析：以点A 为圆心、AB 为半径作⊙A ，交直线AD 于点E 、F ，则点C 在⊙A 上，DE ＝13-，DF ＝13+．

由相交弦定理，得BD·DC ＝DE·DF ＝)13)(13(+-＝2．

例7 如图，在△ABC 中，∠DAB ＝∠C ，∠B 的平分线BN 交AD 于M ．求证：（1）AM ＝AN ；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN ．

解析：（1）略；（2）由（1），得AM ＝AN ．以点A 为圆心、AM 为半径作⊙A ，交AB 于E ，交BA 的延长线于F ，则N 在⊙A 上，且AE ＝AF ＝AN ．

由割线定理，得 BM·BN ＝BE·BF ＝(AB －AE)(AB ＋AF)＝(AB―AN)(AB ＋AN)＝AB 2－AN 2， 即AB 2－AN 2＝BM·BN ．

四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆

例8 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，设AB ＝a ，DC ＝b ，AD ＝c ，当a 、b 、c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ？

解析：以AD 为直径作⊙O ，根据直径所对的圆周角是直角，当⊙O 与直线BC 有公共点（相切或相交）时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ．因为⊙O 的半径r ＝

22c AD =，圆心O 到直线BC 的距离d ＝2

2b

a DC AB +=

+．所以，当d≤r ，即a ＋b≤c 时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ．

例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，给定y 轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。

解析：经过A 、B 、C 三点作⊙M ，设⊙M 的半径为R ，由正弦定理，得

R

R AB ACB 26

2sin =

=

∠． 由此可见，当R 取得最小值时，∠ACB 取得最大值．而当点⊙M 与x 轴的相切于点C 时，R 取得最小值．

根据切割线定理，得OC 2＝OB·OA ，所以OC ＝4． 故当点C 的坐标为 (4，0)时，∠ACB 取得最大值．

例10 已知Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，∠ACB ＝90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC 上的动点，且∠CPQ ＝90°，求线段CQ 的取值范围．