复变函数论 第四章 复级数

第四章 复级数

§1.级数的基本性质

教学目的与要求:了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.

重点: 解析函数项级数.

难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数.

课时：2学时

1.复数项级数

定义4.1 复数项级数就是

其中为复数

定义4.2 对于复数项级数，设

若存在，则称级数收敛，否则为发散.

据此定义，我们立即推出：若级数收敛，则

其次，由复数的性质易于推得

定理4.1 设

其中均为实数，则级数收敛的充要条件为基数与均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.

定理4.2（柯西收敛准则）级数收敛的充要条件是，使及，均有定义4.3 若级数收敛，则称级数为绝对收敛.

由关系式及

及定理4.1即可推得.

定理4.3 级数绝对收敛的充要条件为：级数及绝对收敛.

再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数.

例1.对于级数当时，由于

，

而当时，，于是

因此级数收敛且有，

显然，当时，级数亦为绝对收敛的级数.

2.复函数项级数

定义4.4设函数在复平面点集上有定义，则称级数

为定义在上的复函数项级数.

定义4.5 设函数在上有定义，如果，级数均收敛于，则称级数收敛于，

或者说级数和函数记作

定义4.6 如果，使得当时，对任一，均有

则称级数在一致收敛于.

与定理4.2类似地我们有

定理4.4 级数在上一致收敛的充要条件是：

，使当时，对任一及均有

由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：

定理4.5 魏尔斯特拉斯-判别法设在点集上有定义

为一收敛正项级数，若在上成立则级数

在上一致收敛于，则在上一致收敛.

与实数项级数一样，不难证明以下定理：

定理4.6 设在复平面点集上连续，级数在上一致收敛于，则在上连续.

定理4.7 设在简单曲线上连续，级数在上一致收敛于，则.

对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.

定义4.7 设函数在区域内解析,如果级数在内任一有界闭区域上一致收敛于函数,则称级数在内闭一致收敛于.

由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.

定理设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数,则在内解析,且在内成立

证明: ,取,使得.在内任作一条简单闭曲线,根据定理及柯西定理推得.因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析.

其次,设的边界,由已知条件得在上一致收敛于,从而

在上一致收敛于,根据定理,我们有

即

于是定理结论成立.

作业:第178页 1.

§2幂级数

教学目的与要求:了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.

重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质.

难点：幂级数在收敛圆周上的性质.

课时：2学时

定义形如

的级数称为幂级数,其中是复变量, 是复常数.

特别地,当时,级数就变为

幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数的收敛性.

显然,当时,级数总是收敛的.

当时,则有

定理如果幂级数在收敛,则对任意满足的,级数绝对收敛.若级数在发散,则对任意满足的,级数发散.

证明: 级数在收敛.

从而,使得

其次,级数可写成,因此

由于级数收敛,故级数绝对收敛.

根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.

由此,我们可知存在实数,,使得级数当时绝对收敛,当时发散.

称为级数的收敛半径, 称为收敛圆,当时,我们说的收敛半径是,收敛圆为复平面.当时,我们说的收敛半径是,收敛圆只有一点,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于的情况.通常,幂级数的收敛半径可用以下公式求得:

定理 (柯西阿达玛公式).若以下条件之一成立.

则当时, 的收敛半径,当,时, .

下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.

定理设幂级数的收敛圆为.则它的和函数.

在内解析,且

证明:事实上,对,则在上由定理知级数在上绝对收敛,从而根据判别法知在上一致收敛,故在中内闭一致收敛,在内, 的和函数解析且成立,由的任意性即知定理成立.

但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.

例级数

的收敛半径为

由于在收敛圆上,此级数一般不趋于,因而在上级数处处发散,但其和函数却除处处解析.

例级数的收敛半径为

在收敛圆上, 而级数收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.

作业: 第178页 2 (1) (3) 3 (2)

§3解析函数的泰勒展式

教学目的与要求:了解泰勒定理; 掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.

重点: 泰勒定理,初等函数的泰勒展开式.

难点：泰勒定理证明.

课时：2学时

一．定理(泰勒展式)设函数在圆内解析,则在内

证明: ,以为心作一圆,且使,(如图)

则由柯西公式

而当时, ,因此有

由于右端级数当时是一致收敛的,把代入后逐项积分得

其中

由为内任意一点知定理成立.

结合定理与我们就可推出:

推论幂级数是它的和函数在收敛圆内的泰勒展式.即

推论函数在一点解析的充要条件是: 在的某一邻域内有泰勒展式.

与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式.

二．求泰勒展式的方法

1．求Taylor系数=

如求在z=0的展开式

==1 == ,,

=1+z+++=

2.利用级数的运算。

如

如在展开

=