数形结合思想教案

数形结合思想【教学目标】1．让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象；2．让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3．培养学生主动运用数形结合方法解题的意识．【教学重点】函数图象的几何变换【教学难点】1．各种图象变换之间的区别及灵活应用；2．运用数形结合方法解题．【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图象法解不等式）【教学过程】第一课时一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象． ⑴ 正比例函数 kx y =，)0,(≠∈k R k ⑵ 反比例函数ky =， )0,(≠∈k R k☆ 其图象是以原点为中心，以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线．⑶ 一次函数 b kx y +=，)0,(≠∈k R k⑷ 一元二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y⑸ 指数函数 ,0x y a a =>且1≠a （特征线：1=x ）⑹ 对数函数 0,log >=a x y a 且1≠a （特征线：1=y ） ⑺ 正弦函数 R x x y ∈=,sin ，周期π2=T ⑻ 余弦函数 x y cos =，R x ∈，周期π2=T⑼ 正切函数),2(,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 周期π=T☆一个小结论：在区间)2,0(π上恒有x x x sin tan >>（证明文科留至《三角函数》一节再给出，理科用导数证明如下）证明：① 记()tan f x x x =-，则21()10cos f x x '=->在)2,0(π上恒成立，故()f x 在)2,0(π上为增函数，所以()(0)0f x f >=，即当(0,)2x π∈时，恒有tan x x >② 记()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=->在)2,0(π上恒成立，故()g x 在)2,0(π上为增函数，所以()(0)0g x g >=，即当(0,)2x π∈时，恒有sin x x >综上所述，在区间)2,0(π上恒有x x x sin tan >>⑽ 椭圆 X 型：12222=+b y a x ； Y 型： 12222=+b x a y⑾ 双曲线 X 型：12222=-b y a x ； Y 型： 12222=-bx a y⑿ 抛物线px y 22=)0(>p ；px y 22-= )0(>p ； py x 22=)0(>p ；py x 22-= )0(>p ．★注意：1．牢记九种基本函数及圆锥曲线图象是进行函数图象变换的基础，也是提高用数形结合方法解题速度的关键．2．理解各种曲线图象的较为精确的画法，这在用数形结合法解题，涉及两个图象之间关系时，才不至于造成误解． 二、图象的初等变换 A 、平移变换1．要作出函数)(a x f y +=的图象，只需将函数)(x f y =的图象向左)0(>a 或向右)0(<a 平移||a 个单位即可．2．要作出函数h x f y +=)(的图象，只需将函数)(x f y =的图象向上)0(>h 或向下)0(<h 平移||h 个单位即可． 〖例1〗sin(2)3y x π=-的图象可由sin 2y x =的图象经过如何变换得到？误解：将sin 2y x =的图象往右平移3π个单位可得到sin(2)3y x π=-的图象 ★点评：该种解法是学生中最常见的一种错误解法，造成这个错误的主因还是对变换规则理解不透，规则中强调的是将x 换成x a +．而必须将sin 2y x =中的x 换成6x π-才会得到sin(2)3y x π=-，故应是将sin 2y x =的图象往右平移6π个单位可得到sin(2)3y x π=-的图象．B 、局部对称变换 3．要作函数)||(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =在y 轴左侧的图象擦掉，再将)(x f y =在y 轴右侧的图象作关于y 轴对称，并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4．要作函数|)(|x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象x 轴下方的部分沿着x 轴对折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到．★点评：① 区别这两种变换的一种方法――)||(x f y =为偶函数，故其图象关于y 轴对称；|)(|x f y =的函数值非负，故在x 下方无图象．② 作函数)||(x f y =与|)(|x f y =的图象亦可用零点分区间法将其化为分段函数形式再进行作图．如：||2y x =+③ 并不是所有含绝对值的函数图象均可用这两种变换作出，如：||y x x =-，此时只能将其化为分段函数：0020x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，再作出其图象．C 、整体对称变换5．要作)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以y 轴为对折线进行翻转即可得到． 6．要作函数)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以x 轴为对折线进行翻转即可得到．7．要作函数()y f x =--的图象，只需将函数)(x f y =的图象作关于原点对称即可得到． 8．要作函数1()y f x -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象作关于直线y x =对称即可得到． ★点评：)(x f y -=与)(x f y =比较：若y 值一样，则x 值相反，故)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称．其它同理可知．D 、伸缩变换 9．要作函数)(ax f y =)0(>a 的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短．．)1(>a 或伸长．．．)10(<<a 为．原来的a1（纵坐标不变）即可（若0<a ，还得同时进行关于y 轴的翻转变换．）10．要作函数)(x Af y =)0(>A 的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的纵坐标伸长．．)1(>A 或缩短．．．)10(<<A 到．原来的A 倍（横坐标不变）即可（若0A <，还要再进行关于x 轴的翻转变换）．★点评：伸缩变换叙述时一定要注意用辞，注意“缩短”与“缩短为”的区别． E 、按向量平移11．若将函数按向量(,)a m n =平移，则可依据向量图象将平移转化为：先向左（0m <）或向右（0m >）平移||m 个单位，再向上（0n >）再向下（0n <）平移||n 个单位．如按向量)1,2(=a 平移可转化为先向右平移2个单位，再向上平移1个单位． 〖热身训练〗1．函数2(1)2y x =++的图象按(1,2)a =--平移后得到的图象的函数解析式为 ．（答案：2(2)y x =+）解析：即向左平移1个单位，再先向下平移2个单位． 2．利用函数图象变换，快速作出下列函数图象． ⑴ 131x y +=- ⑵ lg()y x =--⑶ ||tan x y = ⑷ |tan |x y =⑸2.0⑹ 0.2|log |y x =⑺ 2sin 2y x = ⑻1cos 22x y =〖例2〗 利用函数图象变换，快速作出下列函数图象． ⑴ 2|23|y x x =--⑵ 3||22--=x x y⑶ |1|31x y +=+解：|1||1|||31333xx x x y y y y ++=+←=←=←=步骤①处，可能会出现与例1类似的错误：由23x y +=变为23x y --=⑷ 231x y --=-法一：22211131()1()()333x x x x y y y --++=-=-←=←= 法二：223133x x x y y y -----=-←=←= 法三：22231333x x x xy y y y -----=-←=←−−=←=①〖课后练习〗 ⑴ 2sin(3)4y x π=-法一：2sin(3)sin(3)sin3sin 44y x y x y x y x ππ=-←=-←=←= 法二：2sin(3)sin(3)sin()sin 444y x y x y x y x πππ=-←=-←=-←=⑵ 3log (2)1y x =--++法一：33333log (2)1log (2)log (2)log log (2)y x y x y x y x y x =--++←=--+←=-+↑=→=+法二：33333log (2)1log (2)log (2)log log ()y x y x y x y x y x =--++←=--+←=-+↑=→=-法三： 3333log (2)1log (2)log ()log y x y x y x y x =--++←=--+←=--←=⑶ 2||21y x =-+法一：2||212||22||2y x y x y x y =-+←=-←=-←法二：2||212||222y x y x y x y =-+←=-←=-←⑷ 4221x y x -=+ 解： 422(21)4422212121212x x y x x x x -+-===-=-++++ ∴22221122y y y x x x =-←=-←=-++【课堂小结】1．要牢记九种基本函数与圆锥曲线图象，这是快速作图的基础；2．通过图象变换可以解决大部分的函数图象，但还有一些函数（如高次函数、较复杂的复合函数）无法通过变换得到，此时可通过导数的知识作出其草图； 3．注意各种变换之间的区别，注意各种变换中所改变的量是什么； 4．利用图象变换作图时，一定要注意所变换的每个步骤都要能够实现．【教后反思】第二课时三、几种中心（或顶点）不在原点的曲线图象的画法． 1．圆222()()x a y b r -+-=圆心：(,)a b 2．椭圆1)()(2222=-+-b n y a m x 中心：),(n m 3．双曲线1)()(2222=---bn y a m x 中心：),(n m 4．抛物线)(2)(2m x p n y -=- 顶点：),(n m 5．函数ax by cx d +=+（0c ≠） 中心：(,)d a c c-作图步骤：①确定其图象中心（或顶点）；②在其图象中心（或顶点）画一个十字架（可当作新坐标系）；③在新坐标系中作出其图象．★小结：1．证明可由坐标平移公式容易给出；2．类比圆的方程或二次函数2()y a x h k =-+，可总结出以下规律：先将其化成为各自对应的“标准方程形式”，则x y 、减去的分别是中心（或顶点）的横纵坐标．〖例3〗 若椭圆14)2(9)1(22=++-y x 按向量平移后所得方程为14922=+y x ，则向量等于（ C ） A 、)2,1(-B 、)2,1(C 、)2,1(-D 、)2,1(--〖随堂练习〗椭圆的中心为点(1,0)E -，它的一个焦点为(3,0)F -，相应于焦点F 的准线方程为72x =-，则这个椭圆的方程是 ．（答案：22(1)15x y ++=） 函数ax by cx d+=+的图象画法可参照例3⑻，先通过变量分离2b ada c c y d c x c-=++确定其图象中心，再由2b adc c -的符号确定其图象位置．解析：依题意，252,2a c c ==，解得225,1ab ==四、无理函数的作图形如B Ax y +=或C Bx Ax y ++=2（A ≠0）的函数均可借助解几知识迅速而准确地作出，从而为研究函数、方程、不等式等问题提供极大的方便. 〖例4〗 作出下列函数图象： ⑴ 12-=x y⑵ 2246x x y --=解：⑴ 易知原函数的值域为[0,)+∞， 原函数可化为212()2y x =-，在直角坐标系中作出其图象（如下图所示）解：⑴ 易知原函数的值域为[0,)+∞， 原函数可化为，在直角坐标系中作出其图象（如下图所示）★小结：作无理函数的步骤：①确定原函数的值域（或定义域）；②通过两边平方，化掉根式；③根据新方程，由圆锥曲线或圆的定义给出图象（根据原函数的值域（或定义域）保留题意的一部分图象）．五、利用函数图象解不等式〖例5〗 利用图象解下列不等式： ⑴ |2|||1x x +-≥-⑵ 1x <+解：原不等式可化为|2|||1x x +≥-在同一坐标系中分别作出函数|2|y x =+与||1y x =-的图象，如下图所示：由上图可知：原不等式的解集为：3{|}2x x ≥-1解：在同一坐标系中分别作出函数y 1y x =+的图象，如下图所示：1x =+，解得x =，即两由上图可知：原不等式的解集为：{2}x x <≤．★小结：通过变形，将不等式两边分别看作两个函数，并在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象，从而通过图象可以得到原不等式的解集．用同一思路，还可以解决超越方程根的个数的判断．这几年高考对不等式的解法只要“掌握简单不等式的解法”，若在高考中出现无理不等式，必定可以用淘汰法或数形结合法得以解决．〖课后练习〗 详见第三课时【课堂小结】1．考察中心（或顶点）不在原点的圆锥曲线这几年高考基本不出现，只有06天津文8考查了它，值得我们加以一定的关注；2．虽然高考对无理不等式的解法已不做要求，但在考查反函数和函数性质时还是会出现无理函数，故对无理函数的作图还是要求掌握的；3．对于方程解的个数，同样可以将方程两侧（有些方程也需要进行一定的变形）分别看作两个函数，从而转化为两个函数交点的个数进行处理．【教后反思】本课时中三、四部分有超纲的嫌疑，设置这两个部分的目的更多是为了培养学生的类比思想和数形结合思想．第三课时（习题讲评）〖课后练习〗1．迅速作出以下各函数图象 ⑴ 222x x y --= ⑵ 222x y --=⑶1y =⑷1y =2．解下列不等式 ⑴ |2|||0x x +-≥ ⑵ 1|1|3x <+<⑶ 222||3|23|x x x x --<--答：⑴ [1,)-+∞；⑵ (4,2)(0,3)--；⑶ (,3)-∞⑷12x-≥ ⑸ 3x -⑹ |tan(2)|3x π-答：⑷ [1,0)-；⑵[1,2)★点评：并不是所有的不等式都适用数形结合法解题，第⑹小题反映明显，利用数形结合法解题必须基于函数图象比较容易作出．)|3πy |x2|+3 12y x =-2|y x =法二 ：原不等式等价于： tan(2)3x π-<∴2333k x k πππππ-<-<+解得：223k k x πππ<<+六．判断以下各方程根的个数. ⑴ 22log 2x x =- ⑵ lg ||220x x -+=⑶log (4)3x x +=有2根 有3根有2根⑷ 34x - ⑸ sin lgx x =⑹变式：若方程2log 2x x =-与3log 2x x =-的根分别为αβ、，试比较α与β的大小． 解析：由图易知1βα>>★点评：画对数函数log a y x =图象时，至少要画 两点：(1,0)和(,1)a 〖课后练习〗详见第四课时 【课堂小结】数图象都要容易给出． 【教后反思】第四课时〖思考题〗 当实数a 取何值时，关于x 的方程3x -+ 法一：原方程可化为33x x a -=，记3()3f x x x =- ∴2()33f x x '=-，令()0f x '<，解得11x -<<，列表2x 3xx当x →-∞时，()f x →+∞，且当x →+∞时，()f x →-∞ 由上表可知，当2a =±时，方程33x x a -=有2个不同的解 ∴当2a =±时，关于x 的方程330x x a -++=恰有两解．法二：记3()3f x x x a =-++，则2()33f x x '=-+令()0f x '>，解得11x -<<，列表当由上表可知，当()20f x a =-=极小值时，曲线()f x 与x 轴恰有二个交点，即原方程恰有两解；当()20f x a =+=极大值时，曲线()f x 与x 轴恰有二个交点，即原方程恰有两解． ∴当2a =±时，关于x 的方程330x x a -++=恰有两解．变式：⑴ 讨论关于x 的方程330x x a -++=解的个数．⑵ 当实数a 取何值时，函数32y x x =-与y x a =+有两个不同的交点．★点评：函数、方程、不等式这三者完全可以根据图象将其联系在一起．七．含参问题的讨论⑴ 若关于x 的不等式|1|x kx +≥恒成立，则实数k ∈ ．⑵ 方程||a x x a =+（01a a >≠且）有两个相异的实根，则a ∈ ． 由图可知101a<< 故(1,a ∈+∞1|+ kx11x a=+||y x =⑶ 方程2|43|x x ax -+=有四个不同的实根，则a ∈ ．联立243y x x y px ⎧=-+-⎨=⎩消去y 得2(4)30x p x +-+=令2(4)120p ∆=--=，解得4p =±故切线斜率为4-∴(0,4a ∈-⑷ 当|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点时，m ∈ ． 即方程|1|20x m ---=有解 ∴(0,1)m ∈⑸ 解关于x 的不等式：||2x a x a ->-当0a >时，x R ∈，当0a =时，0x <；当0a <时，32x a <．【课堂小结】高考中问题以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有：知式选图，知图选式，图象变换，以及自觉地运用图象解题，属于每年改考内容之一．数形结合，即用形研究数，用数研究形，相互结合，互为补充，相得益彰，使问题变得直观、简捷，思路易寻．形是数的直观反映，数是形的抽象概括，今后的高考中仍将加强对形的考查．【教后反思】xx。