最新4第四讲无穷级数汇总

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高等数学讲义第4集——无穷级数

幂级数的收敛半径及其求法
定理：如幂级数
anxn
n0
系数满足 lim n
an 1 an
(或 lim n
n
an
)
则（1） 0
R1
（2） 0
R
（3）
R0
注意：当 x R
a
n
x
n
的敛散性不能确定，要讨论
an
(R)n
n0
n0
例 6：求下列幂级数的收敛域
(1) n 1
3n
x
n
n1
n
一、知识网络图
常数项级数的一般概念和性质
常数项级数交正几错项何级级级数数数，与条p级件数和绝对收敛
幂级数收敛半径
幂级数函数的幂级数展开
幂级数的和函数
傅里叶级数函三数角在级对数称区间上的的傅里叶展开
二、典型错误分析
例 1、判断级数 1 是否收敛。
n1 2n 1
[错解]
∵
lim
n
h0
f
n
x
n!
0
x
x
0
n
f x0
f
x
1!
0
x
x
0
f
x
2!
0
x
x
0
2
f n x 0 x
n!
x 0 n
称为 f x在 x x 0 点的泰勒级数
特别当 x 0 0 ，则级数
f n0 x n
f 0
f 0 x
f 0 x 2
f n0 x n
h0 n!
1!
2!
n!
称为 f x的麦克劳林级数
2、函数 f x展开成泰勒级数的条件 x x 0 R

无穷级数知识点总结考研

无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。

其一般形式为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列，称为级数的通项。

无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim⁡(S_n)。

在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。

二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim⁡(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。

如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim⁡(S_n) = ±∞，那么称级数发散。

2. 收敛级数的判定（1）正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。

（2）比较判别法若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。

（3）比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法无法判断级数的敛散性。

无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，v n，则 (u n v n ) s ；n1n1n1n1n1若 u n 收敛，v n 发散，则 (u n v n ) 发散；n1n1n1若 u n ，v n 均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .n1② 审敛法：i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界②若 lim u n0 ，则 u n 未必收敛；n1(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②n 1 n 1收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；1B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性n 1 n 1注：常用的比较级数：a①几何级数：ar n1 1 r r 1n 1 发散r| 1②p级数：［收敛P 1时.n 1 np发冃攵P 1时，③调和级数：丄1 1 1发散.n 1 n 2 n(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1与2，虽然佃乩1，nan n n 1 n n 1n n a.lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛•n' n 1 n n 1 na n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,n(iv )根值判别法(柯西判别法)设若 1则级数发散.(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数u n 发nnn 1散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n(1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U nn 1收敛.注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；u n② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3. 一般项级数的判别法： ①若u n 绝对收敛，则 u n 收敛.n 1n 1②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.n 1n 1三、幕级数 1. 定义： a n x n称为幕级数•n 02. 收敛性① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n在X 。

第4章无穷级数内容小结

(x

x0
)n

为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2

f
(n) (x0 n!
)
(
x

x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1

为级数 un 的部分和. n1

若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，

此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1

收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.

④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为），

则当 1时， un 收敛；当 1（或）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.

无穷级数总结范文

无穷级数总结范文无穷级数是数列求和的一种方式，在数学中有重要的地位和应用。

无穷级数的概念最早由数学家Gottfried Leibniz引入，之后被广泛研究和应用。

在本文中，我们将总结无穷级数的基本概念、性质和常见的应用领域，以便读者更好地理解和应用无穷级数。

一、无穷级数的基本概念无穷级数是指由无穷多个数相加得到的和。

一般地，一个无穷级数可以写成以下形式：S=a1+a2+a3+...其中，a1、a2、a3等为数列的各项。

我们可以通过求无穷级数的部分和来研究其性质。

对于一个无穷级数，其第n个部分和Sn定义为：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、无穷级数的收敛和发散无穷级数可能收敛（即有限）也可能发散（即无限）。

为了研究无穷级数的收敛性，我们引入了极限的概念。

当部分和的数列{Sn}存在有限极限s时，即lim(n->∞)Sn = s，我们称该无穷级数收敛，并且其和为s。

我们用∑表示无穷级数。

如果部分和的数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n->∞)Sn不存在，或者lim(n->∞)，Sn， = ∞，我们称该无穷级数发散。

无穷级数的收敛性与其各项的大小和取值有关，我们将在下一章节中讨论。

三、无穷级数的性质1.部分和的性质：对于一个无穷级数，其部分和的性质对于判断其收敛性起到重要的作用。

如果一个无穷级数的部分和数列收敛，则该无穷级数收敛；如果一个无穷级数的部分和数列发散，则该无穷级数发散。

2.数项级数的性质：对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的性质也是重要的。

数项级数是指将无穷级数中的各项重新排列后所得到的级数。

对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的和与原级数的和相同。

3.加法运算：如果两个无穷级数都收敛，则它们的和也收敛，并且和的值等于各级数的和的和。

4.数乘运算：如果一个无穷级数收敛，则对该级数的每一项乘以同一个常数后所得到的级数也收敛，并且和的值等于常数与原级数的和的乘积。

(完整版)无穷级数整理

无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

无穷级数的知识点总结

；
时，收敛区间为
。
例 27。求
的收敛半径及区间。
注意：当所给的级数有缺项时，一般不能用定理的方法来求其收敛半径及区间，而应该用达朗贝尔比值审敛法来求。
解：
（1）如果
时，即
时，则
收敛；
（2）如果（3）又在端点
时，即
时，则
发散；所以，R=1.
收敛。所以，收敛区间为
。
例 28．求幂级数
的收敛区间
解：令
；（2）
；（3）
也发散）。的敛、散性。
解：（1）
，而
收敛，所以，
绝对收敛。
（ 2）因为也发散（？）
（3）原级数为交错级数，经判断收敛。但
，所以，
发散，从
发散，故：
为条件收敛。
例 15。研究解：（一）当
（二）当
的敛、散性。时，级数显然收敛，且为绝对收敛；时，
（1）当（2）当（3）当
（1）
（？），如果
，则原级数发散，问题得到解决。
（2）若
，则考察
，若
收敛，则
必也收敛。（此时称
绝对收敛），问题得到解决。
（3）若
，且考察
后，知
发散，这时还要考察
是否收敛。（如果经考察
收敛，则称之为条件收敛），问题得到解决。（但
若是用达朗贝尔判别出
发散，就可直接得出
例 14。判别下述级数的敛、散性
（1）
（二）将
代入（20）式，得：
之和。。---（20）
例 41.求级数解：设幂级数
的和
，其收敛域为
则
又
；
设
则
所以，从而

无穷级数的概念与性质

无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。

一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。

一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。

无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。

二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。

它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。

等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。

等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。

3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。

例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。

三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。

如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。

无穷级数总结

无穷级数总结无穷级数是数学中的重要概念，常出现在分析学、代数学、数论等领域。

它的形式为一列数相加的无穷和。

无穷级数的研究对于了解数学的发展历程和数学的基本思想方法具有重要意义。

本文将对无穷级数的定义、性质、收敛与发散的判定方法以及一些典型的无穷级数进行介绍和总结。

无穷级数的定义意味着\[S_n=a_1+a_2+...+a_n\]\[S=a_1+a_2+a_3+...\]其中，$S_n$表示级数的前n项和，S表示整个级数的和，$a_n$表示级数的第n项。

我们称一个无穷级数收敛或发散取决于它的部分和序列。

具体来说，如果存在一个有限的实数 S，使得对于任意给定的正数 $\varepsilon $，当 n 大于一些自然数 N 时，总有\[ ，S-S_n，< \varepsilon \]那么我们说该级数是收敛的，并把这个实数S叫做级数的和，记做\[ S=\sum_{n=1}^{+ \infty } a_n\]如果上述性质不成立，即对于任意给定的正数S，当n大于一些自然数N时，总存在\[ ，S-S_n， \geq \varepsilon \]那么我们说该级数是发散的。

在判断无穷级数是否收敛时，可以运用收敛的充分条件。

其中，比较判别法、比值判别法、根值判别法是最常用的方法之一1.比较判别法：如果存在一个收敛的级数 $\sum b_n$，使得对于所有的正整数 n，有 $，a_n， \leq b_n$，那么级数 $\sum a_n$ 收敛。

反之，如果级数$\sum a_n$ 发散，那么对于所有的正整数 n，必有 $，a_n， \geqb_n$ 对一些发散的正项级数 $\sum b_n$ 成立。

2.比值判别法：对于正项级数 $\sum a_n$，如果存在一个常数 L，使得当 n 大于一些正整数 N 时，总有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq L < 1$，那么级数$\sum a_n$ 收敛。

无穷级数知识点总结

无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。

一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。

无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。

如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。

二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。

下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。

1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。

即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。

2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。

3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。

(完整版)无穷级数整理

1无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1•收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2•收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数，总存在N 使得对于任何两个 N大于的正整数 m 和n 总有S m S n•（即部分和数列收敛）3•收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散4•对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变 5•在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性（二）数项级数的性质及敛散性判断 1•正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛（2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数U nn 1V n 收敛时，级数 U n 亦收敛；若I ，则当级数1n 1n 散时，级数V n 亦发散•n 1V n 之间自某项以后成立着关系:n 1存在常数c0，使 U n CV n (n 1,2,），那么（i ）当级数V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时，级数 n 1V n 亦发散•推论：设两个正项级数U n 和 n 1V n ，且自某项以后有1U n 1 U n4，那么V n（i ）当级数n V n 收敛时，级数1U n 亦收敛;n 1（ii ）当级数U n 发散时, n 1V n 亦发散•（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数Un n 1和 V n ，若 lim U nn 1nV n那么这两个级数敛散性相同（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若I 0,则当级数U n 发常用度量:①等比级数：q n，当q 1时收敛，当q 1时发散；n 01②P-级数：丄，当p 1时收敛，当p 1时发散（p 1时称调和级数）;n 1 n p1③广义P-级数：p，当p 1时收敛，当p 1时发散•n 2 n In n④交错p-级数：（1）n12，当p 1时绝对收敛，当Op 1时条件收敛•n 1 n pu（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数u n，当lim 口r 1时n U nn 1级数u n收敛；当1血乩r 1时级数u n发散；当r 1或r 1时需进一步判断• n 1 n U n n 1（5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数u n，设r lim n u n，那么r 1nn 1时此级数必为收敛，r 1时发散，而当r 1时需进一步判断•（6 ）柯西积分判别法：设u n为正项级数，非负的连续函数 f （x）在区间［a,）上单调n 1下降，且自某项以后成立着关系：f（U n） U n，则级数U n与积分° f（X）dx同敛散.n 12•任意项级数的理论与性质（1 ）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数U n，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数V n，其中n 1 n 1 Un| U nV n 一!-------- ；将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数W n ,其中2 n 1U n| U nW n 一!------- ，那么若级数U n绝对收敛，则级数V n和W.都收敛；若级数U n 2n 1 n 1 n 1 n 1条件收敛，则级数V n和W n都发散.n 1 n 1③ 绝对收敛级数的更序级数(将其项重新排列后得到的级数)仍绝对收敛，且其和相同④若级数 U n 和 V n 都绝对收敛，它们的和分别为 U 和V ，则它们各项之积按照任何方n 1n 1式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积 U nV n 也绝对收敛，且和也为UV .n 1n 1注:C nU nV n ，这里C nUN n U 2V n 1U n 1V 2 U n V 1n 1n 1n 1且U n 单调减少(即U n U n J,则 (1)"勺山收敛，其和不超过第一项，且余和的符号n 1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值二、函数项级数(一)幕级数1•幕级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西-阿达马定理：幕级数 a n (x x 0)n 在x x oR 内绝对收敛，在 x x 0 Rn 0内发散，其中R 为幕级数的收敛半径•(2)阿贝尔第一定理：若幕级数a n (xx 0)n 在x 处收敛，则它必在x x 0 x 0n 0内绝对收敛；又若a n (x x 0)n 在x处发散，则它必在 x x 0 x 0也发散•n 0推论1：若幕级数a n x n 在x (0)处收敛，则它必在 x 内绝对收敛；又若幕n 0级数a n X n 在x( 0)处发散，则它必在 x 时发散•n 0推论2：若幕级数a n (x X 0)n 在x处条件收敛，则其收敛半径 R I X 。

无穷级数基本概念

无穷级数基本概念在数学中，无穷级数是一种由无限多个项组成的数列求和形式。

它是数学分析的重要概念之一，有着广泛的应用和研究。

本文将介绍无穷级数的基本概念和相关定义，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、无穷级数的定义与形式无穷级数的定义如下：设给定一个实数序列{a_n}，则称S_n=a_1+a_2+...+a_n为该序列的部分和，如果该部分和的极限存在，即lim(n→∞)S_n=S，那么S就是该无穷级数的和，记作∑(n=1→∞)a_n=S。

其中∑表示求和符号，n=1表示从n=1开始求和，∞表示求和到无穷大。

无穷级数的一般形式为∑(n=1→∞)a_n，其中a_n表示该序列的第n个项。

例如，∑(n=1→∞)2^n就是一个以2为公比的等比数列的无穷级数。

二、收敛和发散对于无穷级数，我们可以将其分为两类：收敛和发散。

如果一个无穷级数的部分和S_n在n趋于无穷大时存在有限极限S，即lim(n→∞)S_n=S，那么该无穷级数称为收敛的；反之，如果该无穷级数的部分和S_n在n趋于无穷大时不存在有限极限，那么该无穷级数称为发散的。

例如，无穷级数∑(n=1→∞)1/n是一个著名的调和级数。

经过数学推导可知，该级数是发散的，即部分和S_n在n趋于无穷大时趋于正无穷。

三、收敛性的判定对于给定的无穷级数，判断其收敛性是数学中的一个重要问题。

有许多判定条件可以用来判断无穷级数的收敛性，常见的有比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

下面简要介绍两个常用的判定法。

1. 比较判别法比较判别法是判断无穷级数收敛性的常用方法之一。

设有两个数列{a_n}和{b_n}，满足当n趋于无穷大时，对于所有的n，有0 ≤ a_n ≤b_n。

若级数∑(n=1→∞)b_n收敛，则级数∑(n=1→∞)a_n也收敛；若级数∑(n=1→∞)a_n发散，则级数∑(n=1→∞)b_n也发散。

2. 比值判别法比值判别法也是常用的判断无穷级数收敛性的方法之一。

设给定一个无穷级数∑(n=1→∞)a_n，如果存在一个正数q，使得当n趋于无穷大时，有|(a_(n+1))/a_n| ≤ q，那么该级数收敛；如果对于所有的n，都有|(a_(n+1))/a_n| > 1，那么该级数发散。

无穷级数(全)

无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。

无穷级数知识点

无穷级数知识点无穷级数知识点无穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。

2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。

. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===? ? ?????∑∑。

②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。

③若二者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1110k ∞=-=∑收敛。

4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：a) 等比级数：0111n n ar ar r ∞=?<?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数：11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成立，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n n a b n n∑或收6．常用收敛快慢正整数ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→ 由慢到快连续型ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→ 由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞<??=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法1,1,1,n n n n l u l l n l μ<??=>??=?收发（当为某次方时）单独讨论3. 比阶法① 代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散② 极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。

无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ）比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。

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无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列 u1, u2 ,L,u n L ，u n称为无穷级数， u n称为一般项；若部分和n 1数列 { S n} 有极限S，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散 .n2.性质①设常数 c0 ，则u n与cu n有相同的敛散性；n 1n 1②设有两个级数u n与v n，若u n s ，v n，则(u n v n ) s；n1n 1n1n 1n 1若u n收敛，v n发散，则(u n v n ) 发散；n 1n 1n 1若u n，v n均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n 1n 1n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数u n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数u n收敛的必要条件： lim u n0 ；nn 1注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若 lim u n 0 ，则u n未必收敛；n n 1③若u n发散，则n 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立．n①定义：若 u n0 ，则u n称为正项级数.n 1② 审敛法：（ i）充要条件：正项级数u n收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n 1（ ii ）比较审敛法：设 u n ①与v n ②都是正项级数，且 u nv n (n1,2,L ) ，n 1n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 .A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u nkv n (k 0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u n kv n (k0) 成立，则①发散；B. 设u n 为正项级数，若有p 1 使得 u1 (n 1,2,L ) ，则u n收敛；若n 1nnpn1u n1u n 发散 .(n 1,2,L ) ，则nn 1C. 极限形式：设u n ①与v n ②都是正项级数，若 limu nl (0 l) ，则n 1n 1nv nu n 与v n 有相同的敛散性 .n 1n 1注：常用的比较级数：ar n 1ar 1 ；①几何级数：1 rn 1发散r11收敛p时② p 级数：1 ；n 1 n p发散 p1时③ 调和级数：1111 发散．1n2nn（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设a n 是正项级数，若n 1①注：若lima n 1r1，则 a n 收敛；② lima n 1r 1，则a n 发散．na nn 1na nn 1an 1n11lim1，或 lim a n1 ，推不出级数的敛散 .例与，虽然a nn 1n n 1n 2nnliman 11， lim n an 1 ，但1 发散，而 1 收敛 .na nnn 1nn 1n 2（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设na n 是正项级数， lim an，若 1 ，n 1n级数收敛，若1则级数发散．（ v）极限审敛法：设u n0 ，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l0 且 p 1 ，则级n n数u n发散；②如果 p 1 ，而 lim n p u n l (0l) ,则其收n1n敛．（书上 P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设 u n 0(n 1,2,L ) ，则( 1)n 1u n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1u n，若 u n un 1且 lim u n0 ，n 1n则( 1)n 1 u n收敛.n 1注：比较 u n与 u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察u n 1是否小于 1；u n②差值法，即考察 u n u n 1是否大于0；③由 u n找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 u n f (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛 .n 1n1②若用比值法或根值法判定| u n |发散，则u n必发散.n1n1三、幂级数1.定义：a n x n称为幂级数.n 02.收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数a n x n在 x00处收敛，则其在满足 x x0的所n 0有 x 处绝对收敛．反之，若幂级数 a n x n在 x1处发散，则其在满足 xx1n 0的所有 x 处发散．② 收敛半径（i）定义：若幂级数在x x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数 R ，使得①当x x0R 时，幂级数收敛；②当x x0R 时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数 a n x n的收敛半径为R，其系数满足条件 lim an 1l ，n 0n a n或 lim n a n l，则当 0 l时， R1；当 l 0 时， R，n l当l时，R 0．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（i ii ）收敛半径的类型A.R 0 ，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为( , )；C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0②若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0在收敛区间在收敛区间( R, R) 内连续．( R, R) 内可导，且可逐项求导，即 S ( x) (a n x n )(a n x n )na n x n 1，收敛半径不变．n 0n 0n 1③若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和函数S( x) a n x n在收敛区间 ( R, R) 内可积，n0x xa n t n )dt x且可逐项积分，即S(t )dt(a n t n dt ( x ( R, R)) ，收敛半径不00n 0n 00变．5.函数展开成幂级数①若 f ( x) 在含有点 x 0 的某个区间 I 内有任意阶导数， f ( x) 在 x 0 点的 n 阶泰勒公式为 f ( x)f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )f (x 0 )2 f (n) ( x 0 )2! (x x 0 )( x x 0 )n!f (n1) ()( x x 0 )( n 1)，记 R n ( x) f (n1) ()x 0) ( n 1) ，介于 x, x 0 之间，则 f ( x) 在 ( n 1)!(n 1)! ( xI 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n ( x) 0,x I .n②初等函数的泰勒级数 ( x 0 0)（ i ） e xx n , x (,) ；n 0 n!（ ii ） sin x(1) n 1 x 2n 1 , x( ,) ；n 1(2n 1)!（ iii ） cos x( 1) nx 2n( ,) ；( 2n)! , xn 0（ iv ） ln(1 x)( 1) n x n 1( 1, 1] ；n 1, xn 0（ v ） (1 x)1(1) ( n 1) x n , x( 1, 1), (R) ；n 1n!（ vi ）1xx n , x1 ；1 x( 1) n x n , x 1.1 n 01 n 06.级数求和①幂级数求和函数解题程序（ i ）求出给定级数的收敛域；（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数 s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（ i ）利用级数和的定义求和，即 lim S n s ，则u n s ，其中nn 1ns n u 1 u 2u nu k ．根据 s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递k1推法．A. 直接法：适用于u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）a nlima n x n ，其中幂级数a n x n ，可通n 0x 1 n 0n 0过逐项微分或积分求得和函数 S(x) ．因此a nlim s(x) ．n 0x 1四、傅里叶级数 1. 定义①定义 1：设 f (x) 是以 2为周期的函数，且在 [ , ] 或 [ 0, 2 ] 上可积，则11a nf ( x) cos nxdx11b nf ( x) sin nxdx2 0, 1, 2 ) ，f (x) cosnxdx, (n 02 1, 2, ) ，f (x) sin nxdx,( n 0称为函数 f (x) 的傅立叶系数．②定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数1 a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为f ( x)～1a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1③定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [l , l ] 上可积，则以1l f (x) cosn xdx, (n 0, 1, 2 ) ，a nll l1lf (x) sinnxdx, (n 1, 2) 为系数的三角级数 b nll l1a 0( a n cosnx b n sinnx)称为 f ( x) 的傅立叶级数，表示为2n 1llf ( x)～ 1a 0(a n cosnx b n sin nx) ．2l ln 12. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f ( x) 在区间 [ , ] 上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则 f ( x) 的傅立叶级数在 [ ,] 上收敛，且有f x ), x 是 f x 的连续点；( ( )1[ f ( x 0 0) f ( x 0 0)],a 02 .( a n cos nx b n sin nx)2x 是 f x 的第一类间断点；n 1( )1[ f (0)f (0)], x23. 函数展开成傅氏级数①周期函数（ i ）以 2 为周期的函数 f ( x) ： f ( x)～ aa n cos nxb n sin nx2n 11f ( x) cos nxdx(n 0, 1, 2, ) ， b n 1f ( x) sin nxdx(n1, 2,) ；a n注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sin nx (正弦级数 )， a n 0 (n0, 1, 2, )n 1b n2f ( x)sin nxdx(n1, 2, ) ；②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～a 0a n cos nx (余弦级数 )，( )2n 1a n2f ( x)cos nxdx (n0,1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .（ ii ）以 2l 为周期的函数 f ( x) ： f x ～aa nnn x)( )2 cosx + bn sinn 1l l1lnxdx(n0, 1, 2,1l n xdx(n 1, 2, ) ；a nf (x) cos) ， b nf (x) sinllllll注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sinn0 (n0,1, 2, )x (正弦级数 )， a nn 1l2 b nll 0f ( x)sin nxdx(n 1, 2, ) ；l②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～aa nn ( )cosx ， (余弦级数 )2n 1l2a nllf ( x)cos nxdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .l②非周期函数（ i ）奇延拓：f ( x), 0 x，则 F ( x) 除 x 0 外在A. f (x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令 F ( x)x),xf ([, ] 上为奇函数， f ( x)～ b n sin nx ( 正弦级数 ) ， b n2f (x)sin nxdxn 1(n1, 2, ) ；B.f (x), 0 x lf (x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，则令 F (x)f ( x), l，则 F (x) 除 x 0 外x 0在 [,] 上为奇函数，～n2f ( x)b n sin x (正弦级数)，b nn 1l l (n1, 2,) .lnf ( x)sin xdx l（ ii ）偶延拓：A. f (x)为[0,] 上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x，f ( x),x0则 F (x) 除x0 外在[ ,] 上为偶函数， f (x)～a0a n cosnx (余2n 1弦级数 )，a n 20, 1, 2,) .f ( x)cos nxdx (nB. f (x)为[0, l ]上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x l，则f ( x),l x0f ( x)～a0a n cosnx (余弦级数)，a n22n 1l llf ( x)cosnxdx (n 0,1, 2, ).l注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f ( x) ．。

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。

最新4第四讲无穷级数汇总

高等数学讲义第4集——无穷级数

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