3-2对偶问题的基本定理与性质_2

郭茜 交通运输系 2014年9月
nl y
x4 5/4 1/4 -1/4 -1/4
原问题变量
原问题松弛变量
x5
-15/2 -1/2 3/2 -1/2
原问题
对偶问题
min w = bTY ìATY ³ CT s.t.í îY ³ 0
max z = CX
In
te
对偶问题的最优解就是原问题最优单纯形表中多余变量对 应的zs的负值，即原问题最优单纯形表中多余变量对应的检 验数cs-zs的值。
y4 -1/4 1/2 7/2 x1
原问题剩余变量 y5 1/4 -3/2 3/2 x2
对偶问题松弛变量
U se
x4
O
x5
对偶问题变量
x1 = s m +1 = - z3+1 = - z4 = 7 / 2
In
只需求解出其中一个问题，从最优解的单纯形表可中同时得到另一个问 题的最优解。
te
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U se
O
n
最优解的互读性指的是原问题的最优解可以从 对偶问题的最优单纯形表中读出。原问题即可 以是最大化问题，也可以是最小化问题。 最优解的互读性指的是最初线性规划模型中决 策变量值的互读，而不包括加入的人工变量。
nl y
两点说明
一点启示
分析下列线性规划模型的求解问题: min z = 5 x 1 + 4 x 2 ì x1 + 2 x 2 ³ 6 ï ï 2 x1 - x 2 ³ 4 s .t . í 5 x 1 + 3 x 2 ³ 15 ï ï î x j ³ 0 , j = 1, 2
te
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al
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U se
要对此对偶模型求解，引入两个松弛变量把约束条件方程 化为等式，而松弛变量本身就构成了单位矩阵，然后直接用单 纯形法求解，这样变量很少，计算量也很小，最后利用对偶问 题的最优单纯形表读出原问题的最优解即可。
原问题
最优解
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对应关系 对偶问题
最优解
In
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四
对偶定理 定理3.4 若原问题有最优解，那么对偶问题也一定有最优 解，而且原问题与对偶问题的最优目标函数值相等。
O
nl y
原问题
对偶问题
In
若要对此模型求解，必须先引入三个多余变量化为等式， 另外还要引入三个人工变量才能构造出单位矩阵，然后才能用 大M法或两阶段法求解，这样就造成变量大量增加，而且计算 量也加大。 如果基于前面叙述的最优解互读性，先对对偶问题进行处 理和求解，再确定原问题的最优解，这就简化了求解麻烦的问 题，下面写出对偶问题的模型：
max z = CX ìAX £ b s.t.í îX ³ 0
min w = bTY
由定理3.4的证明过程及线性规划模型典式的生成过程可知：
对偶问题的最优解就是原问题最优单纯形表中松弛变量xs对应zs的值； 即原问题最优单纯形表中松弛变量xs对应的检验数cs-zs的负值。
In
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U se
推论： 推论3.1 若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问 题不可行。 也可以这样描述：若原问题为无界解，则对偶问题就无可 行解。 推论3.2 若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题 不可行。也可以这样描述：若对偶问题为无界解，则原问题 就无可行解。
O
nl y
原问题
有可行解，但无界 无可行解 有可行解，但无界 无可行解
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Hale Waihona Puke Baidu
二
弱对偶性
C X £ bT Y
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一
对称性 定理3.1 对偶问题的对偶是原问题。 可以把对称中的两个模型任选一个作为原问题 另外一个就成为它的对偶问题。
O
ìAX £ b s.t.í îX ³ 0
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O
ìATY ³ CT s.t.í îY ³ 0
nl y
五、最优解的互读性
max z = 2x1 + x2 ì 5x2 + x3 = 15 ï6x + 2x + x = 24 ï 1 2 4 s.t. í ï x1 + x2 + x5 = 5 ï x j ³ 0, j = 1,L,5 î
nl y
x1 x3 x1 x2 15/2 7/2 3/2 cj-zj 0 1 0 0
x2 0 0 1 0
x3 1 0 0 0
O
y1
U se
y5
对偶问题剩余变量
对偶问题变量 y2 y3
te
In
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y4
y1 = -s m+1 = zm+1 = z3 = 0 y2 = -s m + 2 = zm+ 2 = z4 = 1 / 4 y3 = -s m +3 = zm+ 3 = z5 = 1 / 2
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表中清楚地看出两个问题变量之间的对应关系： x2 = s m + 2 = - z3+ 2 = - z5 = 6
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n
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U se
一、对偶问题的对称性 二、对偶问题的弱对偶性 三、可行解是最优解的性质 四、对偶定理 五、最优解的互读性
O
对偶问题的基本定理与性质
nl y
原问题
对偶问题
In
te
定理3.2 设 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解， 则原问题的目标函数值不超过对偶问题的目标函数值，即：
U se
x2 0 0 1 0 x3 1 0 0 0 y5 y1
O
原问题松弛变量 x4 5/4 1/4 -1/4 -1/4 对偶问题变量 y2 y3 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
In
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y4
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对偶问题剩余变量
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O
nl y
In
从以上的求解分析可以看出，对目标函数是min型，约束 条件方程存在“≥”的形式，就不必引入人工变量，而对它的对 偶问题进行求解即可。这也为这类线性规划问题的求解提供了 另一种策略。 这种策略不是一个最优的求解思路，最优的求解思路之一 就是下一节介绍的对偶单纯形法。
O
max w = 6 y1 + 4 y 2 + 15 y 3 ì y1 + 2 y 2 + 5 y 3 £ 5 ï s.t.í2 y1 - y 2 + 3 y 3 £ 4 ï y j ³ 0 , j = 1,2,3 î
nl y
对应关系
O al U se
In
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对偶问题
无可行解 有可行解，但无界 无可行解 有可行解，但无界
三
可行解是最优解的性质
定理3.3 设是 X 原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解， 当C X = bT Y 时， X 和 Y 就分别是各自问题的最优解。
ìATY ³ CT s.t.í îY ³ 0
nl y
max z = CX
min w = bTY
In
推论3.4 若对偶问题可行，而原问题不可行，则对偶问题的 目标函数值无界。
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推论3.2的逆推论：若原问题不可行，则对偶问题目标函数 值无界。 推论3.3 若原问题可行，而对偶问题不可行，则原问题的目 标函数值无界。
原问题变量 x1 x3 x1 x2 15/2 7/2 3/2 cj-zj 0 1 0 0
min w = 15 y1 + 24 y2 + 5 y3 ì 6 y2 + y3 - y4 = 2 ï s.t. í5 y1 + 2 y2 + y3 - y5 = 1 ï y ³ 0, i = 1,L ,5 i î
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ìAX £ b s.t.í îX ³ 0
nl y
原问题变量 y1 y2 y3 1/4 1/2 cj-zj -5/4 15/2 15/2 x3 y2 1 0 0 y3 0 1 0
nl y