第三讲复合材料层合板的刚度与强度分析
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复合材料层合板强度分析实例
x 2
………………………………………………… 最后得破坏时纵向总应变为
0 0 x x 2 + x0 2 =1.8863 102
82.0697 x y 4.3223 ( MPa ) 0 xy 1 1,3 1 27.0009 x y 0.8320 ( MPa ) 0 xy 1 2 1
第四步，外层发生破坏时内力增量 ( N )1 的确定 对单层板1,3采用蔡-希尔理论的强度条件式（5.4.13），可得
NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITY
x 1,3 82.0697 5.9401 xy 1,3 0
Nx (MPa） , h
Nx h
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
对单层板1,3采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得 Nx 1,3 57.6961MPa h 对单层板2采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得
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x0 N x 0.0417 103 0 1 3 N x y A N y 0.0039 10 h 0 N 0 xy xy
x 5.9401 N x ( MPa） y 0.4653 h 0 xy 1,3
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
………………………………………………… 最后得破坏时纵向总应变为
0 0 x x 2 + x0 2 =1.8863 102
82.0697 x y 4.3223 ( MPa ) 0 xy 1 1,3 1 27.0009 x y 0.8320 ( MPa ) 0 xy 1 2 1
第四步，外层发生破坏时内力增量 ( N )1 的确定 对单层板1,3采用蔡-希尔理论的强度条件式（5.4.13），可得
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x 1,3 82.0697 5.9401 xy 1,3 0
Nx (MPa） , h
Nx h
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
对单层板1,3采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得 Nx 1,3 57.6961MPa h 对单层板2采用蔡-希尔强度理论条件式5.4.13P146可计算得
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x0 N x 0.0417 103 0 1 3 N x y A N y 0.0039 10 h 0 N 0 xy xy
x 5.9401 N x ( MPa） y 0.4653 h 0 xy 1,3
x 0 0.0933 N x ( MPa） y h 0 xy 2
PPT-3.层合板的刚度与强度
正交对称层合板：只有相互垂直的两种铺层方向，如[0/90/0]S. 对称均衡层合板：铺层角为-θ的单层数与θ角的单层数相同， 且可包含任意数量的0°层和90°层. 对称均衡斜交层合板：仅由数量相等的-θ层和+θ层组成，不 含0°层和90°层，如[θ/-θ]2S.
非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
0 A16 x 0 A26 y 0 A66 xy
N：面内的内力
（各单层应力的合力） 单位Pa· m或N/m
Aij：层合板的面内刚度系数 单位Pa· m或N/m
Aij
面内柔度系数aij
为便于比较面内刚度系数Aij与各单层的模量Qij，
对Aij进行正则化处理：
III. 对称层合板的弯曲刚度
一.弯曲力矩-曲率的关系
面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
I. 层合板概述
一.层合板的特点
层合板 由两层或两层以上的单层板叠合而成的整体结构单元.
层合板的特点：
厚度方向非均匀，因此会产生耦合效应，使变形情况复杂； 各向异性（某些结构具有一定对称性）； 铺层情况多样，整体未必有确定的弹性主方向； 力学性质不仅取决于铺层的力学性质和厚度，也取决于铺层 的方向、层数和顺序.
/±30 /±60 / 90]S
4、一般π/4层合板
非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
0 A16 x 0 A26 y 0 A66 xy
N：面内的内力
（各单层应力的合力） 单位Pa· m或N/m
Aij：层合板的面内刚度系数 单位Pa· m或N/m
Aij
面内柔度系数aij
为便于比较面内刚度系数Aij与各单层的模量Qij，
对Aij进行正则化处理：
III. 对称层合板的弯曲刚度
一.弯曲力矩-曲率的关系
面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
I. 层合板概述
一.层合板的特点
层合板 由两层或两层以上的单层板叠合而成的整体结构单元.
层合板的特点：
厚度方向非均匀，因此会产生耦合效应，使变形情况复杂； 各向异性（某些结构具有一定对称性）； 铺层情况多样，整体未必有确定的弹性主方向； 力学性质不仅取决于铺层的力学性质和厚度，也取决于铺层 的方向、层数和顺序.
/±30 /±60 / 90]S
4、一般π/4层合板
复合材料层合板强度分析实例
25.51
(MPa)
0
显然，外层单层板1,3中 y =25.51MPa，基本接近 x =352.52MPa,远小
x 1,3 82.0697 5.9401
Nx (MPa）, h
y 1,3 4.3223 0.4653
Nx (MPa） h
xy 1,3 0
代入校验公式，计算出
Nx 45.53(MPa） h 1,3
将其代入第二步（6）的结果中，得 为
2
x
y xy
1,3
2
352.52
0.1508%
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第三步，第一次刚度降低后层合板性能的确定 当 Nx 36.17MPa时，外层1,3单层板未发生破坏，其单层板刚度举证保持不变
h
内层板2在该层板层内横向（层内x轴方向）破坏，但纵向仍然有刚度：
0
0
0
0
0
0
（2）由n层复合材料单层板构成的复合材料层合板自然坐标系内力、内力矩-应 变、曲率关系（见教材P167）可计算层合板拉伸刚度矩阵A
24.42 4.58 0
A
n
Qk (zk
zk
1)
h
4.58
48.78
0
(GPa）
k 1
0 0 8.62
0.0417 0.0039 0
A1
1 h
0.0039 0
Nx
203.49MPa
h 1,3
（2）内层2单层板，仿照上步中的方法，可得：
N x 36.17MPa h2
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复合材料层合板的刚度与强度分析
经典层合板理论
上式中的 Aij,Bij,Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
由于耦合刚度 B i j 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B0
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx
Ny
N
Q Q1121
Nxy k1Q16
Q12 Q22 Q26
Q Q Q162666
zk zk1
xy00 x0y
dz
zk zk1
kx
ky zdz
kxy
Mx
My
N
Q11 Q12
Mxy k1Q16
A1 1 A1 2 0
A1 2 A22 0
0 0 A66
0 x
0 y
0 xy
M
x
M y
D11
D1
2
D12 D22
0 0
k k
x y
M
xy
0
0
D66
k
xy
对称层合板的刚度分析
（2）特殊正交各向异性层组成的对称层合板 这种层合板由材料主向与坐标轴一致的正交
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u
0
v0
y x
中面的曲率为：
k
x
ky
k
x
y
a
a
2w x2 2w y2
2w
2
x y
其中 k x y 为中面扭曲率
复合材料层合板
复合材料层合板
复合材料层合板是一种由不同材料层叠而成的板材，具有轻质、高强度、耐腐
蚀等优点，因此在航空航天、汽车、建筑等领域得到广泛应用。
本文将从复合材料层合板的结构、制造工艺、应用领域等方面进行介绍。
首先，复合材料层合板的结构通常由两种或以上的材料层叠而成。
这些材料可
以是金属、塑料、玻璃纤维、碳纤维等，通过粘合剂或其他加工工艺将它们粘合在一起，形成具有特定性能的复合材料板材。
由于不同材料的组合可以有效地发挥各自的优点，因此复合材料层合板通常具有较高的强度和刚度，同时具有较低的密度和良好的耐腐蚀性能。
其次，复合材料层合板的制造工艺包括预浸料成型、热压成型、自动化生产等
多种方法。
预浸料成型是将预先浸渍了树脂的纤维材料层叠在一起，然后通过热压或其他方法使其固化成型。
热压成型则是将预先加热的材料放入模具中，经过高温和高压的作用使其成型。
自动化生产则是利用机器人等自动化设备进行生产，可以大大提高生产效率和产品质量。
复合材料层合板在航空航天、汽车、建筑等领域有着广泛的应用。
在航空航天
领域，复合材料层合板可以用于制造飞机机身、机翼、尾翼等部件，可以减轻飞机重量，提高飞行性能。
在汽车领域，复合材料层合板可以用于制造车身、车门、车顶等部件，可以提高汽车的安全性能和燃油经济性。
在建筑领域，复合材料层合板可以用于制造装饰板、隔墙板、屋顶板等材料，可以提高建筑物的结构强度和耐久性。
综上所述，复合材料层合板具有轻质、高强度、耐腐蚀等优点，制造工艺多样，应用领域广泛。
随着科技的不断进步，复合材料层合板在未来将会有更广阔的发展空间，为各个领域带来更多的创新和进步。
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 k x B26 k y B66 k xy D16 k x D26 k y D66 k xy
经典层合板理论
式中：
Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 B ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) (Qij ) k t k z k 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
k
N N
其中 tk zk zk 1 为第 层中心的坐标值 z z
k
z 是第 k 层的厚度，
1 1 ( z z ) ( zk zk 1 ) k 1 k k 1 2 2
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度 由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 x x k x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy
复合材料的强度分析
复合材料发展趋势
现在复合材料在民用航空上的发展趋势明朗 起来 应该可以断言复合材料是未来飞机材料的主 流
特别是复合材料在Ｂ７８７上的成功 特别是复合材料在Ｂ７８７上的成功 应用以及空客对Ｂ７８７的成功的 应用以及空客对Ｂ７８７的成功的 反映很好的说明了复合材料在飞机 设计师心目中的地位
复合材料在航空领域的应用
-1 T
−1
复合材料的失效准则*** 复合材料的失效准则***
各向同性材料
最大正应力理论 最大线应变理论 最大剪应力理论 最大歪形能理论
单层复合材料宏观力学分析
应变转轴公式
− sinθcosθ ε ε cos 2 θ sin 2 θ x 1 ε = sin 2 θ cos 2 θ sinθcosθ ε y 2 xy 2sinθcosθ − 2sinθcosθ cos 2 − sin 2 12 γ θ θ γ
复合材料是研究复合材料力学行为的学科
复合材料具有优秀的力学性能， 复合材料具有优秀的力学性能，这些性能在现在的航空 航天和汽车制造领域具有很高的应用价值. 航天和汽车制造领域具有很高的应用价值
有哪些优秀的品质呢？ 有哪些优秀的品质呢？
比强度（强度／重量）和比刚度（模量／重量）高 比强度（强度／重量）和比刚度（模量／重量） 疲劳性能高 减振性能好 高，低温性能好和膨胀系数小 破损安全性能好 可设计性能好 等
什么是复合材料
复合材料定义 复合材料组成部分 复合材料分类 航空上一般都用什么复合材料
什么是复合材料
复合材料的定义
是由两种或者两种以上的不同性质的材 料用物理和化学方法在宏观尺度上组 成的具有新性能的材料
复合材料的组成部分
层合板面内刚度N解剖
k
k 1
Zk1 )
2 h
n/2
Q(k ij
)
(
Z
k
k 1
Zk1 )
各层厚度相同时，简化成
Ai*j
2h0 h
n/2
Q(k) ij
k 1
2 n
n/2
Q(k) ij
k 1
偏轴模量分量求平均值
与铺层顺序关系？
多向层合的结果总是使得多向层合板各向异性系数较铺层的小。
正则化几何因子法
A* 11
＝ ［02/902 / 02 / 902 /902 / 02/902 / 02 ] ［0/ 90]s ＝ ［0/90/0] 奇数层
［0C/45K/90G] C-碳纤维，K－Kevlar，G－玻纤 ［02/902/C4]s ＝ ［02/902/C4/902/02] C的下标 4－夹芯厚度毫米数
二、面内力与面内应变关系
本科生课程
复合材料力学与结构设计
第 三 章 层合板的刚度与强度
经典层合板理论：各单层之间完全紧密粘接的，忽 略层间的影响，且限于线弹性、小变形情况下研究 层合板的刚度与强度。
面内刚度 对称层合板的刚度
弯曲刚度 一般层合板的刚度（面内、弯曲、耦合刚度）
层合板的强度
3.1对称层合板的面内刚度
对称层合板：指单层的方向和铺设顺序相对于几何中面镜 面对称。一般单层的材料和厚度也是相同的，不同单层材料 构成的层合板(如混杂复合材料)，要求材料相对几何中面也 是镜面对称的。
如［-φ/φ]s ，指 -φ和φ 铺层含量相同
A Q *
( )
11
11
A2*2
Q( ) 22
A Q *
三、对称层合板面内工程弹性常数
5-第五章_复合材料层合板的强度解析
ET 1 ET 0 s L 0 s T （3.5） 1 LT GLT
X c s L vLT s T X t Yc s T vTL s L Yt | LT | S
（5.4）
Xc s L Xt 比较式（5.4）和式（5.1）可知，最大应变失效判据中 Y s Y （5.1） c T t 考虑了另一材料主方向的影响，即泊松耦合效应。 | LT | S
， 2H 2 2 2 ， N 2 Y2 X Y Z 2S12 1 1 1 F H 2 , 2H 2 , 2 N 2 （5.10） Y X S X2
2 sL
, FH
代入式（5.9），可得
X
2
s Ls T
X
2
2 sT
Y
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
式（5.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据综合了单层材 料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破坏的影响，尤其是计入了sL 和sT的相互作用，因此在工程中应用较多。从式（5.11）的推导过程可知， 蔡—希尔失效判据原则上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是 通常复合材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式（5.11）中的基 本强度X和Y与所受的正应力sL和sT一致。如果正应力sL为拉伸应力时，则 X取Xt；若sL是压应力时，则X取Xc。
2 sL
X
2
s Ls T
X2Βιβλιοθήκη 2 sTY
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
5. 蔡—吴（Tsai-Wu）张量失效判据 纤维增强复合材料在材料主方向上的拉压强度一般都不相等，尤其是 横向拉压强度相差数倍，为此蔡—吴提出了张量多项式失效判据，也称 应力空间失效判据。在平面应力状态下，该判据表示为 （5.13） F s s F s 1 (i 1, 2, 6)
X c s L vLT s T X t Yc s T vTL s L Yt | LT | S
（5.4）
Xc s L Xt 比较式（5.4）和式（5.1）可知，最大应变失效判据中 Y s Y （5.1） c T t 考虑了另一材料主方向的影响，即泊松耦合效应。 | LT | S
， 2H 2 2 2 ， N 2 Y2 X Y Z 2S12 1 1 1 F H 2 , 2H 2 , 2 N 2 （5.10） Y X S X2
2 sL
, FH
代入式（5.9），可得
X
2
s Ls T
X
2
2 sT
Y
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
式（5.11）即称为蔡—希尔失效判据，蔡—希尔失效判据综合了单层材 料主方向的三个应力和相应的基本强度对单层破坏的影响，尤其是计入了sL 和sT的相互作用，因此在工程中应用较多。从式（5.11）的推导过程可知， 蔡—希尔失效判据原则上只适用于拉压基本强度相同的复合材料单层。但是 通常复合材料单层的拉压强度是不等的，工程上往往选取式（5.11）中的基 本强度X和Y与所受的正应力sL和sT一致。如果正应力sL为拉伸应力时，则 X取Xt；若sL是压应力时，则X取Xc。
2 sL
X
2
s Ls T
X2Βιβλιοθήκη 2 sTY
2
2 LT
S
2
1
（5.11）
5. 蔡—吴（Tsai-Wu）张量失效判据 纤维增强复合材料在材料主方向上的拉压强度一般都不相等，尤其是 横向拉压强度相差数倍，为此蔡—吴提出了张量多项式失效判据，也称 应力空间失效判据。在平面应力状态下，该判据表示为 （5.13） F s s F s 1 (i 1, 2, 6)
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析
0 xy
k
xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
dz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
dz
M
x
M y
M
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
zdz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
zdz
经典层合板理论
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny , 及Nxy合力矩 是指单位长度上的力或力矩）
（都 M x , M y , M xy
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
N
x
Ny
N
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0,表w 示中面的位移分量，并且只是 坐标 的x,函y 数，其中 为挠w 度函数
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析优秀课件
z
w z
0
zx
u z
w x
0
zy
v z
w y
0
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
w w(x, y)
u
u0
(x,
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0, w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y的函数，其中 w 为挠度函数
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： yz 0, zx 0
等法线假设： z 0 平面应力假设： z 0； xz =0； yz =0 忽略正应力假设： z 0
面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N
x
Ny
A11
A12
A12 A22
A16 A26
0 x
0 y
B11 B12
B12 B22
B16 B26
kx ky
N
xy
A16
A26
A66
0 xy
B16
B26
B66
kxy
M M M
x y xy
B11 B12 B16
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
x
aa
v0 y
u0
v0
y x
中面的曲率为：
3_层合板的刚度与强1度
a
62
a
22
(310)
同理，仅受xy方向剪 切应力时，
Nx y0,Nx Ny 0,
9/13/2019
面内剪切弹性模量 G
0 xy
1
a
66
面内剪拉耦合系数
0 x , xy
a
16
a
66
(311)
面内剪拉耦合系数
0 y , xy
由正则化面内刚度系数矩阵求逆，可得正则化面内柔
度系数矩阵为： aa1211
a61
a12 a22 a62
aaa162666AA1*1*1A1A2*2*A 202A2*1*(22(AA1*1*2)2)22
a
26
a
66
weizhou@
14
3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
当层合板具有正交各向异性的性能，且参考轴也正好
与正交各向异性的主方向重合时，A16 A26 0，
则(3-9)~(3-11)可表示为如下形式：
Ex0
A11 m0
x0
A21 A22
Ny z
x
Nxy
Nx
定义任意一个单层k的应力为
(
, (k)
x
, (k)
y
) (k)
xy
此单层的厚度为dz
则k单层x方向的面内力为 Nx(k) x(k)dz
将每一个单层的面内力叠加，得到厚度为h的层合板在
x方向的面内力为：
Nx
dz h 2 (k)
h 2 x
9/13/2019
复合材料层合板的刚度与强度分析
Nx Ny
A11 A12
A12 A22
A16 A26
0 x
0 y
B11 B12
B12 B22
B16 B26
kx ky
Nxy
A16
A26
A66
0 xy
B16
B26
B66
k
x
z ky
xy
0 xy
k
xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论
中面的应变为：
a
a
u
0
0
x
0 y
0 x y
x
u x
u0 x
z
2w x2
y
v y
v0 y
z
2w y 2
xy
u y
v x
( u0 y
v0 x
)
2z
2w xy
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
x
y
0 x
0 y
aaaA
1
Et
第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析ppt课件
虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Q i j 可以不同，故应力变 化一般不是线性的
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx, Ny, Nxy 及合力矩 M x,M y,M x y （都是指单位长度上的力或力矩）
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u 0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy
第三讲：复合材料层合板的 刚度与强度分析
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件 层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法
经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
非对称层合板
反对称层合板 一般层合板
Q Q ijz = ij-z
夹芯层合板
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系
层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续
整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设 0 ,zx 0 直法线假设： y z
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 k x x x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
层合板面内刚度N
* a12 * a22 0 xy
* a62 * a22 * a26 * a66
0 x . xy
0 y . xy
* * A 0时 当层合板为面内正交各向异性时，即 A 16 26＝
* A11 E 0 m 0 x * A21 * A22 0 x * A22 E 0 m 0 y 0 y 0 * G xy A66
( z ) ( z )
非对称层合板，典型反对称层合板
( z ) ( z )
一、层合板的标记
［45/02/-45/902］ ［±45］ ＝［45/-45］ ［ 45］ ＝［-45/45］ ［02/902]2 ＝ ［02/902/02/902] ［02/902]s ＝ ［02/902/ 902/02] ［02/902]2s ＝ ［02/902 / 02 / 902] s ＝ ［02/902 / 02 / 902 /902 / 02/902 / 02 ] ［0/ 90]s ＝ ［0/90/0] ［0C/45K/90G]
* * * A66 ( A11 A12 )/ 2
* (Q ) A12 U4 * (Q ) A66 U5
V V V V 0
* 1A * 2A * 3A * 4A
* * A16 A26 0
4. 一般 /4层合板
明确复合材料的弹性模量 要求，选择0°，±45°和 90°层的分配比例。 例如已知模量Ex= 90 GPa,可 在图上找到对应的点A并得 到一种铺层比例选择： 0°层 60% ±45°层 20% 90°层 20% （90°层的比例，可用100% 减去0°和±45°层的比例求 出。）
tg 2 1 A tg 4 2 A
复合材料的强度分析
单层复合材料宏观力学分析
任意方向的应力-应变关系
cos2θ
sin2θ 2sinθ cosθ
T
s i n2θ
cos2θ - 2sinθ cosθ
- sinθ cosθ sinθ cosθ cos2θ sin2θ
σ( x y ) T 1Q( 1 2() T- 1)T •ε( x y )
31
12 C16 C26 C36 C46 C56 C66 12
由此可以看到各向异性材料具有耦合现象,然而各 向同性材料没有耦合现象
单层复合材料的宏观力学分析
各向异性的、全不对称材料——21个常数
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
是的，我们现在面临很大的困难，特别是项目的继续深入发展， 要求我们尽快成长为一个能参与飞机强度设计的人才．
应对复合材料发展趋势
我们应该怎么做呢？ 首先，我们必须从基础入手，学习传统静强度分析的所有方法, ＜复合材料力学＞，＜复合材料设计手册＞，＜复合材料实验 手册＞，适航法规关于复合材料应用的相关规定，深入的了解 复合材料这个体系的相关专业知识，甚至有必要达到精通． 其次，不断开展调研，借鉴其他研究机构现有研究成果，尽快 的对复合材料在航空领域的应用有总体的，生动的把握． 然后是，相关复合材料的制造工艺体系的了解和熟悉，因为复 合材料的制造工艺在很大的程度上影响复合材料的力学性能． 然后是正式的参与项目，在项目中不断的学习和提高，成为一 个合格的，优秀的复合材料飞机设计员以及强度分析人员． 最后当然是灌注大量的精力在复合材料的应用研究和分析上， 来完成上述列举的工作．
其中：Fi，Fij为二阶和四阶强度张量 4 23 5 13 6 12 在平面应力状态下：
层合板的刚度与强度
或【05/902/45/-456/45/902/05】T 另外，总数为奇数层的对称层合板往往采用T的标记法。 例如：【05/903/05】T
3.1.2 面内力——面内应变关系 由于本章讨论的是对称层合板，所以
各单层铺层角：θ（z）= θ（- z） 各单层模量：
Qij(z)Qij(z)
对于这样的层合板，当作用力的合力作用线位于层合板 的几何中面内时（如图），由于层合板刚度的中面对称性， 层合板将引起面内变形（厚度方向的变形可忽略），不引起 弯曲变形。
根据上述定义，可以证明，准各向同性层合板的充要条件：
A16*=A26*=0, A11*=A22*, A66*=(A11*-A12*)/2 （3－6） 满足式中A16*=A26*=0表示层合板具有正交各向异性的性
能，又满足A11*=A22*，表示层合板具有正方对称的性能，再 满足A66*=(A11*-A12*)/2 表示层合板具有准各向同性的性能。
( 9 )0
( 9 )0
n 11
11
11
11
22111122
A n Q n Q V Q V Q Q Q Q V 1 ( ) ()
( 0 ) ( 0 ) ( 9 )0 ( 9 )0 ( 0 )
( 9 )0
( 9 )0
n 22
22
22
22
11221122
A12*=Q12 A66*=Q66 A16*= A26*= 0
3 层合板的刚度与强度
层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单 层刚度与强度的基础上。
假设层合板为连续、均匀、正交各向异性的 单层构成的一种连续性材料，并假设各单层 之间是完全紧密粘接，且限于线弹性、小变 形情况下研究层合板的刚度与强度，这种层 合理论称为经典层合理论。
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经典层合板理论
由N层任意铺设的单层板构成 取XOY坐标面与中面重合 板厚为t
经典层合板理论
板中任意一点的位移分量 u, v 和 w 可表达为：
u u(x, y, z) v v(x, y, z) w w(x, y, z)
经典层合板理论
由直法线和等法线假设 yz 0, zx 0, z 0：
Bij
1 2
N
(Qij )k (zk2
k 1
z2 k 1
)
N
(Qij )k tk zk
k 1
Dij
1 3
N
(Qij )k (zk3
k 1
z3 k 1
)
N
(Qij )k (tk zk2
k 1
tk3 ) 12
其中 tk zk zk1 为第 k 层的厚度，z 是第 k
层中心的坐标值 1
x
M y
N
Q11 Q12
M
xy
k 1 Q16
Q12 Q22 Q26
Q16
Q26 Q66
zk zk 1
0 x
0 y
0 xy
zdz
zk zk 1
k k k
x y xy
z
2
dz
经典层合板理论
注意到
0 x
,
0 y
,
0 xy
,
kx
,
ky
和 kxy 不是
z
的函数，而是中
层合板的表示方法
[03/902/45/-453]S
层合板的表示方法
一般层合板
[0/45/90/-45/0]
对称层合板 偶数层 奇数层
具有连续重复铺层 具有连续正负铺层
[0/90]S [0/45/90]S [02/90]S [0/±45/90]
有多个子层合板构成的层合板 [0/90]2
织物构成的层合板
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
x
u x
u0 x
z
2w x2
y
v y
v0 y
z
2w y 2
xy
u y
v x
( u0 y
v0 x
)
2z
2w xy
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
x
y
0 x
0 y
z
k k
x y
xy
0 xy
k
xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系 层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续 整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： yz 0, zx 0
等法线假设： z 0 平面应力假设： z 0； xz =0； yz =0 忽略正应力假设： z 0
[(±45)/(0,90)]
混杂纤维层合板 夹层板
[0C/45K/90G] [0/90/C5]S
层合板分类-按单层板相对于中面的位置
对称层合板：
铺设角相同 z =-z
非对称层合板
材料相同 Qijz =Qij-z
反对称层合板 z =--z 一般层合板
Qijz =Qij-z
夹芯层合板
经典层合板理论
第三讲 层合板的刚度与强度
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件
层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法 经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
层合板的几何标志
经典层合板理论
中面的应变为：
aa
u0
0 x
0 y
0 xy
பைடு நூலகம்
x
aa
v0 y
u0
v0
y x
中面的曲率为：
k
x
ky
kxy
a a 2
2w x2 2w y 2
2w
xy
其中 kxy 为中面扭曲率
经典层合板理论
第 k 层应力为：
x
y
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
N
x
Ny
N
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
dz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
dz
M
x
M y
M
xy
h
2
x
N
h
2
y xy
zdz
k 1
zk zk 1
x
y
xy
zdz
经典层合板理论
上式中的 zk , zk1 可由下图确定：
1
zk zk1 2 (zk zk1) 2 (zk zk1)
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度
由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N
x
Ny
A11
A12
A12 A22
A16 A26
0 x
0 y
B11 B12
B12 B22
B16 B26
kx ky
N
xy
A16
A26
A66
0 xy
B16
B26
B66
kxy
M M M
x y xy
B11 B12 B16
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
N
x
Ny
N
QQ1121
N
xy
k 1 Q16
Q12 Q22 Q26
Q16
Q26 Q66
zk zk 1
0 x
0 y
0 xy
dz
zk zk 1
k k k
x y xy
zdz
M
B12 B22 B26
B16 B26 B66
0 x
0 y
0 xy
D11 D12 D16
D12 D22 D26
D16 D26 D66
kx ky kxy
经典层合板理论
式中： N
N
Aij (Qij )k (zk zk1) (Qij )k tk
k 1
k 1
z
w z
0
zx
u z
w x
0
zy
v z
w y
0
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
w w(x, y)
u
u0
(x,
y)
z
w( x, x
y)
v
v0
(
x,
y)
z
w( x, y
y)
式中的 u0,v0, w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y的函数，其中 w 为挠度函数
经典层合板理论
QQ1121
Q12 Q22
Q16 Q26
0 x
0 y
k
x
z ky
xy
k
Q16
Q26
Q66
k
0 xy
k
xy
虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Qij 可以不同，故应力变 化一般不是线性的
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx , N y , Nxy 及合力矩 M x , M y , M xy （都是指单位长度上的力或力矩）