余弦定理(一)课件

推论：
b
a
Ac
B
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 cos C a 2 b2 c2
2ac
2ab
（四）欣赏定理，加深理解
1.如何欣赏定理？（对余弦定理的理解） (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其
（五）典例剖析，拓展提升
类型二 判断三角形的形状 [例 2] 在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc 且 sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC 的形状．
（五）典例剖析，拓展提升
[解] ∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc. 又∵a2＝b2＋c2－2bccosA，则 2cosA＝1， ∴A＝60°. 又∵sinA＝sin(B＋C)
中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边 与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边 角关系的互化．
（四）欣赏定理，加深理解
2.勾股定理也能刻画三边平方关系，它与余弦定理有什么 关系？
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特 例．
角 A 为钝角⇔__a_2_>_b_2＋___c2____， 角 A 为直角⇔__a_2＝___b_2＋__c_2__， 角 A 为锐角⇔__a_2_<_b_2_＋__c_2__.
2021/4/15
思考感悟
1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是 否能求出其他元素？
提示：能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种 情况：
图①中已知角A和边a，b，可先由正弦定理先求角B和 角C，继而可求边c.
图②中已知角A和边b，c，可先由余弦定理求边a，继 而可由正弦定理求角B和角C.
余弦定理
内
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
容 =2R
a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B
； ；
c2＝ a2＋b2－2abcosC
.
（六）课堂小结，类比升华
定理
正弦定理
余弦定理
解决的 问题
①已知三边，求各 ①已知两角和任一边，求另
角； “SSS” 一角和其他两条边；“AAS、ASA” ②已知两边和它们的 ②已知两边和其中一边的对
（五）典例剖析，拓展提升
[点评] 在一些复杂的图形问题中，我们要善于分析图中哪些三 角形的条件足够求解该三角形，哪些三角形的条件还不够求 解该三角形，对那些条件不够的三角形要去探索它与其他三 角形之间的联系，有时也可直接设出其中的边和角，然后列 方程(组)求解．
（六）课堂小结，类比升华
定理
正弦定理
§1.1.2 余弦定理（一）
（一）设置情境，体验精彩
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量 出C到山脚A、B的距离，分别是CA=8km，CB=5km ，再 利用经纬仪（测角仪）测出B对山脚AB的张角，∠C=60。 最后通过计算求出山脚的长度AB。
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
aa2a
b b
b
2
2a
2a
b b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
﹚
向量法
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C ﹚ a 2 b 2 c 2 2bc cos A
坐标法
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
（三）归纳共性，形成定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等 于其他两边的平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两倍. 即 C
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
（五）典例剖析，拓展提升
类型三 正、余弦定理的综合应用 [例3] 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD ＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的 长．
（五）典例剖析，拓展提升
[分析] 将四边形ABCD分成△ABD和△BCD，在△ ABD中，用余弦定理求出BD，在△BCD中，用正弦定理即 可解出BC.
问题1：△ABC确定吗？
问题2：本题能用正弦定 理解答吗？
A
问题3：如何用学过的数学知识 解答这个问题？
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B C
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA

解的:设夹C角B为∠aC,，C求A边cb. ,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C
﹚
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B
（二）抽象概括，建模探究
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
y
(bcosC,bsinC)
c (b cosC a)2 (bsin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin2 C
b2 a2 2abcosC
﹚
(0，0)
则c2 a2 b2 2ab cos C
(a,0)x
同理可得：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
（四）欣赏定理，加深理解
3.利用余弦定理可解决哪些类型的解斜三角形问题？
余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分 别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式， 便可求出第四个量来．
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求_各__角__； (2)已知两边和其中一个角，求第__三__边___和__其__他__两__个__角_．
变式训练1 已知在△ABC中，a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 求△ABC的各角度数．
（五）典例剖析，拓展提升
解：∵a:b:c＝2: 6:( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝26×＋ 6×3＋ 132＋－14＝ 22，∴A＝45°. cosB＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
＝sinBcosC＋cosBsinC ＝2sinBcosC， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°， ∴△ABC 是等边三角形．
（五）典例剖析，拓展提升
[点评] 判断三角形形状的方法： (1)利用正、余弦定理化角成边，利用代数运算求出三 边的关系； (2)由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和 定理得到内角关系，从而判定形状．
【备选例练】 1.(2013·厦门模拟) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝ a2＋bc，且A→C·A→B＝4，则△ABC 的面积等于________．
由条件得 cos A＝12，A＝π3；又由A→C·A→B＝4 得 bc，故△ABC 面 积可求．
【备选例练】
夹角，求第三边和其 角，求另一边和其他两角.“ASS”他两个角. “SAS”或“SSA”
（七）布置作业，探究延续 1、①阅读书本P8-9《探究与发现》； ②校本作业1-4 余弦定理1. 2、[思考]已知三角形任意两边与一角，借助于 正、余弦定理是否能求出其他元素？ 3、[思考]在解三角形的过程中，求某一个角有 时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种 方案有什么利弊呢？
2.已知ABC中，2 （2 sin2 A sin2 C）=（a b）sinB, 三角形的外接圆半径为 2， （1）求角C的大小； （2）求ABC的面积的最大值。
感谢各位聆听， 敬请批评指正！
2021/4/15
（五）典例剖析，拓展提升
[解] 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－ 2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16. ∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°. 在△BCD中，由正弦定理得BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
（五）典例剖析，拓展提升
[点评] 1．解三角形时，应先分析题设条件，如本题属于“SAS” 型，先用余弦定理求 a，在此基础上，可以利用余弦定理计 算角 B 或 C 的余弦值，也可以利用正弦定理计算角 B 或 C 的正弦值． 2．常用余弦定理解答两类题目“SAS”或“SSA”型及“SSS” 型．
（五）典例剖析，拓展提升
AB 7km
A
B
C
2021/4/15
（五）典例剖析，拓展提升
类型一 利用余弦定理解三角形 [例1] 在△ABC中，已知b＝3，c＝2 3，A＝30°，求 边a、角C和角B.