[历年真题]2016年四川省高考数学试卷(文科)

2016年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位,则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D．（1,0）4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度5．（5分）设p:实数x,y满足x＞1且y＞1,q:实数x,y满足x+y＞2,则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点,则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．27．（5分）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．99．（5分）已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是（）A．B．C． D．10．（5分）设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．（0,+∞）D．（1,+∞）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11．（5分）sin750°=．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是．13．（5分）从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是．14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f（x）=4x,则f（﹣）+f（2）=．15．（5分）在平面直角坐标系中,当P（x,y）不是原点时,定义P的“伴随点”为P′（,）,当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:•①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A．‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．ƒ③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．三、解答题（共6小题,满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．17．（12分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；（II）证明:平面PAB⊥平面PBD．18．（12分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=．（Ⅰ）证明:sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q ＞0,n∈N+（Ⅰ）若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,且e2=2,求e12+e22+…+e n2．20．（13分）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P（,）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB 的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx,g（x）=﹣,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明:当x＞1时,g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值,使得f（x）＞g（x）在区间（1,+∞）内恒成立．2016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016•四川）设i为虚数单位,则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解:（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i,故选:C．【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．2．（5分）（2016•四川）设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】利用交集的运算性质即可得出．【解答】解:∵集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z={1,2,3,4,5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5．故选:B．【点评】本题考查了集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．3．（5分）（2016•四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D．（1,0）【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案．【解答】解:抛物线y2=4x的焦点坐标是（1,0）,故选:D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大,属于基础题．4．（5分）（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象,只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可得答案．【解答】解:由已知中平移前函数解析式为y=sinx,平移后函数解析式为:y=sin（x+）,可得平移量为向左平行移动个单位长度,故选:A【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则,熟练掌握图象平移“左加右减“的原则,是解答的关键．5．（5分）（2016•四川）设p:实数x,y满足x＞1且y＞1,q:实数x,y满足x+y＞2,则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1,可得:x+y＞2,反之不成立,例如取x=3,y=．【解答】解:由x＞1且y＞1,可得:x+y＞2,反之不成立:例如取x=3,y=．∴p是q的充分不必要条件．故选:A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．6．（5分）（2016•四川）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点,则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点,从而得出a的值．【解答】解:f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时,f′（x）＞0,﹣2＜x＜2时,f′（x）＜0,x＞2时,f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选D．【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象．7．（5分）（2016•四川）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×（1+12%）n﹣2015＞200,两边取对数即可得出．【解答】解:设第n年开始超过200万元,则130×（1+12%）n﹣2015＞200,化为:（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3,n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选:B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．8．（5分）（2016•四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．9【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解:∵输入的x=2,n=3,故v=1,i=2,满足进行循环的条件,v=4,i=1,满足进行循环的条件,v=9,i=0,满足进行循环的条件,v=18,i=﹣1不满足进行循环的条件,故输出的v值为:故选:C【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答．9．（5分）（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是（）A．B．C． D．【分析】如图所示,建立直角坐标系．B（0,0）,C．A．点P的轨迹方程为:=1,令x=+c osθ,y=3+sinθ,θ∈[0,2π）．又=,可得M,代入||2=+3sin,即可得出．【解答】解:如图所示,建立直角坐标系．B（0,0）,C．A．∵M满足||=1,∴点P的轨迹方程为:=1,令x=+cosθ,y=3+sinθ,θ∈[0,2π）．又=,则M,∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．故选:B．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．10．（5分）（2016•四川）设直线l1,l2分别是函数f（x）=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是（）A．（0,1）B．（0,2）C．（0,+∞）D．（1,+∞）【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解:设P1（x1,y1）,P2（x2,y2）（0＜x1＜1＜x2）,当0＜x＜1时,f′（x）=,当x＞1时,f′（x）=,∴l1的斜率,l2的斜率,∵l1与l2垂直,且x2＞x1＞0,∴,即x1x2=1．直线l1:,l2:．取x=0分别得到A（0,1﹣lnx1）,B（0,﹣1+lnx2）,|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=,∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0,1）上为减函数,且0＜x1＜1,∴,则,∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0,1）．故选:A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题．二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11．（5分）（2016•四川）sin750°=．【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．【解答】解:sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=,故答案为:．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值,着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值,属于基础题．12．（5分）（2016•四川）已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是．【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为1,代入体积公式计算即可．【解答】解:由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积S==,棱锥的高为h=1,∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为:．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,是基础题．13．（5分）（2016•四川）从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b 为整数的概率是．【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出log a b为整数满足的基本事件个数,由此能求出log a b为整数的概率．【解答】解:从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,基本事件总数n==12,log a b为整数满足的基本事件个数为（2,8）,（3,9）,共2个,∴log a b为整数的概率p=．故答案为:．【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用．14．（5分）（2016•四川）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x ＜1时,f（x）=4x,则f（﹣）+f（2）=﹣2．【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．【解答】解:∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f（x）=4x,∴f（2）=f（0）=0,f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2,则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2,故答案为:﹣2．【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．15．（5分）（2016•四川）在平面直角坐标系中,当P（x,y）不是原点时,定义P的“伴随点”为P′（,）,当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题:•①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A．‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．ƒ③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是②③．【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特殊值法进行排除即可．【解答】解:①设A（0,1）,则A的“伴随点”为A′（1,0）,而A′（1,0）的“伴随点”为（0,﹣1）,不是A,故①错误,②若点在单位圆上,则x2+y2=1,即P（x,y）不是原点时,定义P的“伴随点”为P（y,﹣x）,满足y2+（﹣x）2=1,即P′也在单位圆上,故②正确,③若两点关于x轴对称,设P（x,y）,对称点为Q（x,﹣y）,则Q（x,﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣,）,则Q′（﹣,）与P′（,）关于y轴对称,故③正确,④∵（﹣1,1）,（0,1）,（1,1）三点在直线y=1上,∴（﹣1,1）的“伴随点”为（,）,即（,）,（0,1）的“伴随点”为（1,0）,（1,1的“伴随点”为（,﹣）,即（,﹣）,则（,）,（1,0）,（,﹣）三点不在同一直线上,故④错误,故答案为:②③【点评】本题主要考查命题的真假判断,正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．三、解答题（共6小题,满分75分）16．（12分）（2016•四川）我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位:吨）,将数据按照[0,0.5）,[0.5,1）,…[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率,再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率,结合样本容量为30万,进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解:（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5,整理可得:2=1.4+2a,∴解得:a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下:由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12,又样本容量=30万,则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图,得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5,0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5,∴中位数应在（2,2.5]组内,设出未知数x,令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5,解得x=0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．【点评】本题用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型．17．（12分）（2016•四川）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；（II）证明:平面PAB⊥平面PBD．【分析】（I）M为PD的中点,直线CM∥平面PAB．取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,证明平面CME∥平面PAB,即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明:BD⊥平面PAB,即可证明平面PAB⊥平面PBD．【解答】证明:（I）M为PD的中点,直线CM∥平面PAB．取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,∵ME⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC,BC=AE,∴ABCE是平行四边形,∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E,∴平面CME∥平面PAB,∵CM⊂平面CME,∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD,∠PAB=90°,AB与CD相交,∴PA⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,由（I）及BC=CD=AD,可得∠BAD=∠BDA=45°,∴∠ABD=90°,∴BD⊥AB,∵PA∩AB=A,∴BD⊥平面PAB,∵BD⊂平面PBD,∴平面PAB⊥平面PBD．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题．18．（12分）（2016•四川）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=．（Ⅰ）证明:sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc,求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值,利用（Ⅰ）的条件,求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明:在△ABC中,∵+=,∴由正弦定理得:,∴=,∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得:sinAsinB=sinC,（Ⅱ）解:b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得cosA=．sinA=,=+==1,=,tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题．19．（12分）（2016•四川）已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项=qS n+1,其中q＞0,n∈N+和,S n+1（Ⅰ）若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n,且e2=2,求e12+e22+…+e n2．【分析】（Ⅰ）根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+（a2+a3）,代入a2与a3的值可得q2=2q,解可得q的值,进而=2S n+1,进而可得S n=2S n﹣1+1,将两式相减可得a n=2a n﹣1,即可得数列{a n}是可得S n+1以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案；=qS n+1,同理有S n=qS n﹣1+1,将两式相减可得a n=qa n﹣1,分析可得（Ⅱ）根据题意S n+1a n=q n﹣1；又由双曲线x2﹣=1的离心率为e n,且e2=2,分析可得e2==2,解可得a2的值,由a n=q n﹣1可得q的值,进而可得数列{a n}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得e n2=1+a n2=1+3n﹣1,运用分组求和法计算可得答案．【解答】解:（Ⅰ）根据题意,数列{a n}的首项为1,即a1=1,=qS n+1,则S2=qa1+1,则a2=q,又由S n+1又有S3=qS2+1,则有a3=q2,若a2,a3,a2+a3成等差数列,即2a3=a2+（a2+a3）,则可得q2=2q,（q＞0）,解可得q=2,则有S n=2S n+1,①+1进而有S n=2S n﹣1+1,②①﹣②可得a n=2a n﹣1,则数列{a n}是以1为首项,公比为2的等比数列,则a n=1×2n﹣1=2n﹣1；=qS n+1,③（Ⅱ）根据题意,有S n+1同理可得S n=qS n﹣1+1,④③﹣④可得:a n=qa n﹣1,又由q＞0,则数列{a n}是以1为首项,公比为q的等比数列,则a n=1×q n﹣1=q n﹣1；若e 2=2,则e2==2,解可得a2=,则a2=q=,即q=,a n=1×q n﹣1=q n﹣1=（）n﹣1,则e n2=1+a n2=1+3n﹣1,故e12+e22+…+e n2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中q＞0这一条件．20．（13分）（2016•四川）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P（,）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB 的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条件求得a,b得答案；（Ⅱ）设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及AB中点坐标,得到OM所在直线方程,再与椭圆方程联立,求出C,D的坐标,把︳MA︳•︳MB︳化为,再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．【解答】（Ⅰ）解:如图,由题意可得,解得a2=4,b2=1,∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明:设AB所在直线方程为y=,联立,得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0,即．设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x0,y0）,则,|AB|==．∴x0=﹣m,,即M（）,则OM所在直线方程为y=﹣,联立,得或．∴C（﹣,）,D（,﹣）．则︳MC︳•︳MD︳===．而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训练了弦长公式的应用,考查数学转化思想方法,训练了计算能力,是中档题．21．（14分）（2016•四川）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx,g（x）=﹣,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明:当x＞1时,g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值,使得f（x）＞g（x）在区间（1,+∞）内恒成立．【分析】（Ⅰ）求导数,分类讨论,即可讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1）,即﹣＞0,即证,也就是证；（Ⅲ）由f（x）＞g（x）,得,设t（x）=,由题意知,t（x）＞0在（1,+∞）内恒成立,再构造函数,求导数,即可确定a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解:由f（x）=ax2﹣a﹣lnx,得f′（x）=2ax﹣=（x＞0）,当a≤0时,f′（x）＜0在（0,+∞）成立,则f（x）为（0,+∞）上的减函数；当a＞0时,由f′（x）=0,得x==,∴当x∈（0,）时,f′（x）＜0,当x∈（,+∞）时,f′（x）＞0,则f（x）在（0,）上为减函数,在（,+∞）上为增函数；综上,当a≤0时,f（x）为（0,+∞）上的减函数,当a＞0时,f（x）在（0,）上为减函数,在（,+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明:要证g（x）＞0（x＞1）,即﹣＞0,即证,也就是证,令h（x）=,则h′（x）=,∴h（x）在（1,+∞）上单调递增,则h（x）min=h（1）=e,即当x＞1时,h（x）＞e,∴当x＞1时,g（x）＞0；（Ⅲ）解:由f（x）＞g（x）,得,设t（x）=,由题意知,t（x）＞0在（1,+∞）内恒成立,∵t（1）=0,∴有t′（x）=2ax=≥0在（1,+∞）内恒成立,令φ（x）=,则φ′（x）=2a=,当x≥2时,φ′（x）＞0,令h（x）=,h′（x）=,函数在[1,2）上单调递增,∴h（x）min=h（1）=﹣1．又2a≥1,e1﹣x＞0,∴1＜x＜2,φ′（x）＞0,综上所述,x＞1,φ′（x）＞0,φ（x）在区间（1,+∞）单调递增,∴t′（x）＞t′（1）≥0,即t（x）在区间（1,+∞）单调递增,∴a≥．【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,不等式的证明,考查恒成立成立问题,正确构造函数,求导数是关键．参与本试卷答题和审题的老师有:沂蒙松；豫汝王世崇；wkl197822；sxs123；wfy814；lcb001；zlzhan；maths；w3239003；qiss；danbo7801（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。