数形结合思想教案
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数形结合思想
【教学目标】1．让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象；
2．让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3．培养学生主动运用数形结合方法解题的意识．
【教学重点】函数图象的几何变换
【教学难点】1．各种图象变换之间的区别及灵活应用；
2．运用数形结合方法解题．
【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图象法解不
等式）
【教学过程】
第一课时
一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象． ⑴ 正比例函数 kx y =，)0,(≠∈k R k ⑵ 反比例函数
k
y =
， )0,(≠∈k R k
☆ 其图象是以原点为中心，以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线．
⑶ 一次函数 b kx y +=，)0,(≠∈k R k
⑷ 一元二次函数 )0(2
≠++=a c bx ax y
⑸ 指数函数 ,0x y a a =>且1≠a （特征线：1=x ）
⑹ 对数函数 0,log >=a x y a 且1≠a （特征线：1=y ） ⑺ 正弦函数 R x x y ∈=,sin ，周期π2=T ⑻ 余弦函数 x y cos =，R x ∈，周期π2=T
⑼ 正切函数
),2
(,tan Z k k x x y ∈+
≠=π
π 周期π=T
☆一个小结论：在区间)2
,0(π
上恒有x x x sin tan >>（证明文科留至《三角函数》一节再给出，
理科用导数证明如下）
证明：① 记()tan f x x x =-，则21
()10
cos f x x '=
->在)2,0(π上恒成立，故()f x 在)2
,0(π上为增函数，所以()(0)0f x f >=，即当(0,)2
x π
∈时，恒有tan x x >
② 记()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=->在)2,
0(π
上恒成立，故()g x 在)2
,0(π
上为增函数，所以()(0)0g x g >=，即当(0,)2
x π
∈时，恒有sin x x >
综上所述，在区间)2
,0(π
上恒有x x x sin tan >>
⑽ 椭圆 X 型：12222=+b y a x ； Y 型： 122
22=+b x a y
⑾ 双曲线 X 型：12222=-b y a x ； Y 型： 122
22=-b
x a y
⑿ 抛物线
px y 22=)0(>p ；px y 22-= )0(>p ； py x 22=)0(>p ；py x 22-= )0(>p ．
★注意：1．牢记九种基本函数及圆锥曲线图象是进行函数图象变换的基础，也是提高用数形结合方法解题速度的关键．
2．理解各种曲线图象的较为精确的画法，这在用数形结合法解题，涉及两个图象之间关系时，才不至于造成误解． 二、图象的初等变换 A 、平移变换
1．要作出函数)(a x f y +=的图象，只需将函数)(x f y =的图象向左)0(>a 或向右)0( 2．要作出函数h x f y +=)(的图象，只需将函数)(x f y =的图象向上)0(>h 或向下)0( y x π =- 的图象可由sin 2y x =的图象经过如何变换得到？ 误解：将sin 2y x =的图象往右平移 3π个单位可得到sin(2)3 y x π =-的图象 ★点评：该种解法是学生中最常见的一种错误解法，造成这个错误的主因还是对变换规则理解不透，规则中强调的是将x 换成x a +．而必须将sin 2y x =中的x 换成6 x π - 才会得到 sin(2)3y x π=-，故应是将sin 2y x =的图象往右平移6π个单位可得到sin(2)3 y x π =-的图象． B 、局部对称变换 3．要作函数)||(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =在y 轴左侧的图象擦掉，再将)(x f y =在 y 轴右侧的图象作关于y 轴对称，并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4．要作函数|)(|x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象x 轴下方的部分沿着x 轴对折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到． ★点评：① 区别这两种变换的一种方法――)||(x f y =为偶函数，故其图象关于y 轴对称；|)(|x f y =的函数值非负，故在x 下方无图象． ② 作函数)||(x f y =与|)(|x f y =的图象亦可用零点分区间法将其化为分段函数形式再进行 作图．如：||2y x =+ ③ 并不是所有含绝对值的函数图象均可用这两种变换作出，如：||y x x =-，此时只能将其化 为分段函数：0 020x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，再作出其图象． C 、整体对称变换 5．要作)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以y 轴为对折线进行翻转即可得到． 6．要作函数)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以x 轴为对折线进行翻转即可得到． 7．要作函数()y f x =--的图象，只需将函数)(x f y =的图象作关于原点对称即可得到． 8．要作函数1()y f x -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象作关于直线y x =对称即可得到． ★点评：)(x f y -=与)(x f y =比较：若y 值一样，则x 值相反，故)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称．其它同理可知． D 、伸缩变换 9．要作函数)(ax f y =)0(>a 的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短．．)1(>a 或伸长．．．)10(< 原来的a 1 （纵坐标不变）即可（若0 10．要作函数)(x Af y =)0(>A 的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的纵坐标伸长．．