变量分离方程与变量变换(1)
变量分离方程
变量分离方程变量分离方程是解决一元微分方程的常用方法之一。
所谓一元微分方程，是指涉及到一个未知函数及其导数的方程。
变量分离方程的目标是将方程中的已知量和未知量分离在等式的两边，然后分别积分求解，最终得到未知函数的解析表达式。
一般来说，变量分离方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的已知函数，dy/dx表示y对x的导数。
我们的目标是将x和y分离到等式的两边。
首先，我们将方程两边关于x积分，得到∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx。
左边的积分结果是y的函数，右边的积分结果是x的函数，因此我们将方程变为∫1/g(y)dy = F(x) + C，其中C是积分常数。
然后，我们需要对∫1/g(y)dy进行求解。
这一步可能需要一些数学技巧，例如分部积分、换元法等。
求解后得到∫1/g(y)dy = H(y) = F(x) + C。
最后，我们将解y(x) = H^-1(F(x) + C)，即y是H^-1(F(x) + C)的逆函数。
接下来，我们将通过一个实际的例子来演示变量分离方程的求解过程。
假设我们有一个一元微分方程dy/dx = x/y^2。
我们可以将该方程分解为以下形式：y^2dy = xdx。
然后，我们将方程两边进行积分。
对左边进行积分得到∫y^2dy，对右边进行积分得到∫xdx。
∫y^2dy的积分结果是y^3/3，∫xdx的积分结果是x^2/2。
因此，我们得到y^3/3 = x^2/2 + C，其中C是积分常数。
接着，我们将解y(x) = (3(x^2/2 + C))^(1/3)。
这是方程dy/dx = x/y^2的解析解。
变量分离方程是一种简单而有效的解微分方程的方法。
通过将方程分解以及对两边进行积分，我们可以将已知量和未知量分离，并最终得到未知函数的解析解。
然而，对于一些复杂的微分方程，变量分离可能并不容易实现，此时我们需要借助其他方法，如常数变易法、齐次法等。
常微分方程第二章第一讲
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
27
小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
23
分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。
常微分方程(王高雄)第三版 2.1教学教材
（I）齐次方程
ddyxg(yx)
(II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
X
40 求解
50 变量还原
dx
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
(y)f(x)d xc (2.2)
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
由 (2.2)所确定 y的 (x,c)就 函 (2 为 .数 1)的.解
例：
分离变量:
偏微分方程中的分离变量与变量分离法
偏微分方程中的分离变量与变量分离法在偏微分方程的求解过程中，分离变量法是一种常用的方法。
它通过将多元函数的变量进行适当的分离，将复杂的偏微分方程转化为一系列常微分方程，从而简化求解过程。
本文将介绍分离变量法的基本原理和应用。
一、分离变量法的基本原理分离变量法适用于可分离变量的偏微分方程，即可以将方程中的多个变量进行分离，得到形如f(x)g(y)h(z)的解。
其基本步骤如下：1. 将偏微分方程中的各个变量分开，得到f(x)g(y)h(z)形式的解。
2. 将上述解带入原方程，得到一系列常微分方程。
3. 求解得到常微分方程的解。
4. 将常微分方程的解带回分离的变量中，得到原偏微分方程的解。
二、分离变量法的应用举例下面以常见的热传导方程为例，展示分离变量法的应用过程。
热传导方程是描述物体温度分布随时间变化的方程，其一维形式为：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示物体在位置x处随时间t的温度，α为热扩散系数。
根据分离变量法的原理，我们可以将u(x,t)表示为两个变量的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)代入热传导方程，得到：X(x)T'(t) = αX''(x)T(t)接下来，我们将两边的式子分离，得到两个方程：T'(t)/T(t) = αX''(x)/X(x)左侧是只含有t的项，右侧是只含有x的项。
由于两边的变量不同，所以这两个方程必须等于一个常数，假设为λ。
T'(t)/T(t) = λ, αX''(x)/X(x) = λ解上述两个常微分方程分别得到：T(t) = e^(λt)X(x) = Asin(√(λ/α)x) + Bcos(√(λ/α)x)其中，A和B为任意常数。
最后，将求得的T(t)和X(x)带回原方程中，得到：e^(λt)(Asin(√(λ/α)x) + Bcos(√(λ/α)x)) = X(x)T(t)此时，我们可以通过选取合适的λ值，使得上述方程成立，从而得到热传导方程的解。
一阶微分方程的初等解法(精)
化简得方程的通解：
y
C C
cos2 cos2
x x
其中C eC1为非0的任意常数。
另外，y 1也是方程的解，且y 1可在通解中
取CΒιβλιοθήκη 0得到，即如果在通解y
C C
cos 2 cos 2
x x
中
允许C 0，则y 1已含在通解中。但y 1不可
在通解中取适当的C得到，因此原方程的解为：
于是得到原方程的通解为
y x
, x,C
0.
例5 求解微分方程 dy y tan y
dx x
x
解：这是齐次方程。令u y ，则原方程变为 x
u x du u tan u, dx
化简并变量分离（当tanu 0时），得到
cot udu dx . x
两边积分，得到 ln sinu ln x C.
。例如： 2xdx x2 等。
§2.1 变量分离方程与变量变换
• 一、变量分离方程 • 二、可化为变量分离方程的类型 • 三、应用举例
一、变量分离方程
先看一些简单的例子：
1. dy ye x y , dx
2. dy x2 y2 1 , dx
3. dy e x ye y , dx
h(1y)dy与 g(x)dx，再加上任意常数即可。
先看一个简单的例子
求解方程 dy x2 y2 1 dx
解:
第一步:分离变量
dy y2 1
x 2dx
第二步:两边积分
dy y2 1
x2dx C
常微分方程考研讲义第二章一阶微分方程的初等解法
常微分⽅程考研讲义第⼆章⼀阶微分⽅程的初等解法第⼆章、⼀阶微分⽅程的初等解法[教学⽬标]1. 理解变量分离⽅程以及可化为变量分离⽅程的类型（齐次⽅程），熟练掌握变量分离⽅程的解法。
2. 理解⼀阶线性微分⽅程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努⼒⽅程的求解。
3. 理解恰当⽅程的类型，掌握恰当⽅程的解法及简单积分因⼦的求法。
4. 理解⼀阶隐式⽅程的可积类型，掌握隐式⽅程的参数解法。
[教学重难点] 重点是⼀阶微分⽅程的各类初等解法，难点是积分因⼦的求法以及隐式⽅程的解法。
[教学⽅法] 讲授，实践。
[教学时间] 14学时[教学内容] 变量分离⽅程，齐次⽅程以及可化为变量分离⽅程类型，⼀阶线性微分⽅程及其常数变易法，伯努利⽅程，恰当⽅程及其积分因⼦法，隐式⽅程。
[考核⽬标]1.⼀阶微分⽅程的初等解法：变量分离法、⼀阶线性微分⽅程的常数变易法、恰当⽅程与积分因⼦法、⼀阶隐⽅程的参数解法。
2.会建⽴⼀阶微分⽅程并能求解。
§1 变量分离⽅程与变量变换1、变量分离⽅程1) 变量分离⽅程形如()()dyf xg y dx= (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1）的⽅程，称为变量分离⽅程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解⽅法如果()0g y ≠，⽅程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+??（2.2）把,()()dy f x dx g y ??分别理解为1,()()f x y ?的某⼀个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满⾜⽅程（2.1）.因⽽（2.2）是如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在⽅程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解⽅程dy x dx y=- 解将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因⽽，通解为22x y c += 这⾥的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解⽅程2cos dyy x dx= 并求满⾜初始条件：当0x =时.1y =的特解.解将变量分离，得到 2cos dyxdx y= 两边积分，即得1sin x c y-=+因⽽，通解为1sin y x c=-+这⾥的c 是任意的常数.此外，⽅程还有解0y =.为确定所求的特解，以0x =.1y =代⼊通解中确定常数c ，得到 1c =- 因⽽，所求的特解为11sin y x=-例3 求⽅程 ()dyP x y dx的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解将变量分离，得到 ()dyP x dx y= 两边积分，即得ln ()y P x dx c =+?这⾥的c 是任意常数.由对数的定义，即有 ()P x dx cy e +?=即()P x dxc y e e ?=±令ce c ±=，得到()P x dxy ce ?=（2.4）此外，0y =也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许0c =，则0y =也就包括在（2.4）中，因⽽，（2.3）的通解为（2.4），其中c 是任意常数. 注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.⽅程的通解不⼀定是⽅程的全部解,有些通解包含了⽅程的所有解，有些通解不能包含⽅程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分⽅程的通解表⽰的是⼀族曲线，⽽特解表⽰的是满⾜特定条件00()y x y =的⼀个解，表⽰的是⼀条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离⽅程的类型1）.形如 dy y g dx x ??=（2.5）的⽅程，称为齐次⽅程，这⾥的()g u 是u 的连续函数. 另外,ⅰ)对于⽅程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)m N tx ty t N x y ≡事实上，取1t x=，则⽅程可改写成形如(2.5)的⽅程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y y== ⅱ)对⽅程(,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则⽅程也可改写成形如(2.5)的⽅程(1,)dy y f dx x= 对齐次⽅程（2.5）利⽤变量替换可化为变量分离⽅程再求解. 令yu x= （2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代⼊（2.5），则原⽅程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u udx x-=（2.8）⽅程（2.8）是⼀个可分离变量⽅程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原⽅程（2.5）的解.例4 求解⽅程dy y y tg dx x x=+ 解这是齐次⽅程，以,y dy duu x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgudx x=（2.9）分离变量，即有dx= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这⾥的c 是任意的常数，整理后，得到sin u cx = （2.10）此外，⽅程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，⽅程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原⽅程的通解为sinycx x =例5 求解⽅程(0).dyxy x dx+=<解将⽅程改写为(0)dy y x dx x=<这是齐次⽅程，以,y dy du u x u x dx dx==+代⼊，则原⽅程变为dux dx=（2.11）分离变量，得到dxx = 两边积分，得到（2.11）的通解ln()x c =-+ 即2[ln()](ln()0)u x c x c =-+-+>(2.12)这⾥的c 是任意常数.此外，（2.11）还有解0u = 注意，此解不包括在通解（2.12）中.原⽅程的通解还可表为2[ln()],ln()0,0,x x c x c y ?-+-+>=?它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次⽅程dy y g dx x ??=的求解⽅法关键的⼀步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy duu x dx dx=+，再将其代⼊齐次⽅程使⽅程变为关于,u x 的可分离⽅程.2.齐次⽅程也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代⼊齐次⽅程dxx f dy y ??=使⽅程变为,v y 的可分离⽅程⼩结：这⼀讲我们主要讲解了⼀阶微分⽅程的可分离变量法和齐次⽅程的dy y g dx x ??=形状的解法.⽽这⼀齐次⽅程通过变量替换任然可化为可分离⽅程，因⽽，⼀定要熟练掌握可分离⽅程的解法. 2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13）的⽅程经变量变换化为变量分离⽅程，这⾥的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论（1）120c c ==情形. 这时⽅程（2.13）属齐次⽅程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +??== ?+??此时，令yu x=，即可化为变量可分离⽅程. （2）0a b a b =，即1122a b a b =的情形. 设1122a b k a b ==，则⽅程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则⽅程化为22()dua b f u dx=+ 这是⼀变量分离⽅程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形. 这时⽅程（2.13）右端的分⼦、分母都是,x y 的⼀次式，因此 1112220a xb yc a x b y c ++=??++=?（2.14）代表xy 平⾯上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进⾏坐标平移，将坐标原点(0,0)移⾄(,)αβ就⾏了，若令X x Y y αβ=-??=-?（2.15）则（2.14）化为11220a X bY a X b y +=??+=?从⽽（2.13）变为 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +??== ?+??（2.16）因此，得到这种情形求解的⼀般步骤如下：(1)解联⽴代数⽅程（2.14），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.15）将⽅程化为齐次⽅程（2.16）； (3)再经变换Y将（2.16）化为变量分离⽅程； (4)求解上述变量分离⽅程，最后代回原变量可得原⽅程（2.13）的解. 上述解题的⽅法和步骤也适⽤于⽐⽅程（2.13）更⼀般的⽅程类型111222a x b y c dyf dx a x b y c ??+== ?++??()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyx f xy dx= 2dy y xf dx x= ?以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等⼀些⽅程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离⽅程.例6 求解⽅程13dy x y dx x y -+=+- （2.17）解解⽅程组 1030x y x y -+=??+-=? 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+??=+?代⼊⽅程（2.17），则有 dY X YdX X Y-=+ （2.18）再令Yu X= 即 Y uX = 则（2.18）化为2112dX u22ln ln 21X u u c=-+-+22(21)c X u u e +-=± 记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.18）的解.因此⽅程（2.17）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.3、应⽤举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所⽰的R C -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K 合上“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端的电压C u 逐渐升⾼，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压C u 随时间t 的变化规律.解对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第⼆定理，c u RI E += （2.19）对于电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据C Q Cu =，得到 ()C C du dQ dI Cu C dt dt dt=== （2.20）将（2.20）代⼊（2.19），得到c u 满⾜的微分⽅程 cc du RC u E dt+= （2.21）这⾥R 、C 、E 都是常数.⽅程（2.21）属于变量分离⽅程.将（2.21）分离变量，得到C C du dtu E RC=-- 两边积分，得到11ln C u E t c RC-=-+ 即1112t t c RCRCC u E e e c e---=±=这⾥12c c e =±为任意常数.将初始条件：0t =时，0C u =代⼊，得到2c E =-. 所以 1(1)t RC C u E e -=-这就是R C -电路充电过程中电容C 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压C u 从零开始逐渐增⼤，且当t →+∞时，C u E →，在电⼯学中，通常称RC τ=为时间常数，当3t τ=时，0.95C u E =，就是说，经过3τ的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%.实⽤上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束.易见充电结果C u E =.对于放电过程的讨论，可以类似地进⾏.例8 探照灯反射镜⾯的形状在制造探照灯的反射镜⾯时，总是要求将点光源射出的光线平⾏地射出去，以保证照灯有良好的⽅向性，试求反射镜⾯的⼏何形状.解取光源所在处为坐标原点，⽽x 轴平⾏于光的反射⽅向，设所求曲⾯由曲线()y f x z =??=?（2.23）绕x 轴旋转⽽成，则求反射镜⾯的问题归结为求xy 平⾯上的曲线()y f x =的问题,仅考虑0y >的部分,过曲线()y f x =上任⼀点(,)M x y 作切线NT ，则由光的反射定律：⼊射⾓等于反射⾓，容易推知12αα= 从⽽OM ON = 注意到2dy MP tg dx NPα==及,,OP x MP y OM ===就得到函数()y f x =所应满⾜的微分⽅程式dy dx =（2.24）这是齐次⽅程.由2.12知引⼊新变量xu y=可将它化为变量分离⽅程.再经直接积分即可求得⽅程的解.对于⽅齐次⽅程（2.24）也可以通过变换xv y=⽽化为变量分离⽅程也可由x yv =得dx dvv y dy dy=+代⼊（2.24）得到sgn dvv y v y dysgn dy y y =（2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得2(2)y c c x =+（2.26）其中c 为任意常数.（2.26）就是所求的平⾯曲线，它是抛物线，因此，反射镜⾯的形状为旋转抛物⾯22(2)y z c c x +=+ （2.27）⼩结: 本节我们主要讨论了⼀阶可分离微分⽅程和齐次微分⽅程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.§2 线性⽅程与常数变易法1、⼀阶线性微分⽅程()()()0dya xb x yc x dx++= 在()0a x ≠的区间上可以写成()()dyP x y Q x dx=+ （2.28）对于()a x 有零点的情形分别在()0a x ≠的相应区间上讨论.这⾥假设(),()P x Q x 在考虑的区间上是x 的连续函数.若()0Q x ≡，（2.28）变为 ()dyP x y dx= （2.3）称为⼀阶齐线性⽅程.若()0Q x ≠，（2.28）称为⼀阶⾮齐线性⽅程.2、常数变易法（2.3）是变量分离⽅程，已在例3中求得它的通解为 ()P x dxy ce ?=（2.4）这⾥c 是任意的常数.下⾯讨论⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的求解⽅法.⽅程(2.3)与⽅程(2.28)两者既有联系⼜有区别,设想它们的解也有⼀定的联系,在(2.4)中c 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c 不再是常数,将是x 的待定函数()c x ,为此令 ()()P x dx（2.29）两边微分，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx=+ （2.30）将（2.29）、（2.30）代⼊（2.28），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx+=+ 即()()()P x dx dc x Q x e dx-?= 积分后得到()()()P x dxc x Q x e dx c -?=+?（2.31）这⾥c 是任意的常数..将（2.31）代⼊（2.29），得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--=+ +（2.32）这就是⽅程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的⽅法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是⼀种变量变换的⽅法.通过变换（2.29）可将⽅程（2.28）化为变量分离⽅程.注: ⾮齐线性⽅程的通解是它对应的齐线性⽅程的通解与它的某个特解之和. 例1 求⽅程1(1)(1)x n dy x ny e x dx++-=+的通解，这⾥的n 为常数. 解将⽅程改写为 (1)1x n dy n y e x dx x -=++ （2.33）先求对应的齐次⽅程01dy n y dx x -=+ 的通解，得令 ()(1)n y c x x =+ （2.34）微分之，得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （2.35）以（2.34）、（2.35）代⼊（2.33），再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代⼊公式（2.34），即得原⽅程的通解 (1)()n x y x e c =++ 这⾥c 是任意的常数. 例2 求⽅程22dy ydx x y=-的通解. 解原⽅程改写为2dx x y dy y=- （2.36）把x 看作未知函数，y 看作⾃变量，这样，对于x 及dxdy来说，⽅程（2.36）就是⼀个线性⽅程了.先求齐线性⽅程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （2.37）令2()x c y y =,于是 2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代⼊（2.36），得到()ln c y y c =-+ 从⽽，原⽅程的通解为2(ln )x y c y =-这⾥c 是任意的常数,另外0y =也是⽅程的解. 特别的，初值问题00()()()dyP x y Q x dxy x y ?=+=? 的解为00()()()=()xxsx x x P d P d P d xx y ceeQ s eds ττττττ-+?例3 试证（1）⼀阶⾮齐线性⽅程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性⽅程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的⾮零解，⽽()y y x =是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）⽅程（2.3）任⼀解的常数倍或两解之和（或差）仍是⽅程（2.3）的解. 证（1）设12,y y 是⾮齐线性⽅程的两个不同的解，则应满⾜⽅程使1122()(1)()(2)dy py Q x dxdy py Q x dx=+=+（1）—（2）有1212()()d y y p y y dx-=-说明⾮齐线性⽅程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性⽅程的解.（2）因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论成⽴.（3）因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论成⽴.3、Bernoulli ⽅程。
微分方程的变量分离法
微分方程的变量分离法微分方程是数学中重要的概念，它描述了变量之间的关系以及变量的变化规律。
在解微分方程的过程中，变量分离法是一种常用的方法。
它的基本思想是将含有多个变量的微分方程化简为仅涉及一个变量的两个方程，进而求解得到最终的解析解或数值解。
一、变量分离法的基本原理变量分离法适用于可以将微分方程写成以下形式的情况：dy/dx = f(x)·g(y)其中，f(x)和g(y)是x和y的某些函数。
根据变量分离法的思想，我们将式中的x和y分别移到方程的两边，并将其对应的微分形式分离开来：g(y)dy = f(x)dx二、求解步骤对于形如g(y)dy = f(x)dx的微分方程，我们可以按照以下步骤来解：1. 将g(y)和f(x)分别表示为它们的微分形式，即g(y)dy和f(x)dx；2. 将上述微分方程两边同时积分：∫g(y)dy = ∫f(x)dx这样，我们就得到了方程的解析解或数值解。
三、解析解的求解在某些情况下，我们可以通过对上述积分方程进行进一步的计算和求解，得到解析解。
例如，考虑如下的微分方程：dy/dx = x/y首先，我们将方程进行变形，得到：ydy = xdx然后，我们对上述方程进行积分：∫ydy = ∫xdx经过计算，我们得到：y^2/2 = x^2/2 + C其中，C为常数。
这样，我们就得到了方程的解析解为：y^2 = x^2 + C四、数值解的求解在某些情况下，微分方程的解析解很难或无法求得，此时可采用数值方法来求解微分方程。
数值解的求解过程包括以下几个步骤：1. 将微分方程的初值条件代入微分方程，得到具体的初始条件；2. 使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法等）进行离散化计算，得到近似解；3. 根据离散化计算结果，进行迭代求解，得到微分方程的数值解。
五、变量分离法的应用变量分离法不仅适用于一阶微分方程，也适用于高阶微分方程。
例如，考虑如下的二阶线性微分方程：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)可以通过引入一个新的变量来将该微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后利用变量分离法进行求解。
2.1 分离变量与变量变换
y x
,方程化为
u)
,(
du dx
例4
求解方程
x dy dx 2 xy y ( x 0)
解: 方程变形为
dy dx
2
y x
y x
( x 0)
这是齐次方程,
x du dx
令u
y x
代入得
u 2 u u
即
x
du dx
令 X x 1, Y y 2 代入方程得
dY dX
令u Y X ,得
X Y X Y
2
1 1
Y X Y X
X
du dX
1 u
1 u
将变量分离后得
两边积分得:
(1 u ) du 1 u
2
dX X
arctan u
1 2
ln( 1 u ) ln X c
y
x ce 或 y 0
x
, c 0为 任 意 常 数
练 习 ： 9） （ 1
三、形如
dy dx
ax by c a 1 x b1 y c1
的方程
分三种情况讨论
a 1 x b1 y dy 1） c 1 , c 2同 时 为 0的 情 形 ： dx a 2 x b2 y
2
变量还原并整理后得原方程的通解为
arctan y2 x 1 ln ( x 1) ( y 2 ) c .
2 2
练 习 ： 3） （ 2
1
c 1， c 2同 时 为 0的 情 形
dy dx a 1 x b1 y y （令u ） a 2 x b2 y x
常微分方程167;2.1变量分离方程和变量变换
du g(u) u ,
dx
x
(这里由于dy x du u) dx dx
20 解以上的变量分离方程
2020/5/25
30 变量还原. 常微分方程
例4 求解方程 x dy 2 xy y dx
(x 0)
解: 方程变形为 dy 2 y y dx x x
(x 0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
2020/5/25
常微分方程
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
y(0) 1
解: 先求方程dy y2 cosx的通解，
dx
当y 0时, 将变量分离 ,得
dy cos xdx y2
两边积分得: 1 sin x c,
y
令u a2x b2 y,则方程化为
f (a2x b2 y)
du dx
a2 b2
dy dx
a2 b2 f (u)
这就是变量分离方程
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常微分方程
3
a1 b1
a2 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
则aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 , 0
代表xy平面两条相交的直线 ,解以上方程组得交点 (, ) (0,0).
(II) 形如
dy a1x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
这里a1,b1, c1, a2 ,b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程.
分三种情况讨论
1
c1
c2 0的情形 dy a1x b1 y dx a2 x b2 y
变量分离方程的解法
变量分离方程的解法变量分离法是一种常用的求解微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶微分方程。
其中，f(x)和g(y)是x和y的函数。
变量分离法的基本思想是将方程两边同时积分，但由于x和y是独立的变量，所以需要将方程分离为x和y两个部分的积分。
在进行分离后，可以分别对两个部分进行积分，得到一个关于x的方程和一个关于y的方程，然后再通过求解这两个方程来得到最终的解。
下面我们将详细介绍变量分离法的具体步骤。
步骤一：将方程进行变形，将所有含有y的项都移到方程的一边，将含有x的项都移到方程的另一边，得到以下形式的方程：g(y)dy =f(x)dx。
步骤二：对上述方程两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx。
这一步需要对两边的积分进行计算，具体计算方法与一般的积分计算相同。
步骤三：计算上述方程的两边的积分。
这一步是将方程中的积分求解出来，得到关于x和y的两个方程。
步骤四：求解得到的两个方程。
这一步是解决所得到的两个方程，得到x和y之间的关系。
下面我们通过一个具体的例子来说明变量分离法的具体步骤。
例子：求解微分方程dy/dx = x/(1+y^2)。
解：步骤一：将方程进行变形，得到(1+y^2)dy = xdx。
步骤二：对上述方程两边同时积分，得到∫(1+y^2)dy = ∫xdx。
计算积分得到y + (1/3)y^3 = (1/2)x^2 + C1，其中C1是积分常数。
步骤三：求解得到的两个方程。
首先，将y+(1/3)y^3=(1/2)x^2+C1转化为y的方程：y+(1/3)y^3=(1/2)x^2+C1、然后，将该方程移项，得到(1/3)y^3+y-(1/2)x^2-C1=0。
这是一个关于y的方程。
其次，将y+(1/3)y^3=(1/2)x^2+C1转化为x的方程：y+(1/3)y^3-(1/2)x^2-C1=0。
然后，将该方程移项，得到(1/2)x^2-y-(1/3)y^3+C1=0。
常微分方程-总复习
dy a1 x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
dx
x
2.3 恰当方程和积分因子 2.3.1 恰当方程 定义、判别方法、求解方法 2.3.2 积分因子 定义、特殊类型方程的积分因子的求法 2.4 一阶隐方程和参数表示
第三章 一阶微分方程解的存在定理
解的存在唯一性定理的内容及证明过程。
近似计算和误差估计；
解对初值的可微性
第四章 高阶微分方程
4.1 线性微分方程的一般理论 4.1.1 齐线性方程解的性质与结构 定理2－定理6 4.1.2 非齐线性方程与常数变易法 定理7 常数变易法 4.2 常系数线性方程的解法 4.2.2 复值函数与复值解 复值函数的运算性质、定理8、定理9
4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 欧拉待定指数函数法、根据特征根的性质确定 方程的基本解组、欧拉方程的求解 4.2.3 非齐线性方程－比较系数法
第五章 线性微分方程组
5.1 解的存在唯一性定理 5.1.1 记号和定义 将n阶线性微分方程的初值问题化为等价的微分 方程组的初值问题 5.1.2 存在唯一性定理 5.2 线性微分方程组的一般理论 5.2.1 齐线性微分方程组
定理2－定理6 定理1＊定理2＊ 5.2.2 非齐线性微分方程组 定理7 定理8 常数变易公式
常微分方程
总复习
第一章 绪论
基本概念 常微分方程、偏微分方程、微分方程的阶 线性和非线性微分方程 解：隐式解、通解、特解 积分曲线
第二章 一阶微分方程
2.1 变量分离方程和变量变换 2.1.1 变量分离方程 2.1.2 可化为变量分离方程的类型 y 1) dy g
2) 2.2 线性方程与常数变易法 一阶齐线性微分方程、一阶非齐线性微分方程、 伯努利方程
变量分离和变分法
变量分离和变分法一、变量分离变量分离是一种将问题简化的数学技术，它通过将多个变量分离到不同部分的方法来处理多变量问题。
在复杂的数学模型和物理问题中，经常存在多个变量相互作用的情况，这时可以通过变量分离技术将它们分别考虑，使问题更容易处理。
变量分离的基本思想是通过变换或拆分方式，将原始问题分解为若干个简单的子问题，从而简化问题的求解过程。
二、变分法变分法是数学中的一种重要方法，用于解决泛函的极值问题。
这类问题常见于最优控制、金融优化、物理学和工程学等领域。
变分法基于变分原理，即对于某个函数的极值问题，可以转化为求解这个函数的变分问题的临界点。
在实际应用中，我们通常需要考虑在一定约束条件下的最优解问题，变分法能够通过找到满足约束条件的函数，使原函数取得极值。
三、欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一个重要方程，它描述了函数的极值条件。
对于一个给定的泛函，如果它在某一点达到极值，那么这个点一定是欧拉-拉格朗日方程的解。
欧拉-拉格朗日方程是一个偏微分方程，它根据不同的约束条件和问题背景会有不同的形式。
在最优控制、流体动力学等领域中，欧拉-拉格朗日方程都发挥着重要的作用。
四、约束条件在许多实际问题中，我们需要考虑各种约束条件来限制变量的取值范围或满足特定条件。
这些约束条件可以是等式约束或不等式约束，它们限制了问题的可行解空间。
在优化问题中，约束条件通常与目标函数相互作用，使得在满足约束的条件下最大化或最小化目标函数成为必要。
因此，在解决多变量优化问题时，需要特别注意约束条件的处理方式。
五、无约束优化无约束优化是指在没有任何限制或约束条件下寻找函数的最优解的问题。
相比之下，有约束优化问题则需要考虑满足某些特定条件的解。
无约束优化问题可以通过各种优化算法来解决，如梯度下降法、牛顿法等。
这些算法通常迭代地寻找最优解，不断逼近函数的极值点。
在实际应用中，无约束优化问题广泛应用于机器学习、图像处理和控制系统等领域。
变量分离方程与变量变换
dy dx
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令u
a2 x
b2 y,则方程化为
du dx
a2
b2
f
(u)
dy g( y) dx x
(2.5)
的方程称为齐次方程, 其中g(u)是u的连续函数.
求解方法: step1 作变量代换 u y , 即 y xu, x
代入原方程,得 du g(u) u .
dx
x
step2
解变量分离方程,得
du g(u) u
dx x
记
(u)
du , f (u) u
dx 解得 tan u x C, 所求通解为: tan( x y 1) x C.
例3 求微分方程 xy y y(ln x ln y)的通解.
解 令u xy, 则 u xy y ,
代入原方程得 du u ln u , dx x
例6
设
x
0
x2 ydx
ln
y
,求
y( x).
解 方程两边同时对 x 求导 ,得 x2 y 1 dy , y dx
分离变量,并积分得
dy y2
x2dx
,
解得
1 y
1 3
x3
C1
,
即
y
常微分方程2.1变量分离方程与变量变换
变量分离方程的解法
总结词
解变量分离方程的关键是找到一种方式将方程中的未知函数和其导数分离，然后分别求 解。
详细描述
解变量分离方程的一般步骤是先将方程变形为 f′(x)=u(x)v(y)f'(x) = frac{u(x)}{v(y)}f′(x)=v(y)u(x) 的形式，其中 u(x)u(x)u(x) 和 v(y)v(y)v(y) 是两个可导的 函数。然后分别求解 u(x)=0u(x) = 0u(x)=0 和 v(y)=0v(y) = 0v(y)=0，得到原方程的
在某些物理问题中，通过变量变换可以将实际问题转化为数学模型，从而 更好地理解和求解问题。
03
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实例分析
实例一：变量分离方程的解法
总结词
变量分离法是一种求解常微分方程的有效方法，通过将方程中的变量分离，将问题转化为可求解的形式。
详细描述
变量分离法适用于具有特定形式的常微分方程，如形如dy/dx = f(x)g(y)的方程。通过对方程进行适当的变形， 使得变量x和y能够分开，从而将问题简化为可求解的形式。
02 注意变换后的新变量的取值范围和定义域，确保 变换的合法性和有效性。
03 在进行变量变换时，要保持方程的等价性，即变 换前后的方程应具有相同的解集。
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变量变换的应用
在求解某些复杂或难以直接求解的常微分方程时，通过变量变换将其转化 为更简单的形式，从而更容易找到解。
通过变量变换可以将一些非线性微分方程转化为线性微分方程，或者将高 阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
实例二：变量变换的技巧
总结词
通过引入新的变量或函数，将原方程转 化为更易于求解的形式，是求解常微分 方程的一种常用技巧。
微积分-分离变量法 (1)
dxdy dx x 5=y dy dxy 5=x dy dx5=y x y 分离变量法分离变量法是是一个特别的解微分方程方法微分方程 是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dy dx5=微分方程（导数）yx 例子：有函数 y 和其导数的方程 dy dx什么时候可以用？在以下的情形可以应用分离变量法：所有 y 项（包括 dy）可以被移到方程的一边，所有 x 项（包括 dx）可以被移到另一边。
方法方法有三步：一、把所有 y 项（包括 dy）移到方程的一边，把所有 x 项（包括 dx）移到另一边。
二、把一边对 y 积分，另一边对 x 积分。
不要忘了 "+ C" （积分常数）。
三、简化例子：解（k 是常数）dydx= ky 一、分离变量：把所有 y 项移到方程的一边，把所有 x 项移到方程的另一边。
每边乘以 dx： dy = ky dx每边除以 y：dyy= k dx 二、每边分开来求积分：积分符号放在前面：∫ dy y= ∫k dx求左边的积分： ln(y) + C = ∫k dx 求右边的积分：ln(y) + C = kx + DC 是积分常数。
用D 来代表另一个（不同的）积分常数。
三、简化合并两个常数为一个(a=D−C):ln(y) = kx + ae(ln(y)) = y，所以我们取每边的幂：y = e kx + ae kx + a = e kx e a，所以这是：y = e kx e ae a 是个常数，我们用 c 来代替它y = ce kx解了：y = ce kx这是个一般的一阶微分方程，在很多不同的实际情况下都会出现。
在上面我们用了 y 和 x，用其他的名字来代表变量也是可以的：例子：兔子！有越多兔子就会越多小兔子，小兔子长大后又会生小兔子。
这样，兔子的数量会增长得越来越快！重要的信息是：在任何时间 t 时兔子的数量 N增长率 r数量变化率 dN dt在任何时间的变化率是增长率乘以在那一刻的数量：dN= rNdt慢着！这和上面 例子是同一个方程，只不过字母不同：是 N， 不是 y是 t， 不是 x是 r， 不是 k所以解是（同上）：N = ce rt举个例子，这是 N = 0.3e2t 的图：指数式增长还有其他类似的方程，例如 连续复利。
微分方程的变量分离法
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了物理、经济、生态等领域中许多问题的变化规律。
其中，变量分离法是解微分方程的一个常用方法之一，它通过将微分方程中的变量进行分离，从而使得方程变得更容易求解。
首先，我们来看一个简单的微分方程：dy/dx - y = sin(x)这是一个一阶线性非齐次微分方程。
我们可以将变量分离来求解它。
首先，将dy与dx分离，得到：dy/y = sin(x)dx然后，我们对方程两边进行积分，得到：∫(dy/y) = ∫sin(x)dx左边的积分结果是ln|y|，右边的积分结果是-cos(x)。
所以，原方程的通解可以表示为：ln|y| = -cos(x) + C其中C为常数。
通过这个简单的例子，我们可以看到变量分离法的基本步骤。
首先，将变量分离，然后对两边进行积分。
最后，根据得到的积分结果，得到原方程的通解。
需要注意的是，积分过程中要考虑到不定积分的初值问题，以确定常数C的具体取值。
不过，有时候并不是所有的微分方程都可以直接进行变量分离。
有些微分方程需要通过一定的变换才能分离变量。
接下来，我们来看一个例子：dy/dx = (x^2+y^2)/(xy)这是一个一阶非线性微分方程。
我们可以通过变换的方式将其转化为一个可进行变量分离的形式。
我们令u = y/x，从而有：y = ux将这个变换代入原微分方程中，得到：du/dx = (1+u^2)/u然后，我们将方程两边分离：u(1+u^2)du = dx对两边进行积分，得到：∫[u(1+u^2)]du = ∫dx左边的积分结果是(1/2)(u^2+1)^2，右边的积分结果是x+C。
所以，原方程的通解可以表示为：(1/2)(u^2+1)^2 = x+C将u=y/x代回去，得到：(1/2)((y/x)^2+1)^2 = x+C通过这个例子，我们可以看到变量分离法的灵活性。
有时候，通过适当的变换，我们可以将原微分方程转化为适合变量分离的形式，从而更容易求解。
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§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性方程与常数变易法 §2.3 恰当方程与积分因子 §2.4 一阶隐方程与参数表示
§2.1 变量分离方程与变量变换
一、变量分离方程
二、可化为变量分离方程的类型
一、变量分离方程
先看例子：
dy x y ye dx
dy x2 y2 1 dx
dy x y e ye dx
例：
dy x2 y2 1 dx
dy 2 x dx 2 y 1
dy 2 y 1
2 x dx C
1 3 arctan y x C 3
上面我们得到方程的通解含有常数C， 是一族积分曲线
dy 例题：4.一阶齐次线性方程 p(t ) y(t )或者y ' p(t ) y; dt
二、可化为变量分离方程 的类型
（I）零次齐次方程 a1 x b1 y c1 dy a xb yc 的方程， （II）形如 dx f 2 2 2 其中 a1, a2 , b1, b2 , c1, c2 均为实常数
（I）零次齐次方程
dy y 可以化为形如 g 的方程L( x, y, C ) 0
dy x 例题：解方程： 1. ; dx y
dy y (c dx) 例题：解方程： 2. ; dx x(a by )
dN N (t ) 例题：解方程： 3. r 1 N (t ); dt Nm