函数单调性(二)

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函数的单调性(2)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

1
解得 x＞ .所以函数 f(x)＝2x2－ln x 的递增区间是 2
2
课后练习
4.（2020·天津·高考真题20）已知函数 f ( x) x3 k ln x(k R)
， f ( x)
为 f(x) 的导函数．
（Ⅰ）当k=6时，
（i）求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
9

g ( x) f ( x) f ( x)
+/-
单调性
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
（2）f(x)=x－2ln x
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
解：（1）函数f(x)=3x-x3 定义域为 R .
对f(x)求导，得f ′(x)=3-3x2 ,
令f ′(x)=0，得x=-1,或x=1。
() = − − 2 + 1
3
2
′() = 2 − − 2
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
算法思想
判断函数的单调性的复杂问题
步骤明确的运算问题
因此，导数是研究函数单调性的基本工具，
利用导数研究函数单调性的方法具有“普适性”。
总结规律
小结：一般情况下，判断函数 = ()的单调性的步骤：
引入新课
3 + 2 + + ( ≠ 0)的函数
形如()
=

问题2
应用广泛，如何利用导数研究这种函数的单调性？
思
路：
定义
域
导
函
数
原
函数
求导
导函数

函数的单调性2

3、情感态度和价值观：增强团队合作意识、体验解决难题的成功感
【重点难点】掌握证明函数单调性的方法和步骤
理解学习目标
独学
15分钟
一、回忆增（减）函数的定义，学习课本48页例2解2
例2、判断函数y=4x-2的单调性
解2：第一步：函数y=4x-2的定义域为 ——
第二步：任意取，且，则 ————
第三步：
于是
———
即
第四步：所以函数y=4x-2在内为增函数—
二、填空，试证在上的单调性
证明：
1、函数的定义域为
2、取，且，则
3、；
于是
=
0
即
4、所以函数在内为函数。
三、按照例2和第二题填空的步骤，试证明函数在内的单调性
明确函数的定义域
紧扣定义，在给定区间取任意两个自变量的值，并设定其大小关系
讨论时，可对展示形式进行多样设计，并能充分利用板面及时板书关键词。
展示
13分钟
1、各小组将第三题板书在黑板上（版面设计要讲究艺术）。
2、整理好各组或板书的形式展示出
其他小组展示时，要认真倾听，把有价值的观点记录下来，有疑问的要提出来共同探讨
整理学案
武汉市石牌岭高级职业中学高效课堂推进
导学案
课题
函数的单调性2
课时
1
课型
新授课
时间
组名
学生姓名
流程
具体内容
学法指导
笔记栏
学习
目标
2分钟
1、知识与技能：巩固函数单调性的概念；掌握一次函数单调性证明的方法和步骤
2、过程与方法：通过例题掌握函数单调性的证明步骤；通过例题观察出一次函数单调性和二次函数单调区间的决定因素

函数单调性的应用第2课时高中数学人教A版2019选择性必修第二册

∵f(x)在区间(m, 2m−)上单调递减,
m 0

1
2m - 2
所以
2

1
m < 2m
2
1
5
∴解得 < m ≤ ,
2
4
1 5
即实数m的取值范围是( , ].
2 4
(3)已知函数f(x)=x3+3x2 ，若函数f(x)在区间[m, m+1]上不
单调, 求实数m的取值范围.
函数单调性2
3
2
函数f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的单调性
形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我
们利用导数来研究这类函数的单调性.
复习回顾
(1)函数的单调性与导数的正负的关系；
在某个区间(a, b) 内，如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在
区间(a, b)上单调递增；
x
f′(x)
f(x)
(-∞, -1)
+
单调递增
-1
0

f(-1)=

(-1, 2)
-
2
0
单调递减 f(2)= -
(2, +∞)

+
单调递增
例3
3
求函数f(x)=x -

��
x2-2x+1的单调区间.
所以，f(x)在(-∞, -1)和(2, +∞)
上单调递增，在(-1, 2)上单调递减，
如图所示.
练习:如图为函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图像, 那么

第6节函数的单调性(2)

练习：已知函数 y=f（x）的一个减区间是（2，6），则可以断定函数 y=f（2﹣x）
的（）
A．一个减区间是（4，8） B．一个减区间是（0，4）
C．一个增区间是（﹣4，0） D．一个增区间是（0，4）
解：y=f（x）的一个减区间是（2，6），令 t=2﹣x，2＜t＜6， ∴2＜2﹣x＜6， ∴﹣4＜x＜0，根据复合函数的单调性可知当﹣4＜x＜0，y=f（2﹣x）为增函数，故选：C．
2.若函数 f（x）=|x﹣a|的单调递减区间是（﹣∞，4]，则实数 a 的值为
．
解：当 x≥a 时，f（x）=x﹣a，此时函数为增函数，
当 x≤a 时，f（x）=﹣（x﹣a）=﹣x+a，此时函数为减函数，
则函数的单调递减区间为（﹣∞，a]，
∵函数 f（x）=|x﹣a|的单调递减区间是（﹣∞，4]，
练习：设函数 f（x）=
减区间为
．
，g（x）=x2f（x﹣1），则函数 g（x）的单调递Leabharlann 解：；∴；
∴g（x）的单调递减区间为[0，1）．故答案为：[0，1）．
典例分析：
例 4：函数 f（x）在区间（﹣2，3）上是增函数，则 y=（ f x+4）的递增区间是（）
A．（2，7） B．（﹣2，3）
化简为：
y=x2﹣2x+1，开口向上，对称轴 x=1，所以 x 在（0，1）是减区间，x 在（1，+ ∞）是增区间； y=x2+2x+1，开口向上，对称轴 x=﹣1，所以 x 在（﹣1，0）是增区间，x 在（﹣ ∞，﹣1）是减区间；所以：y=x2﹣2|x|+1 的单调递减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．故选 D．
第二章函数

2.2.1函数单调性(二)

函数的单一性（二）课时目标1.理解函数的最大(小)值的观点及其几何意义.2.领会函数的最大(小)值与单一性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最值设y＝f(x)的定义域为A.(1)最大值：假如存在x0∈A，使得关于随意的x∈A，都有__________，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为______＝f(x0)．(2)最小值：假如存在 x0∈A，使得关于随意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称 f(x0)为yf(x)的最小值，记为________＝f(x0)．2．函数最值与单一性的联系(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单一递加，则f(x)的最大值为______，最小值为______．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单一递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．一、填空题1．若函数2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是f(x)＝x＋2(a－1)x＋2________．2．已知函数y＝x＋2x－1，以下说法正确的选项是________．(填序号)1①有最小值2，无最大值；1②有最大值2，无最小值；③有最小值1，最大值 2；2④无最大值，也无最小值．3．已知函数 y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．4．假如函数 f(x)＝x2＋bx＋c对随意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)，f(2)的大小关系为________．5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的________．(填序号)①最小值是0，最大值是4；②最小值是－4，最大值是0；③最小值是－4，最大值是4；④没有最大值也没有最小值．1的最大值是________．6．函数f(x)＝1－x1－x的值域是________．7．函数y＝|x|＋18．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝__________.9．若y＝－2x，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．二、解答题10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.1(1)求f(x)在区间[2，3]上的最大值和最小值；(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单一函数，求m的取值范围．11．若二次函数知足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的分析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒建立，务实数m的取值范围．能力提高12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，结构函数F(x)，定义以下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)________．(填序号)①有最大值3，最小值－1；②有最大值3，无最小值；③有最大值7－2 7，无最小值；④无最大值，也无最小值．13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，此中a≥0，a∈R.(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．1．函数的最大(小)值(1)定义中M 第一是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 f(x)＝－x2(x∈R )的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解． (2)关于定义域内随意元素，都有 f(x)≤M 或f(x)≥M 建立，“随意”是说对每一个值都一定知足不等式．拓展关于函数y ＝f(x)的最值，可简记以下：最大值：ymax 或f(x)max ；最小值：ymin 或2．函数的最值与值域、单一性之间的联系f(x)min.(1)对一个函数来说，其值域是确立的，但它不必定有最值，如函数1y ＝x.假如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x)在闭区间[a ，b]上单一，则f(x)的最值必在区间端点处获得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值y ＝f(x)的草图，而后依据图象探究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地点关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小)值不必定在极点处获得．第2课时函数的最大(小)值知识梳理1．(1)f(x)≤f(x 0)yma x(2)ymin2．(1)f(b)f(a)(2)f(a)f(b)作业设计1．(－∞，－3]分析由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，解得a≤－3.2．①分析∵y＝x＋2x－1在定义域[1，＋∞)上是增函数，2∴y≥f(12)＝12，即函数最小值为12，无最大值．3．[1,2]分析由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，当x＝1时，y的最小值为2，当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.2由y＝x－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为 2.分析依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝12，由于f(x)＝x2＋bx＋c张口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，，＋∞)为f(x)的增区间，因此f(1)<f(2)<f(3)，即f(0)<f(2)<f(－2)．5．③－4x≥3分析y＝|x－3|－|x＋1|＝－2x＋2－1≤x<3.4x<－1由于[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，因此－4≤y≤4，综上可知③正确．46.31≤4分析f(x)＝123x－2＋7．(0,2]分析察看可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，因此当x＝0时，y的最大值为2，即0<y≤2，故函数y的值域为(0,2]．8．－2 0分析y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y在区间[a，b]上单一递加，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0(b＝6不合题意，舍去)2－a＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．分析函数y＝－2在[－4，－1]上是单一递加函数，x2故y max＝－－1＝2.221110．解(1)∵f(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1，x∈[，3]，2f(x)的最小值是f(1)＝1，5又f()＝，f(3)＝5，4因此，f(x)的最大值是f(3)＝5，即f(x)在区间[12，3]上的最大值是 5，最小值是 1. (2)∵g(x)＝f(x)－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋2≤2或m ＋2≥4，即m≤2或m≥6.22故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)． 11．解(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，f(x)＝ax 2＋bx ＋1.f(x ＋1)－f(x)＝2x ，∴2ax＋a ＋b ＝2x ，2a ＝2a ＝12－x ＋1.∴，∴，∴f(x)＝x a ＋b ＝0b ＝－1(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒建立，即x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒建立．令g(x)＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为 x ＝32，g(x)在区间[－1,1]上是减函数， g(x)min ＝g(1)＝1－3＋1－m>0， m<－1.12．③分析绘图获得F(x)的图象：射线AC、抛物线AB及射线BD三段，y＝2x＋3，联立方程组y＝x2－2x，得x A＝2－7，代入得F(x)的最大值为 7－2 7，由图可得F(x)无最小值．13.解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1x2＋x＋1，x<0x2－x＋1，x≥0.作图(如右所示)(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.若a>0，则f(x)＝a(x－2a1)2＋2a－4a1－1，1f(x)图象的对称轴是直线x＝2 a.11时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，0<<1，即a>2a2g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤1≤2，即1≤a≤1时，2a421 1－1，g(a)＝f(2a )＝2a －4a11时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，2a>2，即0<a<4g(a)＝f(2)＝6a －3.2.2.1函数单调性(二)11 / 1111 16a －3， 0≤a<4 1 1 综上可得g(a)＝ 2a －4a －1， 4≤a≤13a －2，a>2。

2 第2讲函数的单调性与最值(2)

第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值与值域 (1)最值①函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值． ②常见函数的值域一次函数的值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{y ∈R |y ≠0}；指数函数的值域是{y |y >0}；对数函数的值域是R ；正、余弦函数的值域是[－1，1]，正切函数的值域是R .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A .选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．(教材习题改编)函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( )A ．m >12B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：选B .使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.(教材习题改编)函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈ [－2，4]的单调递增区间为________，f (x )max ＝__________．解析：函数f (x )的对称轴为x ＝1，单调增区间为[1，4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1，4] 8设定义在[－1，7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的单调递增区间为[－1，1]和[5，7]．答案：[－1，1]，[5，7]确定函数的单调性(区间)[典例引领](1)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性；(2)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 (1)(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．(2)(图象法)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．若将本例(2)中函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)．[提醒] 对于函数y ＝f (φ(x ))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时为增函数；单调性不同时为减函数．[通关练习]1．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x 和y＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x 在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．2．作出函数y ＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x ≥1或x ≤－1时，y ＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54；当－1<x <1时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54.画出函数图象如图所示：由函数图象可知，函数的减区间为(－∞，－1]，⎣⎡⎦⎤12，1，函数的增区间为⎣⎡⎦⎤－1，12，[1，＋∞)．求函数的最值(值域)[典例引领](1)(2018·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)(2)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．【解析】 (1)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4，故选B .(2)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1. 【答案】 (1)B (2)1求函数最值的五种常用方法[通关练习]1．函数f (x )＝2x －1在[－2，0]上的最大值与最小值之差为( )A ．83B ．43C ．23D ．1解析：选B .易知f (x )在[－2，0]上是减函数，所以f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43，故选B .2．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x <1，所以f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122－54，x ≥1，⎝⎛⎭⎫x －122＋34，x <1，作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞函数单调性的应用(高频考点)函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较两个函数值或两个自变量的大小； (2)解函数不等式； (3)求参数的值或取值范围．[典例引领]角度一比较两个函数值或两个自变量的大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e )，所以b >a >c . 【答案】 D角度二解函数不等式(2016·高考天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，12)B ．(－∞，12)∪(32，＋∞)C ．(12，32)D ．(32，＋∞)【解析】由f (x )是偶函数得f (－2)＝f (2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以由2|a －1|＜2，得|a －1|＜12，即12＜a ＜32.【答案】 C角度三求参数的值或取值范围设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，4] C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D .【答案】 D利用函数单调性求解四种题型[通关练习]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B.⎝⎛⎦⎤1，32 C.⎣⎡⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫32，2解析：选C .由已知条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.故选C .2．(2018·甘肃肃南调研)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 答案：(－5，－2)∪(2，5)函数单调性的常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数． (2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反． (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反． (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f （x ）的单调性相同．函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． (3)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在．(4)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上端点值就是函数的最值．易错防范(1)区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．(2)函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.(3)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论；②保证各段上同增(减)时，要注意端点值间的大小关系；③弄清最终结果是取并集还是取交集．1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．3．“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D .若函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减，则有－3a 2≥－2，即a ≤43，所以“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋3ax －2在区间(－∞，－2]内单调递减”的既不充分也不必要条件．4．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12解析：选C .由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )>g (1)，则x 的取值范围是( ) A ．(0，10) B ．(10，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫110，10 D ．⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞) 解析：选C.因为g (lg x )>g (1)，g (x )＝－f (|x |)，所以－f (|lg x |)>－f (1)，所以f (|lg x |)<f (1)．又因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以|lg x |<1，所以－1<lg x <1，所以110<x <10.6．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：67．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，0<a <1，log a2≤（a －1）×2－2a⇒22≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，19．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是单调增函数，所以f (12)＝12，f (2)＝2，易知a ＝25. 10．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.1．(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为＝( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2，1)D ．(1，1＋ln 2)解析：选B .因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B . 2．已知函数f (x )＝4＋x 2ln 1＋x 1－x 在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．8解析：选D .令g (x )＝x 2ln 1＋x1－x，则g (－x )＝(－x )2ln 1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x 1－x＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，所以M ＋m ＝8.3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是__________．解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2时取得最大值6. 答案：64．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：函数y ＝x 3在(－∞，0]上是增函数，函数y ＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数，且x >0时，ln(x ＋1)>0，所以f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，解得－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)5．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0，所以b ＝a ＋1，所以f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. 因为对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，（a －1）2≤0.所以a ＝1，从而b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. 因为g (x )在[－2，2]上是单调函数，所以k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) .6．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(2)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，所以g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(2)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0. 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．。

【高中数学】第二课时导数与函数的单调性(二)

第二课时导数与函数的单调性(二) 课标要求素养要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性. 进一步理解函数的导数和其单调性的关系，提升数学运算素养与直观想象素养.题型一含参数函数的单调性【例1】讨论函数f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－a＋1x＝ax2＋x－（a＋1）x.①当a＝0时，f′(x)＝x－1 x，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.②当a>0时，f′(x)＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋a＋1a（x－1）x，∵a>0，∴a＋1 a>0.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.规律方法(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.【训练1】求函数f(x)＝1x2＋a ln x(a∈R)的单调递减区间.解易得函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 3＋a x ＝ax 2－2x 3. ①当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ②当a >0时，若0<x <2a ，则f ′(x )<0；若x >2a ，则f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增. 综上可知，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a . 题型二根据函数的单调性求参数【例2】 (1)若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，4] C.(－∞，8]D.[－2，4](2)已知函数f (x )＝ln x ＋（x －b ）22在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94 B.(－∞，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.(－∞，2)解析 (1)易得f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x .∵函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立， ∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.(2)易得f ′(x )＝12x ＋x －b ＝2x 2－2bx ＋12x .根据题意，得f ′(x )>0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解.令h (x )＝2x 2－2bx ＋1，因为h (0)＝1>0，所以只需h (2)>0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得b <94，故选A.答案 (1)B (2)A规律方法 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围是( )A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞)B.(－3，－1)∪(1，3)C.(－2，2)D.不存在这样的实数k解析由题意得，f ′(x )＝3x 2－12＝0在区间(k －1，k ＋1)上至少有一个实数根. 又f ′(x )＝3x 2－12＝0的根为±2，且f ′(x )在x ＝2或－2两侧导数异号，而区间(k －1，k ＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在区间(k －1，k ＋1)内， ∴k －1<2<k ＋1或k －1<－2<k ＋1， ∴1<k <3或－3<k <－1，故选B. 答案 B题型三函数单调性的应用【例3】(1)已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则()A.e－2 019f(－2 019)<f(0)，e2 019f(2 019)>f(0)B.e－2 019f(－2 019)<f(0)，e2 019f(2 019)<f(0)C.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)>f(0)D.e－2 019f(－2 019)>f(0)，e2 019f(2 019)<f(0)(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)·f(x2－1)的解集是()A.(0，1)B.(2，＋∞)C.(1，2)D.(1，＋∞)解析(1)构造函数h(x)＝e x f(x)，则h′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)＝e x(f(x)＋f′(x))>0，所以函数h(x)在R上单调递增，故h(－2 019)<h(0)，即e－2 019f(－2 019)<e0f(0)，即e－2 019f(－2 019)<f(0).同理，h(2 019)>h(0)，即e2 019f(2 019)>f(0)，故选A.(2)构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋1<x2－1，解得x>2或x<－1(舍).所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞).故选B.答案(1)A(2)B【迁移1】把例3(1)中的条件“f(x)＋f′(x)>0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2 019f(－2 019)和f(0)的大小.解令g(x)＝f（x）e x，则g′(x)＝f′（x）－f（x）e x，因为对任意的x∈R，都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上单调递增，所以h(－2 019)<h(0)，即f （－2 019）e－2 019<f （0）e 0，所以e 2 019f (－2 019)<f (0). 【迁移2】把例3(2)中的条件“f (x )<－xf ′(x )”换为“f (x )<xf ′(x )”，解不等式(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1).解设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，∵f (x )<xf ′(x )，∴g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上是增函数，由(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1)得 f （2x ＋1）2x ＋1>f （x 2＋1）x 2＋1即g (2x ＋1)>g (x 2＋1)，所以⎩⎨⎧2x ＋1>0，2x ＋1>x 2＋1，解得0<x <2. 即不等式(x 2＋1)f (2x ＋1)>(2x ＋1)f (x 2＋1)的解集为(0，2).规律方法用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： (1)对于f ′(x )>g ′(x )，构造h (x )＝f (x )－g (x ). (2)对于f ′(x )＋g ′(x )>0，构造h (x )＝f (x )＋g (x ). (3)对于f ′(x )＋f (x )>0，构造h (x )＝e x f (x ). (4)对于f ′(x )>f (x )，构造h (x )＝f （x ）e x . (5)对于xf ′(x )＋f (x )>0，构造h (x )＝xf (x ). (6)对于xf ′(x )－f (x )>0，构造h (x )＝f （x ）x .【训练3】 (多选题)已知定义在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (0)＝0，f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，则下列判断中正确的是( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln π3>0C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3解析令g (x )＝f （x ）cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，则g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin xcos 2x，因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，所以g ′(x )＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin x cos 2x <0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，因此函数g (x )＝f （x ）cos x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递减，又π6<π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>62f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故A 错；又f (0)＝0，所以g (0)＝f （0）cos 0＝0，所以g (x )＝f （x ）cos x ≤0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上恒成立，因为ln π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln π3<0，故B 错；又π6>π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故C 正确；又π4<π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故D 正确；故选CD.答案 CD一、素养落地1.通过学习导数与函数的单调性，提升数学运算与逻辑推理素养.2.对于含参数的导数的单调性，要清楚分类讨论的标准，做到不重不漏.3.利用函数的单调性求参数的取值范围的关键是转化为不等式的恒成立问题或存在性问题，再利用分离参数法或函数的性质求解. 二、素养训练1.设函数f (x )＝2x ＋sin x ，则( ) A.f (1)>f (2)B.f (1)<f (2)C.f(1)＝f(2)D.以上都不正确解析f′(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是R上的增函数，故f(1)<f(2). 答案 B2.若f(x)＝13x3－ax2的单调减区间是(0，2)，则正数a的值是()A.1B.2C.3D.4解析f′(x)＝x2－2ax，令f′(x)<0，由于a>0，故解得0<x<2a，故2a＝2，即a＝1. 答案 A3.已知f(x)＝ln xx，则()A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e)D.f(e)>f(3)>f(2)解析f(x)的定义域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝1－ln xx2，∴x∈(0，e)，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，故x＝e时，f(x)max＝f(e)，又f(2)＝ln 22＝ln 86，f(3)＝ln 33＝ln 96，则f(e)>f(3)>f(2).答案 D4.若函数y＝x2－2bx＋6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是________. 解析由题意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)内恒成立，即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2.答案(－∞，2]5.若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________.解析∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.∵f′(x)＝－x＋bx＋2，∴－x＋bx＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立. 设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.答案(－∞，－1]基础达标一、选择题1.已知函数f(x)＝e xx，当1<x<3时，下列关系正确的是()A.f(x)<f(x)<f2(x)B.f(x)<f(x)<f2(x)C.f2(x)<f(x)<f(x)D.f2(x)<f(x)<f(x)解析由题意得f′(x)＝（x－1）e xx2，当1<x<3时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，3)上单调递增.又1<x<x<3，所以f(x)<f(x).由f(x)在(1，3)上单调递增，可知当x∈(1，3)时，f(x)>f(1)＝e，所以f2(x)>f(x).综上f(x)<f(x)<f2(x).答案 A2.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A.f′(x)>0，g′(x)>0B.f′(x)>0，g′(x)<0C.f′(x)<0，g′(x)>0D.f′(x)<0，g′(x)<0解析由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.∵当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案 B3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a＝()A.1B.2C.0D. 2解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0，1)上为减函数，∴a2≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－a x ，依题意g ′(x )≥0在(1，2)上恒成立，即2x 2≥a 在x ∈(1，2)时恒成立，有a ≤2，∴a ＝2. 答案 B4.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3]∪[3，＋∞)B.[－3，3]C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3，3)解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意，可知f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在R 上恒成立，∴(2a )2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3. 答案 B5.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析由题意，得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x .令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝－12(舍去).当0<x <12时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减；当x >12时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<12<k ＋1，解得－12<k <32.又k －1≥0，所以1≤k <32.故选C. 答案 C 二、填空题6.若函数f (x )＝(x 2＋mx )e x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，则实数m 的值为________.解析 f ′(x )＝[x 2＋(m ＋2)x ＋m ]e x .因为f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f ′(x )＝0的两个根分别为x 1＝－32，x 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0，f ′（1）＝0，解得m ＝－32.答案－327.函数f (x )＝13x 3－12(2a ＋1)x 2＋(a 2＋a )x ＋4的单调减区间是________.解析 f ′(x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝[x －(a ＋1)](x －a )，令f ′(x )<0，得a <x <a ＋1，故f (x )的减区间是(a ，a ＋1). 答案 (a ，a ＋1)8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，若当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，则不等式xf (x )>0的解集是________. 解析由题意设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x ).∵当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (x )是定义在R 上的偶函数. 又f (2)＝0，则g (2)＝2f (2)＝0， ∴不等式xf (x )>0等价于g (x )>0＝g (2)， ∴|x |>2，解得x <－2或x >2，∴不等式xf (x )>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a >0，求函数f (x )的单调区间. 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝4.又f (1)＝3，∴切点坐标为(1，3)，∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0. (2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝－a 或x ＝a3. 又a >0，由f ′(x )<0，得－a <x <a3，由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3，故f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为()－∞，－a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞.10.试讨论函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间. 解函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x .当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减. 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x <0，解得0<x <1k ；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k. ∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.能力提升11.已知函数f (x )＝x ln x ＋x (x －a )2(a ∈R ).若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )>xf ′(x )成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.(2，＋∞)D.(3，＋∞)解析由f (x )>xf ′(x )成立，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0.设g (x )＝f （x ）x ＝ln x ＋(x －a )2，则存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得g ′(x )＝1x ＋2(x －a )<0成立，即a >⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x min .又x ＋12x ≥2x ·12x ＝2，当且仅当x ＝12x ，即x ＝22时取等号，所以a > 2.故选C. 答案 C12.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3). 当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0，解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33.故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).创新猜想13.(多选题)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )，对任意的x ∈R 恒成立，则( ) A.f (ln 2)<2f (0) B.f (2)<e 2f (0) C.f (ln 2)>2f (0)D.f (2)>e 2f (0)解析令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x <0，故g (x )在R 上单调递减，而ln 2>0，2>0，故g (ln 2)<g (0)，g (2)<g (0)，即f （ln 2）2<f （0）1，f （2）e 2<f （0）1，所以f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0). 答案 AB14.(多空题)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由题知h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.由h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，可得当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x (x >0)，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.因为a ≠0，所以－1<a <0或a >0.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减，得当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立.设H (x )＝1x 2－2x ，x ∈[1，4]，所以a ≥H (x )max ，而H (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以H (x )max ＝－716(此时x ＝4). 因为a ≠0，所以－716≤a <0或a >0.答案 (1)(－1，0)∪(0，＋∞) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

第二讲函数的单调性

函数的单调性【基础知识点】1．定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤： ①先明确函数的定义域 ②求出函数)(x f 的导数)(x f '③求单调增区间时令0)(>'x f ,求单调减区间时令0)(<'x f 【典例解析】【典例1】求下列函数的单调区间：⑴52)(24--=x x x f ⑵nx x x f 12)(2-= ⑶ex e x f x -=)(变式：确定函数[]()sin (0,2)f x x x π=∈的单调减区间【典例2】已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．讨论)(x f 的单调性；【解析】1(21)(1)()(0,),()2(2).x ax f x f x ax a x x+-'+∞=-+-=-的定义域为 ①若.0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加. ②若10,()0,a f x x a'>==则由得且当 11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少.变式：1．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0<x 时，0)()()()(>'-'x g x f x g x f 且(3)0,f -=则不等式0)()(<x g x f 的解集 2．()f x 的定义域为(0,)+∞,()f x 的导函数为()f x ',且对任意正数x 均有()()f x f x x'>，判断函数()()f x F x x=在(0,)+∞上的单调性；【基础知识点】已知函数的单调性或单调区间，求字母参数的取值范围若)(x f 在某区间I 上单调递增，则0)(≥'x f ()x I ∈恒成立若)(x f 在某区间I 上单调递减，则0)(≤'x f ()x I ∈恒成立注意：在利用0)(≥'x f 或0)(≤'x f 取等号时，函数)(x f 是否会为常数函数，如果是，则不能取等号，即0)(>'x f 或0)(<'x f【典例3】求函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间. 解 2()32f x x mx '=-.当0m >时，令()0f x '<，解得203mx <<；当0m =时，2()30f x x '=≥；当0m <时，令()0f x '<，解得203mx <<. 综上所述，当0m >时，函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间是2[0,]3m；当0m <时，函数1)(23+-=mx x x f 的单调减区间是2[,0]3m 反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论（抓住“讨论点”以及其完整性）。

5.3.1函数的单调性第二课时

单调递减区间为
1

− ,2
1
2
当 = 时，单调递增
1
2
1

当 > 时，单调递增区间为(−∞, −2) 、 (− , +∞)，单调递减区间为
− 2, −
1

解答
∵ ′
讨论函数() = ( − 1) + 2 + 1的单调性
−1
2 2 + ( − 1)
当 > 1时，单调递增区间为 (0, +∞)
当0 < < 1时，单调递增区间为(
单调递减区间为(ຫໍສະໝຸດ ,1−)2
1−
, +∞)
2
例3、已知()＝－－1. 若()在定义域R内单调递增，求
的取值范围．
解答
因为()在定义域R内单调递增，所以 ′ ≥ 0在R恒成立
当 < 0时， − < < 3时， ′ < 0，函数单调递减，
> 3或 < −时 ′ > 0，函数单调递增；
当 > 0时，3 < < −时， ′ > 0，函数单调递增，
> −或 < 3时 ′ < 0，函数单调递减；
集的影响进行分类讨论.讨论时还应注意题干中限定的参数
在范围.
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定
导数为0的点和函数的间断点.
解答
∵ ′ = − 2 + 2 − 32 = − 3 +
令 ′ = 0 得 = 3或 = −
当 = 0时， ′ ≤ 0，函数单调递减

1.3.1 函数单调性2(屠编)

河南省实验中学屠新民编
复习准备
1、函数单调性的、定义是什么？定义是什么？ 2、证明函数单调、性的步骤是什么？性的步骤是什么？ 3、现在已经学过的、判断函数单调性有些什么方法？些什么方法？数值列表法（不常用）、数值列表法（不常用）、图象法、图象法、定义法. 定义法
河南省实验中学屠新民编
f ( x), f n( x)
(n > 1)
也是增函数. 也是增函数
河南省实验中学屠新民编
f[g(x)]
题型三：题型三：利用已知函数单调性进行判断
练习：练习：求函数答案：答案： (－∞, －3]单减区间－单减区间; 单减区间 [2,+∞)单增区间单增区间. 单增区间
f ( x) =
当k>0时，单调性相同；即有 <y ,由定义可知，y＝3－时单调性相同；即有y 由定义可知，＝－ 1 2 由定义可知上为增函数. 在上为增函数当k<0时，单调性相反 2f(x)在A上为增函数时单调性相反.
河南省实验中学屠新民编
题型三：题型三：利用已知函数单调性进行判断
结论3：结论：若f(x)与g(x)在与在 R上是增函数，则上是增函数，上是增函数 f(x)+g(x)也是增函数也是增函数. 也是增函数结论5：结论：若f(x)(其中其中 f(x)>0)在某个区间上在某个区间上为增函数，为增函数，则
题型一：题型一：用定义证明函数的单调性
例1、判断函数 3 f(x)=－x +1在(－∞,0) 是减函数，证明如下：是减函数，证明如下：上是增函数还是减函在 ∞ 0)上任取 1 , x2 ,且 1 < x2 ( ， x x 并证明你的结论；数，并证明你的结论； Q f ( x1 ) f ( x2 ) = (x13 + 1) (x23 + 1) 如果x∈（0，＋∞）， 2 2 = ( x2 x1 )( x1 + x x2 + x2 ) 函数f(x)是增函数还是 x2 2 3 2 = ( x2 x1 )( x1 + ) + x2 减函数？减函数？ 2 4 又Qx2 x1 > 0, 证明函数单调性 x2 2 3 2 的问题，的问题，只需严格 (x1 + ) + x2 > 0, 2 4 按照定义的步骤就 ∴ f (x1) f (x2 ) > 0,即f (x1) > f (x2 ). 可以了. 可以了

高中数学必修一第二章 §3 第1课时函数的单调性 (2)

第二章函数§3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=3-xD.y=x2+2x+1y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,2)D.(2,+∞)f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).3.已知函数f(x)=1+2x-x2,则下列结论正确的是()A.f(x)在区间(-∞,1]上单调递增B.f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增C.f(x)在区间(-∞,1]上单调递减D.f(x)在区间[-1,+∞)上单调递减(x)=-(x-1)2+2,对称轴为x=1,由题意可知函数抛物线开口向下,则f(x)在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,故选A.4.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则()A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)<f(a).而在其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.5.(2020山西大同第四中学高一期中)已知函数y=f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,且f (2a-1)<f (1-a ),则实数a 的取值范围是( ) A.23,+∞ B.23,1 C.(0,2)D.(0,+∞)解析因为函数y=f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,且f (2a-1)<f (1-a ),所以{2a -1>1-a ,-1<2a -1<1,-1<1-a <1,解得23<a<1,所以实数a 的取值范围是23,1.故选B .6.(2020安徽高二学业考试)函数y=f (x )(x ∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f (x )的单调递增区间为( )A.[-4,-2]B.[-2,1]C.[1,4]D.[-4,-2]∪[1,4]7.(多选题)下列命题是假命题的有( )A.定义在区间(a ,b )上的函数f (x ),如果有无数个x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在区间(a ,b )上为增函数B.如果函数f (x )在区间I 1上单调递减,在区间I 2上也单调递减,那么f (x )在区间I 1∪I 2上就一定单调递减C.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0时,函数f (x )在区间(a ,b )上单调递减D.任取x 1,x 2∈(a ,b ),且x 1≠x 2,当(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0时,函数f (x )在区间(a ,b )上单调递增是假命题,“无数个”不能代表“所有”“任意”;以f (x )=1x为例,知B 是假命题;∵f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0(x 1≠x 2)等价于[f (x 1)-f (x 2)]·(x 1-x 2)<0, 而此式又等价于{f (x 1)-f (x 2)>0,x 1-x 2<0或{f (x 1)-f (x 2)<0,x 1-x 2>0,即{f (x 1)>f (x 2),x 1<x 2或{f (x 1)<f (x 2),x 1>x 2,∴f (x )在区间(a ,b )上单调递减,C 是真命题,同理可得D 也是真命题.8.若函数y=ax 与y=-bx 在区间(0,+∞)上都单调递减,则函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上( )A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增y=ax 与y=-bx 在区间(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为x=-b2a <0,且抛物线开口向下,所以函数y=ax 2+bx 在区间(0,+∞)上单调递减.9.已知函数f (x )=2x 2-mx+3,当x ∈[-2,+∞)时,f (x )单调递增,当x ∈(-∞,-2]时,f (x )单调递减,则m= ,f (1)= .函数f (x )在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x=-b2a =m4=-2,∴m=-8,即f (x )=2x 2+8x+3.∴f (1)=13.8 1310.(2021福建福州高一期末)已知函数f (x )=√x 2-(a -1)x +2a ,且f (1)=√3. (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,解得a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R ,f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 2+2-√x 2+2)(√x 2+2+√x 2+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2=(x 12)(x 12)√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.关键能力提升练11.若函数f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=ax+1在区间[1,2]上都单调递减,则a 的取值范围是( ) A .(-1,0)∪(0,1) B .(-1,0)∪(0,1] C .(0,1)D .(0,1](x )=-x 2+2ax=-(x-a )2+a 2,∵f (x )在区间[1,2]上单调递减,∴a ≤1. ∵g (x )=ax+1在区间[1,2]上单调递减, ∴a>0,∴0<a ≤1.12.下列有关函数单调性的说法不正确的是( ) A.若f (x )为增函数,g (x )为增函数,则f (x )+g (x )为增函数 B.若f (x )为减函数,g (x )为减函数,则f (x )+g (x )为减函数 C.若f (x )为增函数,g (x )为减函数,则f (x )+g (x )为增函数 D.若f (x )为减函数,g (x )为增函数,则f (x )-g (x )为减函数,两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B 正确;对于D,g (x )为增函数,则-g (x )为减函数,f (x )为减函数,f (x )+(-g (x ))为减函数,选项D 正确;对于C,若f (x )为增函数,g (x )为减函数,则f (x )+g (x )的单调性不确定.例如f (x )=x+2为R 上的增函数,当g (x )=-12x 时,f (x )+g (x )=x 2+2在R 上为增函数;当g (x )=-3x 时,f (x )+g (x )=-2x+2在R 上为减函数,故不能确定f (x )+g (x )的单调性.故选C .13.给出下列三个结论:①若函数y=f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (1)<f (2)<f (3),则函数y=f (x )在定义域(0,+∞)上是增函数; ②若函数y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数,则f (a 2+1)<f (a 2); ③函数f (x )=1x 在其定义域上是减函数.其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个C.2个D.3个在函数单调性的定义中,x 1,x 2具有任意性,不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性,①错误;②∵a 2+1>a 2,又y=f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数, ∴f (a 2+1)<f (a 2),②正确;③取x 1=-1,x 2=1,∵f (-1)=-1,f (1)=1,∴f (-1)<f (1),故f (x )=1x 不是其定义域上的减函数,③错误.14.若函数f (x )在(-∞,+∞)上是减函数,a ,b ∈R 且a+b ≤0,则下列选项正确的是( ) A.f (a )+f (b )≤-[f (a )+f (b )] B.f (a )+f (b )≤f (-a )+f (-b )C.f (a )+f (b )≥-[f (a )+f (b )]D.f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )a+b ≤0,所以a ≤-b ,b ≤-a ,又函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是减函数, 所以f (a )≥f (-b ),f (b )≥f (-a ), 所以f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b ).15.若函数f (x )={x 2+2ax +3,x ≤1,ax +1,x >1是定义域上的减函数,则实数a 的取值范围为 .{-a ≥1,a <0,12+2a ×1+3≥a ×1+1,解得-3≤a ≤-1,则实数a 的取值范围是[-3,-1].-3,-1]16.已知函数f (x )=ax+1x+2,若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2),则实数a 的取值范围是 .“若x 1>x 2>-2,则f (x 1)>f (x 2)”可知函数f (x )在区间(-2,+∞)上单调递增.而f (x )=ax+1x+2=a+1-2ax+2,故有1-2a<0,解得a>12,即a 的取值范围为(12,+∞). (12,+∞)17.(2020浙江金华高一检测)函数f (x )=√(x -1)(x -2)的定义域为;单调递减区间为 .f (x )=√(x -1)(x -2)满足(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,∴函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞);又t=(x-1)(x-2)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,∴函数f (x )在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减, ∴函数f (x )的单调递减区间为(2,+∞).-∞,1)∪(2,+∞) (2,+∞) 18.已知函数f (x )=mx+1nx +12(m ,n 是常数),且f (1)=2,f (2)=114.(1)求m ,n 的值;(2)当x ∈[1,+∞)时,判断f (x )的单调性并证明;(3)若不等式f (1+2x 2)>f (x 2-2x+4)成立,求实数x 的取值范围.∵f (1)=m+1n +12=2,f (2)=2m+12n +12=114,∴{m =1,n =2.(2)由(1)得f(x)=x+12x +12.设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+12x1+12−(x2+12x2+12)=(x1-x2)·(1-12x1x2)=(x1-x2)(2x1x2-12x1x2).∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴2x1x2-1>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴只需1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1.即实数x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).学科素养拔高练19.已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围为.x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=x22+ax2−x12−ax1=x2-x1x1x2[x1x2(x1+x2)-a].要使函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,需满足f(x2)-f(x1)>0在[2,+∞)上恒成立.∵x2-x1>0,x1x2>4>0,∴a<x1x2(x1+x2)恒成立.又x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,∴a≤16,即a的取值范围是(-∞,16].-∞,16]20.设f(x)是定义在R上的函数,对任意m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1;(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)在R上是减函数.根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n),∵f(n)≠0,∴f(0)=1.(2)由题意知,当x>0时,0<f(x)<1;当x=0时,f(0)=1>0;当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1.∵f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x)=1,∴f(x)=1>0.f(-x)故x∈R时,恒有f(x)>0.(3)设任意的x1,x2∈R,且x1>x2,则f(x1)=f(x2+(x1-x2)).∴f(x1)-f(x2)=f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)·f(x1-x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1].由(2)知,f(x2)>0.∵x1-x2>0,∴0<f(x1-x2)<1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数.。

2.5.2 函数的单调性与反函数(二)

2011-3-9
8
§2.5.2 函数的单调性与反函数(二)
3.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时函数设函数当为何值时, f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时函数 f(x) 当为何值时, 内单调递减. 在(0, 4)内单调递减内单调递减解: 对 f(x) 求导得 f ′(x)=3kx2+6(k-1)x, (1)∵函数 f(x) 的单调递减区间是(0, 4), ∵ 的单调递减区间是( ) ∴不等式 f ′(x)<0 的解集为(0, 4), 的解集为( ) 的解集为( ) 即 kx2+2(k-1)x<0 的解集为(0, 4), 的两根, ∴0 与 4 是方程 kx2+2(k-1)x=0 的两根 1 故由根与系数的关系可求得 k 值为 3 .
3
§2.5.2 函数的单调性与反函数(二)
四、复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下：的单调性密切相关其规律如下：
函数 u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
增增增
单调性增减减增减减
2011-3-9
9
§2.5.2 函数的单调性与反函数(二)
3.设函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1. (1)当 k 为何值时函数设函数当为何值时, f(x) 的单调递减区间是 (0, 4); (2)当 k 为何值时函数 f(x) 当为何值时, 内单调递减. 在(0, 4)内单调递减内单调递减解: 对 f(x) 求导得 f ′(x)=3kx2+6(k-1)x, (2)命题等价于 kx2+2(k-1)x<0 对 x∈(0, 4) 恒成立命题等价于恒成立, ∈ 等价于 kx+2(k-1)<0 对 x∈(0, 4) 恒成立恒成立, ∈ 设g(x)=kx+2(k-1), 的图象为一条直线, 由于 g(x) 的图象为一条直线 g(0)≤0 ⇒k≤ 1. 则 g(4)≤0 3 2 (或分离变量 ⇔ k< x+2 对 x∈(0, 4) 恒成立.) ∈ 恒成立 )

函数的单调性(2)全面版

因此,f(x)的递增区间是: (2k2,2k2)k (Z);
递减区间是:
(2k23,2k43)k (Z).
3
3
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f(x)1 1 x1 .
2 1x 2(1x)
由 f(x)0即 2(x11x)0,得x<-1或x>1.
单调函数的图象特征
G=(a,b)
y
y
减函数
增函数
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
二、新课:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=
f(x)的导数.
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
在区间(2,+∞)内,切线的斜
例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
解: f(x)2x2.
由2x-2>0,解得x>1,因此,当 x(1,)时,f(x)是增函数; 令2x-2<0,解得x<1,因此,当 x(,1)时,f(x)是减函数. 例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
[ 1 , ) 3
变式:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:( 1 , 1 ).
3a 3a
单调递减区间:
( ,
1 )和 (
3a
1 , ). 3a
例４：若函数 f(x)1x31a2x(a1)x1在区间 32

函数的单调性(二)

函数的单调性教案（二）【教学目标】掌握应用单调性求参数的范围及解不等式和求最值的方法【教学重点】单调性的应用【教学难点】应用单调性解抽象不等式【教学过程】题型一应用单调性求参数的取值范围例1、（1）若函数y=(a ＋1)x ＋b ，x∈R 在其定义域上是增函数，则（）A ．a ＞－1B ．a ＜－1C ．b ＞0D ．b ＜0（2）若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围_ _．（3）函数()3122+--=x a x y 在(]1,∞-内单调递减，则a 的取值范围是____ ____．（4）(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是_ __ ___．（5）若函数ax x y -=3在区间[)+∞,1上为增函数，则a 的取值范围是___ _____．题型二应用单调性解抽象不等式例2、（1）已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是（）A.()1,1-B.()1,0C.()()1,00,1 -D.()()+∞-∞-,11,（2）定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当x ＞0时，1)(>x f ，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）。

（1）求证：f （0）=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.题型三应用单调性求函数的最值例3、（1）函数()11-=x x f 在[2，3]上的最小值为，最大值为。

函数的单调性学生版(2)

函数的单调性一、知识要点1、函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数()x f ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.2、单调函数与单调区间：如果函数)(x f 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f 在这个区间上单调函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调区间3、函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．在增区间上，函数的图像从左到右是上升的在减区间上，函数的图像从左到右是下降的二、题型探析（一）用定义法讨论函数的单调性例1、求函数y=x+x1的单调区间.训练1、讨论函数f （x ）=12-x ax （a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性.例2、如果二次函数f （x ）=x 2－（a －1）x+5在区间（21，1）上是增函数，求f （2）的取值范围.训练2、如果函数f （x ）=x 2+2（a －1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是___________________.（二）、复合函数法讨论函数的单调性例3、函数f(x)＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．训练3、（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性。

三、用导数法讨论函数的单调性例4、求函数32)(24+-=x x x f 单调区间训练4（1）、求函数22)(x x x f -=单调区间（2）求函数).0()(>+=b xb x x f 单调区间四、利用函数的单调性求最值例5、（已知函数x a x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；训练5、已知a 为实数，函数))(1()(2a x x x f ++=，若0)1('=-f ，求函数)(x f y =在3[,1]2-上的最大值和最小值。

函数的单调性(2)

总结：对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 ,x2 ，当 x1 <x2 时，都有 f (x1 )<f (x2 ) ，则在这个区间D上是增函数； x1 <x2 当时，都有 f (x1 )>f (x2 ) ，则在这个区间D上是减函数。
函数的单调性
生活中的一些实例
1.同学们爬山的时候，上山过程中时间越来越，高度越来越 ;下山过程中时间越来越 ,高度越来越。 2．同学们在食堂打开水吗？时间越，瓶子中的水就越；倒水的时候，时间越，瓶子中的水就越。
1.同学们爬山的时候，上山过程中时间越来越长，高度越来越高 ;下山过程中时间越来越长 ,高度越来越 ห้องสมุดไป่ตู้ ； 2.同学们在食堂打开水吗？时间越长，瓶子中的水就越多；倒水的时候，时间越长，瓶子中的水就越少 3. 请再举一些生活中一个变量变化时，引起另一个变量变化的例子
观察函数列问题。
y =x +2 ， y =-x+2 ，
y =x，
2
1 y = ，的图象，思考下 x
上述图象用上升和下降来描述有什么变化规律？对于自变量的变化，相应的函数值有哪些变化规律？
总结：对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 ,x2 ，当时，都有，则在这个区间D上是增函数；当时，都有，则在这个区间D上是减函数。