数字逻辑基础卡诺图化简
知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法案例分析
逻辑函数的卡诺图化简法案例分析1.卡诺图化简逻辑函数的原理(1)2相邻项结合（用一个包围圈表示），可消去1个变量。
如图6.39所示。
(2)4相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去2个变量，如图6.40所示。
(3)8相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去3个变量，如图6.41所示。
图6.39 2个相邻的最小项合并 图6.40 4个相邻的最小项合并图6.41 8个相邻的最小项合并总之，2n 个相邻的最小项结合，可以消去n 个取值不同的变量而合并为l 项。
2．用卡诺图合并最小项的原则用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找相邻的最小项，即画圈。
为了保证将逻辑函数化到最简，画圈时必须遵循以下原则：(1)圈要尽可能大，这样消去的变量就多。
但每个圈内只能含有2n （n=0,1,2,3……）个相邻项。
要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
(2)圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。
ABCDABC D111111111111111ABDABCABDBCDBC CDBD （四角）D ABC111111111111BC(3)卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
(4)取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
3.用卡诺图化简逻辑函数的步骤 (1)画出逻辑函数的卡诺图。
(2)合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。
(3)写出化简后的表达式。
每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l 的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。
然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
例3:用卡诺图化简逻辑函数：D C B A D C B A D B A AD F +++= 解：(1)由表达式画出卡诺图如图6.43所示。
(2)画包围圈合并最小项，得简化的与—或表达式:D B AD F +=图6.42 例3卡诺图 图6.43例4卡诺图注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉；图中的包围圈D B 是利用了四角相邻性。
数字逻辑基础卡诺图化简-精共55页
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
卡诺图化简法一全文
m0
0
m1如何根据输入1变量组 m2合写出相应最2小项？
m3
3
m4
4
m5
5
m6
6
m7
7
例如 ABC 101 5 m5
m4 4 100 ABC
2. 最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而
其余各种变量取值均使其值为0。 (2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 (4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标 准与或式，又称最小项表达式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式， 而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。
[例] 将逻辑式 Y ABC AB C D 化为标准与或式。
解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
Y ABC AB C D ABC AB (C D) ABC ABC ABD 普通与或式，非标准与或式
CD
AB
C D CD CD C D
同一行最 左与最右 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
方格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D 卡诺图特点： 循环相邻性 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
同一列最 上与最下 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D
(2) 找出真值表中Y=1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填1，其余不填。
BC A 00 01 11 10
0 10 1 3 12
1 14 5 7 16
已 [例] 已知 Y AD AB(C BD)，试画出Y的卡诺图。 知 解：(1) 将逻辑式转化为与或式
卡诺图化简法
26
(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
16
(4) 合并的规律 ① 圈2格，可消去1个变量；
BC A 00 01 11 10
0 1 1 00 1 0 0 00
BC
A
00 01 11 10
0 1 0 01
1 0 0 00
F=AB
F=AC
17
② 圈4格，可消去2个变量；
ห้องสมุดไป่ตู้
BC
A
00 01 11 10
0 1 1 00
1 1 1 00
BC A 00 01 11 10
例2.6.16 化简函数
F( A, B,C, D) m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
为最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
图 2.6.15
F(A,B,C,D) = A B D + BD+AB+BC
BC A 00 01 11 10 ⊕0 0 1 1 0
1 0 0 00
BC A 00 01 11 10 ﹦ 0 0 0 10
1 0 1 00
11
(4) 反演 BC
A 00 01 11 10
0 0 1 00 1 0 1 00
6.逻辑函数的卡诺图化简法(数字系)
B
0
1
0 1
1 0 1 1
1
1
1 1
1
0
0
1
输出变量Y的值
例2：三输入变量
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Y1 B C Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1
Y ABC ABC ABC
BC 00 A 0 0 1 01 11 10
10
0 1
ABC ABC BC
1 1
ABC
0
该方框中逻辑函数的取值与变量A无关，当 B=1、C=1时取“1”。
化简过程： BC 00 A 0 0 BC 01
0 0
11
1 1
10
0 1
1
0
AB
F=AB+BC
卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的 化简；化简过程比公式法简单直观。
利用卡诺图化简的规则
例2：化简
CD 00 AB 00 1
01
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
FA
1 1 1
FD
11 10
FB
F A B D
例2：解二
CD 00 AB 00 1
01 11 10
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
ABD
1 1 1
F ABD A+B+D
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Z1 B C 编号 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 1 1 1 3 0 0 0 4 1 0 1 0 5 1 0 1 6 7 1 1 1
卡诺图化简
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
(完整版)逻辑函数的卡诺图化简法
第十章 数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。
如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ）Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B AC B A C AB ABC ）结论： n 变量共有2n 个最小项。
三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。
3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ))((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++=D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++=D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑ 列真值表写最小项表达式。
数字电子电路卡诺图法化简
A
F
0.3V
+VCC
3.6V
0.3V
A
F
0
1
1
0
表2-4 三极管非门的真值表
A与F相反
可见实现了非逻辑Y=A
二极管门电路
逻辑关系
逻辑表达式
电路组成
逻辑功能简述
逻辑符号
与
Y=A·B
全1出1 见0出0
或
Y=A+B
全0出0 见1出1
非
见0出1 见1出0
集电极开路 集电极开路门（OC门）
TTL门电路的使用知识
与其它输入端并联使用。 将不用的输入端按照电路功能要求接电源或接地。 比如将与门、与非门的多余输入端接电源，将或门、或非门 的多余输入端接地。 多余或暂时不用的输入端可以悬空，相当于高电平，如果不悬空可按以下方法处理：
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项目知识目标测试
（1）逻辑变量的取值，１比０大。 （ ） （2）在时间上和数值上均作连续变化的电信号称为模拟信号；在时间上和数值上离散的信号叫做数字信号。 （ ） （3）在数字电路中，最基本的逻辑关系是与、或、非。（ ） （4）具有“相异出1，相同出0”功能的逻辑门是与门。（ ） （5）一般TTL集成电路和CMOS集成电路相比，TTL集成门电路的输入端通常不可以悬空。 （ ） （6）TTL与非门多余输入端的处理方法是接地。（ ） （7）普通的逻辑门电路的输出端不可以并联在一起，否则可能会损坏器件。 （ ） （8）CMOS或非门与TTL或非门的逻辑功能完全相同。（ ）
从圈1写最简与或表达式的方法：
将每个圈用一个与项表示
看圈内变量的取值的变化，如变化就消去，如不变就保留。留同去异
取值为1用原变量，
卡诺图化简逻辑表达式
卡诺图对于大规模逻辑电路的优化效果有限
随着逻辑电路规模的增大，卡诺图的化简过程变得复杂且耗时，难以在实际工程 中应用。
对于大规模逻辑电路，可能需要采用其他优化方法，如布尔代数、门级优化等， 以获得更好的优化效果。
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卡诺图化简逻辑表达式
• 卡诺图简介 • 卡诺图化简逻辑表达式的方法 • 卡诺图化简逻辑表达式的实例 • 卡诺图与其他化简方法的比较 • 卡诺图的局限性
01
卡诺图简介
卡诺图的定义
• 定义：卡诺图是一种用于表示二进制逻辑函数关系的图形表示 法，通过将逻辑函数输入变量的所有可能取值组合在网格中表 示出来，可以直观地观察到函数的最简形式。
卡诺图与布尔代数化简的比较
布尔代数化简
通过使用逻辑运算（与、或、非）的代数性质，如吸收律、分配律等，对逻辑表达式进 行简化。这种方法需要一定的数学基础，但在处理复杂逻辑表达式时可能较为繁琐。
卡诺图化简
利用图形直观地表示输入变量的所有可能组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图化 简简单易懂，不需要复杂的数学运算，特别适合初学者和解决多变量逻辑表达式的化简
问题。
卡诺图与公式化简的比较
公式化简
通过逻辑运算的公式和定理，对逻辑表达式 进行简化。这种方法需要熟练掌握各种逻辑 公式和定理，对于初学者有一定的难度。
卡诺图化简
利用图形化的方式表示输入变量的所有可能 组合，通过排除法简化逻辑表达式。卡诺图 化简直观、易于操作，不需要复杂的公式和 定理，特别适合初学者和解决多变量逻辑表 达式的化简问题。
05
卡诺图的局限性
卡诺图适用范围有限
逻辑函数的卡诺图化简法(可编辑修改word版)
第十章数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1.图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图。
优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。
缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。
公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。
2.最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。
注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项 1 次。
如：Y=F（A，B）（2 个变量共有4 个最小项AB AB AB AB ）Y=F（A，B，C）（3 个变量共有 8 个最小项ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ）结论： n 变量共有 2n个最小项。
三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为 1。
（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi表示。
3.最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。
而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例 1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA解：Y=AB( C +C)+BC( A +A)+CA( B +B)= ABC +ABC +ABC +ABC +ABC +ABC= ABC +ABC +ABC +ABC= m7 +m6+m5+m3例 2.写出下列函数的标准与或式：Y =AB +AD +BC解：Y =（A +B)( A +D)(B +C)= ( A +BD)(B +C)=AB +AB +AC +BCD=ABC +ABC +ABC +ABCD +ABCD=ABCD + _ ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD +ABCD=m7 +m6+m5+m4+m1+m+m8＝∑m(0,1,4,5,6,7,8）列真值表写最小项表达式。
数字逻辑电路- 逻辑函数的卡诺图
第二章 逻辑函数及逻辑门2-1 基本逻辑函数及运算规律 2-2 逻辑函数的真值表 2-3 逻辑函数的卡诺图卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。
2-3-l 卡诺图的构成卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。
小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。
小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。
和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。
二变量 卡诺图三变量 卡诺图四变量卡诺图例2-13 试画出函数Y＝f (A，B，C，D)的卡诺图。
Y＝∑m(0，1，2，8，11，13，14，15)+∑d(7，10)解按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0，如图2-3所示。
由函数表达式填卡诺图例2-14试画出的卡诺图。
解：本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式：Y=∑m(2，5，8，10，12，14，15)同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。
若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。
如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。
例2-15 试画出函数Y的卡诺图。
Y＝ПM(1，2，7)ΠD(3，6)解作三变量的卡诺图，如图2-5所示五变量卡诺图Y＝AD+ABC+BCD+ABCD2-3-2用卡诺图化简函数 一、卡诺图化简原理 (1) 圈1法(最小项之和) ● 规则 ● 表达式例2-17 试用卡诺图化简函数Y ＝f (A ，B ，C)＝∑m (0，2，4，7)。
逻辑函数化简--卡诺图化简
庆元职业高级中学
计划课时：8课时
电子电工组：叶行铨
EXIT
逻辑代数基础
逻辑代数基础
概 述 逻辑函数及其表示方法 逻辑代数的基本定律和规则 逻辑函数的代数化简法 逻辑函数的卡诺图化简法 本章小结
EXIT
逻辑代数基础
逻辑代数的基本定律和规则
主要要求：
掌握逻辑代数的基本公式和基本定律。 了解逻辑代数的重要规则。
利用基本公式和基本定律
EXIT
逻辑代数基础
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
EXIT
逻辑代数基础
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A 推广公式：
摩根定律(又称反演律) 推广公式： A+B A B A· B A B A+B A · B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 A 0 0 思考：(1) 若已知 A + B = 1 + C，则 B = C 吗？ 1 0 1 1 1 0 0 0 (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？ 1 1 0 0 1 1 0 0
A BC
5
将输入 变量取值为 1 的代以原变 量，取值为 0 的代以反变 量，则得相 应最小项。
1 1 1 1 例如
A BC
0 1
AB C
ABC
m6 m7 5
6 7
101
m5 EXIT
m4
4 100
ABC
逻辑代数基础
2.
最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为 0。 (2) 不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。 (4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 2 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 A B C F mi 三 A B C A B C A B C A BC A B C A B C AB C ABC i0 0 0 0 0 1 变 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 量 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 最 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 小 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 项 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 表 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 EXIT
数字电子技术- 逻辑函数的化简(卡诺图化简)
CD AB 00 01 11 10
00 0
2
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8
10
C
B
D
总结： 2n 个相邻最小项合并可以消去 n 个取值不同因子。
2. 用卡诺图化简逻辑函数的基本步骤
（1）首先将逻辑函数变换为最小项之和表达式。 （2）画出逻辑函数的卡诺图。 （3）将卡诺图中按照矩形排列的相邻1画圈为若干个相邻组。 （4）合并最小项。 （5）将合并后的乘积项加起来就是最简与或表达式。
② 约束项： 不会出现的变量取值所对应的最小项。 ③ 约束条件： 由约束项相加所构成的值为 0 的逻辑表达式。
例如，上例中 ABC 的不可能取值为 000 011 101 110 111
约束项： ABC ABC ABC ABC ABC
约束条件：A B C ABC ABC ABC ABC 0
01 1
11
11
10 1
11
Y A B AC A C D B D
[例4] 用卡诺图法求反函数的最简与或表达式
Y AB BC AC
[解] ① 画函数的卡诺图
② 合并函数值为 0 的最小项
③ 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式
BC A 00 01 11 10
00 010
10 111
Y AB BC AC
（3）化简举例 [例] 化简逻辑函数
F(A,B,C,D )
m( 1 , 7 , 8 ) d( 3 , 5 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 )
[解] 化简步骤:
① 画函数的卡诺图，顺序 为：先填 1 ╳ 0
② 合并最小项，画圈时 ╳ 既可以当 1 ，又可以当 0
卡诺图代数法化简方法
逻辑函数的代数法化简 代数法化简的优缺点 最小项及最小项表达式 卡诺图、 卡诺图、逻辑函数的填图
逻辑函数的卡诺图化简法
★★★画卡诺圈的规则★★★ ★★★画卡诺圈的规则 画卡诺圈的规则★★★ 所有为1的小方块必须圈起来，一个圈为一 所有为1的小方块必须圈起来， 个与项； 个与项； 2n个相邻的小方块圈在一起，可以消去n个 个相邻的小方块圈在一起，可以消去n 变量； 变量； 圈要尽可能大； 圈要尽可能大； 圈的个数要尽可能少。 圈的个数要尽可能少。
已知真值表如图，用卡诺图化简。 例 已知真值表如图，用卡诺图化简。
A 0 0 0 0 1 1 1 B 0 0 1 1 0 1 1 C 0 1 0 1 0 0 1 F 0 0 0 0 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。 状态未给出，即是无所谓状态。 状态未给出
化简时可以将无所谓状态当作1或 ， 化简时可以将无所谓状态当作 或0， 目的是得到最简结果。 目的是得到最简结果。 BC 00 01 11 10 A 0 0 0 0 0 F=A A 1 1 φ 1 1 认为是1 认为是 冗余项在8421BCD码及其它场合的应用举例 码及其它场合的应用举例 冗余项在
CD 00 01 11 10 AB 00 0 0 0 0 01 0 11 1 10 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
不能圈 在一起！ 在一起！
BC BC 00 A 0 0 1 0 01 0 0 11 1 1 10 0 1 AB
F=AB+BC
CD 00 01 11 10 AB 00 1 1 1 1 01 1 11 1 10 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 一般逻辑函数表达式的 填图及化简举例
卡诺图化简法使用的局限性
数电逻辑表达式化简
数电逻辑表达式化简
数电逻辑表达式的化简是指将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
化简的目的是减少逻辑门的数量，简化电路结构，提高电路的可靠性和性能。
常用的逻辑表达式化简方法有两种：代数化简和卡诺图化简。
1. 代数化简：
- 使用布尔代数定律和布尔运算规则进行化简。
常用的代数
化简定律有：吸收定律、分配定律、德摩根定律等。
- 通过代数化简，将逻辑表达式中存在的冗余项、重复项、
冗长项等进行合并、简化，以达到减少逻辑门数量的目的。
2. 卡诺图化简：
- 将逻辑函数的真值表按照输入的组合方式进行分组，并绘
制成卡诺图。
- 通过对卡诺图的分析，找出逻辑函数中的主要项和次要项，去除冗余项，并将其化简为最简的逻辑表达式。
- 卡诺图化简方法适用于逻辑函数较复杂的情况，可以有效
地降低逻辑门的数量。
需要注意的是，在进行逻辑表达式化简时，要关注逻辑函数的功能需求，并根据具体的电路设计要求选择适合的化简方法。
第1章 卡诺图化简4
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
最大项的定义及其性质
1. 最小项的意义
n个变量X1, X2, …, Xn的最小项是n个因子的或，每个变量 都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出 现一次。一般n个变量的最小项应有2n个。 例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（23＝）8个，
CD
AB
00
01 m1 m5
11 m3 m7 m 15 m 11
10 m2 m6 m 14 m 10
ABC D ABCD ABD ABC D ABCD ABD
00 01 11 10
m0 m4
ABD ABD AD
m 12 m 13 m8 m9
ABD ABD AD AD AD D
1 1 1 1 0 1
1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1
1 1
0 1
1 0
0 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
对于任意一个最大项，只有一组变量取值使得它的值为0； 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的和为1； 对于变量的任一组取值，全体最小项之与为0。
2） 化简的步骤
用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下： (1) 将逻辑函数写成最小项表达式 (2) 按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项， 其对应方格填1，其余方格填0。 (3) 合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)， 每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积
《卡诺图化简法》课件
卡诺图化简法PPT课件
什么是卡诺图
卡诺图是一种图形化的逻辑设计工具，用于化简布尔代数式。
卡诺图的优点
手工化简
对于简单的布尔代数式，可直接手工化简， 不需要编写多个公式进行求解。
优化条件
更容易识别同性质项、相邻项等优化条件。
卡诺图的步骤
1. 将布尔代数式转ຫໍສະໝຸດ 为真值表。 2. 将真值表转化为卡诺图。 3. 识别出卡诺图中的重要信息（如最小项、不可合并项等）。 4. 通过卡诺图中的重要信息进行化简。
卡诺图的示例
示例1
通过一个示例来解释卡诺图化简法的具体步骤。
卡诺图的应用
电路优化
卡诺图化简法可以用于数字电路的优化，提高电路的性能。
计算机科学
在计算机科学中，卡诺图也有广泛的应用，如寄存器传输级别（RTL）设计。
总结
卡诺图化简法是一种有效的逻辑设计工具，可以大大优化数字电路的性能。 通过本课程的学习，您将会掌握卡诺图的基本操作，并能够应用到实际设计 中。
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0
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0
1 2020/8/14 1 1
1
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练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
1
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（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填
入1，其余的小方块中填入0。
例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
① 无关项的概念
对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可 以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的 取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这 些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项， 在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用 ∑d（ ）表示。
例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码1010～ 1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
复习：
真值表--逻辑表达式（化简）--逻辑电路图
例：三变量表决逻辑 Y=？ 逻辑图？
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ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
1
1
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
2.4.1 最小项及最小项表达式 2.4.2 用卡诺图表示逻辑函数 2.4.3 卡诺图化简法 2.4.4 含有无关项的逻辑函数的化简
40
图1-20 例11的卡诺图
利用无关项化简结果为：Y＝A＋BD＋BC
充分利用无关项化简后得到的结果要简单得 多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值 为1，而圈外无关项自动取值为0。
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例10： Y(A, B, C, D)= ∑m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11) 解 （1） 画出函数的卡诺图, 如图1-19 （2） 按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈， 如图 1-19所示。 （3） 写出化简后的逻辑表达式。
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CD
AB
00 01 11 10
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② 具有无关项的逻辑函数及其化简
因为无关项的值可以根据需要取0或取1，所以在 用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使 逻辑函数进一步得到简化。
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例11：设ABCD是十进制数X的二进制编码，当
X≥5时输出Y为1，求Y的最简与或表达式。
X ABCD Y
8，9，12，13，14）
3. 化简：F ( A, B,C, D) AB AC BC CD 4. 化简：F ( A, B,C, D) AC A B BC AC D
5. 化简：Y ABC ABD ACD C D ABC ACD
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2.4.4 具有无关项的逻辑函数及其化简
0
0000
0
1
0001
0
2
0010
0
3
0011
0
4
0100
0
5
0101
1
6
0110
1
7
0111
1
8
1000
1
9
1001
1
/
1010 ×
/
1011 ×
/
1100 ×
/
1101 ×
/
1 1 1
×
解：列真值表，见表1-20所示。 画卡诺图并化简。
表1-20 例11的真值表
解：化简步骤如下：
① 函数的卡诺图如图1-18所示， “0”
可以不填。 ② 画卡诺圈： 如图1-18
所示
CD AB 00 01 11 10
00 1
1
01
1
11
1
10 1 1 1 1
图 1-18 例9 卡诺图化简过程
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③ 按消去不同、 保留相同的方法写出逻辑表达式。
Y BD ABCD ACD AB
表1-18 三变量最小项的编号表
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（3）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的
形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1: 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：Y AB BC AB(C C) (A A)BC
1
2
多余
的圈
4
3
Y ACD ABC ACD ABC
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1
2
3
4
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圈组技巧(防止多圈组的方法)：
① 先圈孤立的1； ② 再圈只有一种圈法的1； ③ 最后圈大圈； ④ 检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈 过。
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例9：化简函数
Y ( A, B,C, D) BD ABD ABCD ABCD ABCD
关键是能否正确圈组 。
B．正确圈组的原则
① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相
邻最小项；
② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，
但可以圈多次；
③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能
大（消去的变量就越多）。
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C．从圈组写最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示 圈内各最小项中互补的因子消去， 相同的因子保留， 相同因子取值为1用原变量， 相同因子取值为0用反变量；
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2.4.2 用卡诺图表示逻辑函数
（1）卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的 方框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不 同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
ABC ABC ABC 或：Y ( A, B,C ) m3 m6 m7
m(3,6,7)
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例2: 写出三变量函数的最小项表达式。
解 利用摩根定律将函数变换为与或表达 式，然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B,C) AB AB C AB
AB ABC AB
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22
BCD
m3
m11
图1-15 两个最小项合并
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图1-16 四个最小项合并
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2020/8/14
图1-17 八个最小项合并
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（2）利用卡诺图化简逻辑函数
A．基本步骤：
① 画出逻辑函数的卡诺图；
② 合并相邻最小项（圈组）；
③ 从圈组写出最简与或表达式。
ABC D ABCD ABC D ABCD
m(12,13,14,15)
Y2 ACD A(B B)CD
Y3 ABCD m7
ABCD ABCD
2020/8/1m4 (9,13)
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熟悉后也可以直接由表达式填卡诺图。 Y AB ACD ABCD
AB＝11
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种方法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论
一下2020最/8/14小项及最小项表达式。
3
2.4.1 最小项及最小项表达式
（1）最小项
设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项：
①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子；
②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
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图1-14 例4的卡诺图 16
（3）从与－或表达式画卡诺图
把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积 项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都 填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例5：已知 Y AB ACD ABCD ，画卡诺图。
Y1 AB AB(C C)(D D)
表1-17 三变量最小项真值表
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（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
1 1 1 +1 1 1
1
ABCD=0111
ACD=101
最后将剩 下的填0
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（4）从一般形式表达式画卡诺图
先将表达式变换为与或表达式，再画出卡 诺图。
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