牵连速度问题
几种速度牵连问题及其解题方法
几种速度牵连问题及其解题方法摘要力学问题中存在一些速度牵连的情况,在高中力学学习中,无论是运用能量守恒定理、动量守恒定理解题时,对牵连速度的分析是解题的关键。
仔细观察各物体的运动的实际情况,正确分析各运动物体牵连速度的关系,对于正确而高效地求解十分重要。
关键词力学;速度;运动在高中力学学习中,无论是运用能量守恒定理、动量守恒定理解题时,对牵连速度的分析是解题的关键。
仔细观察各物体的运动的实际情况,正确分析各运动物体牵连速度的关系,对于正确而高效地求解十分重要。
例如,下面是一些典型的情况及其分析思路。
1)物体通过绳索连接,通过杆连接。
在高中阶段物理学习中,分析时不考虑绳索的弹性伸长,杆也是不考虑其伸长和压缩的,即它们的长度都认为是不变化的。
这种情况下,被拉紧的绳索连接的物体,在绳索方向上的分速度是相等的;被杆连接着的物体,在杆的方向上的分速度是相等的。
2)相互接触并且相对运动的物体,当不考虑相互接触的摩擦和变形时,两接触且相对运动物体的速度沿垂直接触面的方向的分速度相等。
下面举几个典型实例说明分析和解题方法。
例1两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿一个小球,小球a、b间用细直棒相连如图1所示。
当细直棒与竖直杆夹角为α时,求两小球实际速度之比Va、Vb。
图1解:据题设条件,a球只能沿竖直杆运动,设其速度为Va;b球只能沿水平杆运动,设其速度为Vb。
a球、b球沿细直棒方向的分速度相同,设为V0,则有:由此得:例2如图2所示,B是质量为2m、半径为R 的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上,A是质量为m的细长直杆,被套在光滑套管D约束在竖直方向,A可自由上下运动,物块C的质量为m,紧靠半球形碗放置。
初始时,A杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(见图2),然后从静止开始释放A,A、B、C便开始运动。
求:1)长直杆下降过程中,长直杆A与半球形碗B速度的大小(表示成θ的函数);2)长直杆的下端运动到碗的最低点时,长直杆竖直方向上的速度和B、C 水平方向的速度;3)运动过程中,长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗底部的高度。
牵连速度问题
α vb
【例题2】如图所示，纤绳以恒定速率v沿水平方向
通过定滑轮牵引小船靠岸，绳与水面夹角为θ时，则
船靠岸的速度是
，若使船匀速靠岸，则
纤绳的速度是
。（填：匀速、加速、减
速）
v
答案：变长
运动的合成和分解的应用 2.绳拉物牵连速度问题
【例题1】如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度v
前进，则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起的物
体B的速度为vB=
，物体上升的运动是_____
(填“加速”、“减速”、“匀速”）
B
方法一：微元法
v物t
θ
v车t
cos v物 v物＝v车 cos
B A
B
A
重物M沿细杆竖直下滑，并通过绳带动小车 m沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直 方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小 车的速度为多少？
θ
v
• 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上 面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细 直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α 时，求两小球实际速度之比va∶vb
v车
方法二：运动的合成与分解
绳拉物体或物体拉绳问题的主要思路： （1）物体的实际运动为合运动； （2）沿绳的运动为一个分运动； （3）垂直于绳的运动为另一个分运动。
方法二：运动的合成与分解
v绳
θ
v车
cos
v
v绳 v车
v物＝v绳＝v车 cos
变大，cos变小
v物变小, 减速下降
【例题3】光滑水平面上有A、B两个 物体，通过一根跨过定滑轮的轻绳 子相连，如图，它们的质量分别为 mA和mB，当水平力F拉着A且绳子 与水平面夹角为θA＝45O， θB＝ 30O时，A、B两物体的速度之比VA： VB应该是________
小船渡河、牵连速度专题训练(附答案)
小船渡河模型1．小船要横渡一条宽400m 的小河，河水流速是3m/s ，船在静水中的速度是5m/s ，（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：(1)要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处?最短时间是多少? (2)要使船航程最短，船头应指向何处?最短航程为多少?渡河时间又是多少?2．汽艇在宽为400 m 、水流速度为2 m/s 的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4 m/s ．求： （1）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？（2）若水流速度为4 m/s ，船在静水中的速度为2 m/s ，求出船能过河的最短航程？3．小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小1v ，船在静水中的速度大小2v ，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后020s t =到达对岸下游60m 处；第二次船头保持与河岸成53θ=︒角向上游航行时，小船恰好经过时间t 1能垂直河岸到达正对岸，已知sin53︒=0.8，cos53︒=0.6，求： (1)求船在静水中的速度大小v 2； (2)求第二次过河的时间t 1；(3)若上游大暴雨，导致水流速度增大到10m/s 时，求小船到达河对岸的最短位移x 及所用时间时间t 2。
4．一条宽度为L 的河，水流速度v 水恒定，(1)若船在静水中的速度为v 船，那么，保持发动机输出功率不变，怎样渡河时间最短？最短时间？ (2)若船在静水中速度v v >船水，怎样渡河位移最小？最小位移？(3)如图，某同学偶然发现在水流速度恒定的河流中，某渡河游艇的航迹好像是一条抛物线，又发现游艇船头指向对岸，该同学猜测该游艇可能在垂直河岸方向做匀加速运动，请你分析论证该同学的猜想。
参考答案1．【详解】(1)船头始终垂直河岸航行时，在垂直于河岸方向的速度最大，到达对岸时间最短，且最短时间1400s 80s 5d t v ===船 （2）由于船速大于水速度，船能到达正对岸时航程最短，此时设船与河岸夹角为θ，则3cos 5v v θ==水船 可得 θ=53°船头与上游河岸夹角为53°最短航程为河宽400m4m/s v ==合过河时间 2=100s dt v =合2．【详解】（1）由合运动与分运动具有等时性及分运动的独立性知，在船速一定的情况下，船头应垂直指向对岸开渡河时间最短.则：t =1dv =100 s （其中d 为河宽）.（2）由于河水的流速大于船速，故小船不可能垂直于河岸过河，如图，设船从A 点开始渡河，按题意作出速度矢量三角形，若要航程最短，只需船的合速度v ′方向与AB 间的夹角α最小，由于v 1′的大小恒定，所以当v ′与圆周相切，即v 1′⊥v ′时航程最短.由相似三角形关系知最短航程为'2'1X 800m v d v ==.3．【详解】(1)第二次到达正对岸，有 21cos v v α= 第一次航行时，有 10s v t = 解得 25m/s v =(2)第一次过河时，河宽为 20100m d v t == 第二次过河时间为 1225s sin dt v α==(3)由于船速小于水速，所以船无法到达正对岸，设船头与上游河岸的夹角为β ，则当211cos 2v v β==' 时，小船到达对岸的位移最小，所用的时间为12sin d t v β==最小位移为 200m sin dx β==4．（1）如图所示设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直与河岸方向的速度分量为2sin v v θ=船渡河所用时间为 2sin L Lt v v θ==船 由此可知L 、v 船一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=90°时，sin θ=1（最大），所以船头与河岸垂直时，渡河时间最小为 min =Lt v 船（2））如图所示，渡河的最小位移即河的宽度为使船能直达对岸，船头应指向河的上游，并与河岸成一定角度θ，根据三角函数关系有cos v v θ=水船因为0≤cos θ≤1，所以只有在v 船＞v 水时，船才有可能垂直河岸渡河，此时渡河最短位移为L ； （3）由题可知水流速度不变，而游艇的运动轨迹是曲线，故游艇的速度发生变化，根据运动轨迹可知，游艇的加速度沿y 轴正方向，与游艇的初速度方向相同，故游艇沿y 轴方向做匀加速直线运动。
详析牵连速度
浅析牵连速度玉山一中物理组黄小燕在运动合成与分解中,牵连速度的问题是经常遇到的.其典型的例题是:如图,一个人在岸上通过光滑的定滑轮拉一小船,当绳与竖直方向成θ角度时,人拉绳的速度是V0,求此时船的速度?我们现在知道应该将船的速度沿绳和垂直与绳的方向分解,其中沿绳方向的分速度和人拉绳的速度V0相同.从而得到船的速度V船=V0/sinθ.但是初学的同学很容易犯这样的错误:将船这端的绳的速度沿水平和竖直分解.得到V船=V0sinθ.错误的原因是把速度的方向和力方向混淆起来了，绳拉小船的力是沿绳斜向上的，绳的速度是沿绳斜向上的吗？绳的速度不是沿绳的，其中绑在船头的绳的末端速度应该和船的速度是一样是水平的。
还有一个很重要的问题：定滑轮两边的绳子的速度就一定相等吗？看下面2种情况：１．如图，一个人沿绳竖直向下拉绕过定滑轮的绳一端，左端下降，右端上升，这时，两边绳子都沿绳方向运动，且由于绳不可伸长，很容易得到，此时定滑轮的速度大小两边相等．２．如图，一个拉绕过定滑轮的绳的一端，让绳以定滑轮的顶端Ｏ点做圆周运动．即不改变绳的长度，但改变绳的方向（如与竖直方向的夹角）．此时很明显，左边绳速度方向不沿绳子，定滑轮两边绳速度大小不相等：左边动了，右边没运动．此时左边绳的速度对右边没有影响．这说明定滑轮两边的绳的速度大小是不一定相等的．绳子的速度也不一定沿绳方向的，那么什么时候定滑轮两边绳子速度相等呢？恰好是当绳的速度是沿绳方向的时候，两边绳的速度相等．我们再看第３种情况，一个人拉绕过定滑轮的一端以Ｖ0速度水平向外走．我们应该注意到此时左边绳的长度发生变化，方向也发生变化．此时绳的速度也不是沿绳的。
我们可以认为左边绳同是参与了１．２两种运动．但只有１运动（即只改变绳长度的分运动）对右边绳速度有影响．所以人由Ａ位置水平走到Ｂ位置的这个运动过程，可以分解为人沿绳拉绳，使绳升长，和做圆周运动到Ｂ点．其中沿绳方向的分运动，使得右边的绳运动，并且两者速度大小相等（绳不可升长）。
牵连速度——精选推荐
牵连速度牵连速度如图所示如图所示,,有一光滑的T 字形支架字形支架,,在它的竖直杆上套有一个质量为m 1的物体A ,用长为l 的不可伸长的细绳将A 悬挂在套于水平杆上的小环B 下,B 的质量m 2=m 1=m 开始时A 处于静止状态状态,,细绳处于竖直状态细绳处于竖直状态..今用水平恒力F =3mg 拉小环B ,使A 上升上升..求当拉至细绳与水平杆成3737°时°时°时,,A 的速度为多大的速度为多大? ?答案gl 58如图37所示，物块M 和m 用一不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，m 放在倾角q =300的固定的光滑斜面上，而穿过竖直杆PQ 的物块M 可沿杆无摩擦地下滑，M=3m ，开始时将M 抬高到A 点，使细绳水平，此时OA 段的绳长为L=4.0m ，现将M 由静止开始下滑，求当M 下滑到3．0m 至B 点时的速度？（g=10m/s 2）解:为使小球能绕O ’点做完整的圆周运动，则小球在最高点D 对绳的拉力F 1应该大于或等于零，即有：d L V m mg D -£2○1根据机械能守恒定律可得：[])(c o s 212d L d mg mVD --=q ○2因为小球在最低点C 对绳的拉力F 2应该小于或等于7mg ，即有：，即有：mg mg d L V m mg F c -£-=-722○3 根据机械能守恒定律可得：[])(cos 212d L d mg mV c -+=q ○4 由○1○2○3○4式解得：qq cos 22cos 233+££+L d L 。
如图2-7-14所示，质量为m 的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v 0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成3030°角处，在此过程中人所做的功为°角处，在此过程中人所做的功为°角处，在此过程中人所做的功为( ( )A.mv 02／2B.mv 02C.2mv 02／3D.3mv 02／8图37 如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连，由于B的质量较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升当A 上升至环与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v A ≠0，这时B 的速度为v B ，则（），则（）A.v A ＞v B ＞0 B.v A =v BC.v A ＜v B D.vB =0 如图所示如图所示,,小船用绳索拉向岸边小船用绳索拉向岸边,,设船在水中运动时所受水的阻力不变设船在水中运动时所受水的阻力不变,,那么小船在匀速靠岸过程中过程中,,下面说法哪些是正确的下面说法哪些是正确的 （（ ））A.A.绳子的拉力绳子的拉力F 不断增大不断增大B. B. B.绳子的拉力绳子的拉力F 不变不变C.C.船所受的浮力不断减小船所受的浮力不断减小船所受的浮力不断减小D. D. D.船所受的浮力不断增大船所受的浮力不断增大船所受的浮力不断增大答案答案 AC AC江苏省扬州中学2010届高三综合练习如图所示，一根长为L 的轻杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，轻杆靠在一个质量为M 、高为h 的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v 向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A 的线速度大小为（ A A ））A ．B B．．C ．D D．．hvL q 2sin h vL q2sin h vL q 2cos h vq cos。
牵连速度问题
例1：如图所示，纤绳以恒定速率v沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动，试求当绳与水平方向夹角为θ时，小船的瞬时速度．例2：如图所示，小环P、Q分别套在两根平行的竖直固定杆上，在B点连接一根绳，绳穿过小环P与Q相连．当小环P以速度v0匀速向下运动到图示位置时，小环Q的速度是多少？1．如图所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起．在此过程中，重物A的运动情况是()．(A)加速上升，且加速度不断增大(B)加速上升，且加速度不断减小(C)减速上升，且加速度不断减小(D)匀速上升(E)匀变速上升2．如图所示装置，当木块M沿竖直杆以速度v M匀速下滑时，通过跨过定滑轮的绳与M相连的木块m沿斜面上滑的速度v m是多大？3．如图所示，细绳的一端固定于C点，另一端跨过两滑轮．现以速率v沿水平方向匀速拉绳，使物体A沿水平面前进．当两滑轮间的绳与水平部分绳夹角为α时，物体A的瞬时速度是多大？4．在距离一河岸5km处有一每分钟在水平面内转动一转的灯塔，试求当光束与河岸成60°角时，光斑沿河岸边的滑动速度．5．如图所示，A、B两物体用跨过一定滑轮的绳相连并在水平面上运动，当α=30°，β=45°时，物体A的速度为3m/s，求此时B物体的速度．6．一人骑自行车东行，当其速度为4m/s时，感到风从正南吹来；当其速度为6m/s时，感到风从东南方吹来，求风速．7．如图所示，竖直棍棒立于倾角为α的斜面上．由于导向装置的作用使棒只能作上、下运动．现使斜面以速度v向左作匀速运动，试求棒的运动速度．8．如图所示，轻绳中间挂有一个质量为M的物体，绳的两端经过定滑轮也分别挂有质量为M的物体．当中间物体在图示位置以速度v下降时，两侧物体上升的速度各是多大？9．一正三角形ABC在纸平面内运动，某时刻A点的速度v1恰沿AB方向，C点的速度v2恰垂直于AB，如图所示，试确定此时v1与v2的大小之比．10．如图所示，两直杆交角为θ，各以垂直于杆的速度v1、v2平动，试求两杆交点M的速度大小及M点相对于两杆的速度．。
牵连运动问题中的速度分解
牵连运动问题中的速度分解牵连运动问题中的速度分解，有时往往成为解某些综合题的关键。
处理这类问题时，应从实际情况出发。
可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。
〖例１〗如图１－１所示，在水面上方高２０ｍ处，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以３ｍ／ｓ的速度将绳子收短，开始时绳与水面夹角３０°角，试求：⑴刚开始时小船的速度；⑵５秒末小船速度的大小。
解：⑴设船在Δｔ内由Ａ移到Ｂ，位移为ΔＳ２，如图１－２（ａ），取ＯＣ＝ＯＢ，则绳子缩短ΔＳ１，绳子端点横向摆动ΔＳ３，合位移ΔＳ２可以分解为ΔＳ１和ΔＳ３两个分位移．当Δｔ→０，ΔＳ２→０，∠ＡＣＢ→ ９０°，此时ΔＳ１＝ΔＳ２ｃｏｓ３０°，ΔＳ１／Δｔ＝ΔＳ２／Δｔ·ｃｏｓ３０°，即Ｖ１＝Ｖ２ｃｏｓ３０°。
则此题求解时，亦可直接由速度分解的方法进行。
船实际的速度Ｖ２是合速度，水平向左，认为绳不可伸长，分速度Ｖ１为沿绳方向的速度，即等于将绳子收短的速度３ｍ／ｓ，分速度Ｖ３为绕Ｏ点以ＯＡ为半径的绕滑轮向内偏的圆周运动的速度，垂直于绳的方向，画出速度分解的矢量图如图１－２（ｂ）所示，从而求出⑵开始时从定滑轮到船，绳子的长度ｌ＝ｈ／ｓｉｎ３０°＝２０／０．５＝４０（ｍ），５秒内绳子缩短了３×５＝１５（ｍ），５秒末绳长ｌ′变为４０－１５＝２５（ｍ），此时ｓｉｎα′＝２０／２５＝０．８，α′＝５３°。
∴Ｖ′＝Ｖ１／ｃｏｎ５３°＝３／０．６＝５（ｍ／ｓ）如何判断三角形解的个数“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题通常利用正弦定理来讨论。
本文给出用余弦定理的变形来讨论的一般方法。
在△ABC中，已知a、b和A，由余弦定理可变形得：这是一个关于c的一元二次方程。
牵连(关联)速度问题
牵连（关联）速度问题一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1. 如图，一半圆形碗的边缘上装有一定滑轮，滑轮两边通过一不可伸长的轻质细线挂着两个小物体，质量分别为m 1、m 2, m 1、m 2．现让m 1从靠近定滑轮处由静止开始沿碗内壁下滑．设碗固定不动，其内壁光滑、半径为R ．则m 1滑到碗最低点时的速度为 、 、A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】【详解】设m 1到达最低点时，m 2的速度为v 、m 1的速度沿绳子方向的分速度等于m 2的速度则到达最低点时m 1的速度v ′=cos 45v、根据系统机械能守恒有m 1gR -m 2=12m 2v 2+12m 1v ′2 联立两式解得v ′=故选D 。
2.如图，A、B 分别为固定的定滑轮，一根不可伸长的细绳跨过定滑轮，用一外力使细绳上端以v =3m/s 向右匀速运动，下端连接的小物块沿水平地面向左运动，当角度β=θ=530时,小物块的速度大小为（已知：sin53°、0.8、cos53°、0.6 、A. 3m/sB. 4m/sC. 5m/sD. 1.8m/s【答案】C 【解析】【详解】设小物块沿水平地面向左运动速度为1v ，根据运动的合成与分解可知1cos v v β=，解得小物块的速度大小为15/cos vv m s β==，故C 正确，A、B、D 错误； 故选C、3. 如图所示，作用于轻绳端点A 竖直向下的拉力F ，通过跨在光滑小滑轮的轻绳拉一处在较远处的物体B ，初始位置绳与水平方向的夹角很小，使物体沿水平面向右匀速滑动，直到接近滑轮下方，在此过程中（ ）A. 绳端A 的速度逐渐增大B. 绳端拉力F 逐渐增大C. 物体B 对地面的压力逐渐减小D. 绳端拉力F 的功率逐渐增大【答案】C 【解析】 【分析】【详解】A ．对B 的速度分解，设绳与水平夹角为α，则沿绳方向的速度为'cos v v α=由于角度增大，故该速度不断减小，即绳端A 的速度逐渐减小，A 错误； B ．由于B 匀速运动，故其在水平方向受力平衡，故有cos (sin )F mg F αμα=-解得gcos sin m F μαμα=+随角度α的增大，力F 先变小后变大，B 错误； C ．由于力F 的竖直向上的分力为1gsin 1tan m F F μαμα==+随α的增大力1F 逐渐增大，故物体对地面的压力减小，C 正确； D ．由于力F 先变小后变大，故其功率g cos 1tan m vP Fv μαμα==+由表达式可知随角度的增大，功率减小，D 错误。
牵连速度问题
3一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳PQ 提升井中质量为m的物体，开始时，车 在A点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直 的,左侧绳长为H.提升时，车向左加速运 动，沿水平方向从A经过B驶向C.设A到 B的距离也为H，车过B点时速度为vB。 求车由A移到B的过程中,绳Q端的拉力 对物体做的功是多少?
4如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接 着质量相同的物体A和B，A套在光滑水 平杆上， 定滑轮离水平杆的高度h=0．2 m，开始时让连着 A的细线与水平杆的夹角θ=37°，由静止释放B， 在运动过程中，A所获得的最大速度为多大?(设BБайду номын сангаас不会碰到水平杆，sin37°=0．6，sin 53°=0．8， 取g=10 m／s2)
1、一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一 质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉， 拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球， 如图所示．当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉 子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细 绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位 置C距悬点O的距离．
2、如图所示，物块M和m用一不可伸长的轻绳通过 定滑轮连接，m放在倾角 =300的固定的光滑斜面 上，而穿过竖直杆PQ的物块M可沿杆无摩擦地下滑， M=3m，开始时将M抬高到A点，使细绳水平，此时 OA段的绳长为L=4.0m，现将M由静止开始下滑，求 当M下滑到3m至B点时的速度？（g=10m/s2）
5如图，在竖直平面内有一半径为R 的半圆形圆柱截面，用轻质不可伸长 的细绳连接的A、B两球，悬挂在圆柱 面边缘两侧，A球质量为B球质量的2 倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放， 已知A始终不离开球面，且细绳足够长， 圆柱固定．若不计一切摩擦．求：A球 沿圆柱截面滑至最低点时速度的大小
牵连速度(两物体交点速度)的合成与分解
牵连速度（两物体交点速度）分解专题两个各种形状物体在运动过程中，其交点速度问题一直以来比较棘手推荐几个有梯度的题帮助理解：分析：交点的速度实际是滑AC 斜向上的，可以认为是，MN 棒上的P 点一方向沿自己本来的速度向左运动，同时再沿自身的杆向上运动，两个合运动即为交点的运动。
所以，交点的速度应该为：0v 1.39/cos30m s分析：先假设右边方框不动，求一下交点的速度V 1，再假设左边方框不动，求一下交点的速度V 2，二者一起动的话，就是两个速度的合速度。
先假设两个方框原来是重合的，而且右边方框静止不动，左侧方框向左匀速的速度为V ，交点实际速度是沿着图中1的方向运动，可以看作在沿自身的速度2的方向向左以速度V 运动，同时沿着自身杆的方向3运动到交点位置，所以速度V 1应该为22v 。
同理，如果左框不动的话，右框速度为2V ，可求出交点的V 2速度为222v 。
所以二者一起运动的话，是两个的合速度，即102v同理，再看我们最近刚作的这一道题目：分析：先假设右框不动，左框以速度V 向右运动，交点沿右框上移。
如图交点处速度的合成关系放大一些如下图右框不动情况下，交点逐渐升高的情况下，交点的实际速度是V 1，可以看作左框在沿着自身的速度V 向右运动，同时沿自身的圆弧切线方向2运动，由于1、2的对称性，设V 1与水平方向成θ角，由三形关系可得，12cos V v θ=12cos v V θ=，同理，左框不动可框动时，此速度也是也速度V 1大小相等、左右对称的速度。
二者一起运动的时候，合速度为1sin 2sin tan cos v V v θθθθ==，方向竖直向上，因为θ角是越来越小，所以交点越过最高点前，交点的合速度是向上，逐渐减小。
所以此题答案是向上，向减小后增大。
同理，如果两个圆框的速度不相等，同理可以计算。
并且此方向可以推广到其它题。
总结，交点的速度可看作：在沿自身的实际速度方向运动，同时沿自身杆的方向运动到交点位置此为个人拙见，大家共同讨论，看看是否还有不同的例子，可以更进一步完善。
专题一小船渡河问题绳拉物牵连速度问题
目录
• 问题背景与基本概念 • 小船渡河问题分析 • 绳拉物牵连速度问题分析 • 典型例题解析与思路拓展 • 实验设计与验证环节 • 知识拓展与应用领域探讨
01 问题背景与基本概念
小船渡河问题及其实际应用
小船渡河问题
描述了一个小船在静水中和流水 中的运动情况，涉及速度合成与 分解的基本原理。
度之比。
解析
根据题目条件，两小球 做匀速圆周运动，且绳 子与竖直方向的夹角不 同。结合牵连速度的概 念和几何关系，可求解 两小球的线速度之比。
解题思路拓展与技巧总结
小船渡河问题
理解合运动与分运动的关系，明确小船渡河的实 际运动轨迹。
熟练掌握运动的合成与分解方法，能够根据题目 条件选择合适的分解方式。
实际应用
该问题在现实生活中有广泛应用 ，如航空、航海、车辆行驶等领 域中涉及速度合成与分解的问题 。
绳拉物牵连速度问题描述
绳拉物问题
描述了一个通过绳子连接的物体在运 动过程中，由于绳子的牵连作用而产 生的速度变化问题。
牵连速度
指由于物体间的相互作用而产生的附 加速度，与物体本身的运动速度不同 。
相关物理概念及原理
第四季度
例题1
一端固定的绳子，另一 端连接一个小球，小球 在水平面上做匀速圆周 运动，求小球的线速度 和角速度。
解析
根据题目条件，小球做 匀速圆周运动，线速度 大小不变，方向时刻改 变；角速度大小和方向 均不变。结合线速度和 角速度的定义及关系式
，可求解相关问题。
例题2
两根绳子分别连接两个 小球，两小球在水平面 上做匀速圆周运动，且 绳子与竖直方向的夹角 不同，求两小球的线速
02 小船渡河问题分析
《工程力学》第十三章精选习题及解答提示
《工程力学》第十三章精选习题及解答提示思 考 题13.1什么是牵连速度？是否动参考系中任何一点的速度就是牵连速度？答：牵连速度指的是某一瞬时动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度。
因此动参考系中一般情况下只有牵连点的速度才是牵连速度。
特殊情况下：动参考系做平移运动时，任何一点的运动（速度，角速度）都与牵连点的运动相同。
13.2 某瞬时动点的绝对速度0=a v ，是否动点的相对速度0=r v 及牵连速度0=e v ？为什么？ 答：不一定。
当动点的相对速度与牵连速度大小相等方向相反时，动点的绝对速度为零，但相对速度与牵连速度有可能不为零。
习 题13.1 试在图示机构中，选取动点、动参考系，并指出动点的绝对运动、相对运动、牵连运动（即牵连点的运动）。
解：（a ）选择滑块上A 1点为动点，动参考系固结在导槽2上，定参考系为地面，则动点的绝对运动为绕O 点的圆周运动，相对运动为垂直方向的往返直线运动；牵连运动为水平方向的往返直线运动。
（b ）选择摇杆1上A 1点为动点，动参考系固结在摇杆2上，定参考系为地面，则动点的绝对运动为水平方向的直线运动，相对运动为沿曲柄方向的往返直线运动；牵连运动为绕O 点的摆动。
（c ）选择导杆1上A 1点为动点，动参考系固结在曲柄2上，定参考系为地面，则动点的绝对运动为垂直方向的直线运动，相对运动为沿曲柄方向的往返直线运动；牵连运动为绕O 1点的转动。
（d ）选择圆环2上A 2点为动点，动参考系固结在摇杆1上，定参考系为地面，则动点的绝对运动为沿大圆环圆周运动，相对运动为沿摇杆方向的往返直线运动；牵连运动为绕O 1点的摆动。
13.2 车厢以速度1v 沿水平直线轨道行驶，雨滴M 以速度2v 铅垂落下，试求从车厢中观察到的雨滴速度的大小和方向。
解：以雨滴为动点，动参考系固定在车厢上，则(牵连运动为水平平移，动点绝对运动为垂直方向直线运动，如图13.2所示)：2v v a =1v v e =从车厢中观察到的雨滴的速度为相对速度：222122v v v v v a e r +=+=2111tan tan v v v v a e --==α 方向图13.2所示13.3 三角块沿水平方向运动，其斜边与水平线成α角。
5.3渡河问题、牵连速度问题
时间发生的影响是（
A．路程增加、时间增加
C ）
B．路程增加、时间缩短
C．路程增加、时间不变
D．路程、时间均与水速无关
模型一：小船渡河问题
例3：小船在静水中的速度为v1=5m/s,水流的速
度为v2=3m/s, 河宽为d=100m. (1)使小船渡河路程最短,小船朝什么方向开行? 渡河时间是多少? 答：过河路程由实际运动轨迹 的方向决定，故最短路程为d。 条件：v水＜v船，且满足：
模型二：速度牵连问题 例4、如图所示，用一根轻绳拉住一置于水平地 面的物体，绳的另一端通过定滑轮被人拉住， 则当人用手匀速向左拉绳时，物体将做（ C ） A．匀速运动 B．减速运动 C．加速运动 D．不能确定 v 提示：
v
v物
v=v物cos
物体的实际运动就是合运动
逐渐增大，v船也逐渐增大
练习2：如右图所示汽车以速度v匀速行驶，当 汽车到达某点时，绳子与水平方向恰好成角， 此时物体M的速度大小是多少？
v 表示水速，船
v⊥
v实际
d
v水
v船表示船速，则过河时间仅由 v船的垂直于岸的分量v⊥决定， d 即 t ，与v水无关。
v
所以当v船垂直于岸时， 过河所用时间最短，最短时
d 间为 t v2
d
V船
V实际
，也与v水无关。
V水
练习1：游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，
当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、
D. A受绳的拉力逐渐增大
练习4 ：如图所示，A、B两物体系在跨过光滑
定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向
左运动时，系A,B的绳分别与水平方向成a、β
角，此时B物体的速度大小为 ，方
相对运动和牵连速度问题
边长为2a旳4根钢性棒，铰合成夹角能够 任意变化旳菱形ABCD，使C点固定不动， A端以恒定速度V沿AC方向运动，试求当 B旳角度为900时，B端旳运动速度。
问题16
运动，则两线框的交点 M 的运动速度大小
为（
）。
A、
6v 2
B、
10 v
2v
2v
C、
3 2v 2
D、
2v 2
一个半径为 R 的半圆柱体沿水平方向向右以 速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖 直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。 当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与竖 直方向的夹角为 θ，求竖直杆运动的速度。
AB 和 AB 上。一根不可伸长的绳子一端固
定在 A 上，穿过环 O，另一端系在环 O 上（如
图 ）。 若 环 O 以 恒 定 速 度 v1 向 下 运 动 ，
AOO ，求环 O 的速度？ A
A
问题10
O
O
v1
B
B
问题101、1 如图所示，A、B 两直杆交角为 θ，交 点为 M，若两杆各以垂直于自身的速度 v1、 v2 沿着纸面运动，则交点 M 的速度为多 大？
运动旳合成与分解
问题1
小船在静水中旳速度为v船 ，水流旳速度
为 v水 ，河宽为d。问
（1）船头指向何方时，渡河时间最短？
（2）船头指向何方时，渡河距离最短？
1、静止参照系和运动参照系： 静止参照系：以地面或地面上静止物体作为参照系 运动参照系：以相对于地面运动旳物体作为参照系 2、绝对运动、相对运动和牵连运动： 绝对运动：质点相对于静止参照系旳运动 相对运动：质点相对于运动参照系旳运动 牵连运动：运动参照系相对于静止参照系旳运动 3、三个运动之间旳关系：
牵连(关联)速度问题
牵连（关联）速度问题
【微移法】
处理牵连运动这类问题，可以从实际情况出发。设想物体 发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位 移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速 度分解的图示，进而求出牵连物体间的速度大小的关系。
【速度的分解法】
船的实际速度 是合速度，水平向左，认为绳不可伸长， 分速度 为沿绳方向的速度，即等于将绳子收短的速度 3m/s，分速度 为绕O点以OA为半径的绕滑轮向内偏的 圆周运动的速度，垂直于绳的方向，画出速度分解的矢 量图。
牵连（关联）速度问题
【沿绳的速度相等法】
中学物理对于绳子的形变一般都不计，因此，绳拉紧 时绳上各点的速度大小必定相等。
【功率法】
中学物理对于绳子的质量和形变一般都不计，因此， 绳子没有动能，重力势能、弹性势能、内能，即绳子 没有能量，不能和外界交换能量，只能传递能量，所 以绳子两端的瞬时功率必定相等。
牵连（关联）速度问题
【经典例题】
一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个 小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图1所示， 若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时， 小球A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）。
牵连（关联）速度问题
【解析】
选取物与棒接触点B为连结点。（不直接选A点，因为 A点与物块速度的v的关系不明显）。因为B点在物块上 ，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的 合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上 ，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度 v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分 解，由速度矢量分解图得：v2=vsinθ。 设此时OB长度为a，则a=h/sinθ。 令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsin2θ/h。 故A的线速度vA=ωL=vLsin2θ/h。
运动的合成与分解中的牵连速度问题
运动的合成与分解中的牵连速度问题（1）概念：三种速度（以船渡河为例）动点—运动的质点（船）；动系—运动的参考系（水）；静系—静止的参考系（河岸）。
.（2）三种速度①相对速度—动点对动系的速度（船对水的速度）；②牵连速度—动系对静系的速度（水对岸的速度）；③实际速度—动点对静系的速度（船对岸的速度）。
（3）速度矢量运算公式：水对岸船对水船对岸v v v += (遵循平行四边形定则) 例题［例1］河宽以d 表示，船的划行速度以v 1表示，水流的速度设为ｖ2，求（1）渡河的最短时间；（2）最小位移。
（1）最短时间：船头指向正对岸时，渡河所用时间为最短。
最短时间为：1v d t =； （2）最小位移 分为两种情况：①当v 1＞ｖ2时，且满足12cos v v =θ，渡河位移最小为d ； ②当v 1＜ｖ2时，最小位移为d v v d s ⋅==12cos θ。
［例2］一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.解：选取方块上与棒接触点B 为动点，棒为动系，轴O 为静系。
v 1——动点B 对动系的速度（B 点相对棒的速度）v 2—动系对静系的速度（棒对轴O 转动的线速度）v —动点对静系的速度（B 点对轴O 的速度）由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ.设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h . 练习1.如图所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°时物块的速度v.2.如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 、3如图所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.4.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图所示.若此时m 1的速度为v 1,则m 2的速度为多大？..5．如图所示，两定滑轮间距离为２ｄ，质量均为ｍ的小球Ａ和Ｂ通过绕过定滑轮的绳子带动质量也为ｍ小球Ｃ上升，在某一时刻连接Ｃ球的两绳夹角为２α，绳子张力为Ｔ，Ａ、Ｂ两球下落的速度为Ｖ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不能伸长。
例析牵连运动中的速度关系
例析牵连运动中的速度关系
牵连运动中的速度关系
牵连运动是指一个物体在固定点之间的运动，它的特点是物体的速度是恒定的，也就是说任何时候物体的速度都是固定的。
在牵连运动中，物体的速度是一个非常重要的参数，它能够影响物体的运动状态，以及物体在不同时间点之间的距离变化。
牵连运动中，可以分为速度时子定的牵连运动和速度不定的牵连运动。
在速度定的牵连运动中，物体的速度永远不会发生变化，它可以被视为一个匀速的直线运动；而在速度不定的牵连运动中，物体的速度会随着物体在不同时间点之间的位置变化而发生变化，这样的运动可以被视为一个变速的直线运动。
以上就是牵连运动中速度关系的相关内容。
可以看出，物体的速度是牵连运动中相当重要的参数，两种不同的牵连运动，物体的速度也是不太一样的。
另外，物体的速度可以影响物体在不同时间点之间的位置变化，以及物体在一定时间距离内的实际行进距离。
因此，运动中的速度对于保证物体的运动状态和最终行进距离有着不可磨灭的影响力。
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v
【例题3】光滑水平面上有A、B两个
物体，通过一根跨过定滑轮的轻绳 子相连，如图，它们的质量分别为 mA和mB，当水平力F拉着A且绳子 与水平面夹角为θA＝45O， θB＝ 30O时，A、B两物体的速度之比VA： VB应该是________
B
B A
A
重物M沿细杆竖直下滑，并通过绳带动小车 m沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直 方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小 车的速度为多少？
B
方法一：微元法
v物 t
θ
v车 t
cos
v物 v车
v物＝v车 cos
方法二：运动的合成与分解
绳拉物体或物体拉绳问题的主要思路： （1）物体的实际运动为合运动； （2）沿绳的运动为一个分运动； （3：运动的合成与分解
v绳
θ
v车
v绳 v物＝v绳＝v车 cos cos 变大，cos变小 v车 v物变小, 减速下降
２、为了垂直到达河对岸，在行驶到河中 间时，水流速度突然增大，过河时间如 何变化？ 答案：变长
运动的合成和分解的应用
2.绳拉物牵连速度问题
【例题1】如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度v
前进，则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起的物
体B的速度为vB= ，物体上升的运动是_____
(填“加速”、“减速”、“匀速”）
运动的合成与分解的应用
----小船渡河问题与绳拉物牵连速度问题
v船
v船 v船
v水
v水
v船 v船 v船
v船
θ θ
v水
v2 cos v
结论：当v船< v水时，最短航程不等于河宽d。
船头指向与上游河岸成θ：
• 如果： １、在船头始终垂直对岸的情况下，在行 驶到河中间时，水流速度突然增大，过 河时间如何变化？ 答案：不变
纤绳的速度是
速）
。（填：匀速、加速、减
v
θ v
• 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上 面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细 直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α 时，求两小球实际速度之比va∶vb
va vb
α
【例题2】如图所示，纤绳以恒定速率v沿水平方向 通过定滑轮牵引小船靠岸，绳与水面夹角为θ时，则
船靠岸的速度是 ，若使船匀速靠岸，则