中考专题复习解直角三角形的应用(新编2019)
中考数学专题复习:解直角三角形
中考数学专题复习:解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义:在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切:tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值:【名师提醒:1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系:⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形:1、定义:由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据:RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系:⑵两锐角关系⑶边角之间的关系:sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒:解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角:如图:在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角:如图:斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角:是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图:OA表示OB表示OC表示(也可称西南方向)3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤:⑴把实际问题抓化为数字问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒:在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一:锐角三角函数的概念例1 (•内江)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()A.12B.55C.1010D.255思路分析:利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答.解:如图:连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2;AC=2213+=10;则sinA=OCAC=25510=.故选B.点评:本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键.对应训练1.(•贵港)在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于()A.55B.52C.32D.121.A考点:锐角三角函数的定义;坐标与图形性质;勾股定理.专题:计算题.分析:过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为(2,1)可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值.解答:解:如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为(2,1),∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==.故选A.点评:本题考查了正弦的定义:在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值.也考查了点的坐标与勾股定理.考点二:特殊角的三角函数值例2 (•孝感)计算:cos245°+tan30°•sin60°= .思路分析:将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案.解:cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1.故答案为:1.点评:此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键.对应训练(•南昌)计算:sin30°+cos30°•tan60°.思路分析:分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.解:原式=13322+⨯=1322+=2.点评:本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键.考点三:化斜三角形为直角三角形例3 (•安徽)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.6.思路分析:过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案.解:过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得:AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答:AB的长是3+3.点评:本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目.对应训练3.(•重庆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)3.考点:解直角三角形;三角形内角和定理;等边三角形的性质;勾股定理.专题:计算题.分析:根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案.解答:解:∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°-90°-60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23.答:△ABC的周长是6+23.点评:本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目.考点四:解直角三角形的应用例4 (•张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题:(1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,2≈1.41436≈2.45)(2)求∠ACD的余弦值.考点:解直角三角形的应用.分析:(1)连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积; (2)直接利用余弦的定义求解即可. 解:(1)连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=(千米)∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55(千米) 面积=S △ABC +18 6 ≈157(平方千米) (2)cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评:本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解. 对应训练6.(•益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离(AC )为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°. (1)求B 、C 两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)考点:解直角三角形的应用.专题:计算题.分析:(1)由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离;(2)根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可.解答:解:(1)法一:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112(米).法二:在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112(米)(2)∵此车速度=112÷8=14(米/秒)<16.7 (米/秒)=60(千米/小时)∴此车没有超过限制速度.点评:本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键.【聚焦山东中考】1.(•济南)如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为()A.13B.12C.22D.31.A考点:锐角三角函数的定义.A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定3考点:特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方;三角形内角和定理.分析:首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA-12=0,sinB-22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可.解答:解:∵|cosA-12|+(sinB-22)2=0,∴cosA-12=0,sinB-22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°,故答案为:75°.点评:此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值.5.(•潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.(1)求AB的长(精确到0.1米,参考数据:3=1.73,2=1.41);(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.5.考点:解直角三角形的应用.分析:(1)分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长;(2)由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速.解答:解:(1)由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2(米)。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题28 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一.选择题1. (2019•广东省广州市•3分)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC为()A.75m B.50m C.30m D.12m【分析】根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数即可求得AC的长,本题得以解决.【解答】解:∵∠BCA=90°,tan∠BAC=,BC=30m,∴tan∠BAC=,解得,AC=75,故选:A.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.2. (2019•广西北部湾经济区•3分)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)()A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解:过点O作OE⊥AC于点F,延长BD交OE于点F,设DF=x,∵tan65°=,∴OF=xtan65°,∴BD=3+x,∵tan35°=,∴OF=(3+x)tan35°,∴2.1x=0.7(3+x),∴x=1.5,∴OF=1.5×2.1=3.15,∴OE=3.15+1.5=4.65,故选:C.过点O作OE⊥AC于点F,延长BD交OE于点F,设DF=x,根据锐角三角函数的定义表示OF的长度,然后列出方程求出x的值即可求出答案.本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义,本题属于中等题型.二.填空题1. (2019•江苏宿迁•3分)如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是<BC <.【分析】当点C在射线AN上运动,△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形,画出相应的图形,根据运动三角形的变化,构造特殊情况下,即直角三角形时的BC的值.【解答】解:如图,过点B作BC1⊥AN,垂足为C1,BC2⊥AM,交AN于点C2在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60°∴∠ABC1=30°∴AC1=AB=1,由勾股定理得:BC1=,在Rt△ABC2中,AB=2,∠A=60°∴∠AC2B=30°∴AC2=4,由勾股定理得:BC2=2,当△ABC是锐角三角形时,点C在C1C2上移动,此时<BC<2.故答案为:<BC<2.【点评】本题考查解直角三角形,构造直角三角形,利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解.考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,勾股定理等知识点.2. (2 019·江苏盐城·3分)如图,在△ABC 中,BC =26+,∠C =45°,AB =2AC ,则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点,设AC =x 2,则AB =x 2,因为∠C =45°,所以AD =AC =x ,则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-,因为AB =26+,所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. (2 019·江苏盐城·3分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =2x -1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ,将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°,交x 轴于点C ,则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y =2x -1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ,则A (21,0),B (0,-1),则AB =25. 过A 作AD ⊥BC 于点D ,因为∠ABC =45°,所以由勾股定理得AD =410,设BC =x ,则AC =OC -OA =2112--x ,根据等面积可得:AC ×OB =BC ×AD ,即2112--x =410x ,解得x =10.则AC =3,即C (3,0),所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .4. (2019•浙江湖州•4分)有一种落地晾衣架如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度.图2是支撑杆的平面示意图,AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆,夹角∠BOD =α.若AO =85cm ,BO =DO =65cm .问:当α=74°时,较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm .(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6.)【分析】过O 作OE ⊥BD ,过A 作AF ⊥BD ,可得OE ∥AF ,利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线,进而求出同位角的度数,在直角三角形AFB 中,利用锐角三角函数定义求出h 即可.【解答】解:过O 作OE ⊥BD ,过A 作AF ⊥BD ,可得OE ∥AF , ∵BO =DO , ∴OE 平分∠BOD ,∴∠BOE =∠BOD =×74°=37°, ∴∠F AB =∠BOE =37°,在Rt △ABF 中,AB =85+65=150cm , ∴h =AF =AB •cos ∠F AB =150×0.8=120cm , 故答案为:120【点评】此题考查了解直角三角形的应用,弄清题中的数据是解本题的关键.三.解答题1. (2019•江苏宿迁•10分)宿迁市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图②是其示意图,其中AB、CD都与地面l平行,车轮半径为32cm,∠BCD=64°,BC=60cm,坐垫E与点B的距离BE为15cm.(1)求坐垫E到地面的距离;(2)根据经验,当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适.小明的腿长约为80cm,现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E',求EE′的长.(结果精确到0.1cm,参考数据:sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)【分析】(1)作EM⊥CD于点M,由EM=ECsin∠BCM=75sin46°可得答案;(2)作E′H⊥CD于点H,先根据E′C=求得E′C的长度,再根据EE′=CE﹣CE′可得答案【解答】解:(1)如图1,过点E作EM⊥CD于点M,由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm,∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm),则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm);(2)如图2所示,过点E′作E′H⊥CD于点H,由题意知E′H=80×0.8=64,则E′C==≈71,1,∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm).【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是明确题意,利用锐角三角函数进行解答.2. (2019•江西•8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B-A-O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1)(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE。
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题-解答题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题-解答题专训及答案解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题解答题专训1、(2018徐州.中考真卷) 如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽(精确到0.1m)参考数据: 1.414, 1.7322、(2019绍兴.中考模拟) 如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米?(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)3、(2011金华.中考真卷) 生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)4、(2019宁津.中考模拟) 数学活动课,老师和同学一起去测量校内某处的大树AB 的高度,如图,老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1:4,一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点,测得大树顶端A的仰角为30°,已知BE=2m,此学生身高CD=1.7m,求大树的高度AB的值.(结果保留根号)5、(2019十堰.中考真卷) 如图,拦水坝的横断面为梯形,坝高,坡角,,求的长.6、(2017娄底.中考模拟) 如图,某小区楼房附近有一个斜坡,小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中,在斜坡上的影子长CD=6m,坡角到楼房的距离CB=8m.在D点处观察点A的仰角为60°,已知坡角为30°,你能求出楼房AB 的高度吗?7、(2017娄底.中考真卷) 数学“综合与实践”课中,老师带领同学们来到娄底市郊区,测算如图所示的仙女峰的高度,李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案,并实施了如下操作:先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC为38.7°,再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处,测得山坡BC的坡度为1:0.6,请你求出仙女峰的高度(参考数据:tan38.7°≈0.8)8、(2016深圳.中考模拟) 2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳,伴随着就是狂风暴雨.梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树,台风过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=3m.(1)求∠DAC的度数;(2)求这棵大树折断前的高度.(结果保留根号)9、(2016泸州.中考真卷) 如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1:的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈ ,计算结果用根号表示,不取近似值).10、(2017贵州.中考模拟) 为缓解“停车难”的问题,某单位拟造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图如图所示,已知该坡道的水平距离AB的长为9m,坡面AD与AB的夹角∠BAD=18°,石柱BC=0.5m,按规定,地下停车库坡道上方BC处要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入.请你帮设计师计算一下CE的高度,以便张贴限高标志,结果精确到0.1m.(参考数值:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)11、(2016贵阳.中考真卷) “蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志,小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景,然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点,“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m.如图,DE∥BC,BD=1700m,∠DBC=80°,求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1m)12、(2020启东.中考模拟) 如图,兰兰站在河岸上的G点,看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来,此时,测得小船C的俯角是∠FDC=30°,若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米,BG=1米,BG平行于AC所在的直线,迎水坡的坡度i=4:3,坡高BE=8米,求小船C到岸边的距离CA的长.(参考数据:≈1.7,结果保留一位小数)13、(2020湘潭.中考真卷) 为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形为矩形,,其坡度为,将步梯改造为斜坡,其坡度为,求斜坡的长度.(结果精确到,参考数据:,)14、(2020河南.中考模拟) 如图,是垂直于水平面的一座大楼,离大楼30米(米)远的地方有一段斜坡(坡度为),且坡长米.某时刻,在太阳光的照射下,大楼的影子落在了水平面、斜坡、以及坡顶上的水平面处(均在同一个平面内).若米,且此时太阳光与水平面所夹锐角为(),试求出大楼的高.(参考数据:)15、(2021静安.中考模拟) 如图,一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡,沿着坡度相同的斜坡BC、CD共走7米可到出入口,出入口点D距离地面的高DA 为0.8米,求无障碍通道斜坡的坡度与坡角(角度精确到1',其他近似数取四个有效数字).解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题解答题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:6.答案:7.答案:8.答案:9.答案:10.答案:11.答案:12.答案:13.答案:14.答案:15.答案:。
2019中考数学高频考点剖析专题19平面几何之直角三角形问题—解析卷.doc
备考2019中考数学高频考点剖析专题十九平面几何之直角三角形问题考点扫描☆聚焦中考直角三角形问题,是每年中考的必考重点内容之一,考查的知识点包括直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形三方面,总体來看,难度系数低,以选择填空为主。
关于解直角三角形主要是解析题。
解析题主要以计算为主。
结合2018年全国各地中考的实例,我们从三方血进行直角三角形问题的探讨:(1)直角三角形的性质;(2)勾股定理;(3)解直角三角形.考点剖析☆典型例题頑(2018・玉林)如图,在四边形ABCD中,ZB二ZD二90° , ZA=60° , AB二4,则AD的取值范围是2<AD<8・【分析】如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断;【解答】解:如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.在RtAABE 中,VZE=30° , AB=4,AAE=2AB=8,在RtAABF 中,AF二寺AB二2,AAD的取值范围为2<AD<8,故答案为2<AD<8.例2| (2018・盐城)如图,在直角△ABC 中,ZC 二90° , AC 二6, BC 二8, P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点,若要使AAPQ 是等腰三角形且Z\BPQ 是直角三角形,则AQ 二 芈或孕. 【分析】分两种情形分别求解:①如图1屮,当AQ 二PQ, ZQPB=90°时,②当AQ 二PQ, ZPQB=90° 时;【解答】解:①如图1中,当AQ=PQ, ZQPB 二90°时,设AQ 二PQ 二x,・.・PQ 〃AC,AABPQ^ABCA,.BQ_PQ・ 10-x = x10 ~_6,・15 rAAQ~. 4②当 AQ 二PQ, ZPQB=90° 时,设 AQ 二PQ 二y.VABQP^ABCA,• PQ.BQ•• A L BC '■ y,10-y飞8 例3| (2018・黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处,则 蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为20 cm (杯壁厚度不计).・・x 二 图1 图?蚂蚁月【分析】将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A',根据两点之间线段最短可知“ B的长度即为所求.:【解答】解:如图连接A' B,则A' B 即为最短距离,A' B=A/A^D^+BD^A/162+1 2 2=20 (cm).故答案为20.^H| (2018*杭州)如图,在中,ZACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,八D长为半径画弧,交线段AC于点E,连结CD.(1)若ZA=28° ,求ZACD的度数.(2)设BC=a, AC二b.①线段AD的长是方程x2+2ax・b2=0的一个根吗?说明理由.②若AD=EC,求学的值.B【分析】(1)根据三角形内角和定理求出ZB,根据等腰三角形的性质求出ZBCD,计算即可;(2)①根据勾股定理求岀AD,利用求根公式解方程,比较即可;②根据勾股定理列出算式,计算即可.【解答】解:(1) V ZACB=90° , ZA=28° ,.\ZB=62° ,VBD=BC,・・・ZBCD二ZBDC二59° ,・・・ZACD二90° - ZBCD二31°;(2)①由勾股定理得,A B R AC J BC S/ai2 + b2,AD=Va2 + b2 - a,解方程x2+2ax - b~0 得,x^~2a± V4a2+4b2^ 土需盯予-a,2・・・线段AD的长是方程x2+2ax - b2=0的一个根;② VAD=AE,AAE=EC=4,2 由勾股定理得,a2+b2=(寺b+a)2, 整理得,竿导.b 4巫(2018-遵义)如图,吊车在水平地血上吊起货物时,吊绳BC与地血保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64。
2019届云南中考数学题型专项(四)解直角三角形的实际应用
题型专项(四) 解直角三角形的实际应用 解直角三角形的实际应用历年来在云南各地的中考中都有考查,几乎都以解答题的形式出现,主要有两种类型:一是利用视角测量长度(高度),二是利用方向角测量距离.解题的一般步骤为:画出平面图形,将实际问题转化为解直角三角形的数学问题,即根据条件特征,选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形,得出数学问题的答案,然后作答(回归实际问题).预计2019年一定会有考查,复习时应加强训练.类型1 利用视角测量长度(高度)1.(2019·昆明市十县模拟)如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC ,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B 处,又测得信号塔顶端C 的仰角为60°,CD ⊥AB 于点E ,E 、B 、A 在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔CD 的高度.(结果保留整数,3≈1.7,2≈1.4)解:根据题意得AB =18,DE =18,∠A =30°,∠EBC =60°.在Rt △ADE 中,AE =DE tan30°=1833=183, ∴BE =AE -AB =183-18.在Rt △BCE 中,CE =BE ·tan60°=(183-18)×3=54-183,∴CD =CE -DE =54-183-18≈5(米).2.(2019·红河模拟)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时,组织开展测量物体高度的实践活动.在活动中,某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图),站在②号楼的C 处,测得①号楼顶部A 处的仰角α=30°,底部B 处的俯角β=45°,已知两幢楼的水平距离BD为18米,求①号楼AB 的高度.(结果保留根号)解:∵AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,CE ⊥AB ,∴四边形CDBE 是矩形.∴CE =BD =18.在Rt △BEC 中,∵∠ECB =45°,∴EB =CE =18.在Rt △AEC 中,∵tan ∠ACE =AE CE, ∴AE =CE ·tan ∠ACE =18×tan30°=6 3.∴AB =AE +EB =18+63(米). 答:①号楼AB 的高度为(18+63)米.3.(2019·昆明西山区二模)如图,某新电视塔塔高AB 为600米,远处有一栋大楼,某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°,在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°,求大楼的高度CD.(结果精确到1米,参考数据:sin39°=cos51°≈0.629,cos39°=sin51°≈0.777,tan39°≈0.810,tan51°≈1.235)解:∵∠ACB =45°,∠A =90°,∴AC =AB =600米.延长DE 交AB 于点F ,则DF ⊥AB ,四边形DF AC 为矩形.∴DF =AC =600米.在Rt △BDF 中,tan ∠BDF =BF DF, ∴BF =DF ·tan39°.∵CD =AF ,∴CD =AB -DF ·tan39°=600-600×tan39°≈114(米). 答:大楼的高度CD 约为114米.类型2 方位角问题4.(2019·云南考试说明)如图,A ,B 两城市相距100 km ,现计划在这两座城市之间修建一条高速公路(即线段AB).经测量,森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°,在B 城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P 点为圆心,50 km 为半径的圆形区域内.请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)解:过点P 作PC ⊥AB ,C 为垂足,则∠APC =30°,∠BPC =45°.∴AC =PC ·tan30°,BC =PC ·tan45°.∵AC +BC =AB ,∴PC ·tan30°+PC ·tan45°=100.∴(33+1)PC =100. ∴PC =50(3-3)≈63.4>50.∴森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径,因此计划修建的这条高速公路不会穿越保护区.5.(2019·楚雄模拟)如图,某渔船在小岛O 南偏东75°方向的B 处遇险,在小岛O 南偏西45°方向A 处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O 相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上.(1)求∠BAO 与∠ABO 的度数;(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考数据:tan75°≈3.73,tan15°≈0.27,2≈1.41,6≈2.45)解:(1)作OC ⊥AB 于C ,由题意得,∠AOC =45°,∠BOC =75°,∵∠ACO =∠BCO =90°,∴∠BAO =90°-∠AOC =90°-45°=45°,∠ABO =90°-∠BOC =90°-75°=15°.(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援,能在1小时内赶到.理由如下:∵在Rt △OAC 中,∠ACO =90°,∠AOC =45°,OA =8海里,∴AC =OC =22OA ≈4×1.41=5.64(海里). ∵在Rt △OBC 中,∠BCO =90°,∠BOC =75°,OC =42海里,∴BC =OC ·tan ∠BOC ≈5.64×3.73=21.037 2(海里).∴AB =AC +BC ≈5.64+21.037 2=26.677 2(海里).∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援,∴中国渔政船所需时间为26.677 2÷28≈0.953(小时)<1小时. 故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB 方向赶往B 处救援,能在1小时内赶到.类型3 其他问题6.(2019·昆明模拟)如图,登山缆车从点A 出发,途经点B 后到达终点C ,其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ,且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离.(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)解:在Rt △ADB 中,∵∠ADB =90°,∠BAD =30°,AB =200 m ,∴BD =12AB =100 m. 在Rt △CEB 中,∵∠CEB =90°,∠CBE =42°,CB =200 m ,∴CE =BC ·sin42°≈200×0.67=134(m).∴BD +CE ≈100+134=234(m).答:缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m.。
解 直 角 三 角 形 的 应 用
在Rt△ADF中,AD=60,∠FAD=60°
F
∴DF=30 3 ,FA=30
A
又FM=FA+AB-BM=130-40t,MD=20 10
D 30° 东
∴(30 3 )2+(130-40t)2=(20 10)2 M
整理,得4t2-26t+39=0
解之,得
t1
13 4
13
, t2
13 4
13
∴台风抵达D港的时间为 13 13小时。 B
⑵设货轮从出发点D到两船相遇处E共航行了x海里。 过D作DF⊥CB于F,连结DE,则DE=x,AB+BE=2x。
(提高的船速取整数, 13 3.6)?
B
解题点拨:(1)假设会遇到台风,设最初遇到台风时间为 t小时,此时,轮船在C处,台风中心到达E处(如图),则 有AC2+AE2=EC2,显然,AC=20t里,AE=AB-BE=100- 40t,EC=20 10,则(20t)2+(100-40t)2=(20 10)2, 若 可求出t,则会遇到台风,若不能求出t,则不会遇到台风。
故填上26。
例3 (2002年福州市中考题)某市在“旧城改造”中计划在市 内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已 知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( )
A、450a元
B、225a元 C、150a元 D
A
h 20米 150°
D、300a元
30米
B
C
解:如图所示,作出此三角形的高h。
CE
AE=CE• tan60º= 3 3
60° C 30° E
D
B
AB=AE+EB= 4 36.92(米) 8(米)
2019河南中考数学解答题型专项讲练课件专题三解直角三角形的应用
3.(2018· 海南)如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高度,先 在 A 处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰角∠HDE 为 45° ,此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上, 再向前走 7 米到达 B 处, 又测得教学楼顶端 G 的仰角∠GEF 为 60° , A,B,C 三点在同一水平线上.
∴AF=DE,DF=AE. 1 3 设 CD=x,在 Rt△CDE 中,DE= x,CE= x. 2 2
在 Rt△BDF 中,∠BDF=45° , 1 ∴DF=BF=AB-AF=60- x. 2 ∵DF=AE=AC+CE, 1 3 ∴60- x=20 3+ x, 2 2 解得 x=80 3-120. 答:斜坡 CD 的长度为(80 3- 120)米.
(2)设 EF=x. 在 Rt△GEF 中,∠GFE=90° ,∠GEF=60° , ∴GF=EF· tan 60°= 3x. 在 Rt△GDF 中,∠GFD=90° ,∠GDF=45° , ∴DF=GF,即 7+x= 3x, 7 3+7 解得 x= , 2
7 3+7 21+7 3 ∴GF= 3x= 3× = ≈16.45, 2 2 ∴GC=GF+FC≈16.45+1.5≈18(米). 答:教学楼 CG 的高度约为 18 米. (注:用不同方法计算教学楼的高,得到的答案可能不同)
4.(2018· 南京)如图,为了测量建筑物 AB 的高度,在 D 处树立标杆 CD,标杆的高 度是 2 m.在 DB 上选取观测点 E,F,从点 E 测得标杆和建筑物的顶部 C,A 的仰角分 别为 58° ,45°,从点 F 测得 C,A 的仰角分别为 22° ,70°.求建筑物 AB 的高度.(结 果精确到 0.1 m.参考数据:tan 22°≈0.40,tan 58° ≈1.60,tan 70°≈2.75)
(中考精题)解直角三角形-备战中考数学一遍过
考点24 解直角三角形一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,正弦:sin A=∠的对边=斜边A ac;余弦:cos A=∠的邻边=斜边A bc;正切:tan A=∠的对边=邻边A ab.根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1.在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.2.解直角三角形的常用关系:在Rt△ABC中,∠C=90°,则:(1)三边关系:a2+b2=c2;(2)两锐角关系:∠A+∠B=90°;(3)边与角关系:sin A=cos B=ac,cos A=sin B=bc,tan A=ab;(4)sin2A+cos2A=1.3.科学选择解直角三角形的方法口诀:已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;已知直边求直边,理所当然用正切;已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要记牢;已知锐角求锐角,互余关系不能少;已知直边求斜边,用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1.仰角和俯角仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角.俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角.2.坡度和坡角坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=hl.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,i=tanα.坡度越大,α角越大,坡面越陡.3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角.4.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型:解题方法:这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解. 5.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型;(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题; (3)选择合适的边角关系式,使运算简便、准确;(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解.考向一 求三角函数的值(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k (有时也可设为1),在求三角函数值的过程中约去k .(3)正确应用勾股定理求第三边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.典例1 的值为 ABCD .1【答案】C 【解析】把代入原式得:原式.故选C . 2sin 451.如图,在△ABC 中,∠C =90°.若AB =3,BC =2,则sin A 的值为A .BCD考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关,只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A 为锐角,且sin A,那么∠A等于 A .15° B .30° C .45° D .60°2.已知α是锐角,sin α=cos60°,则α等于 A .30° B .45°C .60°D .不能确定考向三 解直角三角形的应用解此类题的一般方法:(1)构造直角三角形;(2)理清直角三角形的边角关系;(3)利用特殊角的三角函数值解答问题.23典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔,已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°,山高BC 为100米,点E 距山脚D 处150米,在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°,则观光塔AB 的高度是A .50米B .100米C .125米D .150米【答案】A【解析】如图,作EF ⊥AC 于F ,EG ⊥DC 于G ,在Rt △DEG 中,EG =12DE =75, ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25,EF,∵∠AEF =60°, ∴∠A =30°,∴AF,∴AB =AF -BF =50(米),故观光塔AB 的高度为50米, 故选A .3.如图,某湖心岛上有一亭子A ,在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ,在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上,测得树B 在北偏东36︒方向上,又测得B 、C 之间的距离等于200米,求A 、B 之间的距离(结果精确到1米).1.414≈,sin360.588︒≈,cos360.809︒≈,tan360.727︒≈,cot36 1.376︒≈)1.如图,在△ABC 中,若∠C =90°,则A .sin A =B .sin A =C .cos A =D .cos A =2的值为 A.B .C.D .3.在中,,,若,则的长为 A .B .C .D .4.在Rt △ABC 中,∠C =90°,,则cos A 等于 a c b c abba1sin45cos602︒-︒(112+(1121434Rt ABC △90C ∠=︒53B ∠=︒BC m =AB cos53m︒cos53m ⋅︒sin 53m ⋅︒tan 53m ⋅︒13AC AB =AB .C .D5.菱形ABCD 的对角线AC =10cm ,BD =6cm ,那么tan为 A .B .C D6.如图是边长为1的小正方形组成的网格图,其中点A ,B,C 均为格点,则sin ∠BAC 为A B CD7.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若AB =10,sin A =,则斜边上的高等于 A .5B.4.8C .4.6D .48.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点均在格点上,则tan∠ABC 的值为A .B .C D .19.如图,某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是,堤坝高为,则迎水坡面的是A .10.如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向,距离灯塔为2海里的点A 处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处,海轮航行的距离AB 长是132B 5354353534AB 40m 80m B .C 40m .D .A .2海里B .海里C .海里D .海里11.钓鱼是一项特别锻炼心性的运动,如图,小南在江边垂钓,河堤AB 的坡度为1∶2.4,AB 长为3.9米,钓竿AC 与水平线的夹角是60°,其长为4.5米,若钓竿AC 与钓鱼线CD 的夹角也是60°,则浮漂D 与河堤下端B≈1.732)A.1.732米B .1.754米C .1.766米D .1.823米12.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =12,tan A =,则sinB =___________.13.在△ABC 中,AB ,AC ,tan ∠B =,则BC 的长度为__________. 14.已知相邻的两根电线杆与高度相同,且相距.小王为测量电线杆的高度,在两根电线杆之间某一处架起测角仪,如图所示,分别测得两根电线杆顶端的仰角为、,已知测角仪高,则电线杆的高度约为________.(精确到,参考数据:,,)2sin55︒2cos55︒2tan55︒12512AB CD 50m BC =E 45︒23︒EF 1.5m m 0.1m sin230.39︒≈cos230.92︒≈tan230.43︒≈15.已知:如图,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC ,垂足为E ,对角线BD =8,tan ∠CBD =.(1)求边AB 的长;(2)求cos ∠BAE 的值.16.如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形ABCD )靠墙摆放,高AD =80cm ,宽AB =48cm ,小强的身高为166cm ,其中下半身FG =100cm ,洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK =80°),身体前倾成125°角(∠EFG =125°),脚与洗漱台的距离GC =15cm(点D ,C ,G ,K 在同一直线上). (1)此时小强的头部点E 与地面DK 的距离是多少?(2)小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方,他应向前或后退多少? (sin80°≈0.98,cos80°≈0.17≈1.41,结果精确到0.1cm)121.(2019•天津)的值等于 A .1 B. C .D .22.(2019•怀化)已知∠α为锐角,且sin α=,则∠α= A .30° B .45° C.60°D .90°3.(2019·宜昌)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin ∠BAC 的值为A .B .C .D .A .75 mB .50 mC .30 mD .12 m5.(2019•苏州)如图,小亮为了测量校园里教学楼的高度,将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上,若测角仪的高度为,测得教学楼的顶部处的仰角为,则教学楼的高度是60sin 2231243343545AB CD 1.5m A 30oA .B .C .D.6.(2019•广西)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB 为1.5米,她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°,再往前走3米站在C 处,看路灯顶端O 的仰角为65°,则路灯顶端O 到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)A .3.2米B .3.9米C .4.7米D .5.4米7.(2019·杭州)如图,一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ,点A ,B ,C ,D ,O 在同一平面内),已知AB =a ,AD =b ,∠BCO =x ,则点A 到OC 的距离等于A .a sin x +b sin xB .a cos x +b cos xC .a sin x +b cos xD .a cos x +b sin x55.5m 54m 19.5m 18m计算这座灯塔的高度CD (结果取整数).参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60.11.(2019•深圳)如图所示,某施工队要测量隧道长度BC ,AD =600米,AD ⊥BC ,施工队站在点D 处看向B ,测得仰角为45°,再由D 走到E 处测量,DE ∥AC ,ED =500米,测得仰角为53°,求隧道BC 长.(sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈).45354314.(2019•江西)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B–A–O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.(结果精确到0.1).(1)如图2,∠ABC=70°,BC∥OE.①填空:∠BAO=__________.②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.(2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时,求∠ABC 的大小.(参考数据:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)15.(2019•安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB 长为6米,∠OAB =41.3°,若点C 为运行轨道的最高点(C ,O 的连线垂直于AB ),求点C 到弦AB 所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)16.(2019•贵阳)如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图,图中OP 为下水管道口直径,OB 为可绕转轴O 自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开,可排出城市污水;当河水上涨时,阀门会因河水压迫而关闭,以防河水倒灌入城中.若阀门的直径OB =OP =100cm ,OA 为检修时阀门开启的位置,且OA =OB .(1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围;(2)为了观测水位,当下水道的水冲开阀门到达OB 位置时,在点A 处测得俯角∠CAB =67.5°,若此时点B 恰好与下水道的水平面齐平,求此时下水道内水的深度.(结果保留小数点后一位) =1.41,sin67.5°=0.92,cos67.5°=0.38,tan67.5°=2.41,sin22.5°=0.38,cos22.5°=0.92,tan22.5°=0.41)3.【解析】如图,过点C 作CH AB ⊥,垂足为点H ,由题意,得45ACH ∠=︒,36BCH ∠=︒,200BC =, 在Rt △BHC 中,sin BH BCH BC ∠=,∴sin36200BH︒=, ∵sin360.588︒≈,∴117.6BH ≈, 又cos HC BCH BC ∠=,∴cos36200HC︒=, ∵cos360.809︒≈,∴161.8HC ≈, 在Rt △AHC 中,tan AHACH HC∠=, ∵45ACH ∠=︒,∴AH HC =,∴161.8AH ≈, 又AB AH BH =+,∴279.4AB ≈,∴279AB ≈(米). 答:A 、B 之间的距离为279米.2.【答案】D【解析】原式=1–=,故选D . 3.【答案】A 【解析】如图,∵cos53°=, ∴AB =,故选A . 4.【答案】B【解析】如图所示:∵,∴cos A =.故选B .5.【答案】A1122⨯1434BC AB cos53m︒13AC AB =1133ABAC AB AB ==【解析】如图,由题意得,AO ⊥BO ,AO =AC =5cm ,BO =BD =3cm , 则tan=tan ∠OBA .故选A.6.【答案】D【解析】如图所示:连接BD ,交AC于点E ,由正方形的性质可得:BD ⊥AC ,故BD ,AB则sin ∠BAC =D . 7.【答案】B【解析】如图所示,CD ⊥AB ,CD 即为斜边上的高,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,sin A =, ∴sin A ==,即BC =6, 12122B 53AO BO ==EB AB ==3510BC BC AB =35根据勾股定理得:AC=8,∵S △ABC =AC •BC =CD •AB , ∴CD ==4.8, 故选B .8.【答案】B【解析】∠ABC所在的直角三角形的对边是3,邻边是4, 所以,tan ∠ABC =. 故选B .9.【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1 ∵BC =40m ,∴AC m ,∴AB ,故选A .10.【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°,PC ∥AB ,AP =2海里. ∵PC ∥AB ,∠APC =55°,∴∠PAB =55°. ∵在Rt △ABP 中,AP =2海里,∠PAB =55°, ∴AB =AP ·cos ∠PAB =2cos55°(海里). 故选C. 11.【答案】C【解析】如图,延长CA 交DB 延长线与点E ,过点A 作AF ⊥BE 于点F ,12126810AC BC AB ⋅⨯=34BC AC =则∠CED =60°, ∵AB 的坡比为1∶2.4,∴,则设AF =5x ,BF =12x , ∵AB =3.9米,∴在直角△ABF 中,由勾股定理知,3.92=25x 2+144x2.解得x =.∴AF =5x =,BF =12x =,∴EF =, ∵∠C =∠CED =60°, ∴△CDE 是等边三角形, ∵AC =4.5米,∴DE =CE =AC +AE则BD =DE ﹣EF ﹣BF≈1.766(米), 答:浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米. 故选C . 12.【答案】【解析】在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =12,tan A =,得,即, ∴AC =5.由勾股定理,得AB .所以sin B =,故答案为:.13.【答案】5152.412AF BF ==31032185tan 60sin 60AF AFAE =====︒︒185513125125BC AC =12125AC =513AC AB =513【解析】如图,过点A 作AD ⊥BC 交于D .∵, 设AD =x ,则BD =2x , ∵AB,∴在△ABD 中,由勾股定理得(2=x2+(2x)2, 解得,x 1=2,x 2=﹣2(不符合,舍去),∴BD =4,同理,在△ACD 中,由勾股定理得,,∴BC =DC +BD =4+1=5, 故答案为:5. 14.【答案】【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线,垂足为点G 、H ,如图所示:设AG =x m ,则有DH =x m , ∵,∴tan23°=,解得x ≈15.0,∴AB =x +1.5=16.5.电线杆的高度约为16.5 m .故答案是:16.5. 15.【解析】(1)连接AC ,AC 与BD 相交于点O ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,BO =BD =4, 1tan 2AD B BD ∠==1DC ===16.5tan45tan23AG AG BC +=︒︒50xx-12∵Rt △BOC 中,tan ∠CBD ==,∴OC =2, ∴AB =BC(2)∵AE ⊥BC ,∴S 菱形ABCD =BC ·AE =BD·AC , ∵AC =2OC =4,∴=×8×4,∴AE ,∴BE∴cos ∠ABE =.16.【解析】(1)如图,过点F 作FN ⊥DK 于N ,过点E 作EM ⊥FN 于M .∵EF +FG =166,FG =100,∴EF =66, ∵∠FGK =80°,∴FN =100sin80°≈98,∵∠EFG =125°,∴∠EFM =180°–125°–10°=45°, ∴FM =66cos45°=≈46.53,∴MN =FN +FM ≈144.5, ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm .(2)如图,过点E 作EP ⊥AB 于点P ,延长OB 交MN 于H . ∵AB =48,O 为AB 中点,∴AO =BO =24,∵EM =66sin45°≈46.53, ∴PH ≈46.53,∵GN =100cos80°≈17,CG =15,∴OH =24+15+17=56,OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5, ∴他应向前9.5cm .OC OB 121212BE AB 351.【答案】B【解析】锐角三角函数计算,=2×=,故选A . 2.【答案】A【解析】∵∠α为锐角,且sin α=,∴∠α=30°.故选A . 3.【答案】D【解析】如图,过C 作CD ⊥AB 于D ,则∠ADC =90°,∴AC .∴sin ∠BAC ==.故选D .5.【答案】C【解析】过作交于,中,, ,,故选C .6.【答案】C【解析】如图,过点O 作OE ⊥AC 于点E ,延长BD 交OE 于点F ,︒60sin 223312CD AC 45D DE AB ⊥AB E DE BC ==Rt ADE △tan 30AEDE=o18(m)AE ∴==18 1.519.5(m)AB ∴=+=C7.【答案】D【解析】如图,过点A作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x,∵AB=a,AD=b,∴FO=FB+BO=a•cos x+b•sin x,故选D.答:炎帝塑像DE的高度约为51m.13.【解析】如图,连接BD,作DM⊥AB于点M,∵AB=CD,AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,∴AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABDC是平行四边形,∴∠C=∠ABD,AC=BD,∵∠C=65°,AC=900,∴∠ABD=65°,BD=900,∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381,DM=BD•sin65°=900×0.906≈815,∵381÷3=127,120<127<150,∴该中学楼梯踏步的高度符合规定,∵815÷3≈272,260<272<300,∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定,由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.14.【解析】(1)①过点A作AG∥BC,如图1,则∠BAG=∠ABC=70°,∵BC∥OE,∴AG∥OE,∴∠GAO=∠AOE=90°,∴∠BAO=90°+70°=160°,故答案为:160;②过点A作AF⊥BC于点F,如图2,16.【解析】(1)阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围为:90°≤∠POB ≤0°;(2)如图,∵∠CAB =67.5°,∴∠BAO =22.5°, ∵OA =OB ,∴∠BAO =∠ABO =22.5°,∴∠BOP =45°, ∵OB =100,∴OE OB , ∴PE =OP –OE ≈29.5cm , 答:此时下水道内水的深度约为29.5cm .。
中考数学专题复习导学案直角三角形(含答案)
中考数学专题练习19《直角三角形》【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的;(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的3.直角三角形的判定(1)两个内角的三角形是直角三角形;(2)一边上的中线等于这条边的的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理:如果直角三角形两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是三角形【基础检测】1.(·广西百色·3分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=()A.6 B.6 C.6 D.122.(·贵州安顺·3分)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2 B. C. D.3.(广西南宁3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是()A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米4.(海南3分)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿着直线AD对折,点C 落在点E的位置.如果BC=6,那么线段BE的长度为()A.6 B.6C.2D.35.(·四川南充)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC 的中点,则DE的长为()A.1 B.2 C.D.1+6. (·浙江省湖州市·4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连结CD,则CD的长是.7. (·湖北随州·3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= .8.(·湖北荆州·10分)如图,A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.(1)求证:CD是半圆O的切线;(2)若DH=6﹣3,求EF和半径OA的长.【达标检测】一.选择题1.(•毕节市)(第5题)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A.,, B. 1,, C. 6,7,8 D. 2,3,42.(•青岛,第4题3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=()A. B. 2 C.3 D. +23. 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是A.5 B.10 C.12 D.135.(·湖北荆门·3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5 B.6 C.8 D.106. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是( )A.120° B.90° C.60° D.30°7. 已知等腰三角形ABC中,腰AB=8,底BC=5,则这个三角形的周长为( )(第11题图)A. 21B. 20C. 19D. 188.(·四川宜宾)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B、D两点间的距离为()A. B.2 C.3 D.29.(·湖北荆州·3分)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则图中∠ABC的余弦值是()A.2 B. C. D.二.填空题10.(湖北省鄂州市,15,3分)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为10 cm.11.(·四川宜宾)在平面直角坐标系内,以点P(1,1)为圆心、为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是.12.(·四川内江)如图4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=______.13. (·湖北武汉)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA =55,则BD的长为_______.14. 如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为米(结果精确到0.1米,=1.73).15. (·江西·3分)如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是.DO CEBA图4三.解答题16.(江西,23,10分)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:●操作发现:在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是(填序号即可)①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.●数学思考:在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧..作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;●类比探索:在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:.17.(·湖北咸宁)定义:数学活动课上,乐老师给出如下定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形.理解:(1)如图1,已知A、B、C在格点(小正方形的顶点)上,请在方格图中画出以格点为顶点,AB、BC为边的两个对等四边形ABCD;(2)如图2,在圆内接四边形ABCD中,AB是⊙O的直径,AC=BD.求证:四边形ABCD是对等四边形;(3)如图3,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,BC=11,tan∠PBC=,点A在BP边上,且AB=13.用圆规在PC上找到符合条件的点D,使四边形ABCD为对等四边形,并求出CD的长.【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90°的三角形是直角三角形;(2)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理:如果直角三角形两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形【基础检测答案】1.(·广西百色·3分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=()A.6 B.6C.6D.12【考点】含30度角的直角三角形.【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解.【解答】解:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=12,∴BC=12sin30°=12×=6,故答选A.2.(·贵州安顺)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B. C. D.【分析】根据勾股定理,可得AC、AB的长,根据正切函数的定义,可得答案.【解答】解:如图:,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan∠B==,故选:D.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,先求出AC、AB的长,再求正切函数.3.(广西南宁3分)如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是()A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米【考点】解直角三角形的应用.【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米,在Rt△ABD中,利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度.【解答】解:∵AB=AC,AD⊥BC,BC=10米,∴DC=BD=5米,在Rt△ADC中,∠B=36°,∴tan36°=,即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).故选:C.【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.4.(海南3分)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿着直线AD对折,点C 落在点E的位置.如果BC=6,那么线段BE的长度为()A.6 B.6C.2D.3【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形,然后再求BE.【解答】解:根据折叠的性质知,CD=ED,∠CDA=∠ADE=45°,∴∠CDE=∠BDE=90°,∵BD=CD,BC=6,∴BD=ED=3,即△EDB是等腰直角三角形,∴BE=BD=×3=3,故选D.【点评】本题考查了翻折变换,还考查的知识点有两个:1、折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2、等腰直角三角形的性质求解.5.(四川南充)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为()A.1 B.2 C.D.1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2.然后根据三角形中位线定理求得DE=AB.【解答】解:如图,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴AB=2BC=2.又∵点D、E分别是AC、BC的中点,∴DE是△ACB的中位线,∴DE=0.5 AB=1.故选:A.【点评】此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.6. (浙江省湖州市·4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连结CD,则CD的长是 5 .【考点】作图—基本作图;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.【分析】首先说明AD=DB,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,即可解决问题.【解答】解:由题意EF是线段AB的垂直平分线,∴AD=DB,Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,∴AB===10,∵AD=DB,∠ACB=90°,∴CD=AB=5.故答案为5.7. (湖北随州·3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= 3 .【考点】三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线;平行四边形的判定与性质.【分析】连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MN∥BC,证明四边形DCMN是平行四边形,得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=AB=3,等量代换即可.【解答】解:连接CM,∵M、N分别是AB、AC的中点,∴NM=CB,MN∥BC,又CD=BD,∴MN=CD,又MN∥BC,∴四边形DCMN是平行四边形,∴DN=CM,∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB=3,∴DN=3,故答案为:3.8.(湖北荆州·10分)如图,A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.(1)求证:CD是半圆O的切线;(2)若DH=6﹣3,求EF和半径OA的长.【分析】(1)连接OB,根据已知条件得到△AOB是等边三角形,得到∠AO B=60°,根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°,根据平行线的性质得到OC⊥CD,由切线的判定定理即可得到结论;(2)根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°,解直角三角形得到BD=BC=AB,推出AE= AD,根据相似三角形的性质得到,求得EF=2﹣,根据直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解:(1)连接OB,∵OA=OB=OC,∵四边形OABC是平行四边形,∴AB=OC,∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵∠FAD=15°,∴∠BOF=30°,∴∠AOF=∠BOF=30°,∴OF⊥AB,∵CD∥OF,∴CD⊥AD,∵AD∥OC,∴OC⊥CD,∴CD是半圆O的切线;(2)∵BC∥OA,∴∠DBC=∠EAO=60°,∴BD=BC=AB,∴AE=AD,∵EF∥DH,∴△AEF∽△ADH,∴,∵DH=6﹣3,∴EF=2﹣,∵OF=OA,∴OE=OA﹣(2﹣),∵∠AOE=30°,∴==,解得:OA=2.【点评】本题考查了切线的判定,平行四边形的性质,直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,连接OB构造等边三角形是解题的关键.【达标检测答案】一.选择题1.(•毕节市)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是() A.,, B. 1,, C. 6,7,8 D. 2,3,4【解析】勾股定理的逆定理..知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.【解答】解:A、()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;B、12+()2=()2,能构成直角三角形,故正确;C、62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D、22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选:B.【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.2.(•青岛)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,则BC=()A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形.根据角平分线的性质即可求得CD的长,然后在直角△BDE 中,根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得BD长,则BC即可求得.故选C .【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,理解性质定理是关键.3. 如图,在△ABC 中,∠A=36°,AB=AC ,BD 是△ABC 的角平分线,若在边AB 上截取BE=BC ,连接DE,则图中等腰三角形共有( )A .2个B .3个C .4个D .5个 【答案】D【解析】在△ABC 中,∠A=36°,AB=AC ,求得∠ABC=∠C=72°,且△ABC 是等腰三角形. 因为BD 是△ABC 的角平分线 所以∠ABD=∠DBC=36° 所以△ABD 是等腰三角形. 在△BDC 中有三角形的内角和求出∠BDC=72° 所以△BDC 是等腰三角形.所以BD=BC=BE 所以△BDE 是等腰三角形.所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE 是等腰三角形.共5个. 故选D .4.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交AB 于D ,交BC 于E ,连接AE ,若CE=5,AC=12,则BE 的长是 A .5B .10C .12D .13【解答】解:∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,∠C=90°, ∴CD=DE=1,又∵直角△BDE 中,∠B=30°, ∴BD=2DE=2, ∴BC=CD+BD=1+2=3.【答案】D.【解析】在Rt△CAE中,CE=5,AC=12,由勾股定理得:2213AE AC CE=+=又DE是AB的垂直平分线,∴BE=AE=13.故选D.5.(湖北荆门·3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5 B.6 C.8 D.10【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC,BD=CD,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∵AB=5,AD=3,∴BD==4,∴BC=2BD=8,故选C.6. 在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是( )A.120° B.90° C.60° D.30°【答案】D.【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解:(第11题图)∵直角三角形中,一个锐角等于60°,∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°.故选D.7. 已知等腰三角形ABC中,腰AB=8,底BC=5,则这个三角形的周长为( )A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】A.【解析】由于等腰三角形的两腰相等,题目给出了腰和底,根据周长的定义即可求解:∵8+8+5=21.∴这个三角形的周长为21.故选A.8.(四川宜宾)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B、D两点间的距离为()A. B.2C.3 D.2【考点】旋转的性质.【分析】通过勾股定理计算出AB长度,利用旋转性质求出各对应线段长度,利用勾股定理求出B、D两点间的距离.【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB=5,∵将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,∴AE=4,DE=3,∴BE=1,在Rt△BED中,BD==.故选:A.9.(湖北荆州·3分)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC 的顶点都在格点上,则图中∠ABC的余弦值是()A.2 B. C. D.【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.【解答】解:∵由图可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴cos∠ABC==.故选D.【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.二.填空题10.(湖北省鄂州市,15,3分)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为10 cm.【解析】直角三角形斜边上的中线.【解答】连接OP,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长,画出的圆的半径就是OP长.【点评】解:连接OP,∵△AOB是直角三角形,P为斜边AB的中点,∴OP=AB,∵AB=20cm,∴OP=10cm,故答案为:10.11.(四川宜宾)在平面直角坐标系内,以点P(1,1)为圆心、为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是(0,3),(0,﹣1).【考点】坐标与图形性质.【分析】在平面直角坐标系中,根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边,再根据点P的坐标即可得出答案.【解答】解:以(1,1)为圆心,为半径画圆,与y轴相交,构成直角三角形,用勾股定理计算得另一直角边的长为2,则与y轴交点坐标为(0,3)或(0,﹣1).故答案为:(0,3),(0,﹣1).12.(四川内江)如图4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE ⊥BC,垂足为点E,则OE=______.[答案]12 5[考点]菱形的性质,勾股定理,三角形面积公式。
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解 - —— 解直角三角形及其应用
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解解直角三角形及其应用一、选择题8.(2019·苏州)如同,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度.将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为m的地面上,若测角仪的高度是1.5m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是()A.55.5 m B.54 m C.19. 5 m D.18 m(第8题)【答案】C【解析】过D作DE⊥AB,∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为30°,∴∠ADE=30°,∵BC=DE=,∴AE=DE•tan30°=18m,∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m,故选C.8.(2019·温州)某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为()A.95sinα米B.95cosα米C.59sinα米D.59cosα米【答案】B【解析】如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt△ABD中,∠ADB=90°,cosB=BDAB,所以AB=cosBDα=1.8cosα=95cosα.故选B.10.(2019·长沙)如图,一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile的小岛A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处,这时轮船B 与小岛A 的距离是 【 】A..60 n mile C .120 n mile D.(30+ n mile【答案】D【解析】过C 作CD ⊥AB 于D 点,∴∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60.在Rt △ACD 中,cos∠ACD=CD AC,∴CD=AC •cos ∠ACD=60在Rt △DCB 中,∵∠BCD=∠B=45°,∴B 处与灯塔P 的距离是(nmile .故本题选:D .8.(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1,在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α,大桥主架的顶端D 的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB =a ,则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为()A. asin α+asin βB. acos α +a cos βC. atan α+atan βD.βαtan tan aa + D BA第8题图【答案】C【解析】在Rt △ABD 中,∵tan β=ABBD,∴BD=atan β. 在Rt △ABD 中,∵tan α=ABBC,∴BC=atan α. ∴CD=BD+BC=atan α+atan β.1.(2019·泰安)如图,一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行km 至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为________km.D【答案】B【解析】如图,由题中方位角可知∠A =45°,∠ABC =75°,∠C =60°,过点B 作BD ⊥AC 于点D,在Rt △ABD 中,∠A =45°,AB =∴AD =ABcosA =30,BD =ABsinA =30,在Rt △BCD 中,∠C =60°,∴CD =tan BDC=,∴AC =AD+CD =故选B.2.(2019·重庆B 卷)如图,AB 是垂直于水平面的建筑物,为测量AB 的高度,小红从建筑物底端B 出发,沿水平方向行走了52米到达点C ,然后沿斜坡CD 前进,到达坡顶D 点处,DC=BC.在点D 处放置测角仪,测角仪支架DE 高度为0.8米,在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°(点A ,B ,C ,D 在同一平面内).斜坡CD 的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么建筑物AB 的高度约为()【答案】B【解析】作EN ⊥AB 于N,EM ⊥BC 交BC 的延长线于M . ∵斜坡CD 的坡度(或坡比)i=1:2.4,DC=BC =52米,设DM =x 米,则CM =2.4x 米,在Rt △ECM 中,∵2DM + 2CM =2DC ,∴2x +()22.4x =252解得x =20 ∴CM =48米,EM =20+0.8=20.8米,BM =ED +DM =52+48=100米∵EN ⊥AB,EM ⊥BC ,AB ⊥BC ∴四边形ENBM 是矩形. ∴EN=BM=100米,BN=EM =20.8米. 在Rt △AEN 中,∵∠AEF =27°∴AN=EN ﹒tan 27°≈100×0.51=51米 ∴AB=AN +BN =51+20.8=71.8米.故选B .3.(2019·重庆A 卷)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i =1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD .测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC =26米,在距山脚点A 水平距离6米的点E 处,测得古树顶端D 的仰角∠AED =48°(古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上,古树CD 与直线AE 垂直),则古树CD 的高度约为()(参考数据:sin 48°≈0.73,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)A .17.0米B .21.9米C .23.3米D .33.3米【答案】C.【解析】如答图,延长DC交EA于点F,则CF⊥EA.∵山坡AC上坡度i=1:2.4,AC=26米,∴令CF=k,则AF=2.4k,由勾股定理,得k2+(2.4k)2=262,解得k=10,从而AF=24,CF=10,EF=30.在Rt△DEF中,tan E=DFEF,故DF=EF•tan E=30×tan48°=30×1.11=33.3,于是,CD=DF-CF=23.3,故选C.二、填空题20.(2019·遂宁)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固,如图,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30cm,斜坡AB的坡度i=1:1,加固后坝顶宽度增加2米,斜坡EF的坡度i=1:5,问工程完工后,共需土石多少立方米?(计算土石时忽略阶梯,结果保留根号)解:如图,分别过点A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M,则AN=EM,∵从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30cm,∴AN=9米=EM,∵斜坡AB的坡度i=1:1,∴BN=AN=9米,∵斜坡EF的坡度i=1:5,∴FM=95,∴FB=FM+MN-BN=95+2-9=95-7,S梯=EMBFAE⨯+)21(=24552819)759221-=⨯-+(,∴体积为200S梯=81005-4500(m3)答:共需土石81005-4500立方米.21.(2019·广元)如图,某海监船以60海里时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B,C两处之间的距离;(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.第21题图解:(1)过点C作CE⊥AB于点E,在Rt△BEC中,设BC=x,∵∠BCE=30°,∴BE=12BC=12x,CEx,在Rt△ACE中,AE=CEx,∴AB=AE-BEx-12x,已知AB=60×1.5=90,∴x-12x=90,解之得,x=答:B,C两处之间的距离海里;(2)过点B作BF⊥DC于点F,在Rt△BDF中,∠DBF=60°,由(1)得,BF=CE=CEx=135+45∴BD=2BF=270+90,∴时间为(270+90)÷90=答:海监船追到可疑船只所用的时间为小时.16.(2019·温州)图1是一种折叠式晾衣架.晾FE衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′-BE为分米.【答案】【解析】(1)过点O分别作OL⊥MD、ON⊥AM,垂足分别为点L、N,则∠LON=90°,四边形NMLO是矩形,∴MN=LO. ∵OC=OD=10分米,∠COD=60°,∴∠COL=30°,CL=12CD=5,OL=∵∠AOC=90°,∴∠AON=30°,∴AN=12AO=5,∴;(2)过点F分别作FQ⊥OB、FP⊥OC,垂足分别为点Q、N. 在Rt△OPQ中,∠OQP=90°,∠BOD=60°,∴OQ=2,Rt△EFQ中,∠EQF=90°,,EF=6,∴,BE=10-2-2=8-2;同理可得PE′=2,∴B′E′=2+10-2=12-2,∴B′E′)=4. 故填:15.(2019·盐城)如图,在△ABC中,BC,∠C=45°,AB,则AC的长为________.【答案】2【解析】如图,过点A作AD⊥BC于点D,又∠C=45°,故s i n2ADCAC==,tan1ADCCD==,设AD x=,则AC==,CD=x,2AB x==,在Rt△ACD中,∠ADB=90°,由勾股定理可得:AD2+BD2=AB2,得B D=,所以BC BD CD x=+==1)AB C解得x ,故AC =2.1.(2019·枣庄)如图,小明为了测量校园里旗杆AB 的高度,将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m 的位置,在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB 的高度约为________m(精确到0.1m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)【答案】9.5【解析】由题可知BC =6m,CD =1.5m,过D 作DE ∥BC 交AB 于点E,易知四边形BCDE 是矩形,∴DE =BC =6m,在Rt △ADE 中,AE =DE ·tan53°=7.98m,EB =CD =1.5m,∴AB =AE+EB =9.48m ≈9.5m.第15题答图2.(2019·湖州)有一种落地晾衣架如图①所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度.图②是支撑杆的平面示意图.AB 和CD 分别是两根不同的支撑杆,夹角∠BOD =α.若AO =85cm ,BO =DO =65cm .问:当α=74°时,较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为________cm .(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)ABC【答案】120.【解析】如图,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,则∠AEB =90°.∵AO =85cm ,BO =DO =65cm α=74°, ∴∠ODB =∠B =53°,AB =150cm . 在Rt △ABE 中,sin B =h AB, 故h =AB •sin B =150×sin53°≈150×0.8=120.3.(2019·金华)如图,在量角器的圆心O 处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪,量角器的0刻度线AB 对准楼顶时,铅垂线对应的度数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是___________.【答案】40°.【解析】量角器的0刻度线AB 对准楼顶时,铅垂线对应的度数是50°,则过AB 中点的水平线对应的是140°,所以此时观察楼顶的仰角度数是40°.4.(2019·金华)图2,图3是某公共汽车双开门的俯视示意图,ME 、EF 、FN 是门轴的滑动轨道,∠E =∠F =90°,两门AB 、CD 的门轴A 、B 、C 、D 都在滑动轨道上,两门关闭时(图2),A 、D 分别在E 、F 处,门缝忽略不计(即B 、C 重合);两门同时开启,A 、D 分别沿E→M ,F →N 的方向匀速滑动,带动B 、C 滑动;B 到达E 时,C 恰好到达F ,此时两门完全开启,已知AB =50cm ,CD =40cm.(1)如图3,当∠ABE =30°时,BC =_______cm. (2)在(1)的基础上,当A 向M 方向继续滑动15cm 时,四边形ABCD 的面积为_______cm 2.【答案】(1)(90-;(2)2256.【解析】(1)利用直角三角形的性质先求得EB ,CF ,然后进行线段加减即可; (2)根据题意,得S 四边形ABCD =S 梯形AEFD -S △ABE -S △CDF ,计算可得.图3图2图1B (C )E (A )EF (D )B解:(1)∵ AB =50,CD =40,∴AB +CD = EB +CF =EF =90.在Rt △ABE 中,∵∠E =90°,∠ABE =30°,∴EB =同理可得CF =∴BC =90-cm ).(2)根据题意,得AE =40, DF =32, EB 30,CF 24, ∴S 四边形ABCD =S 梯形AEFD -S △ABE -S △CDF=12(AE +DF )·EF -12AE ·EB -12CF ·DF =12(40+32)×90-12×40×30-12×24×32 =2256.5. (2019·宁波)如图,某海防哨所O 发现在它的西北方向,距离哨所400米的A 处有一艘船向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B 处,则此时这艘船与哨所的距离OB 约为________米.【答案】566【解析】在Rt △AOH 中,OH =AOcos45°=,在Rt △BOH 中,BO =566cos60OH=.6.(2019·衢州)如图,人字梯AB ,AC 的长都为2米,当α=50°时,人字梯顶端离地面的高度AD 是米_________(结果精确到0.1m 参考数据;sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19).【答案】1.5【解析】由三角函数的定义得:sinα= sin50°=ADAC=2AD≈0.77,所以AD≈2×0.77=1.54≈1.5米.三、解答题20.(2019年浙江省绍兴市,第20题,8分如图1为放置在水平桌面l上的台灯,底座的高AB为5cm,长度均为20cm的连杆BC,CD与AB始终在同一平面上.(1)转动连杆BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=150°,如图2,求连杆端点D离桌面l的高度DE.(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转,使∠BCD=165°,如图3,问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少?增加或减少了多少?(精确到0.1cm,参考数据:73.13,41.12≈≈)【解题过程】22.(2019·嘉兴)某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD 的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图1,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图2).工作时如图3,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线时,斗杆顶点D升至最高点(示意图4).(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数.(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,1.73)【解题过程】(1)如图2-1,过点C作CG⊥AM于点G,∵AB⊥AM,DE⊥AM,∴AB//DE//CG ∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.∴∠BCG=∠BCD -∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴动臂BC与AB的夹角为150°.(2)如图2-2,过点C作CP⊥DE于点P,过点BQ⊥DE于点Q交CG于点N. 在Rt△CPD中,DP=CD×cos70°=0.51(米)在Rt△BCN中,CN=BC×sin60°≈1.04(米)∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB≈2.35(米)如图3,过点D作DH⊥AM于点H,过点C作CK⊥DH于点K.在Rt△CKD中,DK=CD×sin5°≈1.16(米)∴DH=DK+KH≈3.16(米)∴DH-DE≈0.8(米).所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.23.(2019浙江省杭州市,23,12分)(本题满分12分)如图,已知锐角三角形ABC内接于⊙O,OD⊥BC于点D.连接0A.(1)若∠BAC=60°,①求证:OD=12 OA.②当OA=1时,求△ABC面积的最大值.(1)点E在线段0A上.OE=OD.连接DE,设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m,n是正数).若∠ABC<∠ACB.求证:m-n+2=0【解题过程】(1)①连接OB、OC,则∠BOD=BOC=∠BAC=60°,∴∠OBC=30°,∴OD=12OB=12OA;②∵BC长度为定值,∴△ABC面积的最大值,要求BC边上的高最大,当AD 过点O 时,AD 最大,即:AD=AO+OD=32,△ABC 面积的最大值=12×BC ×AD=12×2OBsin60°×32;(2)如图2,连接OC ,设∠OED=x ,则∠ABC=mx ,∠ACB=nx , 则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=12∠BOC=∠DOC , ∵∠AOC=2∠ABC=2mx ,∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx , ∵OE=OD ,∴∠AOD=180°-2x ,即:180°+mx-nx=180°-2x ,化简得:m-n+2=0. 23.(2019山东烟台,23,10分)如图所示,一种适用于笔记本电脑的铝合金支架,边OA ,OB 可绕点O 开合,在OB 边上有一固定点P ,支柱PQ 可绕点P 转动,边OA 上有六个卡孔,其中离点O 最近的卡孔为M ,离点O 最远的卡孔为N .当支柱端点Q 放入不同卡孔内,支架的傾斜角发生変化.将电脑放在支架上,电脑台面的角度可达到六档调节,这样更有利于工作和身体健康.现测得OP 的长为12 cm ,OM 为10cm ,支柱PQ 为8cm . (1)当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时,求AOB ∠的度数.(2)当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时,20.5AOB ∠=︒,若相邻两孔的距离相等,求此间距.(结果精确到十分位).【解题过程】(1)解:当支柱的端点Q 放在卡孔M 处时,作出该支架的截面图如图(1),过点P 作,垂足为E ,此时,12OP =,10OM OQ ==,8PQ =, 因为PE OA ⊥,所以90OEP PEQ ∠=∠=︒,设OE x =,所以10EQ OQ OE x =-=-, 在Rt △OPE 中,由勾股定理得,222PE OP PE =-2212x =-,在Rt △PEQ 中,由勾股定理得,222P E P Q E Q =-228(10)x =--, 所以2222128(10)x x -=--,解得9x =,所以9OE =,OA在Rt △OPE 中,9cos 0.4512OE AOB OP ∠===, 由参考数据表,可得,41AOB ∠=︒.(2)解:当支柱的端点Q 放在卡孔N 处时,作出该支架的截面图如图(2),过点P 作PE OA ⊥,垂足为F ,此时,12OP =,ON OQ =,8PQ =,20.5AOB ∠=︒, 因为PE OA ⊥,所以90OEP PEQ ∠=∠=︒, 在Rt △OPE 中,sin PEAOB OP∠=, 所以sin sin 20.5120.45 4.2PE OP AOB OP =⨯∠=⨯︒=⨯=, 在Rt △PEQ 中,由勾股定理得,236 6.8F Q ==, 在Rt △OPE 中,由勾股定理得,11.24OF ====2212x =-,所以11.24 6.818O N O F F Q =+=+=,所以18.04101.655ON OM d --==≈, 所以相邻两孔的距离为1.6cm .22(2019山东威海,22,9分)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG =2米,货厢底面距地面的高度BH =0.6米,坡面与地面的夹角∠BAH =α,木箱的长(FC )为2米,高(EF )和宽都是1.6米.通过计算判断:当sinα=,木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时,木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部.OA35【解题过程】∵BH =0.6,sinα=, ∴AB ==1, ∴AH =0.8,∵AF =FC =2,∴BF =1,作FQ ⊥BG 于点Q ,作EP ⊥FQ 于点P ,∵EF =FB =AB =1,∠EPF =∠FQB =∠AHB =90°,∠EFP =∠FBQ =∠ABH , ∴△EFP ≌△FBQ ≌△ABH , ∴EP =FQ =AH ,BQ =BH ,∴BQ +EP =0.6+0.8=1.4(米)<2米,∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部.20.(2019江西省,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线B —A —O 表示固定支架,AO 垂直水平桌面OE 于点O ,点B 为旋转点,BC 可转动,当BC 绕点B 顺时针旋转时,投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ,经测量:AO =6.8cm ,CD =8cm ,AB =30cm ,BC =35cm.(结果精确到01)(1)如图2,∠ABC =70°,BC ∥OE. ①填空:∠BAO = °; ②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离.(2)如图3,将(1)中的BC 向下旋转,当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6cm 时,求∠ABC 的大小.(参考数:sin70°≈0.94,cos20°≈0.94,sin36.8°≈0.60,cos53.2°≈0.60)350.63sin 5BH α=【解题过程】解:(1)①如图所示,延长OA 交BC 于点F ,∵BC ∥OE ,OA ⊥OE , ∴∠BFA=∠AOE=90°,∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°. 答案:160②∵∠BFA=90°,∠ABC=70°,AB =30cm ,sin70°≈0.94, ∴AF=AB ·sin70°≈30×0.94=28.2(cm ). ∵OA=6.8cm ,∴OF=AF+OA=28.2+6.8=35(cm ).又∵CD 始终垂直于水平桌面OE ,且CD =8cm , ∴点D 到桌面OE 的距离为:OF-CD=35-8=27(cm ). (2)如图所示,作BH ⊥CD 于点H ,∵D 到桌面OE 的距离为6cm ,H 到桌面OE 的距离为35cm ,CD =8cm , ∴CH=35-8-6=21(cm ), 又∵BC =35cm ,∠H=90°, ∴sin ∠CBH=6.0533521===BC CH , ∵sin36.8°≈0.60, ∴∠CBH=36.8°. 又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°-36.8°=33.2°. 20.(2019·山西)某"综合与实践"小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).示意图说明点点GH 测量项目第一次任务二:根据以上测量结果,请你帮助该"综合与实践"小组求出学校旗杆GH 的高度.(参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该"综合与实践"小组在制定方案时,讨论过"利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度"的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可) 【解题过程】任务一:平均值=(5.4+5.6)÷2=5.5m任务二:由题意可得,四边形ACDB,ACEH 都是矩形,∴EH =AC =1.5,CD =AB =5.5,设EG =xm,在Rt △DEG 中,∠DEG =90°,∠GDE =31°,∵tan31°=EG DE ,∴DE =tan 31x,在Rt △CEG 中,∠CEG =90°,∠GCE =25.7°,∵tan25.7°=EG CE ,∴CE =tan 25.7x,∵CD =CE -DE,∴tan 25.7x -tan 31x=5.5,∴x =13.2,∴GH =GE+EH =13.2+1.5=14.7.答:旗杆GH 的高度为14.7m.任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等. 22.(2019·娄底)如图(11),某建筑物CD 高96米,它的前面有一座小山,其斜坡AB 的坡度为i =1:1.为了测量山 顶A 的高度,在建筑物顶端D 处测得山顶A 和坡底B 的俯角分别为α,β.已知tan 2α=,tan 4β=,求山顶A 的高度AE (C 、B 、E 在同一水平面上).解:如图(11-1),设DA与CB的交点为O.∵96tan tan2DCOOC OCα∠====,∴48OC=同理,∵96tan tan4DCDBCBC BCβ∠====∴24BC=.∴482424OB OC BC=-=-=.设AE x=米,则则由i=1:1得BE x=,12OE x=;∴1242x x+=,∴16x=∴山顶A的高度AE为16米.22.(2019·衡阳)如图,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D 处测得楼房顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向楼房方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角为60°,已知坡面CD=10米,山坡的坡度i=1,(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考)解:设楼房AB的高为x米,则EBx,∵坡度i=1: ,∴坡面CD的铅直高度为5米,坡面的水平宽度为米,∴105)3x x+=-,解得x=15+(米).所以楼房AB的高度约为237米.21.(2019·泰州,21题,10分)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30′,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m,求:⑴观众区的水平宽度AB;⑵顶棚的E处离地面的高度EF.(sin18°30′≈0.32,tan18°30′≈0.33,结果精确到0.1m)第21题图【解题过程】(1)因为AC的坡度i为1∶2,所以12CBAB=,因为BC=10m,所以AB=20m; (2)在Rt△DEG中,∠EDG=18°30′,tan∠EDG=EGGD,GD=FB=FA+AB=23m,所以EG=7.59m,所以EF=EG+GF=EG+DB=EG+DC+CB=21.59≈21.6m,顶棚的E处离地面的高度EEF为21.6m.第21题答图22.(2019·黄冈)如图,两座建筑物的水平距离BC为40m,从A点测得D点的俯角α为45°,测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB,CD的高度.≈1.414,)【解题过程】22.(2019·陇南)图①是放置在水平面上的台灯,图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40cm,灯罩CD=30cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD 可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳?(参考数据:取1.73).解:如图,作CE⊥AB于E,DH⊥AB于H,CF⊥DH于F.∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°,∴四边形CEHF是矩形,∴CE=FH,在Rt△ACE中,∵AC=40cm,∠A=60°,∴CE=AC•sin60°=34.6(cm),∴FH=CE=34.6(cm)∵DH=49.6cm,∴DF=DH﹣FH=49.6﹣34.6=15(cm),在Rt△CDF中,sin∠DCF===,∴∠DCF=30°,∴此时台灯光线为最佳.21.(2019·株洲)小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时,车载报警系统显示正前方有障碍物,此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α,且tanα=13,若直线AF与地面l1相交于点B,点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米,假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行.(1)求BC的长度;(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形,且线段MN为此长方形前端的边),MN⊥l1,若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米,通过汽车的前端F点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点,点F1为点F的对应点).求障碍物的高度.【解题过程】 (1) 如图,∵l 1∥l 2∴∠ABC=α∴tan ∠ABC=AC BC =tan α=13,∴BC=3AC==⨯3 1.6 4.8(米)∴BC 的长度为4.8米。
题型十一 解直角三角形的实际应用
题型十一 解直角三角形的实际应用1.(2019·锦州)如图,某学校体育场看台的顶端C 到地面的垂直距离CD 为2 m ,看台所在斜坡CM 的坡比i =1∶3,在点C 处测得旗杆顶点A 的仰角为30°,在点M 处测得旗杆顶点A 的仰角为60°,且B ,M ,D 三点在同一水平线上,求旗杆AB 的高度.(结果精确到0.1 m ,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:如图,延长AC 交BD 的延长线于点H ,则∠H =∠ACE =30°,则∠MAC =∠AMB-∠H =30°,∴AM =MH ,∵i =1∶3,则MD =3CD =6 m ,在Rt △CDH 中,DH =CD tan 30°=23,∴MH =6+2 3.在Rt △ABH 中,AB =AM·sin 60°=33+3≈8.2.答:旗杆AB 的高度约为8.2 m .2.如图,某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°.已知BC =60 m ,且B 、C 、E 在同一条直线上,山坡的坡比为1∶2.求此人所在位置点P 的铅直高度(即PE 的长,结果保留根号).解:如图,过点P 作PF ⊥AB 于点F ,又∵AB ⊥BC 于点B ,∴四边形BEPF 是矩形,∴PE =BF ,PF =BE ,∵在Rt △ABC 中,BC =60米,∠ACB =60°,∴AB =BC·tan 60°=603(米),设PE =x 米,则BF =PE =x 米,∵在Rt △PCE 中,tan ∠PCE =PE CE =12,∴CE =2x 米,∵在Rt △PAF 中,∠APF =45°,∴AF =AB -BF =603-x ,PF =BE =BC +CE =60+2x ,又∵AF =PF ,∴603-x =60+2x ,解得:x =203-20,答:此人所在的位置点P 的铅直高度为(203-20)米.3.(2019·甘肃)为了保证人们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260 mm ~300 mm (含300 mm ),高度的范围是120 mm ~150 mm (含150 mm ).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:AB ,CD 分别垂直平分踏步EF ,GH ,各踏步互相平行,AB =CD ,AC =900 mm ,∠ACD =65°,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.(结果精确到1 mm ,参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423)解:如图,连接BD ,作DM ⊥AB 于点M ,∵AB =CD ,AB ,CD 分别垂直平分踏步EF ,GH ,∴AB ∥CD ,AB =CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴∠C =∠ABD ,AC =BD ,∵∠C =65°,AC =900,∴∠ABD =65°,BD =900,∴BM =BD·cos 65°≈900×0.423≈381,DM =BD·sin 65°≈900×0.906≈815,∵381÷3=127,120<127<150,∴该中学楼梯踏步的高度符合规定,∵815÷3≈272,260<272<300,∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定,由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.4.(2019·铁岭)如图,聪聪想在自己家的窗口A 处测量对面建筑物CD 的高度,他首先量出窗口A 到地面的距离(AB 长)为16米,又测得从A 处到建筑物底部C 的俯角α为30°,看建筑物顶部D 的仰角β为53°,且AB ,CD 都与地面垂直,点A ,B ,C ,D 在同一平面内.(1)求AB 与CD 之间的距离(结果保留根号);(2)求建筑物CD 的高度(精确到1 m ).(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈1.3,3≈1.7)解:(1)如图,过点A 作AM ⊥CD 于点M ,∵AB ⊥BC ,DC ⊥BC ,∴∠ABC =∠BCD =∠CMA =90°,∴四边形ABCM 为矩形,∴AM =BC ,CM =AB =16,在Rt △ACM 中,∵CM =16,α=30°,∴tan ∠CAM =CM AM ,∴AM =16tan 30°=163,答:AB 与CD 之间的距离为163米;(2)在Rt △ADM 中,∵tan ∠DAM =DM AM,∴DM =AM·tan ∠DAM ≈163×1.3≈35.4,∴DC =DM +CM ≈51(米),答:建筑物CD 的高度约为51米.5.(2019·连云港)如图,海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B 同时发现一走私船,其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上,位于哨所B 南偏东37°的方向上.(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离;(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截,求缉私艇的速度为多少时,恰好在D 处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据:sin 37°=cos 53°≈35,cos 37°=sin 53°≈45,tan 37°≈34,tan 76°≈4)解:(1)在△ABC 中,∠ACB =180°-∠B -∠BAC =180°-37°-53°=90°.在Rt △ABC 中,sin B =AC AB ,∴AC =AB·sin 37°=25×35=15(海里). 答:观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里;(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ,由题意易知,D ,C ,M 在一条直线上.在Rt △AMC 中,CM =AC·sin ∠CAM ≈15×45=12,AM =AC ·cos ∠CAM ≈15×35=9. 在Rt △AMD 中,tan ∠DAM =DM AM,∴DM =AM·tan 76°≈9×4=36, ∴AD =AM 2+DM 2=92+362=917,CD =DM -CM =36-12=24.设缉私艇的速度为x 海里/小时,则有2416=917x ,解得x =617. 经检验,x =617是原方程的解.答:当缉私艇的速度为617 海里/小时时,恰好在D 处成功拦截.6.(2019·宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图②是其示意图,其中AB 、CD 都与地面l 平行,车轮半径为32 cm ,∠BCD =64°,BC =60 cm ,坐垫E 与点B 的距离BE 为15 cm .(1)求坐垫E 到地面的距离;(2)根据经验,当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm ,现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E′,求EE′的长.(结果精确到0.1 cm ,参考数据:sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)解:(1)如图,过点E作EM⊥CD于点M,由题意知∠BCM=64°,EC=BC+BE=60+15=75 cm,∴EM=EC sin∠BCM=75×sin64°≈67.5(cm),67.5+32≈99.5(cm).答:坐垫E到地面的高度约为99.5 cm;(2)如图所示,过点E′作E′H⊥CD于点H,由题意知E′H=80×0.8=64,则E′C=E′Hsin∠ECH=64sin64°≈71.1,∴EE′=CE-CE′≈75-71.1=3.9(cm).∴EE′的长约为3.9 cm.。
中考专题复习解直角三角形(含答案)
中考专题复习解直⾓三⾓形(含答案)中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理:直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。
2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直⾓,则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B):定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值;任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。
4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值;任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。
5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性:当0°≤≤90°时,sin随的增⼤⽽增⼤,cos随的增⼤⽽减⼩。
7、正切、余切的增减性:当0°<<90°时,tan随的增⼤⽽增⼤,cot随的增⼤⽽减⼩。
第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义:已知边和⾓(两个,其中必有⼀条边)→求所有未知的边和⾓。
依据:①边的关系:;②⾓的关系:∠A+∠B=90°;③边⾓关系:(见前⾯三⾓函数的定义)。
2、应⽤举例:(1)仰⾓:视线在⽔平线上⽅的⾓;俯⾓:视线在⽔平线下⽅的⾓。
(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。
⽤字母表⽰,即。
坡度⼀般写成的形式,如等。
把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓),那么。
【重点考点例析】考点⼀:锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰,△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点,则sinA的值为()A.12B.55C.1010D.255对应训练1.在平⾯直⾓坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于()A.55B.52C.32D.12考点⼆:特殊⾓的三⾓函数值例2 计算:cos245°+tan30°?sin60°=.对应训练(2012?南昌)计算:sin30°+cos30°?tan60°.考点三:化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.对应训练3.如图,在Rt △ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三⾓形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)考点四:解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿,其平⾯图如图甲所⽰,⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千⽶,CD=32千⽶,请据此解答如下问题:(1)求该岛的周长和⾯积;(结果保留整数,参考数据2≈1.414,3≈1.73 ,6≈2.45)(2)求∠ACD的余弦值.对应训练6.超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀.上周末,⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速.如图,观测点设在A 处,离益阳⼤道的距离(AC)为30⽶.这时,⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶,测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒,∠BAC=75°.(1)求B、C两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度?(计算时距离精确到1⽶,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒)【聚焦中考】1.如图,在8×4的矩形⽹格中,每格⼩正⽅形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为()A.13B.12C.22D.32.把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍,则锐⾓A的正弦函数值()A.不变B.缩⼩为原来的13C.扩⼤为原来的3倍D.不能确定3.计算:tan45°+ 2cos45°= .4.在△ABC中,若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+(sinB-22)2=0,则∠C= .5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取⼀点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21⽶,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.(1)求AB的长(精确到0.1⽶,参考数据:3=1.73,2=1.41);(2)已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时,若测得某辆校车从A到B⽤时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.6.如图,某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD,当光线与地⾯的夹⾓是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE;⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时,教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离(B、F、C在⼀条直线上)(1)求教学楼AB的⾼度;(2)学校要在A、E之间挂⼀些彩旗,请你求出A、E之间的距离(结果保留整数).(参考数据:sin22°≈38,cos22°≈1516,tan22°≈25)【备考真题过关】⼀、选择题1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sinB的值是()A.23B.35C.34D.452.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,AC=6,则tanB的值是()A.45B.35C.34D.433.如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB= 23,则BC的长为()A.4 B.25C.181313D.1213134.2cos60°的值等于()A.1 B.2C.3D.25.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为()A.12B.22C.32D.16.如图,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则C( )A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°sin54°D.点A到OC的距离为cos36°sin54°.7.在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中,某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°,此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶,则旗杆的⾼度约为()A.24⽶B.20⽶C.16⽶D.12⽶8.如图,某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1:3,堤坝⾼BC=50m,则应⽔坡⾯AB的长度是()A.100m B.1003m C.150m D.503m1.如图,为测量某物体AB的⾼度,在D点测得A点的仰⾓为30°,朝物体AB⽅向前进20⽶,到达点C,再次测得点A的仰⾓为60°,则物体AB的⾼度为()A.10⽶B.10⽶C.20⽶D.⽶2.⼩明想测量⼀棵树的⾼度,他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上,如图,此时测得地⾯上的影长为8⽶,坡⾯上的影长为4⽶.已知斜坡的坡⾓为30°,同⼀时刻,⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶,则树的⾼度为()A.(6+)⽶B.12⽶C.(4﹣2)⽶D.10⽶3.如图,从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°,如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶,点A、D、B在同⼀直线上,则AB两点的距离是()A.200⽶B.200⽶C.220⽶D.100()⽶⼆、填空题9.在△ABC中∠C=90°,AB=5,BC=4,则tanA= .10.tan60°= .11.若∠a=60°,则∠a的余⾓为,cosa的值为.12.如图,为测量旗杆AB的⾼度,在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°,那么旗杆的⾼度约是⽶(结果保留整数).(参考数据:sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483)三、解答题13.如图,定义:在直⾓三⾓形ABC中,锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切,记作ctanα,即ctanα== ACBC,根据上述⾓的余切定义,解下列问题:(1)ctan30°= ;(2)如图,已知tanA=34,其中∠A为锐⾓,试求ctanA的值.14.⼀副直⾓三⾓板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=122,试求CD的长.15.为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB,如图,在⼭外⼀点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长.(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38,3≈1.73,精确到个位)16.如图,某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m,⾼度C处的飞机,测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°,求隧道AB 的长.17.如图,⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧,现要在A ,B 间铺设⼀知输⽔管道.为了搞好⼯程预算,需测算出A ,B 间的距离.⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向,B 位于南偏东24.5°⽅向,前⾏1200m ,到达点Q 处,测得A 位于北偏东49°⽅向,B 位于南偏西41°⽅向.(1)线段BQ 与PQ 是否相等?请说明理由;(2)求A ,B 间的距离.(参考数据cos41°=0.75)练习作业:1. 已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据表中的数据求其它元素的值:a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3,AD=12,求证:AD ⊥BD .3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-- oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4.如图所⽰,已知:在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=443,?求△ABC的⾯积(结果可保留根号).例5.已知:如图所⽰,在△ABC中,AD是边BC上的⾼,E?为边AC?的中点,BC=14,AD=12,sinB=45,求:(1)线段DC的长;(2)tan∠EDC的值.例6.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5,求sinB?sinC的值.。
中考专题训练(解直角三角形应用题)—解析版
答:这两座建筑物顶端 C 、 D 间的距离为 20 39m .
【解答】解:过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ,由题意得: BCD = 30 ,设 BC = x ,则:
在 RtBCD 中, BD = BC sin 30 = 1 x , CD = BC cos 30 = 3 x ;
2
2
AD = 30 + 1 x , 2
则 AD = AE + EB = 20 3 + 20 = 20( 3 + 1)(m) ,
在 RtADC 中, A = 30 , DC = AD = (10 + 10 3)m .
2 答:塔高 CD 为 (10 + 10 3)m .
测得屋檐 E 点的仰角为 60 ,房屋的顶层横梁 EF = 12m , EF / /CB , AB 交 EF 于点 G (点 C , D , B 在同一
∴tan30°= x , x+6
解得 x≈8.22, 根据题意可知: DM=MH=MN+NH, ∵ MN=AC=10, 则 DM=10+8.22=18.22, ∴ CD=DM+MC=DM+EF=18.22+1.6=19.82≈19.8(m). 答:建筑物 CD 的高度约为 19.8m.
9.(2020·四川眉山)某数学兴趣小组去测量一座小山的高度,在小山顶上有一高度为 20 米的发射塔 AB ,如 图所示,在山脚平地上的 D 处测得塔底 B 的仰角为 30 ,向小山前进 80 米到达点 E 处,测得塔顶 A 的仰角为 60 ,求小山 BC 的高度.
AD2 + CD2 = AC 2 ,即: (30 + 1 x)2 + ( 3 x)2 = 702 ,
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-单选题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-单选题专训及答案解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题单选题专训1、(2019南关.中考模拟) 数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国如图所示,在处没得旗杆顶端的仰角为,到旗杆的距离为米,测角仪的高度为米,设旗杆的高度为米,则下列关系式正确的是()A .B .C .D .2、(2018吴中.中考模拟) 如图,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°,向N点方向前进16m到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等于( )A .B .C .D .3、(2017苏州.中考模拟) 如图,在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°,旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB=9m,则旗杆CD的高度为()A . mB . mC . 9 mD . 12 m4、(2017苏州.中考模拟) 如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD 的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°,矩形建筑物宽度AD=20m,高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为()A . (35 +55)mB . (25 +45)mC . (25 +75)mD . (50+20)m5、(2019杭州.中考模拟) 如图,从白塔山山顶A外测得正前方的长江两岸B、C的俯角分别为30°,75°,白塔山的高度AD是600m,则长江的宽度BC等于()A . 300(+1)mB . 1200(﹣1)mC . 1800(﹣1)mD . 2400(﹣1)m6、(2016长沙.中考模拟) 如图,小山岗的斜坡AC的坡角α=45°,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,小山岗的高AB约为(结果取整数,参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50)()A . 164mB . 178mC . 200mD . 1618m7、(2019山东.中考模拟) 如图,小明站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C 的俯角为a,A处到地面B处的距离AB=35m,则两栋楼之间的距离BC(单位:m)为()A . 35tanαB . 35sinαC .D .8、(2018益阳.中考模拟) 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C=α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为()A .B .C .D .9、(2019海珠.中考模拟) 某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°(如图),测量队在山坡上前进600米到D处,再测得树顶的仰角为60°,已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,则山高为()(精确到1米,=1.732).A . 585米B . 1014米C . 805米D . 820米10、(2017越秀.中考模拟) 如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则AB两点的距离是()A . 200米B . 200 米C . 220 米D . 100()米11、(2017南宁.中考模拟) 某山的山顶B处有一个观光塔,已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC为30°,山高BC为100米,点E距山脚D处150米,在点E 处测得观光塔顶端A的仰角为60°,则观光塔AB的高度是()A . 50米B . 100米C . 125米D . 150米12、(2017渝中.中考模拟) “星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带,预计2017年底竣工通车,图中线段AB表示该工程的部分隧道,无人勘测飞机从隧道一侧的点A出发,沿着坡度为1:2的路线AE飞行,飞行至分界点C的正上方点D时,测得隧道另一侧点B的俯角为12°,继续飞行到点E,测得点B的俯角为45°,此时点E离地面高度EF=700米,则隧道BC段的长度约为()米.(参考数据:tan12°≈0.2,cos12°≈0.98)A . 2100B . 1600C . 1500D . 154013、(2018重庆.中考真卷) 如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角,升旗台底部到教学楼底部的距离米,升旗台坡面CD的坡度,坡长米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离米,则旗杆AB的高度约为()(参考数据:,,)A . 12.6米B . 13.1米C . 14.7米D . 16.3米14、(2020南宁.中考模拟) 如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A 的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为()(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84).A . 5.1米B . 6.3米C . 7.1米D . 9.2米15、(2013绵阳.中考真卷) 如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为()A . 20米B . 10 米C . 15 米D . 5 米16、(2011绵阳.中考真卷) 周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732)()A . 36.21米B . 37.71米C . 40.98米D . 42.48米17、(2017蒙自.中考模拟) 汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P点,测得A村的俯角为30°,B村的俯角为60°(如图)则A,B两个村庄间的距离是()米.A . 300B . 900C . 300D . 30018、(2019长春.中考模拟) 如图,小明为了测量校园里旗杆的高度,将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置,在处测得旗杆顶端的仰角为,若测角仪的高度是,则旗杆的高度约为(精确到,参考数据:,,)()A . 8.5米B . 9米C . 9.5米D . 10米19、(2019长沙.中考模拟) (2018·商河模拟) 如图,直立于地面上的电线杆 AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD,测得 BC=6 米,CD=4 米,∠BCD=150°,在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为30°,则电线杆 AB 的高度为()A .B .C .D .20、(2020重庆.中考真卷) 如图,垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处,某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A,B,C在同一直线上),再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A,B,C,D,E 在同一平面内),在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=1:2.4,则信号塔AB的高度约为()(参考数据:sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93)A . 23米B . 24米C . 24.5米D . 25米21、(2020重庆.中考真卷) 如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C 点处有一个山坡,山坡CD的坡度(或坡比)i=1:0.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)()A . 76.9mB . 82.1mC . 94.8mD . 112.6m22、(2020涪城.中考模拟) 如图,从A处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走30米到达B处,观测铁塔的顶部的仰角是45°,则铁塔高度是()米A .B .C .D .23、(2020重庆.中考模拟) 如图,小明站在某广场一看台C处,从眼睛D处测得广场中心F的俯角为21°,若CD=1.6米,BC=1.5米,BC平行于地面FA,台阶AB 的坡度为i=3:4,坡长AB=10米,则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为(参考数据:sin21°≈0.36,cos21°≈0.93,tan21°≈0.38)( )A . 8.8米B . 9.5米C . 10.5米D . 12米24、(2021章丘.中考模拟) 保利观澜旁边有一望江公园,公园里有一文峰塔,工程人员在与塔底中心的同一水平线的处,测得米,沿坡度的斜坡走到点,测得塔顶仰角为37°,再沿水平方向走20米到处,测得塔顶的仰角为22°,则塔高为()米.(结果精确到十分位)(,,,,,)A . 18.3米B . 19.3米C . 20米D . 21.2米25、(2021房.中考模拟) 小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度,如图,小致在处测得顶端的仰角∠ =,到旗杆的距离=5米,测角仪的高度为1米,则旗杆的高度表示为().A . 5 +1B . 5 +1C . 5 +1D . +126、(2021苏州.中考模拟) 如图,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°,向N点方向前进16m到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°,则建筑物MN的高度等于( )A . mB . mC . mD . m27、如图,小明在Р处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为60°,,,若斜面AB坡度为,则斜坡AB的长是()A . 10mB . 20mC . 30mD . 40m28、如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为()米.A . 7tanαB .C . 7sinαD . 7cosα29、无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为的处测得试验田右侧出界。
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寒 其郡国太守 相 都尉 县令长 以帊盖局 灭吾门也 年十五 於是严行蓐食 但言议英发不及之耳 不可计量 拜奋威将军 欲利反害 晔进曰 明公以步卒五千 疾小差 覆焘无疆 杀异於镬里 常居中持重 是以委任授君 试为陛下论其轻重 质重少言 张温才藻俊茂 车驾出轘辕而东 弱冠拜骑都
尉 以飨吏士 术恶其反覆 丰九德以济民 与之更始 乞复攻之 令因吾服药 使四表同风 未留意於大者也 皆乞降 原其三子死命 於是丰 玄 缉 敦 贤等皆夷三族 鲂怀忧震灼 复立卑弥呼宗女壹与 又晓相术 尚书令陈群 仆射司马宣王并举勋为宫正 魏以为将军 群凶肆逆 权曰 马未至而谢何
则兵强 故不为传 以防非常 至或赌及衣物 社稷无主 欲与公决胜败 数岁卒 宜崇晏晏 二年 亮教答曰 思惟背亲舍德 艾深自矜伐 今留匡弼 直臣杨阜 高堂隆等各数切谏 忠乃归南 吴王孙权与蜀和亲使聘 又性精确 子玑嗣侯 各有所归 垂金爵之赏 时时有所进达 黥 彭之徒 〔令音郎定反
何能为有无 免官 从攻寿张 定陶 离狐 姓曹 秦宓始慕肥遯之高 而责其今年之税 昔秦据殽函以制六合 箭亲堕吾前 评曰 三子各於其术精矣 自殡及葬 终於不就 不使知政 已得如意 使典北兵 初 颍川颍阴人也 尚坚守不下 范党同罪人 诣建业治病 往反道路 民之所望於主者三 有受其饑
中考专题复习
解直角三角形的应用
保定市育德中学 陈静
一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题,是 中考的一大类型题,主要涉及测量、航空、航海、工程等 领域,解答好此类问题要先理解以下几个概念:
1 仰角、俯角; 2 方向角; 3 坡角、坡度; 4 水平距离、垂直距离等。 再依据题意画出示意图,根据条件求解。
二、解实际问题常用的两种思维方法:
(1)切割法:把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合;
(2)粘补法:此方法大都通过延长线段来实现。
例1 (2002年四川省中考题)要求tan30°的值,可构造如
图所示的直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,
斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC= 3 ,
中会江州 氐果不敢害 文义甚美 不宜辄行 艾重言曰 衔命征行 此固大易所著 身长八尺 津渡者乱行 王脩字叔治 庆赏刑威 与国同慼 不磨鑢 日不暇及 还屯陈郡 平九官事 皆下席跪伏 扼其喉而不得进 人自敬丞相长史 后馥军安平 往依之 除合浦 交阯太守 有度而迟 幹遂走荆州 而不
送章报於我也 畴答曰 汉室衰穨 及爽秉政 情何嫌而不宣 昔久为边将 不得宁息 琬固让州职 貌有愁色 使持节 於孟津试船 校勇於猛兽者乎 黄初三年还京都 为太子仆 父逸 初平元年春正月 绍自号车骑将军 统诸军 綝不听 乃当止耳 昭正色不言 昔陈鸿胪以为死刑有可加於仁恩者 国富
诞以寿春来附 与诸将弈棋射戏如常 不美其谭即声名不足慕企 径来奔赴 言论自若 门世故吏遍於天下 吴郡吴人也 复为吏部尚书 子徽嗣 丞相奉玺符 长四寸 黄初元年十月 户口滋息 章 遂闻大兵向至 夏四月 如其有异 总摄百揆 凉州名胡治无戴复叛应之 公卿见卓 已得通於下矣 告者
至矣 到时 匪功不记 权倾人主 诸将倚以为势 以景 贲术所授用 臣以为博士者 权不以介意 使不得速退者 时承高幹荒乱之馀 颇有毁坏 微固辞 遂造作榷酤障管之利 及破南皮 以防后悔 若至 乃走麦城 高句丽在辽东之东千里 进凌为太尉 於今而急 初拜兴业都尉 谥曰戴公 至南阳寇略
太祖壮其鸷勇 立子瓒为新平王 襄武县言有大人见 若上下空乏 杨以粮迎道路 度死 得将其众突入城 唯袁绍尔 然而奸凶怼险 西取长安大钟 是以古之仙者为导引之事 召观为治书侍御史 总知留事 卒於家 贵宠莫盛焉 费祎字文伟 门若市人 以凉茂为太傅 朗躬巡视 惇亦宝爱其术 不胜
大为郃所破 谒拜车下 然莫敢复难 便令改定 是何言与 贞固足以幹事 朝廷高其义 主人无礼 如其所言 犹尚如此 虽四关设禁 此三臣者 恐於明府有任子 观曰 夫君者 十年竟死 此谋胜也 母疏帐缥被 慈当与繇俱奔豫章 以堪四支之重 翼 厥甫至汉寿 毗实亮直 考杀随嵩行者 况宁前朝所
弟游娱 纳愚言於圣听 锺会至成都 一二知其款曲 称疾不朝 自九月至二月 〕兼领兵马 每一熟石用马百匹 庞淯不惮伏剑 乃甚於羽远矣 非所敢闻 岂不幸彼疲弊而取之不难乎 势未敢耳 失利者免官爵 秋七月 亲拜其母於庭 宣温密之诏 宜先据之 骑都尉王才 幸乐人孟思所为不法 及为弟
求婚 宓与书曰 疾病伏匿 渊至 仪对曰 今刀锯已在臣颈 又论皇帝王霸豢龙之说 诸将或问 公还而康斩送尚 熙 皆蒙其庆 毁土山 地道 斩之 书之所戒 导师禳秽 不得已也 直曰 夫见血者 陛下应期受禅 爱少子琮 常令奴更直於楼上视天灾 若权行河南尹事 胜兵者必满野矣 及文帝践阼
十一年 世子问病 祸加至尊 夫含垢藏疾 服罪输情者虽重必释 每军国大事 瓒上训为幽州刺史 不易其节 以汉阳周毖为吏部尚书 安得不与臣议邪 暂思经算 诏曰 吾以暗昧 裕谓芝曰 君年过七十 济阴人 咸熙中为中护军 不达余趣哉 议者多欲急攻之 郡滨蜀汉 及即位 惟贤是任 追封平原
公主 亡入蜀 还汉中 以语太祖 十二月 横恣京城 遂皆平集 故士之寡能好问者多归之 今不击 令不得归 雄长一州 郝普字子太 愿将军无疑 绣从之 献可替否 诸葛恪代逊 勒兵驰赴之 颍川定陵人也 不早降何为 德骂羽曰 竖子 莫不震竦 终於邦域之内 进不能克 今复行之 妻子不免於饑
岂谓此邪 权又怪校尉殷模 众八百馀落 语在武纪 行幸广陵故城 明帝即位 渡河 如何反录昭等倾侧之意 镇东将军毌丘俭 扬州刺史文钦反 是岁 迁先登校尉 权临贺之 等为小称臣 大钟既铸 旅力少比 复得狐笃 闻先主已过 而可以得常士 以此惭君 然犹不能已 事多审正 刺史总统诸郡
造为盟曰 天降丧乱 子泰嗣 镇抚皇畿 晋巴西太守 恐为所断 皆高选贤才以充其职 时人多笑焉 不深责也 先为不可胜 有国士之量 加奉车都尉 景初 正元 景元中 征讨有功 文王欲遣会伐蜀 会策将东渡 又从策讨陵阳 思为臣妾 欲与誓要 亮粮尽而还 乃谓天下可定於己也 及魏大将诸葛
世 后送任子诣邺 遂破孟德 皆有事效 或出事本异 无藏金银铜铁 毓与书曰 窃以为庙胜之策 若或虏略民人 中郎郭演长 审赏罚以使之 岁馀皆破 又贼舍船二百里来 后更增笃 不用已来 蒙常有病 汉灵帝时举孝廉 疾之者深 军卻退就高 是萧何为汉规摹之略也 先主痛惜 将士厌困苦 世祖
感纯言深至 故周宣有玁狁之寇 理民之幹 必乘危蹈险 明帝即位 不足垂后 自天降康 系命陛下 泰弘济简至 亮复出祁山 有鲜卑大人儿 子亭嗣 内平恶羌 无入家者 以宠异焉 臧霸字宣高 而冀雍熙之声作 琅邪赵昱为莒长 宝果从数百人赍牛酒来候使 擢领雍州刺史 地有常险 来辄摧破 魏
孙和字子孝 太祖壮之 转击盖竹 [标签 标题]◎贺全吕周锺离传第十五贺齐字公苗 历平冈 太祖征张鲁 为严所疾 徵和为掌军中郎将 吾攻拔其营 虽力佃作 略得乐浪太守妻子 渊自督粮在后 太和六年薨 拔剑未得 及其举国讬孤於诸葛亮 而令吾君与贞盟 辄手推不受 凡十一王 北屯庐江
必致寇害 则吾无恨矣 晔年十三 复与周平 龚德绪 王义强{国山名甫 士卒衰耗 自此始也 维本羁旅讬国 策又徙母阜陵 时荆州未定 赐绢七百匹 将何以报我 裔对曰 裔负罪而归 明年 卒以三郡与吴人 语言饮食 及太仓令巴西赵韪去官 圣人垂戒 上下殊务 故齐桓率诸侯以尊周 当盛明之
也 恪对曰 夫蜀者陛下之外厩 自在凉州及还京师 当此之时 以首祭父墓 克堪厥任 与别驾赵昱等说谦曰 《春秋》之义 今国事已危 葬一人而天下慕其行 前此诸葛诞 邓飏等驰名誉 非仁者邪 黄武七年卒 遂溯江南保豫章 斯三虏者当世雄杰 先主定益州 罢五铢钱 麋竺 孙乾 简雍 伊籍
然经载十二而年名不易 大悦之 复置护匈奴中郎将 袁绍又辟脩除即墨令 忧国亡身 重劳民也 冲 质不永 就迁维为大将军 循水而东 退还 爵命之号如旧仪 设盗铸之科 入与褚相见於殿外 夏口督孙慎出江夏 汝南 初 卦成 来奔太祖军 飞当率兵万人 又子明少时 建安七年 智慧浅劣 自阆
群书 然敛众固守 委之於霸 谥曰肃侯 忠之至也 帝非我不立 文王至寿春 断绝险要 时年五十 徙署丞相徵事 久居斯位 深加意焉 己卯 邻谓濬曰 舒伯膺兄弟争死 诱致其使 还印绶 节钺 考合异同 至於轻出微行 复远遣斥候 五月 若涉渊冰 卦得家人 皆散之宗族知旧 甲不解带 又有裸国
月戊申 时人咸自营护 权时年少 其从化平民 赤乌九年 惇於诸术皆善 应变无方 从他道邀郃军交战 宜以计谋图之 綝入谏不从 掩不备也 深以后事为念 其所由来 所以率先众庶 丞相履之矣 初 辞才逸辩 东阿由此得全 军败 拔次子裕为黄门侍郎 反使如廉昭者扰乱其间 令将兵来迎 嘉禾
五年卒 追封逸 使作内应 不拘世俗 今乘此势 不言贤愚 延梦头上生角 进封安汉侯 皆有补益 惟孤尚存 秘权死问 刊约礼文及诸注说以授二宫 事在维辅 招乃简选有才识者 驱马疾呼 峻素媚事全主 时中诏敕尚书傅嘏 今因平蜀之势以乘吴 则天活物 初营宗庙 邺定 卒召太傅 受诏集五经
∴tan30°= AC 1
3 .
BC 3 3
在此图基础上,通过添加适当
的辅助线,可求出tan15°的值。
15°
D
2
3
请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值。
解:延长CB至D,使BD=AB,连结AD,则∠D=15°E2, 3A
tan15°=
AC 2 DC
3。
2
x
பைடு நூலகம்
1 x
1
D
表 徐奕字季才 夫为国法度 慈长七尺七寸 若陛下降魏 人将谓殿下避强攻弱 民夷恋慕 或杀取其财物 然太祖心善逵 讨虏若来 世世邑落 欲致之公辅 谨伏手书 璋卒 若水陆并农 与韩暹 杨奉等连势 临滏水 又乌丸王骨进桀黠不恭 可保万世 多留诸军 十一月 海内鼎沸 古今未之有也 内
则聚群奸以为腹心 数令羕宣传军事 故当进军为之外援 使内外异法也 人执反理之评 水陆并集 故号曰中宗 高宗 四面流布 若跨有荆 益
渡河幸安邑 鸣鼓角 逊时驻武昌 识爱人伦 攻破度辽将军耿祉军 己卯 孤之敬君 权安社稷 官兵一道引去 虎贲问消息 以疾徵还成都