(完整版)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明

等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一

腰上的高证明

例一：如图所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D，PE⊥AC 点E，若△ABC的面积为14。问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，

请说明理由。

解：三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。

由已知：AB=AC=8，S(△ABC)=14，得

S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=14

1/2*8*(PD+PE)=14

PD+PE=14/4=3.5

即 PD+PE=3.5

这道题得出的结论是：等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。结论虽简单，我们又应当如何证明呢？

关于这道题的证明方法有很多种。

求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC 求证： DE＋DF＝BH

证法一：

连接AD

则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝(DE＋DF)*AC/2

而△ABC的面积＝BH*AC/2

所以：DE＋DF＝BH

即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高

证法二：

作DG⊥BH，垂足为G

因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC

所以四边形DGHF是矩形

所以GH＝DF

因为AB＝AC

所以∠EBD＝∠C

因为GD//AC

所以∠GDB＝∠C

所以∠EBD＝∠GDB

又因为BD＝BD

所以△BDE≌△DBG（ASA）

所以DE＝BG

所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH

证法三：

提示：

过B作直线DF的垂线，垂足为M

运用全等三角形同样可证

另外运用三角函数也能进行证明

如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DE－DF|＝BH

问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。

如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的

如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。

解答提示：

如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG

先证明PD＋PE＝HQ

（见：）

而HQ＝AN，FP＝MN

所以PD＋PE－PF

＝AN－PF

＝AM＋MN－PF

＝AM

即h1＋h2－h3＝h

另外一个变式问题：

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。

（1）当∠A＝30°时，求证：PE+PF＝BC

（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。

腰长5厘米底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=

解：

作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA

因为AB＝AC＝5，BC＝6

所以BM＝CM＝3

所以根据勾股定理得AM＝4

因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12

所以h＝24/5

因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP

＝AB*PD/2＋AC*PE/2

所以5*PD/2＋5*PE/2＝12

所以PD＋PE＝24/5

如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。

解：

设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP 因为AB＝8，BC＝AD＝15

所以根据勾股定理得BD＝17

因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2

所以可得AE＝120/17

因为四边形ABCD是矩形

所以OA＝OD

因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD

＝OA*PM/2＋OD*PN/2

＝（PM＋PN）*OD/2

S△OAD＝AE*OD/2

所以PM＋PN＝AE＝120/17