3.3几个三角恒等式同步练习及答案解析

3.3 几个三角恒等式（数学苏教版必修4）

建议用时 实际用时

满分 实际得分

45分钟

100分

一、填空题（每小题6分，共30分）

1. 等腰三角形顶角的余弦值为错误！未找到引用源。，那么这个三角形一底角的余弦值为________．

2．已知α为锐角，sin α＝3

5，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－4

5.则sin(α＋β)的值为 .

3.已知sin θ=

35，θ为锐角，则sin 2

θ

= . 4．函数f （x ）=sin x （1+tan xtan 2

x

）的最

小正周期是 ．

5．

sin 22cos x

x

（1+tan x ·tan 2x ）= ．

二、解答题(共70分) 6．（15分）已知tan

2

62

=

+β

α，tan αtan β=

7

13

，求cos （α－β）的值．

7.（20分）已知f （x ）=－21+

2

sin 225sin x

x ，x ∈（0，π）．

（1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；

（2）求f （x ）的最小值．

8．(20分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：

A +C =2

B ，

B

C A cos 2cos 1cos 1-

=+，求cos 2C

A -的值．

9.（15分）已知sin α

+sin

β

=2，

cos α+cos β=3

2

，求tan （α+β）的值．

3.3 几个三角恒等式同步测试试卷（数学苏教版必修4）

答题纸

得分：

一、填空题

1． 2． 3． 4． 5．

二、解答题

6.

7.

8.

9.

3.3 几个三角恒等式 答案

一、填空题 1.

66 解析：设底角为α，顶角为β,则α＝π2－2

β，cos β＝2

3, ∴cos α＝cos(π

2－2β)＝s in 2

β＝

1cos 2

β-＝6

6. 2. 0 解析：∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝4

5

.

∵cos(π＋β)＝－45，∴cos β＝4

5

.

又β为第四象限角，∴sin β＝－3

5

，

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝35×45＋45×(－3

5)＝0. 3.

1010

解析：∵ θ为锐角且sin θ=3

5， ∴ sin

2

θ＞0且cos θ=45， ∴ sin

2θ=1cos 2

θ-=110=1010. 4. 2π 解析：f （x ）=sin x ·（1+

2

2

2tan 21tan 2

x

x

-） =sin x ·

221tan 21tan 2x x +-=sin x ·2222sin cos 22cos sin 22x x x x +-=sin

2cos

2

x

x =tan x . ∵ 目标函数f （x ）的定义域为x ≠k π+π2且2x ≠k π+π2,k ∈Z ，即x ≠k π+π

2

且x ≠2k π+π,k ∈Z .

显然有f （0）=0，而f （π）无意义，∴ T =2π.

5. tan x 解析：原式=

2sin cos sin 1cos (1)2cos cos sin x x x x x x x

-+∙

=1cos sin (1)cos x x x

-+ =sin cos x

x =tan x .

二、解答题

6.解： ∵tan αtan β=

7

13

)cos()cos()cos()cos(cos cos sin sin =++-+--=βαβαβαβαβαβα，

∴cos（α－β）=－

3

10

cos （α+β）．

又tan 26=2+βα，∴cos（α+β）=

51)2

6(1)

26(

1tan 1tan 12222

-=+-=2++2+-βαβ

α， 从而cos （α－β）=－310×（－51）=3

2

．

7．解：（1）f （x ）=

2cos 23cos 22

sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sin

x x x x

x x x x ==-=cos 2x+cos x=2cos 2x+cos x －1．

（2）∵f （x ）=2（cos x+41）2－8

9

，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x=－

41时，f （x ）取得最小值－8

9

． 8. 解：由题设条件知B =60°，A+C =120°，

∴

B

cos 2-

－︒60cos 2

=－22， ∴

C

A cos 1

cos 1+

=－22． 将上式化简为cosA+cosC=－22cosAcosC ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos

2C A +cos 2

C

A -=－2［cos （A+C ）+cos （A －C ）］， 将cos 2C A +=cos60°=21，cos （A+C ）=cos120°=－2

1代入上式得cos 2C

A -=22－2cos （A －C ），

将cos （A －C ）=2cos 22C A -－1代入上式并整理得42cos 22C A -+2cos 2

C A -－32=0，

即［2cos

2C A -－2］［22cos 2C

A -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2

C

A -－2=0． ∴cos

2

C A -=22． 9. 解：

3

22cos cos sin sin =

++β

αβ

α，由和差化积公式得

2-2+2-2+βαβαβ

αβ

αcos cos 2cos

sin

2=3， ∴tan

2

+βα=3，从而tan （αβ+）=

433132tan tan

222

-=-⨯=2+-12+βαβ

α．