台湾交大离散数学
离散数学上海课后习题答案
离散数学上海课后习题答案离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，其应用广泛，涉及到计算机科学、信息科学、电子工程等领域。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要环节。
本文将为大家提供一些离散数学上海课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
第一章命题逻辑1. 命题逻辑是研究命题之间关系的数学分支。
其中，命题是指可以判断真假的陈述句。
命题逻辑的基本运算有与、或、非、蕴含和等价等。
2. 真值表是用来表示命题逻辑中命题的真假取值的表格。
通过真值表，可以判断命题之间的逻辑关系。
3. 简化命题是指将复杂的命题通过逻辑运算简化为更简单的形式。
常用的简化方法有代入法、等价变换法和逻辑运算法则等。
4. 命题公式是由命题变量和逻辑运算符组成的表达式。
命题公式可以通过真值表来验证其真假。
第二章集合论1. 集合是由一些确定的对象组成的整体。
集合论是研究集合性质、集合间关系以及集合运算的数学理论。
2. 集合的基本运算有并、交、差和补运算。
并集是指将两个或多个集合中的元素合并在一起；交集是指两个或多个集合中共有的元素；差集是指一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素；补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素。
3. 集合的基数是指集合中元素的个数。
对于有限集合，可以通过数数的方式确定其基数；对于无限集合，可以通过一一对应的方式确定其基数。
4. 集合的运算律是指集合运算满足的一些基本性质。
常见的集合运算律有交换律、结合律、分配律等。
第三章关系与函数1. 关系是指集合之间元素之间的一种对应关系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用矩阵的形式表示。
2. 函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用箭头图表示，也可以用公式表示。
3. 函数的性质有单射、满射和双射等。
单射是指函数中不同的输入对应不同的输出；满射是指函数的值域等于其陪域；双射是指函数既是单射又是满射。
离散数学 数学学科
离散数学数学学科
摘要：
一、离散数学的定义
二、离散数学的重要性
三、离散数学的主要内容
四、离散数学的应用领域
五、我国在离散数学研究方面的贡献
正文：
离散数学是研究离散对象的数学学科，它主要关注那些以离散的形式存在的对象，例如整数、有限集合、离散结构等。
尽管离散数学与传统的连续数学有所不同，但它同样是数学领域中至关重要的一部分。
离散数学在计算机科学、信息理论、运筹学、组合数学、图论等领域有着广泛的应用。
它为我们提供了一种处理离散问题的工具，使我们能够理解和分析许多实际问题。
例如，在计算机科学中，离散数学被用于研究算法、数据结构、计算机网络和编程语言等。
离散数学的主要内容包括集合论、图论、组合数学、逻辑与布尔代数等。
集合论是离散数学的基础，它研究集合的概念、性质及其运算。
图论是离散数学的一个重要分支，它研究图这种抽象结构以及图的各种性质。
组合数学主要研究从有限集合中选取元素组成集合的方法，以及这些方法所满足的性质。
逻辑与布尔代数则是离散数学中用于描述和分析推理的数学工具。
我国在离散数学研究方面取得了显著的成就。
许多著名的数学家，如陈景
润、潘承洞等，在离散数学领域做出了重要的贡献。
近年来，我国的离散数学研究水平不断提高，取得了一系列重要的研究成果。
同时，我国在离散数学教育方面也取得了很好的成绩，许多高校都开设了离散数学相关的课程，培养了大量优秀的离散数学人才。
总之，离散数学作为数学学科的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
我国在离散数学研究方面做出了巨大的努力，取得了世界领先的成果。
台湾交大离散数学1
The Negation Operator
The unary negation operator ":" (NOT) transforms a prop. into its logical negation.
For example, if p = “I have brown hair.”, then :p = “I do not have brown hair.”.
Predicates Quanti…ed predicate expressions Equivalences & derivations
Discrete Mathematics Foundations of Logic §1.1 Propositional Logic
§1.1 Propositional Logic
^ pn of n propositions
: and ^ operations together are su¢ cient to express any Boolean truth table with only 1 True value.
Discrete Mathematics Foundations of Logic §1.1 Propositional Logic
Some Popular Boolean Operators
Formal Name Negation operator Conjunction operator Disjunction operator Exclusive-OR operator Implication operator Biconditional operator
Discrete Mathematics Foundations of Logic §1.1 Propositional Logic
离散数学(第2版)
离散数学（第2版）——关于数学中重要的研究方向
离散数学是一门涉及数学中各种离散对象的研究方向，包括数论、图论、代数等。
离散数学是计算机科学、通信工程和其他许多工科领域的基础，对于理解计算机算法的原理和应用具有重要意义。
本文将对离散数学（第2版）这本数学教材进行介绍。
离散数学（第2版）是由美国杜克大学的Kenneth H. Rosen所著的数学教材。
这本书共分为五章，分别是基础概念、逻辑和计算、数论、图论、代数和应用。
第一章主要介绍了离散数学的基础概念，包括逻辑基础、集合、关系和函数。
第二章介绍了逻辑和计算的相关内容，包括命题逻辑、谓词逻辑、计算机科学中的逻辑和布尔代数。
第三章是关于数论的章节，包括质数、最大公约数、最小公倍数、模运算、同余方程等内容。
第四章是关于图论的章节，包括无向图、有向图、连通图、生成树、最短路径、最小生成树等内容。
第五章是关于代数和应用的章节，包括代数系统、群、域、同余环、线性代数和代数应用等内容。
本书还附有大量的练习题，帮助读者检验自己的学习效果。
离散数学（第2版）是一本系统而全面的数学教材，涵盖了离散数学的各个方面。
它适合作为计算机科学和工科领域的数学基础教材，也可作为普及离散数学的参考书。
大学离散数学的基本概念
大学离散数学的基本概念离散数学是一门研究离散对象及其关系的数学学科，与连续数学相对应。
它是现代计算机科学的基础和核心学科，对于计算机算法、数据库、网络通信等领域都有着重要影响。
本文将介绍大学离散数学的基本概念。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是对象的集合及其间的关系。
在离散数学中，我们用符号表示集合，用各种运算法则来描述集合的性质和运算。
比如，我们可以用交集、并集、差集、补集等运算来对集合进行操作。
集合论是离散数学中的一项重要工具，它用于描述离散对象的属性和关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构和数据库的设计与实现。
二、逻辑学逻辑学是研究推理和论证的规律的学科，它研究的是命题逻辑、谓词逻辑和命题演算等。
离散数学中的逻辑学帮助我们建立正确的思维模型，能够精确地描述数学命题的真假和推理的过程。
在计算机科学中，逻辑学是构建算法和验证程序正确性的基础。
通过使用逻辑学中的命题演算和谓词逻辑，我们可以对计算机程序进行形式化的推理，从而提高程序的可靠性。
三、图论图论是研究图和图的性质的数学分支，它研究的是由一些点和连接这些点的边构成的图形。
在离散数学中，图论用来描述对象之间的关系和相互作用，是离散数学中的一个重要分支。
图论在计算机科学中有广泛的应用。
比如，在网络通信中，我们可以用图模型来描述计算机网络的拓扑结构和通信路由；在社交网络中，我们可以用图模型来表示人与人之间的关系；在电路设计中，我们可以用图模型来描述电路的连接和功能。
四、排列与组合排列与组合是研究事物排列和选择方式的数学分支，它研究的是如何选取和安排对象，以及如何计算对象的数目。
在离散数学中，排列与组合用来计算离散对象的排列方式和组合数目，具有广泛的应用场景。
在计算机科学中，排列与组合被广泛应用于密码学、编码理论和算法设计等领域。
比如，在密码学中，排列与组合用来设计和分析密码算法的安全性；在编码理论中，排列与组合用来设计和分析数据的压缩和纠错算法。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学高等里离散数学课件-CHAP
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
离散数学(第三版)课后习题答案
离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。
3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。
因为空集是任意集合的子集；2）假。
因为空集不含任何元素；3）真。
因为空集是任意集合的子集；4）真。
因为∅是集合{∅}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。
3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。
[解] 1）假。
例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
离散数学教程（集合论与图论）离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数理逻辑集合论:（第1-4章）组合数学初步:（第5-7章）图论:（第8-11章）教师介绍⏹教师：吴永辉博士副教授⏹简历：⏹1984-1988 上海科技大学计算机系本科⏹1988-1991 复旦大学计算机系硕士⏹1991-2003 华东师范大学计算机系工作⏹1998-2001 复旦大学计算机系博士⏹2003-复旦大学计算机系工作⏹答疑E-mail: yhwu@《集合论与图论》课件制作软件⏹Microsoft PowerPoint⏹MathType Equation《集合论与图论》课程大纲⏹课程性质与目的⏹教学内容与要求⏹使用教材、参考书籍⏹命题说明和题型课程性质、目的与基本要求⏹课程性质本课程讲授计算机科学与技术的数学基础课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程之一。
本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。
⏹课程目的使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。
⏹基本要求：⏹掌握集合论、组合学和图论的基本概念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。
为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。
教学方式本课程以课堂讲授为主。
考核方式⏹平时作业；⏹集合论、组合数学和图论3次课堂练习；⏹期中，期末的两次笔试考试。
教学内容与要求----集合论⏹第一章集合的基本概念掌握：集合的基本概念，集合的运算。
了解：集合论的悖论。
掌握证明两个集合相等的基本法和公式法。
⏹第二章关系掌握：关系的性质、运算和关系的闭包，以及等价关系和偏序关系。
了解：关系在关系数据库中的应用。
掌握证明的类型。
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
classbfs1209122546181085台湾交大随机微积分(离散)
CHAPTER1Probability Theory1.1.Probability space, (Ω,F,P) (probability space). notations.Definition1.1.(1)Possible outcomesωα,α∈A,are called sample points( )1.(2)The setΩ={ωα:α∈A}=the collection of all possible outcomes,i.e.,the setof all sample points,is called a sample space( ).,Ω .Example1.2.(1)Ω=N=the set of all natural numbers={ωn:ωn= n for all n∈N}.(2)Ω=R=the set of all real numbers.(3)Ω=the collection of all odd positive numbers.(4)Ω=the collection of all fruits,e.g.,apple∈Ω,pineapple∈Ω.(5)Ω=the collection of all colors.Definition1.3.A system F of subsets ofΩis called aσ-algebra if(i)Ω∈F;1A index set. A=N={1,2,3,...}, ωα ωn. A=R, possible outcomes uncountable .56 1.PROBABILITY THEORY(ii)A c∈F whenever A∈F;(iii)A n∈F for all n=1,2,3,...implies that∞n=1A n∈F., ?. , .Example1.4.(1)LetΩ={1,2,3}.Then(i)F1={∅,{1},{2,3},Ω}is aσ-algebra.(ii)F2={∅,{1},{2},{3},Ω}is not aσ-algebra,since{1}∈F2,but{1}c= {2,3}∈F2.(2)LetΩ=R and F=the collection of all subsets of R,then F is aσ-algebra.(3)LetΩ=N.Then(i)F1={∅,{1,3,5,7,...},{2,4,6,8,...},N}is aσ-algebra.(ii)F2={∅,{3,6,9,...},{1,4,7,...},{2,5,8,...},{1,3,4,6,7,9,...},{1,2,4,5,7,8,...}, {2,3,5,6,8,9,...},N}is aσ-algebra.(iii)F3={∅,{1,2},{3,4},{5,6},...,{1,2,3,4},{1,2,5,6},...,{1,2,3,4,5,6},...,Ω} is aσ-algebra.(4)LetΩ=N.Then(i)F1={A⊆N:A isfinite or A c isfinite}is not aσ-algebra.For example,the set A n={n}∈F1for all n,but the set∞n=1A n=N∈F1,since neither N nor N c hasfinite elements.(ii)F2={A⊆N:A is countable or A c is countable}is aσ-algebra., sample space σ-algebra. σ-algebras, Example1.4(3) F1,F2 F3.1.1.PROBABILITY SPACE 7Definition 1.5.Let Ωbe a non-empty set and let F be a σ-algebra on Ω,then (Ω,F )is called a measurable space ( ).Definition 1.6.Let (Ω,F )be a measurable space.A probability measure ( )is a real-valued function P :F −→R satisfying(i)P (E )≥0for all E ∈F ;(ii)(Countable additivity)Let (E n )be a sequence of countable collection of disjointsets in F .ThenP∞ n =1E n =∞ n =1P (E n ).(1.1)(iii)P (Ω)=1.2, σ-algebra A n ∈F for all n =1,2,3,...implies that ∞ n =1A n ∈F . ,(1.1) .Proposition 1.7.(1)P (E )≤1for all E ∈F .(2)P (∅)=0.(3)P (E c )=1−P (E ).(4)P (E ∪F )=P (E )+P (F )−P (E ∩F ).(5)If E ⊆F ,then P (E )≤P (F ).(6)If (E n )is the collection of sets in F ,then P ∞ n =1E n ≤∞ n =1P (E n ).(7)(i)If (E n )satisfiesE 1⊆E 2⊆···⊆E n ⊆···,2 ,P measure.8 1.PROBABILITY THEORY then P (E n )converges to P∞ n =1E n ,i.e.,lim n →∞P (E n )=P ∞ n =1E n .(ii)If (E n )satisfies E 1⊇E 2⊇···⊇E n ⊇···,then P (E n )converges to P∞ n =1E n ,i.e.,lim n →∞P (E n )=P ∞ n =1E n .Definition 1.8.The triple (Ω,F ,P )is called a probability space ( ).Example 1.9.(1)LetΩ={H,T }( ),F ={∅,{H },{T },{H,T }},and let P be given byP (∅)=1,P ({H })=P ({T })=12,P ({H,T })=1.Then (Ω,F ,P )is a probability space.(2)LetΩ={ , , , , , }( ),F =the collection of all subsets of Ω,P satisfies P ({ })=P ({ })=···=P ({ })=1/6and P is a probability measure.Then (Ω,F ,P )is a probability space.(3)Let Ω={ω1,ω2,...,ωn ,...}be a countable set and let F be the collection of allsubsets of Ω.Assume that (p n )be a sequence of real numbers withp n ≥0for all n and ∞n =1p n =1.1.1.PROBABILITY SPACE9 Define a set function P:F−→R by P({ωn})=p n andP(E)=ωn∈E P({ωn})=ωn∈Ep n.Then P defines a probability measure.We call(Ω,F,P)a discrete probability space andΩa discrete sample space.probability space. probability space , notation.Question.Given a sample setΩand a collection of subsets ofΩ,C.Does there exist a collection of subsets ofΩ,say G,such that(i)C⊆G;(ii)G is aσ-algebra?Answer.Yes.We may take G to be the collection of all subsets ofΩ.F C σ-algebra. yes.C⊆H and H:σ-algebraH.σ-algebra : σ-algebra σ-algebra.Notation1.10.If G is the smallestσ-algebra containing C,then we say that G is generated by C and denote it by G=σ(C).Example1.11.LetΩ={1,2,3,4}and C={{1,2},{4}}.Thenσ(C)={∅,{1,2},{3},{4},{1,2,3},{1,2,4},{3,4},Ω}.10 1.PROBABILITY THEORYExample1.12.LetΩ=R and let C be the collection of all open intervals(a,b)in R. Then the sets in B=σ(C)are called Borel sets. , random variable .For example,R,Q,(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]are inσ(C). R1 subsets Borel sets. Borel set , real analysis .Remark1.13.LetΩ=[0,1]and let B1be the collection of all Borel sets in[0,1],i.e.,B1=B∩[0,1]:={A∩[0,1]:A∈B}.For(a,b)∈B1,definem((a,b))=b−a.Then we can define a probability measure m:B1−→R.m is called the Lebesgue measure ( ).([0,1],B1,m) probability space .Exercise(1)Find theσ-algebra generated by the given collection of sets C.(a)Ω={1,2,3,4},C={{1,2,3},{4}};(b)Ω={1,2,3,4},C={{2,3,4},{3,4}};(c)Ω={1,2,3,4,5},C={{1,2,4},{1,4,5}};(d)Ω=R,C={[−1,0),(1,2)}(2)LetΩ={1,2,3,4,5,6}and let F=σ({{1,2,3,4},{3,4,5}}).Find a probabilitymeasure defined on(Ω,F).1.2.RANDOM VARIABLES11 (3)Consider a probability space(Ω.F,P),whereΩ={1,2,3,4,5},F is the collectionof all subsets ofΩ,andP({1})=P({2})=P({5})=14,P({3})=P({4})=P({6})=112.(a)LetX=2I{1}+3I{2,3}−3I{4,5}+I{6}.Find E[X]and E[X2].(b)LetY=I{1,2}+3I{2,4,5}−2I{4,5,6}.Find E[Y]and E[Y3].(4)LetΩ=R,F=all subsets so that A or A c is countable,P(A)=0in thefirstcase and=1in the second.Show that(Ω,F,P)is a probability space,i.e.,show that F is aσ-algebra and P is a probability measure.1.2.Random variablesLet(Ω,F,P)be a probability space.Definition1.14.We say a function X:Ω−→R to be a random variable(r.v., )if for every B∈B,{ω:X(ω)∈B}∈F,i.e.,X is measurable with respect to F.Notation1.15.For all random variable X and B∈F,{X∈B}:={ω∈Ω:X(ω)∈B}.12 1.PROBABILITY THEORYExample1.16.Suppose thatΩ=[0,1]and F=B1.(1)X1(ω)=ω.For B∈B,{X1∈B}={ω∈[0,1]:X1(ω)∈B}={ω∈[0,1]:ω∈B}=B∩[0,1]∈B1.Thus,X1is a random variable.(2)X2(ω)=ω2.For B∈B,{X2∈B}={ω∈Ω:X2(ω)∈B}={ω∈Ω:ω2∈B}., B∈B .. Example1.18(1) .Theorem1.17.The following statements are equivalent.(1)X is a random variable on(Ω,F).(2){X≤r}∈F for all r∈R.(3){X<r}∈F for all r∈R.(4){X≥r}∈F for all r∈R.(5){X>r}∈F for all r∈R., check random variable . Example1.16 X2 , check X2(ω)=ω2 random variable B , , . Theorem1.17 .Example1.18.(1)ConsiderΩ=[0,1],F=B1and X(ω)=ω2.(i)If r<0,{X≤r}={ω∈[0,1]:ω2≤r}=∅∈F.1.2.RANDOM VARIABLES13(ii)If0≤r≤1,{X≤r}={ω∈[0,1]:ω2≤r}=[0,√r]∈F.(iii)If r>1,{X≤r}=[0,1]∈F.Thus,X is a random variable.(2) random variable .LetΩ={1,2,3,4}and F=σ({1,2},{3},{4}).(a)X1(1)=2,X1(2)=3,X1(3)=4,X1(4)=5.Since{X1≤2}={1}∈F,X1is not a random variable.(b)X2(1)=X2(2)=2,X2(3)=10,X2(4)=−500.(i)If r<−500,{X2≤r}=∅∈F.(ii)If−500≤r<2,{X2≤r}={4}∈F.(iii)If2≤r<10,{X2≤r}={1,2,4}∈F.(iv)If r≥10,{X2≤r}=Ω∈F.Thus,X2is a random variable.Theorem1.19.(1)If X is a random variable,f is a Borel measurable function on(R,B),then f(X)is a random variable.(2)If X and Y are random variables,f is a Borel measurable function of two vari-ables,then f(X,Y)is a random variable.(3)If(X n)n≥1is a sequence of random variables,theninf n X n,supnX n,lim infn→∞X n,lim supn→∞X n,limn→∞X nare random variables., .lim sup lim inf Appendix A .14 1.PROBABILITY THEORYExample1.20.(1)Let(Ω,F,P)be a discrete probability space.Then every real-valued function onΩis a random variable.(2)Let(Ω,F,P)=([0,1],B1,m).Then the random variables are exactly the Borelmeasurable functions defined on([0,1],B1).Exercise(1)LetΩ={1,2,3,4,5,6},and letX1(ω)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩1,ω=1,2,ω=2,1,ω=3,1,ω=4,2,ω=5,2,ω=6,X2(ω)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩3,ω=1,2,ω=2,3,ω=3,3,ω=4,2,ω=5,2,ω=6,X3(ω)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩3,ω=1,2,ω=2,1,ω=3,5,ω=4,4,ω=5,4,ω=6.(a)Let F=σ({{1},{2},{3},{4},{5},{6}}),which of X1,X2,X1+X2,X1+X3and X3are random variables on(Ω,F)?(b)Let F=σ({{1,2,3},{4,5}}),which of X1,X2,X1+X2,X1+X3and X3are random variables on(Ω,F)?(c)Let F=σ({{1,4},{2,5},{3}}),which of X1,X2,X1+X2,X1+X3andX3are random variables on(Ω,F)?(2)Suppose X and Y are random variables on(Ω,F,P)and let A∈F.Show thatif we letZ(ω)=⎧⎪⎨⎪⎩X(ω),ifω∈A,Y(ω),ifω∈A c,then Z is a random variable.(3)Let P be the Lebesgue measure onΩ=[0,1].DefineZ(ω)=⎧⎪⎨⎪⎩0,if0≤ω<1/2,2,if1/2≤ω≤1.For A∈B1,defineQ(A)=AZ(ω)d P(ω).(a)Show that Q is a probability measure.(b)Show that if P(A)=0,then Q(A)=0.(We say that Q is absolutelycontinuous with respect to P.)(c)Show that there is a set A for which Q(A)=0but P(A)>0.1.3.ExpectationDefinition1.21.The functionI A(ω)=⎧⎪⎨⎪⎩0,ifω∈A,1,ifω∈A.is called the indicator function of A.Remark1.22.The indicator function I A is a random variable if and only if A∈F.Definition1.23.(1)Let A i∈F for all i and let a random variable X be of the formX=∞i=1b i I A i.(1.2)Then X is called a simple random variable.(2)Let X be the form(1.2),we define the expectation( )of X to beE[X]=∞i=1b i P(A i)., .(A n) disjoint.Example1.24.Let(Ω,F,P)=([0,1],B1,m)and considerX=∞i=112iI[0,2−i).Then the expectation of X is given byE[X]=∞i=112iP([0,2−i))=∞i=114i=13.Remark1.25.Consider the generalization of the expectation3.Let X be a positive random variable.DefineΛmn=ω:n2m≤X(ω)<n+12m∈F,for all m,n∈N.LetX m=∞n=0n2mIΛmn.(X m Figure1.3)Due to the construction of X m,we see that for allω∈Ω, X m(ω)↑andlimm→∞X m(ω)=X(ω).(i)If E[X m]=+∞for some m,we define E[X]=+∞.3 Lebesgue integral, . Riemann integral .Riemann inegral ,Lebesgue integral . . step functions/simple functions, simple functions f . Figure1.1 Figure1.2.Figure1.1.Riemann integralFigure1.2.Lebesgue integral (ii)If E[X m]<∞for all m,defineE[X]=limm→∞E[X m]=limm→∞∞n=0n2mPn2m≤X<n+12m.positive random variable expectation,Definition1.26.Consider a general random variable X.Then we can write X asX=X+−X−,where X+=X∨0,X−=(−X)∨0.3.2.4.Figure1.3.X X m(1)Unless both of E[X+]and E[X−]are+∞,we defineE[X]=E[X+]−E[X−].(2)If E|X|=E[X+]+E[X−]<∞,X has afinite expectation.We denote byE[X]=ΩX d P=ΩX(ω)P(dω).(3)For A∈F,defineAX d P=E[X I A],(1.3) which is called the integral of X with respect to P over A.(4)X is integrable with respect to P over A if the integral(1.3)exists and isfinite. Remark1.27.(1)If X has a cumulative distribution function(c.d.f.)F withrespect to P,thenE[X]= ∞−∞x dF(x).Moreover,if g is Borel measurable function in R,E[g(X)]= ∞−∞g(x)dF(x).(2)If X has a probability density function(p.d.f.)f with respect to P,thenE[X]= ∞−∞xf(x)dxandE[g(X)]= ∞−∞g(x)f(x)dx.(3)If X has a probability mass function p with respect to P,thenE[X]=∞n=1x n p(x n),E[g(X)]=∞n=1g(x n)p(x n).Example1.28.(1)LetΩ={1,2,3,4},F=σ({1},{2},{3},{4})andP({1})=12,P({2})=14,P({3})=16,P({4})=112.LetX=5I{1}+2I{2}−4I{3,4}. ThenE[X]=5·12+2·12−416+112=2E[X2]=25·12+4·12+1616+112=352.(2)Suppose X is normally distributed on(Ω,F,P)with mean0and variance1,thenX has probability density function1√2πexp−x22.Thus,E[X]= ∞−∞x1√2πexp−x22=0,E[X3]= ∞−∞x31√2πexp−x22=0,(odd function)E[e X]= ∞−∞e x1√2πexp−x22=1√2π∞−∞exp−x22+xdx=1√2π∞−∞exp−12(x−1)2+12dx=e1/2.Proposition1.29.(1)(Absolute Integrability)A X d P<∞⇐⇒A|X|d P<∞.4(2)(Linearity)A (aX+bY)d P=aAX d P+bAY d P.(3)(Additivity over sets)If(A n)is disjoint,then∪n A n X d P=nA nX d P.(4)(Positivity)If X≥0P-a.e.5on A,thenAX d P≥0.(5)(Monotonicity)If X1≤X≤X2P-a.e.on A,thenA X1d P≤AX d P≤AX2d P.4 Riemann integral .5We say a property holds P-a.e.(almost everywhere)or P-a.s.(almost surely)means that the probability that this property holds is equal to1,i.e.,except a set with probability0,this property is true.(6)(Modulus Inequality)AX d P≤ A|X |d P .Theorem 1.30.(1)(Dominated Convergence Theorem)If lim n →∞X n =X P -a.e.on A and |X n |≤Y P -a.e.on A for all n withAY d P <∞.Thenlim n →∞AX n d P =A lim n →∞X n d P =AX d P .(2)(Monotone Convergence Theorem)If X n ≥0and X n X P -a.e.on A ,thenlimn →∞AX n d P =A lim n →∞X n d P =AX d P .(3)(Fatou’s Lemma)If X n ≥0P -a.e.on A ,thenA lim inf n →∞X n d P ≤lim infn →∞AX n d P .(4)(Jensen’s Inequality)If ϕis a convex function,X and ϕ(X )are integrable,thenϕ(E [X ])≤E [ϕ(X )].Exercise(1)Let λbe a fixed number in R ,and define the convex function ϕ(x )=e λx forall x ∈R .Let X be a normally distributed random variable with mean μand variance σ2,i.e.,the probability density function of X is given byf (x )=1√2πσexp −(x −μ)22σ2 .(a)Find E [e λX ].(b)Verify that Jensen’s inequality holds (as it must):E ϕ(X )≥ϕ(E [X ]).(2)For each positive integer n ,define f n to be the normal density with mean zeroand variance n ,i.e.,f n (x )=1√2nπexp −x22n.(a)What is the function f (x )=lim n →∞f n (x )?(b)What is limn →∞∞−∞f n (x )dx ?(c)Note thatlimn →∞∞−∞f n (x )dx =∞−∞f (x )dx.Explain why this does not violate the ”Monotone Convergence Theorem”.(3)Let P be the Lebesgue measure on Ω=[0,1].Define Z (ω)=⎧⎪⎨⎪⎩0,if 0≤ω<1/2,2,if 1/2≤ω≤1.For A ∈B 1,defineQ (A )=AZ (ω)d P (ω).(a)Show that Q is a probability measure.(b)Show that if P (A )=0,then Q (A )=0.(We say that Q is absolutelycontinuous with respect to P .)(c)Show that there is a set A for which Q (A )=0but P (A )>0.。
离散数学教程
二、提高 [4] Kenneth H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications. (4th, 5th Edition). 机械工业出版 社, McGraw-Hill. (中、英文版)
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五 定义1.4（全集）：在取定一个集合U以 后，对于U的任何子集而言，称U为全集。
定理1.2：
（1）A (2) AA (3) AU
1.2 集合的子集——证明的方法
证明：（1）A (2) AA (3) AU （1）反证法：假设结论不成立，导出矛盾 结果。 不是A的子集，导致矛盾 （2，3）基本法：由子集定义 x左x右，则左右
第十二章
生成函数与递推关系
掌握：用生成函数和递推关系解决组合计数 问题的方法，以及求解递推关系的生成函数方法。 了解：求解递推关系的特征根方法。
教学内容与要求----图论
第五章 图的基本概念
掌握：图的基本术语，路、回路和连通的基本概念， 求最短路的算法及算法正确性证明，欧拉图和哈密顿图的 基本概念、判别方法以及有关定理。
理论计算机科学经典网站
国内： 国际： /~suresh/theory/the ory-home.html
命题说明和题型
1 填空题：基本概念的理解和掌握 2 判断题：概念的掌握与应用 3 计算、证明题：概念的综合应用，数学 方法的运用
离散数学srt
离散数学srt离散数学（Discrete Mathematics）是数学的一个分支领域，它主要研究离散对象以及离散结构之间的关系。
与连续数学相对应，离散数学研究的对象是离散的、可数的，而不是连续的、无限的。
离散数学有着广泛的应用领域，其中包括计算机科学、信息科学、通信工程、密码学等。
在这些领域中，离散数学的概念和方法常常被用于解决实际问题，因此对离散数学的学习和理解对于从事相关领域的人来说是非常重要的。
离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、数论、图论和组合数学等。
下面我将分别介绍这些内容。
集合论是离散数学的基础，它研究的是对象的集合以及它们之间的关系。
集合论中的一些重要概念包括并集、交集、差集、子集等。
通过集合论，我们可以对一组对象进行分类和划分，从而更好地理解它们之间的关系。
逻辑是研究推理和证明的学科，它在离散数学中有着重要的地位。
逻辑中的一些基本概念包括命题、命题逻辑、谓词逻辑等。
通过逻辑的学习，我们可以培养出严密的思维能力，提高问题解决的能力。
数论是研究整数性质的学科，它在离散数学中也占有重要的地位。
数论中的一些重要概念包括素数、最大公约数、同余等。
通过数论的学习，我们可以更好地理解整数之间的关系，进一步应用于密码学等领域。
图论是研究图及其性质的学科，它在离散数学中也有着广泛的应用。
图论中的一些基本概念包括顶点、边、路径、回路等。
通过图论的学习，我们可以更好地理解图结构的特性，进一步应用于网络设计、路线规划等领域。
组合数学是研究离散结构的学科，它与图论有着密切的关系。
组合数学中的一些重要概念包括排列、组合、生成函数等。
通过组合数学的学习，我们可以更好地理解离散结构的特性，进一步应用于编码理论、概率统计等领域。
通过对离散数学的学习，我们可以培养出抽象思维和逻辑思维能力，提高问题解决的能力。
同时，离散数学也为计算机科学和信息科学等领域的发展提供了理论基础和方法支持。
因此，掌握离散数学的基本概念和方法对于从事相关领域的人来说是非常重要的。
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Pseudocode of Preorder Traversal
procedure preorder (T : ordered rooted tree) r = root of T list r for each child c of r from left to right begin T (c ) := subtree with c as its root preorder (T (c )) end
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.1 Introduction to Trees
m-Ary Trees
A root tree is called an m-ary tree if every internal vertex has no more than m children. The tree is called a full m-ary tree if every internal vertex has exactly m children. An m-ary tree with m = 2 is called a binary tree. An ordered rooted tree is a rooted tree where the children of each internal vertex are ordered. Ordered rooted trees are drawn so that the children of each internal vertex are shown in order from left to right. In an ordered binary tree (usually called just a binary tree), if an internal vertex has two children, the …rst child is called the left child and the second child is called the right child. The tree rooted at the left child (or right child, resp.) of a vertex is called the left subtree (or right subtree, resp.) of this vertex.
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.1 Introduction to Trees
Properties of Trees
Theorem A tree with n vertices has n Theorem A full m-ary tree with i internal vertices contains n = mi + 1 vertices. 1 edges.
2
3
Theorem There are at most mh leaves in an m-ary tree of height h.
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.2 Applications of Trees
Binary Search Trees
Discrete Mathematics
Discrete Mathematics (2009 Spring) Trees (Chapter 10, 5 hours)
Chih-Wei Yi
Dept. of Computer Science National Chiao Tung University
June 1, 2009
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.1 Introduction to Trees
Rooted Trees
A rooted tree is a tree in which one vertex has been designated as the root and every edge is directed away from the root.
a b e c g f c e d b f g a d c e
f d a b
g
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.1 Introduction to Trees
Terminologies of Rooted Trees
If v is a vertex in T other than the root, the parent of v is the unique vertex u such that there is a directed edge from u to v . If u is the parent of v , v is called a child of u . Vertices with the same parent are called siblings.
r a b T1 T2 ..... Tn
Tn
Step 1: Visit r
c f j k g l
d h m
e i
Step 2: Visit T 1 Step 3: Visit T 2 in preorder in preorder
Step n+1: Visit in preorder
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.3 Tree Traversal
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.1 Introduction to Trees
Properties of Trees (Cont.)
Theorem A full m-ary tree with
1
n vertices has i = (n 1) /m internal vertices and l = [(m 1) n + 1] /m leaves, i internal vertices has n = mi + 1 vertices and l = (m 1) i + 1 leaves, l leaves has n = (ml 1) / (m 1) vertices and i = (l 1) / (m 1) internal vertices.
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.1 Introduction to Trees
What’ s Trees?
A tree is a connected undirected graph with no simple circuits.
Theorem An undirected graph is a tree if and only if there is a unique simple path between any two of its vertiБайду номын сангаасes.
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.3 Tree Traversal
Inorder Traversal
De…nition Let T be an ordered rooted tree with root r . If T consists only of r , then r is the inorder traversal of T . Otherwise, suppose that T1 , T2 , , Tn are the subtrees at r from left to right. The inorder traversal begins by traversing T1 in inorder, then visiting r . It continues by traversing T2 in inorder, then T3 in inorder, ..., and …nally Tn in inorder.
a b e i j c f k g l d h m
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.1 Introduction to Trees
Terminologies of Rooted Trees (Cont.)
The ancestors of a vertex other than the root are the vertices in the path from the root to this vertex, excluding the vertex itself and including the root. The descendants of a vertex v are those vertices that have v as an ancestor. A vertex of a tree is called a leaf if it has no children. Vertices that have children are called internal vertices. If a is a vertex in a tree, the subtree with a as its root is the subgraph of the tree consisting of a and its descendants and all edges incident to these descendants.
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.2 Applications of Trees
Decision Trees
Discrete Mathematics Chapter 10 Trees §10.2 Applications of Trees