数字逻辑基础卡诺图化简

1
2
多余
的圈
4
3
Y ACD ABC ACD ABC
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1
2
3
4
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圈组技巧(防止多圈组的方法)：
① 先圈孤立的1； ② 再圈只有一种圈法的1； ③ 最后圈大圈； ④ 检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈 过。
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例9：化简函数
Y ( A, B,C, D) BD ABD ABCD ABCD ABCD
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图1-14 例4的卡诺图 16
（3）从与－或表达式画卡诺图
把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积 项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都 填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例5：已知 Y AB ACD ABCD ，画卡诺图。
Y1 AB AB(C C)(D D)
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
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不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
解：化简步骤如下：
① 函数的卡诺图如图1-18所示， “0”
可以不填。 ② 画卡诺圈： 如图1-18
所示
CD AB 00 01 11 10
00 1
1
01
1
11
1
10 1 1 1 1
图 1-18 例9 卡诺图化简过程
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③ 按消去不同、 保留相同的方法写出逻辑表达式。
Y BD ABCD ACD AB
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2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。
它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺
点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑
函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一
表1-18 三变量最小项的编号表
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（3）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的
形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例1: 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：Y AB BC AB(C C) (A A)BC
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BCD
m3
m11
图1-15 两个最小项合并
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图1-16 四个最小项合并
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图1-17 八个最小项合并
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（2）利用卡诺图化简逻辑函数
A．基本步骤：
① 画出逻辑函数的卡诺图；
② 合并相邻最小项（圈组）；
③ 从圈组写出最简与或表达式。
0
0000
0
1
0001
0
2
0010
0
3
0011
0
4
0100
0
5
0101
1
6
0110
1
7
0111
1
8
1000
1
9
1001
1
/
1010 ×
/
1011 ×
/
1100 ×
/
1101 ×
/
1110 ×
/ 2020/8/141 1 1 1
×
解：列真值表，见表1-20所示。 画卡诺图并化简。
表1-20 例11的真值表
40
图1-20 例11的卡诺图
利用无关项化简结果为：Y＝A＋BD＋BC
充分利用无关项化简后得到的结果要简单得 多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值 为1，而圈外无关项自动取值为0。
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② 将各与项相或，便得到最简与或表达式。
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例7：用卡诺图化简逻辑函数 Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
解：
A
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相邻
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A
BC
相邻
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A
BC BD
Y A BC B D
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例8： 化简图示逻辑函数。 解：
例10： Y(A, B, C, D)= ∑m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11) 解 （1） 画出函数的卡诺图, 如图1-19 （2） 按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈， 如图 1-19所示。 （3） 写出化简后的逻辑表达式。
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CD
AB
00 01 11 10
( AB AB)C AB(C C)
ABC ABC ABC ABC
ABC ABC ABC
m(2,3,4)
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练习： 1： 将逻辑函数展开为最小项表达式
Y ABCD ACD AC
2： 若最小项表达式为Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7), 写出其对应的最小项与或表达式
关键是能否正确圈组 。
B．正确圈组的原则
① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相
邻最小项；
② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，
但可以圈多次；
③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能
大（消去的变量就越多）。
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C．从圈组写最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示 圈内各最小项中互补的因子消去， 相同的因子保留， 相同因子取值为1用原变量， 相同因子取值为0用反变量；
8，9，12，13，14）
3. 化简：F ( A, B,C, D) AB AC BC CD 4. 化简：F ( A, B,C, D) AC A B BC AC D
5. 化简：Y ABC ABD ACD C D ABC ACD
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2.4.4 具有无关项的逻辑函数及其化简
ABC ABC ABC 或：Y ( A, B,C ) m3 m6 m7
m(3,6,7)
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例2: 写出三变量函数的最小项表达式。
解 利用摩根定律将函数变换为与或表达 式，然后展开成最小项之和形式。
Y ( A, B,C) AB AB C AB
AB ABC AB
101
0
110
0
1 2020/8/14 1 1
1
14
练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
1
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（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填
入1，其余的小方块中填入0。
例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
几何相邻的含义：
一是相邻——紧挨的；
在二五是变相量对和—六—变任量一的行卡或诺一图列中的，两用头相；重来判断 某些最三小是项相的重几—何—相对邻折性起，来其后优位点置是相十重分。突出的。
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（2）卡诺图的画法
首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画 法。
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
0
11 1
1
11
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2.4.3 卡诺图化简法
由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量 取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻 最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去 一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。
（1）卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。 合并2N个最小项，可消去N个变量。
1 1 1 +1 1 1
1
ABCD=0111
ACD=101
最后将剩 下的填0
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（4）从一般形式表达式画卡诺图
先将表达式变换为与或表达式，再画出卡 诺图。
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例6： Y (A, B,C) AB C ABC AC
解：（1）利用摩根定律去掉非号， 直到最后得 到一个与或表达式，即
① 无关项的概念
对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可 以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的 取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这 些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项， 在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用 ∑d（ ）表示。
例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码1010～ 1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。
Y (A, B,C) AB C ABC AC
ABC ABC AC ( A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下图
所示。
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Y ( A, B,C) AC BC ABC AC
BC
A
00 01 11 10
复习：
真值表--逻辑表达式（化简）--逻辑电路图
例：三变量表决逻辑 Y=？ 逻辑图？
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ABC
Y
000
0
001
0
010
0
011
1
100
0
101
1
110
1
111
1
1
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法
2.4.1 最小项及最小项表达式 2.4.2 用卡诺图表示逻辑函数 2.4.3 卡诺图化简法 2.4.4 含有无关项的逻辑函数的化简
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② 具有无关项的逻辑函数及其化简
因为无关项的值可以根据需要取0或取1，所以在 用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使 逻辑函数进一步得到简化。
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例11：设ABCD是十进制数X的二进制编码，当
X≥5时输出Y为1，求Y的最简与或表达式。
X ABCD Y
ABC D ABCD ABC D ABCD
m(12,13,14,15)
Y2 ACD A(B B)CD
Y3 ABCD m7
ABCD ABCD
2020/8/1m4 (9,13)
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熟悉后也可以直接由表达式填卡诺图。 Y AB ACD ABCD
AB＝11
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表1-17 三变量最小项真值表
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5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
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6
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘 积项为三变量A、B、C的最小项。
AB是三推变广量：函一数个的变最量小仅项有吗原？变量和反变量两种形式，
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
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10
2.4.2 用卡诺图表示逻辑函数
（1）卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的 方框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不 同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
对角线上不相 邻。
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（1）从真值表画卡诺图
根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每
一个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不
同。 例3： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
表1-19 逻辑函数Y的真值表
图1-12 例3的卡诺图
ABC
Y
000
0
001
1
010
1
011
0
100
1
种方法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论
一下2020最/8/14小项及最小项表达式。
3
2.4.1 最小项及最小项表达式
（1）最小项
设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项：
①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子；
②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
00 1 1 1 1
01 1 1
11
10 1
11
图 1-19 例 10 的卡诺图
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卡诺图化简最简结果不一定唯一
例： Y ( A, B,C) AC AC BC BC
解1：
解2：
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练习：卡诺图化简 1. 将三变量表决逻辑用卡诺图化简 2. 化简：F(A,B,C,D) = Σm（0，1，2，4，5，6，