人教版平行线间的距离

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五年级下册人教版数学知识点认识平行线与垂直线

五年级下册人教版数学知识点认识平行线与垂直线五年级下册人教版数学知识点：认识平行线与垂直线在五年级下册的数学学习中，平行线与垂直线是一个重要的知识点。

正确理解和掌握平行线与垂直线的概念及其性质对我们进一步学习几何知识具有重要意义。

本文将介绍平行线与垂直线的定义、特性以及如何在平面图形中判断它们的关系。

一、平行线的定义与特性1. 平行线的定义：平行线是在同一个平面内，永不相交的直线。

当两条直线之间没有任何交点时，它们是平行线。

2. 平行线的性质：平行线具有以下重要性质：（1）平行线之间的距离相等：若两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离相等，那么这两条直线是平行线。

（2）平行线与平面图形的关系：如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么它与这个平面内的平行线都平行。

（3）平行线传递性：如果有一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线也是平行的。

（4）平行线的判定：通过测量线段长度、使用两角相等定理等方法可以判定直线是否平行。

二、垂直线的定义与特性1. 垂直线的定义：垂直线是与另一条线段或直线形成直角的线段或直线。

2. 垂直线的性质：垂直线具有以下重要性质：（1）垂直线之间的夹角为90度：两条直线相交而形成的夹角为90度时，它们是垂直线。

（2）垂直线的判定：通过测量角度、使用垂直角性质等方法可以判定直线是否垂直。

三、平行线与垂直线在平面图形中的应用1. 平行线的应用：在解决几何问题中，平行线的应用非常广泛。

例如，我们可以利用平行线的性质来判断图形的对称性、计算物体的阴影长度、构造几何图形等。

2. 垂直线的应用：垂直线在几何问题的解决中也占有重要地位。

比如，我们可以利用垂直线的性质来判断几何图形的直角、计算图形的面积等。

总结：通过对五年级下册人教版数学的学习，我们了解到了平行线与垂直线的定义、性质以及在平面图形中的应用。

正确理解和掌握这些知识点，有助于我们在解决几何问题时能够灵活运用，提高数学解题的能力。

人教版五年级下册数学知识点归纳平行线与垂直线的性质

人教版五年级下册数学知识点归纳平行线与垂直线的性质平行线与垂直线是数学中的基本概念，它们在几何图形的研究和问题解决中起着重要的作用。

在人教版五年级下册的数学课程中，对于平行线与垂直线的性质有着详细的阐述和归纳。

本文将通过归纳总结的方式，对五年级下册数学知识点中关于平行线与垂直线的性质进行介绍和讨论。

1. 平行线的性质平行线是指在同一个平面内永不相交的线段。

在五年级下册数学课程中，对于平行线的性质有以下几个方面的讨论：1.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面内永不相交的线段。

当两条直线在平面内没有任何交点时，可以称它们是平行线。

1.2 平行线的判断判断两条直线是否平行，可通过以下几种方式进行：（1）如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线为平行线。

（2）如果两条直线的倾斜角度相等（或互补角度相等），则这两条直线为平行线。

（3）如果两条直线有一对相同的对应角度，则这两条直线为平行线。

1.3 平行线的性质（1）平行线之间的距离保持相等。

（2）平行线之间的任意一条直线与其中一条直线的交角与另一条直线的交角相等。

（3）平行线与同一条直线的交角相等。

2. 垂直线的性质垂直线是指在同一个平面内成直角的线段。

在五年级下册数学课程中，对于垂直线的性质有以下几个方面的讨论：2.1 垂直线的定义垂直线是指在同一个平面内成直角的线段。

当两条直线的交角为90度时，可以称它们是垂直线。

2.2 垂直线的判断判断两条直线是否垂直，可通过以下几种方式进行：（1）如果两条直线的斜率互为相反数，则这两条直线为垂直线。

（2）如果两条直线的倾斜角度之和为90度，则这两条直线为垂直线。

2.3 垂直线的性质（1）垂直线之间的任意一条直线与其中一条直线的交角为90度。

（2）垂直线与同一条直线的平行线之间的交角为90度。

3. 平行线和垂直线的应用在几何图形的研究和问题解决中，平行线和垂直线的性质经常被应用到各种问题中。

以下是一些常见的应用：3.1 判断线段的平行关系和垂直关系通过判断线段之间的斜率、交角或倾斜角度是否满足平行线或垂直线的性质，可以判断线段之间的平行关系和垂直关系。

数学人教版八年级下册平行四边形的性质—平行线间的距离及等面积问题

n m平行四边形的性质—— 平行线间的距离及等面积问题设计人：遵义市第五十三中学龙文艳一、教材分析：平行线间的距离处处相等是人教版八年级下册第十八章第一节《平行四边形》中平行四边形的性质的一个推论，在等面积问题以及一些相似问题的运用中，这个知识点运用比较广泛，尤其是将一些不便于求解面积的图形问题转化为便于求解的图形问题时，常常会用到这一知识点。

在本教学设计中，我对这堂课进行了教材整合，我将平行线间涉及三角形面积的问题归纳在一起在这一堂课中展示，这样，便于解题方法的总结。

本节课就平行四边形的性质而推导得出平行线间的距离处处相等，然后将涉及这一知识点的相关三角形的面积问题加以整合，在教学过程中，我把对学生的数学转化思想的培养作为重点.二、教学目标：1、让学生在探究归纳中，理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；2、通过实例，教会学生运用“平行线间的距离处处相等”来解决一般三角形的面积问题；3、在图形的变换中，体会数学中的转换思想，培养学生的逻辑思维能力.三、教学重难点：重点：将一些不便于求解面积的三角形问题转化为便于求解的三角形问题的方法；难点：在图形的转化过程中，体会并运用数学几何图形的转化思想.四、教学过程：（一）情境创设：如图，山坡上有两棵树，它们在直线AB 上，你能测量出两棵树距离有多远吗？（二）出示学习目标4、理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；5、会运用平行线间距离处处相等解决一般三角形的面积问题；6、在图形的变换中体会数学中的转换思想. （三）自主学习： 1、知识准备：（1）三角形的面积公式是。

（2）点到直线的距离是指过这个点所作直线的垂线段的。

（3）两平行线间的距离是指，如图，m ∥n ，则直线m 与直线n 之间的距离是。

（4）平行四边形中，对边 .同时，每一组对边都是另一组对边之间的平行线段，因此上述结论可以这样说：平行线之间的平行线段相等.2、解决情境创设中的问题。

理解人教版六年级下册数学知识点平行线垂直线与角度的关系解析

理解人教版六年级下册数学知识点平行线垂直线与角度的关系解析一直以来，数学一直是学生们的一道难题。

在数学的学习中，六年级下册的数学课程中有一个重要的知识点，那就是平行线、垂直线与角度的关系。

正确理解并掌握这些知识点，对于学生们的数学学习是至关重要的。

本文将对人教版六年级下册数学课程的平行线、垂直线与角度的关系进行解析，帮助学生全面掌握相关知识点。

平行线与垂直线首先，我们先来了解什么是平行线和垂直线。

平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。

平行线之间的距离是恒定的，并且始终保持平行的关系。

垂直线则是与平行线相交的线段，相交的角度为90°。

理解平行线和垂直线的关系对于学生掌握角度的性质非常重要。

在学习过程中，学生可以通过绘制图形和观察直线之间的关系来加深对这些概念的理解。

角度的定义与分类了解了平行线和垂直线的概念后，我们来探讨角度的定义和分类。

角度是由两条无限延长的直线或线段相交而形成的图形。

根据角度的大小，可以将角度分为三个不同的分类：锐角、直角和钝角。

锐角是指小于90°的角度，直角是指恰好为90°的角度，而钝角则是指大于90°但小于180°的角度。

此外，我们还要了解一个重要的概念，那就是补角和余角。

补角是指两个角的和为90°，而余角则是指两个角的和为180°。

平行线和角度的关系接下来，我们来研究平行线与角度的关系。

当两条平行线被一条直线截断时，所形成的相邻角是对顶角，对顶角互为补角。

进一步地，我们可以利用对顶角的性质来推导出一些重要的结论。

例如，当两条平行线被一条截断时，同位角的度数是相等的；当两条平行线被两条截断时，同旁内角的度数是相等的。

理解和掌握平行线与角度的关系对于解决一些几何问题具有重要意义。

学生们应该通过大量的练习来提升自己的能力，遇到几何问题时能够迅速运用所学的知识点。

垂直线和角度的关系接下来，我们来研究垂直线与角度的关系。

两平行线之间的距离

距离公式的几何意义
点到直线的距离
01
两平行线之间的距离实际上是任意一点到其中一条直线的垂直
距离。
平行四边形的性质
02
两平行线之间的距离等于平行四边形的高，而这个高也是平行
四边形的对角线的一半。
三角形的中位线性质
03
在三角形中，中位线与相对边平行且等于相对边的一半，而中
位线的长度就是两平行线之间的距离。
平行线的性质
性质1
性质2
同位角相等：两条平行线被一条横截线所截，同位角相等。
内错角相等：两条平行线被一条横截线所截，内错角相等。
性质3
性质4
同旁内角互补：两条平行线被一条横截线所截，同旁内角互补。
平行线间的距离处处相等：两条平行线被一条横截线所截，那么这两条横截线到各自直线的距离是相等的。
THANKS
感谢观看
在工程学中的应用
机械零件设计
建筑设计
在机械设计中，两平行线之间的距离常用于确定零件的尺寸和位置，以确保机械运转的准确性和稳定性。
在建筑设计中，两平行线之间的距离用于确定墙体的位置、窗户的高度等，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
电路板布线
在电子工程中，两平行线之间的距离是电路板布线的重要参数，它决定了信号传输的质量和稳定性。
02
两平行线之间的距离公式
距离公式的推导
平行线性质
两平行线之间的距离与它们的方向向量成正比，与它们之间的垂
直距离成反比。
距离公式推导
基于平行线性质，通过向量运算和几何变换，推导出两平行线之间的距离公式。
公式形式
$d = frac{|c_2 - c_1|}{sqrt{a^2 + b^2}}$，其中$a, b$是直线方向向量的分量，$c_1, c_2$是直线方程 $ax + by + c = 0$中的常数项。

人教版初中数学七年级下-相交线和平行线知识点总结

人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系，研究了两条直线相交时的形成的角的特征，两条直线互相垂直所具有的特性，两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质，利用平移设计一些优美的图案.。

重点：垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质，平移和它的性质，以及这些的组织运用.1、邻补角与对顶角图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2 有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。

∠3+∠4=180°注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

1 2 4 32、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册第二章《直线与圆》点到直线的距离、两平行线间的距离

第 1 页共 6 页 2020-2021学年新人教版高中数学选择性必修第一册第二章《直线与圆》点到直线的距离、两平行线间的距离1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3B.53 C ．1D.22 解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B. 2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0B.34 C ．3 D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D. 3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝ (3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5. 4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2)B ．(2,4)C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.。

2.3.4两条平行直线间的距离课件-2020年秋高中数学人教版（2019）选择性必修一

于是
d
| 8 1 | 3
=
23
53 ，
提示：d = | C1 C2 | . A2 B2
22 72 159
所以
l1与 l2 间的距离为
23 159
53.
四、课堂练习
1. 求下列两条平行直线间的距离：（1） l1：2x+3y 8= 0 ， l2：2x+3y+18= 0 ；
解：先求 l1 与 x 轴的交点 A 的坐标为(4,0). 另解：
1.两条平行直线间的距离可以转化为其中一条直线上的一点到另一条直
线的距离.
2.两条平行直线
Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0
间的距离为 d= |C1 C2|
A2+B2
.
3.体会化归与转化的数学思想.
距离两点 P1(x1, y1)， P2 (x2 , y2 ) 点到直线 P0 (x0, y0 )， l : Ax By C 0
点 A 到直线 l2 的距离
d=|2 4+3 0+18|= 26 =2 13 ，
22 32
13
d= | 8 18| = 26 = 2 13 ， 22 32 13
所以 l1 与 l2间的距离为 2 13.
所以 l1 与 l2间的距离为 2 13.
四、课堂练习
1. 求下列两条平行直线间的距离：
（2）l1：3x+4 y=10 ，
2.3.4 两条平行直线间的距离
高二年级数学
一、复习回顾
两点间的距离公式已知平面内两点 P1( x1,y1)，P2( x2 ,y2 ) ，则 |P1P2|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .

平行线的性质(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题5.12平行线的性质（知识讲解）【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．特别说明：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【典型例题】类型一、平行线的性质➽➼同位（内错）相等✮✮同旁内角互补➻➸两直线平行1．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠，试证明：∥DG BA ．解：AD BC ⊥ ，EF BC ⊥（已知），90EFB ADB ∴∠=∠=︒（______）∴______∥______（______）1BAD ∴∠=∠（______）又12∠=∠ （已知），∴______（______）∴∥DG BA （______）【答案】垂直的定义；EF AD ；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；2BAD ∠=∠；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．解：AD BC ⊥ ，EF BC ⊥（已知），∴90EFB ADB ∠=∠=︒（垂直的定义），∴EF AD ∥（同位角相等，两直线平行），∴1BAD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又12∠=∠ （已知），∴2BAD ∠=∠（等量代换），∴∥DG BA （内错角相等，两直线平行），故答案为：垂直的定义；EF ；AD ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；2BAD ∠=∠；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】将下列证明过程及依据补充完整．如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且AC DE ∥，CD EF ∥，求证：EF 平分DEB∠证明：∵CD 平分ACB ∠（已知），∴DCA DCE ∠=∠（角平分线的定义）．∵AC DE ∥（已知），∴DCA CDE ∠=∠（）∴DCE CDE ∠=∠（等量代换），∵CD EF ∥（已知），∠=∠（）∴DEF CDE∠=∠（）DCE BEF∴_____=______（等量代换），∴EF平分DEB∠（）【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；DEF∠；BEF∠；角平分线的定义．【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．∠（已知），证明：∵CD平分ACB∠=∠（角平分线的定义）．∴DCA DCE∥（已知），∵AC DE∴DCA CDE∠=∠（两直线平行，内错角相等）∠=∠（等量代换），∴DCE CDE∵CD EF∥（已知），∠=∠（两直线平行，内错角相等）∴DEF CDEDCE BEF∠=∠（两直线平行，同位角相等）∴DEF∠=BEF∠（等量代换），∴EF平分DEB∠（角平分线的定义）故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；DEF∠；BEF∠；角平分线的定义．【点拨】本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．【变式2】填空，将本题补充完整．如图，已知EF AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EF AD （已知）∴∠2＝（）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝（等量代换）∴AB GD （）∴∠BAC +＝180°（）∵∠BAC ＝65°（已知）∴∠AGD ＝°【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD ；两直线平行，同旁内角互补；115°【分析】由EF AD ，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，从而得到DG BA ，根据平行线的性质可得∠BAC ＋∠AGD ＝180°，即可求解．解：∵EF AD （已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴AB GD （内错角相等，两直线平行）∴∠BAC ＋∠AGD ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC ＝65°（已知）∴∠AGD ＝115°．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用．2．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠．(1)求证：EF AD ∥；(2)求证：180BAC AGD ∠+∠=︒．【分析】（1）根据垂直得出90EFB ADB ∠=∠=︒，根据平行线的判定得出EF AD ∥；（2）根据平行线的性质得出1BAD ∠=∠，由12∠=∠得出2BAD ∠=∠，根据平行线的判定得出DG BA ∥，再根据平行线的性质即可得解．（1）证明：∵AD BC ⊥，EF BC ⊥，∴90EFB ∠=︒，90ADB ∠=︒（垂直的定义），∴∠=∠EFB ADB （等量代换），∴EF AD ∥（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：∵EF AD ∥，∴1BAD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又12∠=∠ （已知），∴2BAD ∠=∠（等量代换），∴DG BA ∥（内错角相等，两直线平行），∴180BAC AGD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB ∥CD ，BC 平分∠ABD 交AD 于点E ．(1)证明：∠1=∠3；(2)若AD ⊥BD 于点D ，∠CDA =34°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠3=28°．，根据等量代【变式2】P是∠BAC内一点，射线PD//AB，射线PE//AC，连接BC，当点D在线段BC上，点E在射线AB上时，(1)补全图形；(2)猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明．【答案】(1)补全图形见解析；(2)∠DPE +∠A =180°，证明见解析【分析】（1）根据题中的要求直接补全图形即可；（2）根据平行线的性质得到BEP A ∠=∠，180BEP DPE ∠+∠=︒，等量代换即可证得结论．（1）解：补全图形，如下图所示：（2）解：180DPE A ∠+∠=︒．理由如下：PE AC ∥ ，BEP A ∴∠=∠，PD AB ∥ ,180BEP DPE ∴∠+∠=︒，即180DPE A ∠+∠=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．类型二、平行线的性质➽➼由平行线性质探索角的关系3．如图：(1)若AB EF ∥，猜想图①中，B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系并加以证明；(2)若AB EF ∥，如图②，直接写出B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系：．(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，若150BCD ∠=︒，则ABC ∠=．【答案】(1)BDF B F ∠=∠+∠，证明见解析；(2)360B BDF F ∠+∠+∠=︒；(3)120︒【分析】（1）过点D 作CD AB ∥；通过平行线的性质倒角即可；（2）过点D 作CD AB ∥；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；（3）由（2）中的结论计算即可；（1）解：BDF B F ∠=∠+∠；理由如下：如图，过点D 作CD AB ∥；∴B BDC∠=∠∵AB EF∥∴CD EF∥∴CDF F∠=∠∵BDF BDC CDF∠=∠+∠∴BDF B F∠=∠+∠（2）解：360B BDF F ∠+∠+∠=︒；理由如下：如图，过点D 作CD AB ∥；∵AB EF∥∴AB CD EF∥∥∴180B BDC =∠+∠︒，180CDF F ∠+∠=︒∴360B BDF F B BDC CDF F ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒（3）解：由（2）可知：BCD ABC BAE ∠+∠+∠=︒360∴90BAE ∠=︒∴ABC BAE BCD ∠=︒-∠-∠=︒360120【点拨】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知三角形EFG 的顶点E ，F 分别在直线AB 和CD 上，且AB CD ．若90EFG ∠=︒，30FEG ∠=︒．(1)当221∠=∠时，求1∠的度数．(2)设AEG α∠=，CFG β∠=，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．∴180AEG EGM ∠+∠=︒，∴∥GM CD ，∴180MGF CFG ∠+∠=︒，∴360AEG EGM MGF CFG ∠+∠+∠+∠=︒，即360AEG EGF CFG ∠+∠+∠=︒，∵在Rt EGF 中，90EFG ∠=︒，30FEG ∠=︒，∴60EGF ∠=︒，∴36036060300AEG CFG EGF ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AEG α∠=，CFG β∠=，∴300αβ+=︒．【点拨】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．【变式2】请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB CD ∥，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE ，CE 得到AEC ∠．求证：AEC A C ∠=∠+∠，小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E 作EF AB ∥，∴1B ∠=∠，∵AB CD ∥，EF AB ∥，∴EF CD∥∴2C ∠=∠，∵12AEC ∠=∠+∠，∴AEC A C ∠=∠+∠，请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图2，若AB CD ∥，60E ∠=︒，求B C F ∠+∠+∠的度数；(2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸AB CD ∥当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 所形成的夹角为64︒（即64BED ∠=︒），当小船行驶到河中点F 时，恰好满足ABF EBF =∠∠，EDF CDF ∠=∠，请你直接写出此时点F 与码头B 、D 所形成的夹角BFD ∠＝_________．∵EN AB ∥，FM AB ∥，DC ∥∴EN CD ∥，FM CD ∥，EN ∴∠B =∠BEN ，∠NEF =∠EFM ∵∠BEN +∠NEF =∠BEF ，∠EFM类型三、平行线的性质➽➼由平行线性质求角度4．（1）如图AD 平分CAB ∠，DE AC ∥，28CAD ∠=︒．求1∠的度数．（2）如图已知1180C ∠+∠=︒，CF BE ∥．求证：B C ∠=∠．【答案】（1）1∠的度数为56︒；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得到256CAB CAD ∠=∠=︒，由平行线的性质即可得到结论．（2）先证明AB CD ∥，再利用平行线的性质证明B CHE ∠=∠，C CHE ∠=∠，即可证明B C ∠=∠．解：（1）∵AD 平分CAB ∠，28CAD ∠=︒，∴256CAB CAD ∠=∠=︒，∵DE AC ∥，∴156CAB ∠=∠=︒；（2）证明：∵1180C ∠+∠=︒，1180AGC ∠+∠=︒，∴AGC C ∠=∠，∴AB CD ∥，∴B CHE ∠=∠，∵CF BE ∥，∴C CHE ∠=∠，∴B C ∠=∠．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解答此题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知点B 、C 在线段AD 的异侧，连接、AB CD ，点E 、F 分别是线段、AB CD 上的点，连接CE BF 、，分别与AD 交于点G ，H ，且AEG AGE ∠=∠，C DGC ∠=∠．(1)求证：AB CD ∥；(2)若180AGE AHF ︒∠+∠=，求证：B C ∠=∠；(3)在（2）的条件下，若117BFC C ∠=∠，求AHB ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)70︒【分析】（1）只需要证明AEG C ∠=∠即可证明AB CD ∥；（2）先证明HGE AHF =∠∠得到BF CE 则B AEG =∠∠，再由AEG C ∠=∠即可证明B C ∠=∠；（3）根据平行线的性质得到180BFC C ∠+∠=︒，AHB DGC ∠=∠，再结合已知条件求出C ∠的度数即可得到答案．（1）证明：∵AEG AGE ∠=∠，C DGC ∠=∠，AGE DGC ∠=∠，∴AEG C ∠=∠，【变式2】类型四、平行线的性质➽➼平行线性质的应用5．如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B ＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？【答案】向左拐30°【分析】过点B 作BM OA ∥，延长BC 到点P ．可得BM CN ∥．从而得到∠ABM ＝∠A ＝105°．再由∠ABC ＝135°，可得∠MBC ＝30°即可求解．解：过点B 作BM OA ∥，延长BC 到点P ．∵BM OA ∥，OA CN ∥，∴BM CN ∥．∵第一次向右拐75°，即∠A ＝105°，∴∠ABM ＝∠A ＝105°．∵∠ABC ＝135°，∴∠MBC ＝30°又∵BM CN ∥，∴∠NCP ＝∠MBC ＝30°．答：第三次应向左拐30°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式1】ABC ∠和BCD ∠，量得63ABC ∠=︒，要保持两次拐弯前后的路线平行，BCD ∠的度数应为多少？为什么？【答案】117°，理由：同旁内角互补，两直线平行【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD 的度数．【详解】解：根据题意得，AB ∥CD ，∠ABC =63°∴∠BCD =180°-∠ABC =117°，∴要保持两次拐弯前后的路线平行，∠BCD 为117°，理由是同旁内角互补，两直线平行．【点拨】题目主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键．【变式2】潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，12∠=∠，3=4∠∠，那么2∠和3∠有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知．如图，//,12,34AB CD ∠=∠∠=∠，（1）猜想2∠和3∠有什么关系，并进行证明；（2）求证：//PM NQ ．【答案】（1）23∠∠=，证明见解析；（2）见解析【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知//AB CD ，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明23∠∠=．（2）结合题意可证明1234∠=∠=∠=∠，再由125180∠+∠+∠=︒，346180∠+∠+∠=︒，即可证明56∠=∠，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明//P M N Q ．解：（1）根据题意可知//AB CD ，∴23∠∠=（两直线平行，内错角相等）.（2）∵23∠∠=，∴1234∠=∠=∠=∠；∵125180∠+∠+∠=︒，346180∠+∠+∠=︒，∴56∠=∠，∴//P M N Q （内错角相等，两直线平行）．【点拨】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．类型五、平行线的性质➽➼平行线间的距离✮✮应用6．探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线//m n ，两点H 、T 在m 上，HE n ⊥于E ，TF n ⊥于F ，则HE TF =．如图2，已知直线//m n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、D 为直线m 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：__________．（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：_______与ABC 的面积相等；理由是：___________．【答案】（1）ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ；（2）ABD △，同底等高的两个三角形的面积相等【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿ABC 与ABD △为例：两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．解：（1）有三对分别是：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ，分析如下：ABC 和ABD △，两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；DCA △和DCB △，两个三角形以CD 为底，高相等，即面积相等；ACO △和DBO ，根据DCA △和DCB △面积相等，两个三角形同时减去CDO ，得ACO △和DBO 面积相等．故答案为：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ，（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：ABD △与ABC 的面积相等，分析如下：ABD △与ABC 同底，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置，点D 到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，即面积相等．故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等【点拨】本题考查了两条平行直线间的距离和两个三角形面积相等问题，解题的关键是：理解两直线平行距离为定值及同底等高的两个三角形面积相等．举一反三：【变式1】如图，已知直线m//n ，A ，B 为直线m 上的两点，C ，P 为直线n 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：；（2）如果A ，B ，C 为三个定点，点P 在直线n 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有．理由是：．【答案】（1）ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见解析．【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．【详解】（1）设平行线m 与n 之间的距离为h则ACP △和BCP 的边CP 上高均为h ，ABC 和ABP 的边AB 上高均为h由同底等高得：ACP △与BCP 的面积相等，ABC 与ABP 的面积相等又AOC ACP COP S S S =- ，BOP BCP COPS S S =- AOC BOPS S ∴= 即AOC 与BOP △的面积相等故答案为：ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．【点拨】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键．【变式2】作图并写出结论：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图.(1)过点P作PR⊥CD，垂足为R.(2)过点P作PQ∥CD，交AB于点Q.(3)若∠DCB=135°，则∠PQC度．(4)点Q到直线PR的距离是线段的长度．）∵PQ∥CD（已作），）∴∠DCB+∠PQC=180°，∵∠DCB=135）因为PR⊥CD，所以点Q到直线【点拨】本题的关键是掌握基本作图，并能运用平行线的性质知识解决问题类型六、平行线的性质➽➼平行线性质与判定综合➽➼证明✮✮计算7．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠=∠．已知12∠=∠，3C(1)求证：AB CD ∥；(2)若24180∠+∠=︒，求证：180BFC C ∠+∠=︒；(3)在（2）的条件下，若3021BFC ∠-︒=∠，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)50B ∠=︒【分析】（1）已知12∠=∠，所以32∠=∠，又因为3C ∠=∠，可以得出1C ∠=∠即可判定AB CD ∥；（2）已知23∠∠=，24180∠+∠=︒，可以得出//BF EC ，即可得出180BFC C ∠+∠=︒；（3）由（1）（2）可知AB CD ∥，//BF EC ，可以得出1C ∠=∠，180BFC C ∠+∠=︒；可以得出30212BFC C ∠-︒=∠=∠，可以得出C ∠，又因为1C B ∠=∠=∠，即可求出B ∠的度数．（1）证明：12∠=∠ ，3C ∠=∠，23∠∠=，1C ∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）证明：24180∠+∠=︒ ，23∠∠=，34180∴∠+∠=︒，//BF EC ∴，180BFC C ∴∠+∠=︒；（3）180BFC C ∠+∠=︒ ，30212BFC C ∠-︒=∠=∠ ，230BFC C ∴∠=∠+︒，230180C C ∴∠+︒+∠=︒，50C ∴∠=︒，130BFC ∴∠=︒，//AB CD ，180B BFC ∴∠+∠=︒，50B ∴∠=︒．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知点E ，F 在直线上AB 上，点G 在线段CD 上，ED 与FG 交于点H ，180C EFG CED GHE ︒∠=∠∠+∠=，．(1)试判断AED ∠与D ∠之间的数量关系，并说明理由．(2)若7030EHF D ∠︒=︒∠=，，求AEM ∠的度数．【答案】(1)180AED D ∠+∠=︒，理由见解析；(2)100︒．【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行可得CE ∥GF ，根据平行线的性质等量代换可得∠FGD ＝∠EFG ，进而判定AB ∥CD ，即可得出∠AED ＋∠D ＝180°；（2）根据平行线的性质可得∠CED ＝70EHF ∠=︒，∠DEF ＝∠D ＝30°，求出∠CEF ，依据对顶角相等即可得到∠AEM 的度数．（1）解：∠AED ＋∠D ＝180°；理由：∵180CED GHE ∠+∠=︒，∴CE ∥GF ，∴∠C ＝∠FGD ，∵∠C ＝∠EFG ，∴∠FGD ＝∠EFG ，∴AB ∥CD ，∴∠AED ＋∠D ＝180°；（2）解：∵CE ∥GF ，70EHF ∠=︒，∴∠CED ＝70EHF ∠=︒，∵∠D ＝30°，AB ∥CD ，∴∠DEF ＝∠D ＝30°，∴∠CEF ＝∠CED ＋∠DEF ＝70°＋30°＝100°，∴∠AEM ＝∠CEF ＝100°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．如图，1245EF BD BAC ∠=∠∠=︒，，∥．求ADG ∠的度数．【答案】135ADG ∠=︒【分析】根据两直线平行，同位角相等，得出23∠∠=，，再根据等量代换，得出13∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，得到DG AB ∥，最后再根据两直线平行，同旁内角互补，计算即可得出答案．解：∵EF BD ∥，∴23∠∠=，∵12∠=∠，∴13∠=∠，∴DG AB ∥，∴180ADG BAC ∠+∠=︒，∵45BAC ∠=︒，∴18045135AGD ∠=︒-︒=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．【变式2】完成下面的证明：如图，点B 在AG 上，AG CD ∥，连接BC ，CF 平分BCD ∠，ABE FCB ∠=∠，BE AF ⊥于点E ．求证：90F ∠=︒．证明：∵AG CD ∥，∴ABC BCD ∠=∠（_____________________）．∵ABE FCB ∠=∠，∴ABC ABE BCD FCB ∠-∠=∠-∠，即EBC FCD ∠=∠．∵CF 平分BCD ∠，∴FCB ∠=______（__________________）．∴EBC FCB ∠=∠，∴BE CF ∥（________________________）∴__________________F =∠（________________________）．∵BE AF ⊥，∴BEF ∠=______︒（______________________）．∴90F ∠=︒．∴90BEF ∠=︒（垂直的定义）．∴90F ∠=︒．故答案为：两直线平行，内错角相等；FCD ∠；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；BEF ∠；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟知相关知识是解题的关键．中考真题专练一、单选题1．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线a b ，一个三角板的直角顶点在直线a 上，两直角边均与直线b 相交，140∠=︒，则2∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒【点拨】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．2．（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC ＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°故选：B．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．∥，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，a b∠=︒，则2∠的大小是（）115A．20︒B．25︒C．30︒D．45︒【答案】C∥，根据平行线的性质，可得【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a23,14∠=∠∠=∠，根据三角板可知3445∠+∠=︒，进而等量代换结合已知条件即可求解．∥解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a∵a∥b，∴∥∥，a b c∴∠=∠∠=∠，23,14，∠+∠=︒3445\Ð+Ð=°，1245Q，Ð=°115∴∠=︒．230故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．二、填空题，则α∠的度数是______．4．（2022·辽宁阜新·中考真题）一副三角板如图摆放，直线AB CD【答案】15︒##15度【分析】根据题意可得：90EBD ∠=︒，45BDE ∠=︒，30EDC ∠=︒，然后利用平行线的性质可得180ABD BDC ∠∠+=︒，从而进行计算即可解答．解：如图：由题意得：90EBD ∠=︒，45BDE ∠=︒，30EDC ∠=︒，//AB CD ，180ABD BDC ∠∠∴+=︒，180EBD BDE EDC∠α∠∠∠∴=︒---180904530=︒-︒-︒-︒15=︒，故答案为：15︒．【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【答案】85︒##85度【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．解： C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，50DAC ∴∠=︒，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，35CBE ∴∠=︒，过C 作CF DA ∥交AB 于F ，如图所示：DA CF EB ∴∥∥，50,35FCA DAC FCB CBE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒，85ACB FCA FCB ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：85︒．【点拨】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．三、解答题6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数；(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，50BCD ∠=︒．求证：AE DC ∥．【答案】(1)100BAD ∠=︒；(2)详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据AE 平分BAD ∠，可得50DAE ∠=︒．再由AD BC ∥，可得50AEB DAE ∠=∠=︒．即可求证．（1）解：∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=°，∵80B ∠=︒，∴100BAD ∠=︒．（2）证明：∵AE 平分BAD ∠，∴50DAE ∠=︒．∵AD BC ∥，∴50AEB DAE ∠=∠=︒．∵50BCD ∠=︒，∴BCD AEB ∠=∠．∴AE DC ∥．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键。

人教版八年级下册平行四边形两条平行线之间的距离

点与点的连结两点之间线段的长度（两条平行线上点与点之
1、连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。
距离各点的所有线段中，垂线段最短）
S△AOC= S△COB
(两点之间线段最短）
（连接直线外一点与直线上
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
直线外一点到这条直线的垂线平面几何中三种距离是指……
点与直线如图，若a // b，DA、GH、CB垂直于
∴ △ADE≌ △CBF ∴∠AED=∠CFD=90°
P
S△ABD=S△CBD
D 如下图，在 ABCD中， S△ABC与 S△ACD的大小关系？
一条直线上的任一点到另一条
B
E
O
例1 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，
BF⊥CD，垂足分别为E,F.求证AE=CF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE=BF吗？
S△ABC= 1 BC·h1
2
S△ACD= 1 AD·h2 2
S△ABC= S△ACD
两条平行线之间的距离
小结
同底等高
等底同高
等底等高
b
B
C
a
A
C
你还能画出一些与△ABD面积
相等的三角形吗？
b B
AB=CD
D 同底等高
S△ABD与S△CBD是否相等？说说你的理由。
相等
S△ABD= 1 BD·AB 2
S△CBD= BD1·CD 2
在直线a上任找一点O,连接OB,OD, 则S△OBD与 S△ABD是否相等？
S△ABD=S△CBD
O·
于点C,则：
（1）点B与点D的距离是指线段__B__D___的长；
（ 2 ）点 D 到直线 b 的距离是指线段 _ D_ _ C_ _ _ 的长； 23 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

【教案】2.3.4两条平行直线间的距离教学设计-高中数学人教版(2019)选择性必修一

2.3.4两条平行直线间的距离一、内容和内容解析1．内容两条平行直线间的距离．2．内容解析本节内容是在学习两点间距离公式和点到直线距离公式后的又一重要内容，学生学会求两条平行直线间的距离.从学生已有的知识与经验看，可以把两条平行直线间的距离问题转化为点到直线的距离问题，进而得到求两条平行直线间距离的一般结论.通过本节课的教学，学生在推导两条平行直线间距离公式时，体会化归与转化的数学思想.由浅入深，由特殊到一般的研究数学问题，可以发散学生思维，体现了逻辑推理和数学运算的数学学科素养.结合以上分析，可以确定本节课的教学重点：两条平行直线间距离的求法．二、目标和目标解析1．目标：会求两条平行直线间的距离．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）借助于点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）通过对两条平行直线间距离的一般结论的推导，会运用此结论解决问题.三、教学问题诊断分析学生已经学习了点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离可以看作是点到直线距离公式的一个应用，学生掌握并不困难.但是对于发现并推导两条平行直线间的距离的一般结论时，学生在学习过程中会存，的系数对应相等，在一定困难.在应用此一般结论解决问题时，需要注意两条平行直线的一般式方程中x y因此本节课的教学难点是两条平行直线间的距离的一般结论的推导与应用.四、教学过程设计（一）复习回顾、提出问题问题1：我们前面学习了两点间的距离公式和点到直线的距离公式，分别是什么呢？师生活动：学生独立思考、复习两个距离公式. 追问：如何求两条平行直线间的距离呢？师生活动：学生充分思考，教师给出两条平行直线间的距离的定义.设计意图：前面学习了两点间距离公式，点到直线的距离公式，容易想到两条平行直线间的距离问题，很顺利的导入到新的数学知识．（二）探究新知问题2：已知两条平行直线12l l ，的方程，如何求1l 与2l 间的距离？师生活动：教师引导，分析，得出结论．在直线1l 上任取一点 00()P x y ，，点00()P x y ，到直线2l 的距离就是直线1l 与2l 间的距离.结论：两条平行直线间的距离转化为点到直线间的距离.设计意图：让学生思考、分析，探究两条平行直线间的距离转化为点到直线间的距离．体会转化的数学思想.（三）典型例题例1 已知两条平行直线12278062110l x y =l x y =----：，：，求1l 与2l 间的距离.师生活动：学生尝试独立完成，教师给出规范解答．引导学生选取其中一条直线上的一点，然后求该点到另一条直线的距离.设计意图：学生会利用点到直线的距离公式得到两条平行直线间的距离. 例2 求证：两条平行直线10Ax+By+C =与20Ax+By+C =间的距离为1222.d=A +BQ2l 1l O yx师生活动：学生独立思考，教师给出解答示范．两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.追问1：应用上面两条直线间距离的一般结论时，需要注意什么问题呢？师生活动：通过研究证明过程，得到两条平行直线的方程中x y ，的系数对应相等. 追问2：你能应用上面的一般结论求解例题1中的问题吗？师生活动：学生应用例2中得到的一般结论，求解例1中两条平行直线间的距离.教师引导学生将两条直线方程中x y ，的系数化成一致.设计意图：本题是教科书中的例题，通过例题教学，推导出两条平行直线间距离的一般结论．再用一般结论求解例题1中两条平行直线间的距离，学生体会到利用此结论能够更加方便的求出两条平行直线间距离.充分体现了逻辑推理与数学运算的数学学科素养.（四）课堂练习教科书第79页练习1，2，3．补充练习：1.求两条平行直线34120x+y =-与8110ax+y+=间的距离.2. ABCD 的四条边所在直线的方程分别是12450280l x y+=l x+y =-- ：，：，3140l x y+=-4 ：，4210l x+y+= ：，求 ABCD 的面积.师生活动：学生做练习，教师给出答案．设计意图：通过练习，强化两条平行直线间距离的求法. （五）总结提升教师引导学生回顾本节知识：1.两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离.2.两条平行直线10Ax+By+C =与20Ax+By+C =间的距离为3.体会化归与转化的数学思想.4.学生充分的回顾、思考、整理、归纳、总结的时间，教师引导，总结提升，达到突出重点的目的．（六）布置作业教科书第79页习题2.3第7，8题．。

高中-数学-人教版-2.3.4 两条平行直线间的距离(二)

2.3.4 两条平行直线间的距离（二）一、选择题1、若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=之间的距离是m n +=（）A. 3B. 17-C. 2D. 3或17-2、若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y -7＝0和l 2：x ＋y -5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（）A.B.C. D.3、已知,,,m n a b ∈R ，且满足346,341m n a b +=+=小值为（）A.B.C. 1D.124、设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（）A.33, B.133, C.122, D.23,5、（多选）若两条平行直线1l ：20x y m -+=与2l ：260x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为（）A. 3B. 17-C. 3-D. 176、（多选）两条平行直线l 1，l 2分别过点P （-1，3），Q （2，-1），它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离可能取值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题7、若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行，则k =______，1l 与2l 之间的距离是______．8、如图，已知直线l 1：x +y -1=0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，l 2的方程为______．9、与两条平行线12:3260,:6430l x y l x y +-=+-=等距离的平行线是______．10、若直线m 被两平行线l 1：x -y ＋1＝0与l 2：x -y ＋3＝0所截得的线段的长为则m 的倾斜角可以是______．（写出所有正确答案的序号） ①15°；①30°；①45°；①60°；①75°．三、解答题11、已知三条直线l 1：2x -y+a=0（a ＞0），直线l 2：4x -2y -1=0和直线l 3：x+y -1=0，且l 1和l 2的距离是10．（1）求a 的值．（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；①P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；①P 点到l 1的距离与P 点到l 3 若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由．12、设直线1:210l x y --=与22:(3)30l m x my m m -++-=．（1）若1l ∥2l ，求1l 、2l 之间的距离；（2）若直线2l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线2l 的方程．答案第1页，共4页参考答案1、【答案】A【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】由题意直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=平行，则两条直线的斜率相等，即4n =-，又直线间的距离为=7m =，∴3m n +=.选A.2、【答案】A【分析】本题考查两条平行直线间的距离，点到直线的距离公式.【解答】依题意，知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y -7＝0和l 2：x ＋y -5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，=∴|m ＋7|＝|m ＋5|，∴m ＝-6，即l ：x ＋y -6＝0.根据点到直线的距离公式得M 到原点的距离的最小值=． 3、【答案】C【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】(),m n 为直线346x y +=上的动点，(),a b 为直线341x y +=上的动点，离：1d ==.选C.4、【答案】C【分析】本题考查两条平行直线间的距离. 【解答】由已知得两条直线间的距离是d =∵,a b 是方程20x x c ++=的两个根， ∴1,a b ab c +=-=，则||a b -=∵108c ≤≤， ∴12222，即1222d .选C . 5、【答案】AB【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】由题意，0n ≠，212n -=，∴4n =-，∴2l ：2460x y --=，即230x y --=，=7m =或13m =-，∴3m n +=或17m n +=-.选AB . 6、【答案】ABC【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的距离最大最大距离为5PQ ==，∴l 1，l 2之间的距离的取值范围是(]0,5．故答案选ABC .7、【答案】1【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】12//l l ，且直线2l 的斜率为1，1k ∴=，则直线1l 的一般方程为0x y -=．∴直线1l 与2l=8、【答案】x +y -3=0【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】设l 2的方程为y =-x +b （b ＞1），则图中A （1，0），D （0，1），B （b ，0），C （0，b ）.∴ADBC b .梯形的高h 就是两平行直线l 1与l 2的距离，故h（b＞1），由梯形面积公式得42=，∴b 2=9，b =±3.但b ＞1，∴b =3.从而得到直线l 2的方程是x +y -3=0． 9、【答案】12x +8y -15=0【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】设所求直线方程为320,x y b ++=2:6430l x y +-=化为33202x y +-=；于是3(6)2b b⎛⎫--=--⎪⎝⎭，解得15,4b=-则所求直线方程是15320,4x y+-=即128150.x y+-=10、【答案】①①【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】两直线x-y＋1＝0与x-y＋3＝0=l1与l2所截的线段长为，故动直线与两直线的夹角应为30°，∴直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．因此只有①①适合．11、【答案】（1）a=3;（2）137,918 P⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】（1）l2的方程即为1202x y--=，①l1和l2的距离d=，①1722a+=．①a＞0，①a=3．（2）设点P（x0，y0），若P点满足条件①，则P点在与l1和l2平行的直线.l′：2x-y+c==c=132或c=116．①2x0-y0+132=或2x0-y0+116=．若点P满足条件①=，①x0-2y0+4=0或3x0+2=0．由P在第一象限，①3x0+2=0不合题意．联立方程2x0-y0+132=和x0-2y0+4=0，解得x0=-3，y0=12，应舍去．由2x0-y0+116=与x0-2y0+4=0联立，解得x0=19，y0=3718．∴137,918P⎛⎫⎪⎝⎭即为同时满足三个条件的点．答案第3页，共4页12、【答案】（1；（2）2x+2y﹣3＝0．【分析】本题考查两条平行直线间的距离.【解答】（1）若l1∥l2，则0m≠，∴132mm-=-，∴m＝6，∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0，∴l1，l2之间的距离d==（2）由题意，得30mm⎧⎨-⎩＞＞，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S12=m（3﹣m）2139228m⎛⎫=--+⎪⎝⎭，∴m32=时，S最大为98，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．。

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l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
如图：在笔直的铁轨上夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长？
一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
EC
A
l
1
它与点与点的距离、
点到直线的距离的
∟∟
FD
∟
联系与区别
l2 B
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD、EF都垂直于l2 ，垂足分别为B、D、F，则
什么样的关系,并说明理由.
D
C
M S2
S S1
A
B
拓展与延伸
2、如图，ABCD中，点E在AC上，AE=2EC,
点F在AB上，BF=2AF,若BEF的面积为2cm2，
则 ABCD的面积=__9_c_m__2_A____
D
F
E
平行四边形的面积等于B一边与该边上的高的C 乘积，当线段的长度不好求时，可以考虑用比例去求.
思考.已知，如图，有一长方形菜地以折线EFG为
地界分给甲、乙两菜农，现为耕种方便，想把界
线取直，并且不改变两家菜地面积，请你在图
中画出取直后的地界。
A
E
M
B
F
D
C
G
N
典例讲解
例 1 如图，在 ABCD中，DE AB,BF CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.
D
FC
AE
B
练习:已知:如图，E、F分别是
BC上的点，且AF//CE
求证：DE=BF
A
E
ABCD的边AD、 D
B
F
C
（1）如图，S ABCD BC AE CD AF
（2）如图，同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
ABCD
(2)若AB=4cm，则AB和DE间的距离为 __1_3__cm D CE
A 4B 利用面积求两平行线间的距离
通过本节课的学习，你有什么收获？
作业
拓展与延伸
1. 如图,M是 ABCD边AD上任一点,若
△CBM的面积为S, △ABM的面积为S1, △CDM的面积为S2,请猜测一下S,S1,S2之间有
A
D l1 E′ E D′ D
BE
F C
l2 A H H B
典例讲解
例2、已知 ABCD中，AB=20，AD=16，AB
和CD之间的距离为8，则AD和BC之间的距离为_1_0____
D
C
AE
BF
利用面积相等求两平行线间的距离
练习
如图， E是直线CD上的一点。已知的面积为52cm2，
(1)△ABE的面积为 __2_6___cm2
AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
如图，a / /b, AB 直线a于点A,CD 直线b
于点C , 则：
D
（1）点B与点D的距离是指线段 __B__D___的长； A
a
（2）点D到直线b的距离是指线段 _D__C___的长；
C B
b
（3）两平行线a、b间的距离是指线段 _A__B___ 或 __D__C__的长.
课前查：
A
1.在 ABCD 中，AD=40，CD=30，
∠B=60°，则BC= ;AB= ;
∠A= , ∠C= , ∠D=
B
D C
2 如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为 8m，其他三条边各长多少？
课前查：
1.在 ABCD 中，AD=40，CD=30， A ∠B=60°，则BC= 40 ;AB= 30 ; ∠A= 120,°∠C= 12,0∠°D= 60° B
D C
2 如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为 8m，其他三条边各长多少？
CD 8mAD BC 源自10m如图，l1 // l2 ，线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？
EC
A