级数求和的方法
级数求和的技巧与方法
级数求和的技巧与方法世间的一切现象，都可以用数学语言进行描述和表达。
而级数，作为数学中非常重要的一种数列形式，被广泛应用于各种领域。
对于级数的求和，是数学分析中常常遇到的问题。
本文将探讨级数求和的技巧和方法。
一、级数和首先，我们需要明确什么是级数和。
级数和指的是数列的和，只不过这个数列是由表达式得到的。
具体而言，如果有一个数列$\{a_n\}$，那么它对应的级数就是：$$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...$$而级数和也就是$S$的值。
在计算级数和时，我们需要用到各种技巧和方法，下面将分别进行介绍。
二、收敛与发散在级数求和之前，我们需要了解一下收敛和发散的概念。
如果一个级数的和可以被有限地表示，那么这个级数就是收敛的；反之，如果它的和不能被有限地表示，那么这个级数就是发散的。
要注意的是，有些级数是交替收敛的（即部分和的符号交替），有些是条件收敛的（即正、负项级数分别收敛），而有些是绝对收敛的（即正、负项级数分别收敛且绝对值级数收敛）。
这些收敛方式会影响到我们后面讲解的级数求和方法，需要特别注意。
三、重要技巧与方法1. 赋值变形法对于一些级数，如果我们对原始式子进行赋值变形，就能使其变得容易求和。
比如：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1$$这里使用了一个常见的技巧——部分分式分解，具体的证明过程略，可以自行思考。
通过赋值变形法，我们可以将原本比较复杂的级数转化为一个简单的几何级数或等差级数等等，从而完成求和的操作。
2. Telescoping SeriesTelescoping series是指那些可以通过一些特殊的技巧使得级数的每一项之间产生会互相抵消的级数。
比如：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1$$这里使用了一个常见的技巧——部分分式分解，具体的证明过程略，可以自行思考。
求级数的和的方法总结
求级数的和的方法总结求解级数的和是数学中常见的问题之一、在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列，而求解级数的和就是对这些项进行求和运算得到的结果。
级数求和方法的总结如下：一、等差级数求和：等差级数是指级数中每一项与前一项之差都是相等的级数，求等差级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等差级数和的公式为Sn = (n/2)(a1+an)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项。
通过代入这些值即可求得。
2. 差分法：将等差级数分解为两个等差数列之和，然后分别求和。
例如，Sn = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+(a1+d(n-1))) = (2a1+d(n-1))(n/2) = (2a1+2d(n-1))(n/4) = 2(a1+d(n-1))(n/4)。
二、等比级数求和：等比级数是指级数中每一项与前一项之比都是相等的级数，求等比级数的和的方法包括以下几种：1. 公式法：等比级数和的公式为Sn = (a1 - an*r)/(1-r)，其中n为级数的项数，a1为第一项，an为第n项，r为公比。
通过代入这些值即可求得。
2. 求和法：当公比r在-1到1之间时，等比级数和的求和公式可以通过不断地相加前n项来逼近真实值。
即Sn = a1/(1-r) - an*r/(1-r)。
三、收敛级数求和：收敛级数是指级数在求和过程中会逐渐趋于一个有限的值的级数。
常用的收敛级数求和方法主要有以下几种:1. 逐项求和法：如果级数每一项能够逐项求和，那么可以通过逐项求和来求得级数的和。
例如，级数Sum(1/n^2) = 1/1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ...，可以通过逐项求和将级数的每一项相加来得到和。
2. 极限求和法：如果级数满足级数的通项能够构造成一个已知数列，那么可以通过求出这个数列的极限来得到级数的和。
例如，级数Sum(1/n) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...，通过求出数列1/n的极限为0，可以得知级数的和为无穷大。
数列与级数的8种求和方法专题讲解
数列与级数的8种求和方法专题讲解简介本文将介绍数列和级数的8种常见求和方法，包括递推公式、几何级数、等差数列求和、等比数列求和、伪等差数列求和、伪等比数列求和、特殊级数求和和无穷级数求和。
1. 递推公式递推公式是通过前一项和该项之间的关系来逐项求和的方法，通常用于求解迭代式数列的和。
递推公式可以通过给定的初始项以及递推关系进行求和。
2. 几何级数几何级数指的是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解几何级数的和可以通过使用几何级数公式来进行计算。
3. 等差数列求和等差数列是一个数列中的各项与其前一项之差保持恒定的数列。
求解等差数列的和可以通过等差数列求和公式进行计算。
4. 等比数列求和等比数列是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解等比数列的和可以通过等比数列求和公式进行计算。
5. 伪等差数列求和伪等差数列是一个数列中的各项与其下标之差保持恒定的数列。
求解伪等差数列的和可以通过伪等差数列求和公式进行计算。
6. 伪等比数列求和伪等比数列是一个数列中的各项与其下标之比保持恒定的数列。
求解伪等比数列的和可以通过伪等比数列求和公式进行计算。
7. 特殊级数求和特殊级数指的是具有特殊性质的级数，如调和级数、斐波那契级数等。
求解特殊级数的和需要根据其特定的性质和规律进行计算。
8. 无穷级数求和无穷级数是指一个无穷多项的级数。
求解无穷级数的和需要使用极限的概念，并根据级数的收敛性和发散性进行判断和计算。
以上是数列与级数的8种常见求和方法的专题讲解。
每种求和方法都有其适用的情况和特点，在实际问题中需要选择合适的方法进行求解。
希望本文能为读者提供一些有用的参考和指导。
求级数的和的方法总结
求级数的和的方法总结前言在数学中，级数是由一列项按照一定的规律相加而得到的无穷和。
求解级数的和是数学中经典的问题之一，在实际的计算和应用中有着重要的意义。
本文将总结几种常用的方法和技巧，用于求解级数的和。
1. 等差数列求和公式等差数列是最简单的一种级数形式，其项之间的差值是一个常数。
对于等差数列来说，可以使用简便的求和公式来求解其和。
假设等差数列的首项为 a，公差为 d，需要求和的项数为 n。
则等差数列的和Sn 可以通过以下公式计算：Sn = n * (2a + (n - 1) * d) / 22. 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的级数形式，其项之间的比值是一个常数。
对于等比数列来说，同样可以使用简便的求和公式来求解其和。
假设等比数列的首项为 a，公比为 r(0 < r < 1)，需要求和的项数为 n。
则等比数列的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)3. 几何级数求和公式几何级数是一种特殊的等比数列，它的首项为 1，公比为 r(0 < r < 1)。
几何级数是一种无穷级数，需要通过求和公式来获得其和。
几何级数的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = 1 / (1 - r)需要注意的是，几何级数的公比必须在 0 和 1 之间才能使用该公式。
4. 泰勒级数求和泰勒级数是一种将函数表示为无限次可导的多项式的级数形式。
它是数学中重要的工具，在近似计算和函数拟合中有广泛的应用。
而求解泰勒级数的和可以通过不断迭代计算项的累加值来完成。
泰勒级数的和计算过程中需要指定求和的项数，通常情况下，项数越多，计算结果越接近原函数的值。
5. 变形与分解对于一些复杂的级数，求和的方法可能不是直接适用的，此时可以通过变形和分解的方式来简化求解的过程。
比如，对于某些级数可以将其拆分成多个子级数，然后分别求解每个子级数的和，最后再汇总得到原级数的和。
级数和的定义
级数和的定义级数是数学中重要的概念，它描述了无限个数的和。
在实际问题中，级数经常用于物理、工程、经济等领域的建模和计算。
本文将介绍级数和的定义以及与之相关的概念和定理。
首先，我们来定义级数。
级数是由无穷个数的和所组成的表达式，通常表示为∑(n=1 to ∞) a_n ，其中a_n是数列的第n个元素。
例如，∑(n=1 to ∞) 1/n 就是一个级数，每一项都是数列1/1, 1/2, 1/3, ...中的元素。
接下来，我们将介绍级数和的计算方法。
对于某个级数∑(n=1 to ∞) a_n，存在以下三种情况：1. 收敛：如果级数的和存在有限的极限L，则称该级数收敛，记为∑(n=1 to ∞) a_n = L。
在计算级数和时，我们通常使用部分和的概念。
级数的第n个部分和记为S_n，它表示级数前n 个数的和。
当n趋向于无穷大时，如果S_n趋向于一个有限的值L，则级数收敛，并且∑(n=1 to ∞) a_n = L。
2. 发散：如果级数的和不存在有限的极限，则称该级数发散。
这意味着无论我们取的n多大，级数的部分和都没有一个有限的极限值。
3. 不收敛也不发散：有些级数既不收敛也不发散。
这些级数没有定义一个有限的极限值，同时也没有无限地趋向于正无穷或负无穷。
这种情况下，级数的和是没有定义的。
在计算级数和时，有一些常用的方法和技巧，例如：1. 等比级数求和公式：对于等比数列 a, ar, ar^2, ar^3, ... ，如果0 < r < 1，则等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n = a / (1 - r)。
例如，∑(n=0 to ∞) (1/2)^n = 1 / (1 - 1/2) = 2。
2. 绝对收敛与条件收敛：对于级数来说，我们可以讨论其所有项的绝对值之和，即∑(n=1 to ∞) |a_n|。
如果这个绝对值级数收敛，则称原级数绝对收敛。
如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。
级数求和的方法
级数求和的方法标题: 级数求和的方法正文:级数是一类重要的数学函数,在实际应用中有着广泛的应用。
其中,级数求和是一种常见的计算方式。
下面,我们将介绍一种常见的级数求和方法,即对数级数求和。
假设有一个正整数n,我们定义一个级数:$$a_0 + a_1 + cdots + a_n = frac{1}{1 - x^n}$$其中,$a_0, a_1, cdots, a_n$是正整数,$x$是一个实数。
这个级数可以表示为:$$a_0 + a_1 + cdots + a_n = sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$那么,级数求和公式如下:$$frac{1}{1 - x^n} = sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$这里,$frac{1}{1 - x^n}$是一个常数函数,可以表示为:$$frac{1}{1 - x^n} = frac{1}{1 - x} cdot sum_{k=0}^{n} a_k x^k$$ 将级数和级数求和公式代入,可以得到:$$frac{1}{1 - x} cdot sum_{k=0}^{n} a_k x^k = a_0 + a_1 + cdots + a_n$$ 这就是级数求和公式。
我们可以使用这个公式来计算任意级数。
例如,我们可以计算以下两个级数的和:$$1 + 2 + cdots + 9 = frac{10}{1 - x^9}$$$$frac{1}{1 - x} cdot (1 + 2 + cdots + 9) = frac{10}{1 - x}$$将这两个级数代入级数求和公式,可以得到:$$frac{10}{1 - x} = sum_{k=0}^{9} a_k x^k$$$$10 = a_0 + a_1 + cdots + a_9$$$$a_0 = 1, a_1 = 2, cdots, a_9 = 10$$这就是一个典型的对数级数求和的例子。
除了对数级数求和,还有其他的级数求和方法。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法一、列方程法：列方程法是通过将级数的部分项与一些已知的函数进行比较，然后列出方程，并求解得到级数的和。
常用的列方程法有以下几种：1.等差级数：等差级数是指级数的每一项与前一项之间的差都相等的级数。
求等差级数和的方法有两种常用的方式：（1）利用等差级数的通项公式：对于等差级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等差级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等差级数的求和公式：等差级数的求和公式是 Sn = (a1 + an)n/2，其中n表示级数的项数，a1表示首项，an表示末项。
将对应的值代入公式，即可求得等差级数的和。
2.等比级数：等比级数是指级数的每一项与前一项之间的比例都相等的级数。
求等比级数和的方法有以下两种常见的方式：（1）利用等比级数的通项公式：对于等比级数来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
利用这个通项公式，可以列出等比级数的部分和Sn的表达式，然后求解得到 Sn 的值。
（2）利用等比级数的求和公式：等比级数的求和公式是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示级数的项数。
将对应的值代入公式，即可求得等比级数的和。
二、借助公式法：由于有些级数的部分和难以直接计算，可以利用已知的级数求和公式，借助一些已知级数的和，表示成新的级数的和。
常见的借助公式法有以下几种：1.幂级数的求和公式：幂级数是指级数的每一项都是幂函数的项。
对于幂级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的幂级数表示成一个已知幂级数的和，从而利用已知的幂级数求和公式得到级数的和。
2.三角函数级数的求和公式：三角函数级数是指级数的每一项都是一个三角函数的项。
对于三角函数级数来说，有一些常用的求和公式，可以将一个复杂的三角函数级数表示成一个已知三角函数级数的和，从而利用已知的三角函数级数求和公式得到级数的和。
级数的求和技巧
级数的求和技巧级数求和是数学中的基本问题之一，其在数学和应用领域有着重要的应用。
在本文中，我将介绍一些求和的技巧和方法，并给出一些有趣的例子。
一、等差数列求和等差数列是指一个数列中的每一个数都与它的前一个数之差相等。
如果我们想求一个等差数列的前n项和，可以使用以下方法：1. 直接相加法：将等差数列的每一项相加，得到总和。
例如，求等差数列1, 3, 5, 7, 9的和，可以直接计算1+3+5+7+9=25。
2. 差分求和法：通过求等差数列的差分，将其转化为等比数列，然后再使用等比数列求和的方法求解。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以计算差分得到2, 2, 2, 2，然后将2视为等比数列的公比，再计算等比数列的前n项和，最后乘以公差得到原等差数列的和。
3. 数列性质法：对于等差数列a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d，它的前n项和可以表示为Sn = (第一项+ 最后一项) * 项数/ 2。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以使用Sn = (1 + 9) * 5 / 2 = 25来求和。
二、等比数列求和等比数列是指一个数列中的每一个数都与它的前一个数之比相等。
如果我们想求一个等比数列的前n项和，可以使用以下方法：1. 直接相乘法：将等比数列的每一项相乘，然后得到总和。
例如，求等比数列1, 2, 4, 8的和，可以直接计算1 * 2 * 4 * 8 = 64。
2. 求和-减法法：对于等比数列a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)，我们可以计算Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
例如，对于等比数列1, 2, 4, 8，我们可以使用Sn = 1 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 15来求和。
3. 数列性质法：对于等比数列a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)，它的前n项和可以表示为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
级数求和的方法及其收敛性的判断
级数求和的方法及其收敛性的判断级数求和是数学中常见的问题，涉及到无穷求和的运算。
本文将介绍常见的级数求和方法，并讨论如何判断级数的收敛性。
一、级数求和的方法1.1 等差数列的求和公式对于等差数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，其求和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$n$为项数，$a_1$为首项，$a_n$为末项。
1.2 等比数列的求和公式对于等比数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$，其求和公式有两种情况：当$|q|<1$时，级数的和为$S_\infty=\frac{a_1}{1-q}$；当$|q|\geq1$时，级数发散。
1.3 幂级数的求和公式幂级数是指形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的级数，其中$a_n$为系数，$x$为变量。
根据幂级数的收敛半径，可以通过将$x$代入幂级数的求和公式来计算级数的和。
二、级数收敛性的判断2.1 正项级数判别法对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果极限$\lim_{n \to\infty}a_n=0$，则级数收敛；如果极限$\lim_{n \to \infty}a_n\neq0$，则级数发散。
2.2 比值判别法对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算$\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该极限存在且小于1，则级数绝对收敛；如果该极限大于1，则级数发散；如果该极限等于1，则判定不确定。
2.3 根值判别法对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算$\lim_{n \to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$，如果该极限存在且小于1，则级数绝对收敛；如果该极限大于1，则级数发散；如果该极限等于1，则判定不确定。
2.4 积分判别法对于形如$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的级数，若存在连续函数$f(x)$使得$f(n)=a_n$，则考虑对应的函数级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$。
复分析中的级数求和方法比较
复分析中的级数求和方法比较在复分析中，级数求和是一个常见而重要的问题。
不同的求和方法可以对级数的求和结果产生不同的影响。
本文将比较几种常用的级数求和方法，并探讨它们的优缺点。
一、逐项求和法逐项求和法是最直观的一种求和方法。
对于级数\(\sum_{n=0}^\infty a_n\)，逐项求和法即将每一项\(a_n\)依次相加。
这种方法的优点是简单易懂，容易计算。
然而，逐项求和法不适用于绝对收敛级数，因为级数的逐项求和可能无穷大。
二、部分和法部分和法是将级数的前n项相加，即\(\sum_{k=0}^n a_k\)。
通过逐渐增加n的值，我们可以逼近级数的和。
部分和法在计算有限项级数时非常有效，尤其是对于条件收敛级数。
然而，对于发散的级数，部分和法并不能给出一个确定的结果。
三、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断级数收敛的一种方法。
对于级数\(\sum_{n=0}^\infty a_n\)，如果对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，存在正整数N，使得当m和n大于N时，有\(\left|\sum_{k=n}^ma_k\right|<\varepsilon\)，则称级数收敛。
柯西收敛准则的优点是可以判断一个级数是否收敛，但是不能给出具体的和值。
四、绝对收敛级数的重新排列对于绝对收敛级数\(\sum_{n=0}^\infty a_n\)，我们可以通过重新排列项的顺序来改变级数的和。
重新排列后的级数可能会收敛到不同的值，甚至可能发散。
这种方法的优点是可以改变级数的和，但是缺点是无法改变发散级数的和。
五、特殊函数法特殊函数法是通过引入特殊函数来表示级数的和。
例如，指数函数、对数函数、三角函数等可以用来表示特定的级数。
这种方法在一些特殊级数的求和中比较常见，可以简化计算过程。
然而，特殊函数法并不适用于所有级数，且需要具备特定的数学知识。
综上所述，不同的级数求和方法各有优缺点。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法。
关于数项级数的求和方法
关于数项级数的求和方法
数项级数求和的方法有：
一、等差数列求和法：
1、直接求和：将等差数列中的各项做加法，累加后得出结果。
2、使用求和公式：当等差数列的第一项为a1，公差为d时，则前n项和为Sn=n/2(a1+an)。
二、等比数列求和法：
1、使用数学归纳法：可以将等比数列做归纳，计算前n项和。
2、使用求和公式：当等比数列的第一项为a1，公比为q时，则前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
三、数项级数求和法：
1、使用数学归纳法：可以将数项级数做归纳，计算前n项和。
2、使用收敛公式：当数项级数的第n项sn趋于0时，则前n项和为s=s1+s2+s3+…+sn。
3、使用拉格朗日级数展开法：以一定准则对数项级数进行展开，求出等式左右两边的级数和。
四、通项公式求和法：
1、椭圆积分公式：将椭圆函数的积分区间从0到π/2，求得椭圆积分公式；
2、半径公式：将圆心角从0到3π/2，求得半径公式；
3、极角公式：将圆锥截面角度从0到360°，求得极区积分公式；
4、螺旋线积分公式：将螺旋角从0到2π，求得螺旋线积分公式。
级数求和方法及其收敛性分析
级数求和方法及其收敛性分析级数是数学中一个重要的概念，求和方法及其收敛性分析是对级数进行深入研究的核心内容。
本文将介绍常见的级数求和方法，并着重讨论它们的收敛性。
一、级数求和方法1. 部分和求和法所谓部分和，就是将级数的前n项相加得到的和，即Sn = a1 + a2 + ... + an。
部分和求和法是最简单直观的一种求和方法，但仅对某些特殊的级数有效。
2. 数学归纳法数学归纳法在级数求和中也经常会用到。
它的基本思想是将级数的部分和表示成待求项的形式，并通过递推关系求解。
数学归纳法在证明级数收敛性和求解级数和的问题中有广泛应用。
3. 积分法积分法是一种常用的级数求和方法。
通过将级数化为函数的积分形式，可以利用积分的性质来求得级数和。
例如，对于幂级数和三角级数，积分法是一种常见的求和方法。
4. 递推关系法递推关系法也是一种常见的求和方法。
它建立了级数的部分和与待求项之间的递推关系，通过逐一计算部分和来逼近级数和。
递推关系法在级数求和中有着广泛的应用。
二、级数的收敛性分析在进行级数求和时，我们需要分析级数的收敛性以确保求和的正确性。
常用的收敛性分析方法有以下几种：1. 收敛判别法收敛判别法是判断级数是否收敛的基本方法。
常见的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些方法根据级数项的大小、比值或积分等特征，给出了判断级数收敛性的准则。
2. 绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛是对级数收敛性的一种分类。
如果一个级数的任意一项的绝对值都是收敛的，那么这个级数称为绝对收敛。
如果一个级数是收敛的，但不是绝对收敛的，那么这个级数称为条件收敛。
绝对收敛级数具有更好的性质，条件收敛级数则需注意级数项的顺序对结果的影响。
3. 收敛域对于幂级数而言，收敛域是一个重要的概念。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛。
通过幂级数的收敛域，我们可以判断幂级数收敛的范围，并进一步计算其和函数。
4. Abel定理和Dirichlet定理Abel定理和Dirichlet定理是级数收敛性分析中的两个重要定理。
级数求和_精品文档
级数求和级数是数学中一种重要的数列形式，也是数学分析的重要内容之一。
级数求和是指对级数中的每一项进行加和计算，从而得到一个确定的数值。
在数学中，级数可以分为无穷级数和有限级数两种形式。
无穷级数是指有无穷多项的级数，表示为∑(n=1到∞)an，其中an为级数的每一项正负数列。
而有限级数是指只有有限个项的级数，表示为∑(n=1到N)an，其中N为级数的最大项数。
对于有限级数，求和的方法很简单，只需将级数的每一项相加即可。
例如，给定级数S=∑(n=1到N)an，要求求和，只需计算S=a1+a2+a3+...+aN。
而对于无穷级数的求和，则需要借助某种方法进行计算。
以下是几种常见的求和方法及示例：1.等差数列求和方法：对于形如S=∑(n=1到∞)an的等差数列级数，如果能找到一个常数d使得an与an+1之间的差恒为d，即an+1=an+d，那么可以利用等差数列的求和公式来求解。
等差数列的求和公式为Sn=(n/2)(a1+aN)，其中Sn为前n项和，a1为首项，aN为尾项。
例如，考虑级数S=∑(n=1到∞)2n，可以发现an+1=2n+2=2(n+1)，与an之间的差恒为2。
因此，可以使用等差数列的求和公式来计算，得到S=(∞/2)(2+∞×2)=∞。
2.等比数列求和方法：对于形如S=∑(n=1到∞)an的等比数列级数，如果能找到一个常数r使得an与an+1之间的比值恒为r，即an+1=ran，那么可以利用等比数列的求和公式来求解。
等比数列的求和公式为Sn=(a1(1-r^n))/(1-r)，其中Sn为前n项和，a1为首项，r为公比。
例如，考虑级数S=∑(n=1到∞)(1/2^n)，可以发现an+1=(1/2)^(n+1)，且an=(1/2)^n，两者的比值恒为1/2。
因此，可以使用等比数列的求和公式来计算，得到S=(1/(1-(1/2)))=2。
3.幂级数求和方法：幂级数是指级数的每一项都是形如anx^n的函数。
高等数学中的级数求和
高等数学中的级数求和一、引言高等数学是大学数学的重要组成部分，其中级数求和是一个重要的概念和方法。
本文将从级数的定义入手，逐步介绍级数求和的基本原理和方法，以及一些常见的级数求和公式和技巧。
二、级数的定义与性质1. 级数的定义级数是由一列数按照一定次序相加得到的无穷和。
形式上，级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散是判断级数求和是否有意义的关键。
我们可以通过一些判别法来判断级数的收敛性，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
3. 级数求和的基本性质级数求和具有一些基本的性质，如可加性、可乘性、绝对收敛与条件收敛等。
这些性质为我们进行级数求和提供了基础。
三、常见级数求和公式1. 等差级数求和等差级数是一种常见的级数形式，其求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2. 等比级数求和等比级数是一种比值具有固定比例的级数形式，其求和公式为：Sn = a1(1 -q^n)/(1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
3. 幂级数求和幂级数是一种以幂函数形式展开的级数，其求和公式为：S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...，其中x为自变量，ai为系数。
四、级数求和的技巧与方法1. 部分和法部分和法是一种通过求级数的部分和逐步逼近级数的求和值的方法。
通过适当选择部分和的项数，可以得到级数求和的近似值。
2. 积分法积分法是一种利用积分运算求解级数求和的方法。
通过对级数进行适当的积分变换，可以将级数求和问题转化为函数积分求解。
3. 递推关系法递推关系法是一种通过构造递推关系式来求解级数求和的方法。
通过递推关系式，可以将级数的求和问题转化为递推关系的求解问题。
五、应用与拓展级数求和在实际问题中有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等领域。
通过将实际问题转化为级数求和问题，可以得到一些重要的结论和解决方案。
求级数的和的方法总结
求级数的和的方法总结一、引言级数是高等数学中的一个重要概念，它是由无穷多个数相加而成的。
求级数的和是解决许多问题的基础，因此研究求级数和的方法具有重要意义。
二、常见方法1. 等差数列求和公式当级数为等差数列时，可以使用等差数列求和公式进行求和。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列前n项和Sn=n(a1+an)/2。
例如：求1+3+5+...+99的和。
解：首项a1=1，公差d=2，末项an=99。
所以Sn=n(a1+an)/2=50(1+99)/2=2500。
2. 等比数列求和公式当级数为等比数列时，可以使用等比数列求和公式进行求和。
等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
例如：求3+6+12+...+1536的和。
解：首项a1=3，公比q=2，末项an=1536。
由于1536/3=512，所以共有10个数字。
所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=3(1-2^10)/(1-2)=3069。
3. 幂级数求和当级数为幂级数时，可以使用幂级数求和公式进行求和。
幂级数的通项公式为an=cnx^n，其中cn为系数。
幂级数前n项和Sn=∑(n-1)k=0 cnx^k。
例如：求1+x+x^2+...+x^n的和。
解：Sn=∑(n-1)k=0 x^k=(1-x^n)/(1-x)。
4. 夹逼准则当级数无法使用上述方法进行求和时，可以使用夹逼准则进行估算。
夹逼准则即将待求的级数与已知的两个级数之间进行比较，从而确定待求级数的大小。
例如：求∑(n=1)^∞ 1/n 的和。
解：由于 1/(n+1)< 1/n < 1/n-1，所以有：∑(n=2)^∞ 1/n < ∑(n=2)^∞ 1/(n-1) = ∑(n=1)^∞ 1/n - 1 <∑(n=2)^∞ 1/(n+1)即：ln(n+1) < ∑(n=2)^∞ ⅟_n < ln(n)+C其中C为常量。
级数求和的八种方法
级数求和的八种方法级数求和是高等数学课程中经常出现的一个重要问题。
求和的方法因级数的性质和特点而异，下面介绍了八种方法，帮助我们更好地解决求和问题。
一、部分分式分解法部分分式分解是可用于求解一般有理函数的技术，可以将一个消去精度高的有理函数转换为单项式之和。
则，若级数为$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$，那么就有因此原级数可以改写为用局部熟知来代替繁琐的求和，求和得到$\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} -\frac{1}{3}+……+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$二、递推法定义$a_n$表示级数前n项总和，即则有$S_{1}=a_{1}$$S_{2}=a_{1}+a_{2}=S_{1}+a_{2}$……若能求出$a_n$的通项公式，则可以利用递推计算出$S_n$。
三、换序法如果知道级数的其中一项的值，那么就可以通过改变级数项的序列来大大简化求和问题。
换序法不影响级数的总和，因此只要找到如下的项$a_{n1},a_{n2},a_{n3},……,a_{nm}$，其中每一个$m$都满足那么原级数就可以换为$S_n=(a_1+a_2+a_3+……+a_{n_1-1})+(a_{n_1}+a_{n_2}+……+a_{n_m})+(a_{n_{m+1}}+……+a_n)$四、差分法对于一个级数，有时候会出现一个有规律的序列。
我们可以使用差分法来求解这个序列。
定义级数的前$n$项的差分序列为其中，$\Delta{a_k}=a_{k+1}-a_k$对于单调不降（单调不增）的数列，通过差分可以得到一个常数序列。
因此，级数前$n$项和可以表示为：$S_n=\frac{1}{2}a_1+\sum_{k=2}^{n}(\Delta{a_1}+\Delta{a_2}+……+\Delta{a_{k-1} })$五、Euler变换在求解级数之前，我们可以将级数转化为某个未知函数的级数，再进行求解。
级数求和方法总结
级数求和方法总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--级数求和方法总结一、定义法这是以无穷级数前n项求和的概念为基础，以拆项，递推等为方法，进行的求和运算。
这种方法适用于有特殊规律的无穷级数。
二、逐项微分法由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导。
三、逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和。
【拓展延伸】数列求和的方法一、分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。
一般步骤是：拆裂通项――重新分组――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2=n（n+1）2二、奇偶分析求和法求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶性有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。
级数求和的常用方法
级数求和的常用方法级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行函数值计算的一种工具,无穷级数的和是级数研究中的一项重要内容,级数求和方法在各高等数学教材中都有介绍，本文主要归纳出几种常用的级数求和方法，给初学者提供学习上的帮助.1数项级数求和的常用方法1.1 拆项法这是一种简单、常用的方法，适用于一些简单的级数求和问题,其基本思想是将级数∑∞=1n na的通项n a 分解为：n n n b b a -=+1，代入级数的部分和∑==nk kn as 1，相邻两项相消，则有11b b s n n -=+，若∞→n lim b b n =+1，则∑∞=1n n a ∞→=n lim n s =1b b -.例1 求级数∑∞=+-1)15)(45(1n n n 的和)5](1[P .解 ∑=+-=nk n k k s 1)15)(45(1=)151451(511+--∑=k k n k =)1511(51+-n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim )1511(51+-n =51例2 求级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和)5](1[P . 解 ∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++=nk n k n k k k k k k k s 11)2)(1(1)1(121)2)(1(1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-)2)(1(12121n n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim41)2)(1(12121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-n n 由以上两个例题可知，在遇到级数通项的分母是两个或三个因式的乘积而分子是一个常数时，就可以将分母适当的拆解，化成两项的差，从而用拆项法求级数的和.1.2 利用代入法求和在求数项级数的和时，有时可先转化为相应的幂级数，利用函数的幂级数展开式以及傅立叶级数展开式，把收敛区间内相应的数代入展开式中，从而求出数项级数的和.例如，常用∑∞==0!n nxn x e)(+∞<<-∞x ，∑∞=-=02)!2()1(cos n nnn x x )(+∞<<-∞x ，∑∞=--=+11)1()1ln(n n n n x x )11(≤<-x 等来求级数的和.例3 求级数1112)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n n n n的和.解 考虑幂级数111)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n x n n n其收敛半径为1，所以当21=x 时级数收敛，设其和函数为)(x f ，下面在)1,0(内求)(x f ， 由于1122)2)(1(+-+=++n n n n n所以 ∑∑∞=+++∞=++--+-=1111111)1(22)1()(n n n n n n n x n x x f ∑∑∞=∞=++++-++-=111211)1(2)1(2n n n n n n n x n x x x x x x x x -++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)1ln(2)1ln(222)1ln(21-+⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 令 21=x 便得，223ln 52)2)(1()1()21(111-=⋅++-=∑∞=++n n n n n n f 以上计算比较巧妙地运用了函数)1ln(x +的幂级数展开式.例4 求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.解 将函数x 在[]ππ,-上展成傅立叶级数得：∑∞=---=12)12()12cos(42n n xn x ππ， []ππ,-∈x 令 π=x ，则8)12(1212π=-∑∞-n n 在学习级数这一部分内容时，熟练掌握住特殊函数的幂级数展开式和傅立叶级数的展开式是很有必要的，它对于特殊的级数求和很有帮助.1.3 方程式法利用方程式法求和的关键是构造出关于n s 的方程式，解出n s 的具体的表达式，从而求出∞→n lim n s =s .例5 求级数∑∞=-113n n n的和.解 设 ∑=-=nk k n ks 113（1）则 ∑==nk k n ks 1331 （2）(1)-（2）得：n s 32=∑-=+11311n k k -n n 3=n n3211-+ =n n323- 所以 13249-⋅-=n n ns 所以49lim 311==∞→∞=-∑n n n n s n由以上例题可知当级数通项的分母是等比序列而分子是等差序列的关系时，常常通过构造出ns 的方程式，使得问题迎刃而解.1.4 利用欧拉常数法极限∞→n lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n k n k 1ln 1的值称为欧拉常数，设为)57721.0( =c c ，则有：∑=nk k 11=n c n ε++ln 其中∞→n lim 0=n ε,利用上式，可求某些数项级数的和. 例6 求级数∑∞=+1)12(1n n n 的和. 解 =n s ∑=+nk k k 1)12(1=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nk k k 11221=∑=nk k11-⎪⎭⎫⎝⎛++++12151312n =∑=nk k 11⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-n n n 2141211212221312112=∑=n k k 112-21221221++-∑=n kn k =()()21222ln 2ln 22++-++-++n n c n c n n εε =122222ln 222+--+-n n n εε 所以2ln 22lim )12(11-==+∞→∞=∑n n n s n n 把一些级数的部分和转换成含有欧拉常数的表达式，利用已知的欧拉常数进行求解. 1.5 利用子序列的极限[2](440)P我们知道，若2{}n s 与21{}n s +有相同的极限s ，则lim n x s s →∞=.因此对于级数1nn a∞=∑，若通项n a 0→（当n →∞），则部分和的子序列2{}n s 收敛于s ,意味着21{}n s +也收敛于s ，从而1n n a ∞=∑=s .我们把2{}n s 与21{}n s +成为互补子序列.这个道理可推广到一般：若1nn a∞=∑的通项n a 0→（n →∞），{}n s 的子序列1{}pn n s s ∞=→(p 是某个正整数)，则1n n a ∞=∑=s .这种方法称为子序列方法.例7 求级数 11111111111(1)()()2345627893++-+++-+++-+⋅⋅⋅的和. 解 此级数通项趋于零，因此只要求3n s 的极限，注意公式111123n+++⋅⋅⋅+=ln n c n ε++,其中c 为欧拉常数，0n ε→（当n →∞）因此 对原级数31111111123323n s n n=+++⋅⋅⋅+----⋅⋅⋅-=3ln 3ln ln 3n n n n εε-+-→（当n →∞） 所以 原级数的和为 ln3s =例8 将级数 111112345-+-+-的各项重新安排，使先依次出现p 个正项，再出现q 个负项，然后如此交替，试求新级数的和.解 因为通项趋于零，根据上述子序列求和法，对新级数我们只要求子序列()1{}p q n n s ∞+=的极限，新级数前()p q n +项的和()111111132124221p q n s p q p +=++⋅⋅⋅+----+-+111123412224p p q q +++--+-++11142n 212n 23q p p p p -⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+++----（）（）112n 12(22)p nq q +-----112(24)2nq q nq -⋅⋅⋅--- 11111113521242np nq=+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-- =111111111111()23452242242np np nq+++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅- 111111111(1)(1)222222np np nq=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+即 ()211ln(2)[ln()][ln()]22p q n np np nq s c np c np c nq εεε+=++-++-++→1ln 2ln 2pq+ （当n →∞）所以 所求级数的和为 1ln 2ln 2p q+当级数的某个子序列的极限能够适当的凑成欧拉常数且其通项趋与零时，常利用子序列的极限求解.1.6 利用级数的绝对收敛法若级数∑∞=1n nu是绝对收敛的级数，则当其中的项交换顺序时，级数的和不变.例9 求级数 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n的和.解 已知 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n绝对收敛因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-!31!2121!31⎪⎭⎫⎝⎛-=!51!4121!52 ……⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-)!12(1)!2(12)1()!12()1(n n n n nn……两边相加即得：∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++-++-=+-0)!12()1()!2()1(!51!41!31!2121)!12()1(n nn n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=∑∑∞=∞=00)!12()1()!2()1(21n n n n n n()1sin 1cos 21-=绝对收敛的交错级数求和时，一般常用级数的绝对收敛法求和.2函数项级数求和的常用方法2.1 逐项积分与逐项微分法在函数项级数一致收敛的条件下，如果欲求和的级数与一个已知和式的级数之间恰好存在微分(或积分)的关系，先对此级数逐项微分（或积分）后求和，然后再反过来求一次积分（或微分），便可得到此级数的和函数.例10 求级数∑∞=-112n n x n的和.解 因为 ∞→n lim nn a a 1+=∞→n lim 22)1(n n +=1， 所以1=R 当 x =1时，因为 ∞→2n ，故 当=x ±1时，级数发散所以 级数的收敛域为)1,1(-,当 )1,1(-∈x 时，令 )(x f =∑∞=-112n n x n逐项积分，得dt t f x⎰)(=dt tn n x n ∑⎰∞=-112=∑∞=1n n nx =2)1(x x- 所以当<x 1时，=∑∞=-112n n x n'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2)1()(x x x f 3)1(1x x-+=例11 求级数nn x n n 20!)12(∑∞=+的和. 解 因为 ∞→n limnn a a 1+=∞→n lim )12)(1(32+++n n n =0 故级数的收敛域为（+∞∞-,），当()+∞∞-∈,x 时， 令)(x f =nn x n n 20!)12(∑∞=+ 则 ∑∞=--+=112)!1()12(2)('n n x n n x f =[]1)1(21)!1(3)1(22+-∞=∑-+-n n x n n =24)(2x xe x xf +解一阶线性微分方程 -)('x f 24)(2x xe x xf = 有 )(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e xe e xdx x xdx2224)2(22c x e x += 因为 1)0(=f ， 代入上式得 1=c所以 当()+∞∞-∈,x 时，)12()(22+=x e x f x逐项积分与逐项微分法适用于求某些函数项级数的和函数，前提是函数项级数必须在所讨论的区间上一致收敛.2.2 三角级数求和法)442](3[P为了求级数nx un ncos 0∑∞=及nx u n n sin 0∑∞=的和，常把它视为复数域内幂级数n n n z u ∑∞=0（其中ix e z =）的实部和虚部.例12 求级数∑∞=0!cos n n nx的和. 解 令 ixe z = 考虑级数∑∞==0!n z ne n z 则 ∑∞==0!n nn z ∑∞=0!cos n n nx ∑∞=+0!sin n n nxi [])sin(sin )cos(sin cos sin cos x i x e e e x x i x z +==+故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=0!cos n n nx =)cos(sin cos x ex()∞<x 例13 求级数∑∞=1sin n n nx的和)472(]3[P . 解 令z=ixe ，则 ∑∞=-=111ln n n z nz ，而 xx iarctgx x i x z cos 1sin )cos 22ln(21)sin cos 1ln(11ln-+--=---=- )74](4[P =-xxiarctg x cos 1sin 2sin2ln -+ 则 ∑∑∑∞=∞=∞=+=111sin cos n n n n n nx i n nx n z故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=1sin n n nx ==-x x arctg cos 1sin )2(x ctg arctg =2x-π ()π20<<x在级数的通项含有正弦和余弦函数时，一般常应用三角级数求和法.以上介绍的级数求和的几种常用方法，对于解决此类问题会起到一定的指导作用.但是单纯地掌握几种方法还是远远不够的，关键是善于发现问题的特点，从而采取正确的方法解决问题.。
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6 解 已知 -
ln (1 -
x) =
∞ n= 1
xn n
(
-
1 ≤ x ≤ 1)
故
6 6 ∞
n= 1
n
1 3n
=
∞ (1 3) n = -
n= 1
n
ln (1 -
x)
= x = 1 3
ln
3 2
四、作为某一函数的傅里叶级数在指定点的值
例 6 利用 f (x ) = x 2 在[ - Π, Π] 的傅里叶级数, 求下列级数的和。
(2k - 1) 2- k =
(2k - 1)
k= 1
k= 1
(其中 G k = - 2- (k- 1) ) , 由差分性质 (3)
n
6 △[ - 2- (k- 1) ] =
Fk
k= 1
△G k
n
6 I n = F n+ 1 G n+ 1 - F 1G 1 -
G k+ 1 △F k
k= 1
F n+ 1 = 2 (n + 1) - 1 = 2n + 1 G n+ 1 = - 2- (n+ 1- 1) = - 2- n
解 由于 un =
(n
n +
1) !
=
1 n!
-
1 (n + 1) !
所以 S n =
1 2!
+
2 3!
+
…+
(n
n +
1) !
=
(
1 1!
-
从而nl→im∞S n = nl→im∞[ 1 -
1
1 3!
)
+
…+
(
1 n!
-
∞
6 (n
1 +
1)
!
]
=
1, 故 un =
Ξ 收稿日期: 2001—02—20。
第 4 卷第 2 期 金丹丽: 级数求和的方法 1 7
其中 q < 1
分 析 本题可以利用定义来求和, 但由于直接求部分和的极限有困难, 因此, 可利用欧拉公
∞
6 式, 借助于求复数项级数 rn ( r = qeiΑ) 的和, 以同时求得所给两个级数的和。 n= 1
ek iΑ =
qeiΑ 1 - qeiΑ
由欧拉公式 eiΑ = co sΑ+ isinΑ得
6∞ qk (co sk Α+
k= 1
isink Α) =
1
q (co sΑ+ isinΑ) - q (co sΑ+ isinΑ)
=
qco sΑ- q2 + iqsinΑ 1 + q2 - 2qco sΑ
比较等式两边的实部和虚部, 得解。
n= 1
1
例
2
求
1 2
+
3 22
+
5 23
+
…+
2n 2n
1+
…
解 S n =
1 2
+
3 22
+
5 23
+
…+
2n 2n
1
1 2
S
n
=
1 22
+
3 23
+
5 24
+
…+
2n - 1 2n- 1
(n
1 +
1) ! )
=
1-
1 (n + 1) !
两式相减
1 2
S
n
=
1 2
+
2 22
+
2 23
为止, 数学没有分裂为好几块, 依旧是完整的。尽管现代数学的研究范围在不断扩大, 有些观念看来 比较次要, 慢慢就被丢掉了, 但基本的观念始终在维持着。
我想今天就这样结束, 谢谢大家。(根据录音整理)
(上接第 12 页)
解
n2
(+
1) n- 1n (- 1) n-
1
=
(- 1) n- 1
n+
(-
1) n- 1 n
=
0, 所以存在N
>
0, 当 n >
N
时,
有
lnn n1 6
≤
1
6 6 所以, 当 n > N
时,
1
u
2 n
=
1 n7 6
ln 2 n n1 6
∞
≤
1 n7
6
,
而级数
n=
3
∞
1 n7 6
收敛,
所以级数
n=
3
1
u
2 n
收敛, 由定理 3 知,
6∞
级数
n= 3
(n2 3 +
1) n(-
1 lnn 1) n-
说明: 求级数的前 n 项和 S n 的表达式, 只能对一些特殊题目可行。
二、借助于已知和的级数, 利用收敛级数的运算性质
∞
6 例 4 求级数 n= 0
2n + n!
1 的和。
分析 本题可以借助已知和的级数, 通过收敛级数逐项加减的性质来求。
解 因 un =
2n + n!
1=
(n
2 - 1) !
在利用差分法求级数部分和之前, 先介绍差分的定义及性质
11 数列的差分: 设数列{F k } (k = 0, 1, 2, …) , 称 △F k = F k+ 1 - F k 为数列{F k } 的一阶差分。
21 差分的性质
设已知数列{F k } 和{Gk } (k = 0, 1, 2, …)
(1) 线性性质: 若 Α、Β 为常数, 则有
+
1 n!
(n
≥
1)
∞
∞
∞
∞
∞
6 6 6 6 6 则 un = n= 0
2
n= 1
(n
1 - 1) !
+
n= 0
1 n!
=
3
n= 0
1 。而
n!
n= 0
1 n!
=
e
∞
∞
6 6 故 2n + n= 0 n!
1=
3
n= 0
1 n!
=
3e
三、作为某一函数的幂级数在指定点的值
例 5 求下列级数的和
1 (2n -
1) 2 -
∞
(-
n= 1
1) nn2
1
=
Π2 8
-
Π2 12
=
Π2 24
五、借助于已知和函数的幂级数, 通过在其收敛域内逐项微分、逐项积分来求幂级数和
例 7 求幂级数的和
6∞
(- 1) n- 1
n= 1 n (2n - 1)
x 2n- 1 ( x ≤ 1)
分析 对一个给定的函数, 如何展成幂级数, 这是比较熟悉的事。但反过来给定一个幂级数如
Gk+ 1 = - 2- k △F k = △ (2k - 1) = 2; F 1 = 1, G 1 = - 2°= - 1
将 F 1, F n+ 1, G 1, G n+ 1, G k+ 1, △F k 等代入 I n 表达式即得
n
6 I n = (2n + 1)
(-
2- n) + 1 + 2 2- k = 1 -
6 x 2 =
Π2 3
-
∞
4
n= 1
(-
1) nn2
1
co snx x
∈
[-
Π, Π]
6 6 令 x =
∞
0, Π 得 (1) (-
n= 1
1) nn2
1
=
Π2 12
(
2)
∞ n= 1
1 n2
=
Π2 6
6 6 6 6 ∞
又
n= 1
(-
1) nn2
1
=
∞
n= 1
1 (2n -
1) 2 -
∞
∞
n= 1
△ (ΑF k + ΒG k ) = Α △F k + Β △Gk
(2) 乘积性质:
△ (F k G k ) = F k △G k + G k+ 1 △F k
(3) 分部性质:
n
6 Fk
k= 0
以上性质略去证明。
△G k = F n+ 1
Gn+ 1 -
F 0G 0 -
n
6 Gk+ 1
k= 0
△F k
x 0
1 x2
ln
(1
+
x 2) dx = -
1 x
ln
(1
+
x 2) +
2a rctanx (x ≠ 0)
6∞
于是, 得 (-
n= 1 n
1) n(2n
1x -
2n- 1
1)
=
2a rctanx -
1 x
ln
(1
+
x 2) (
x
0 x = 0
六、利用差分法求数项级数的部分和
< 1, x ≠ 0)
1
收敛。
1
=
(-
n2 3 ln n
+
1) n- 1 (- 1) n- 1
lnn
令 un =