等腰梯形的性质
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∴ ∠DEC=∠B
∴ ∠B=∠C
等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。
A
D
已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=DC。
BE
F
图6
求证：∠B=∠C 。
C 证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC ， 垂
足分别为E、F ∴AE∥DF，∠AEB= ∠DFC=900 ∵ AD∥BC
A
HD
如图7， 延长等腰梯形的两腰 相交于点E，
由∠B=∠C，AD∥BC，可知
△EBC和△EAD都是等腰三角形。
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图7 F
C 因此从点E作两底的垂线必平分两 底。根据等腰三角形是轴对称图形，
可得等腰梯形也是轴对称图形。过
这也是研究梯形常用的
两底中点的直线是它的对称轴。
辅助线作法，即延长梯
形的两腰交于一点，得
1、连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线。 试问：梯形的中位线与梯形的上、下底有何关系？
（即：EF与AB、CD有什么关系？） A
D
EF =
1（ 2
AB+CD）
E B
F C
结论：梯形的中位线长等于上底和下底之和的一半。
六.反思与小结
１.我们今天学习了哪几种特殊的梯形？主要研究了哪种 梯形？ （直角梯形和等腰梯形，主要研究了等腰梯形）
等腰梯形同一底上的两个底角相等
符号语言
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
A
D
B
C
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∠B=60°，AB⊥AC，那么∠ACD=____, ∠D=_______。
A
D
B
C
2、等腰梯形的对称性：
E
等腰梯形为什么是轴对称图形？
它的对称轴是什么？
（1）梯形平行的两边叫做梯形的底（通常把较短 的底叫上底，较长的底叫做下底）。
AE
D
H
G
B G F HC 图1
E
F
图2
（2）不平行的两边叫梯形的腰。 （3）两底的距离叫做梯形的高。
3、两种特殊的梯形：
A
DA
D
矩形
B
图3
CB
图4
C
（1）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形（如图3）。
（2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形（如图4）。
两组对边分别平行
平行四边形
四边形
只有一组对边平行 梯形
有一个角是直角 两腰相等
直角梯形 等腰梯形
在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD， 过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将 等腰梯形ABCD沿直线EF对折,你发现了什么？
AE
D
O
B
F
C
在等腰梯形中再画出梯 形的两条对角线，你认 为又出现了哪些相等的
B
E
图5
证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，
C 得到△DEC。
∵ AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形
研究梯形时，
常常需要添加适当 的辅助线，把梯形 转化成平行四边形 和三角形，此处是 移动一腰，即从梯 形的一个顶点作一 腰的平行线。
∴ AB=DE ∵ AB=DC
∴ DE=DC ∴ ∠DEC=∠C ∵ DE∥AB
到两个三角形（如果是
等腰梯形，则得到两个
分别以梯形两底为底的
等腰三角形）。
3、等腰梯形的性质2：等腰梯形的两条对角线相等。
A
D
已知：如图8，在梯形ABCD中， AD∥BC，AB=DC 。
O
求证：AC=BD
证明：在梯形ABCD中
B
图8
C
∵ AB=DC，
∴ ∠ABC=∠DCB（等腰梯形在同
一底上的两个内角相等）。
在△ABC和△DCB中
AB DC ABC DCB BC CB
∴ △ABC≌△DCB （SAS）
∴ AC=DB
（OB = OC OA = OD）
等腰梯形的两条对角线相等
符号语言 ∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC
∴AC=BD.
A
D
B
C
四边形ABCD是等腰梯形，延长两腰BA， CD后交于点E，问△ EBC和△ EAD的形状如何？
关系？
二、等腰梯形的性质
对称性
等腰梯形是轴对称图形。
对称轴——两底中点所在直线
边
等腰梯形两底平行，两腰相等。
角 对角线
等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。
1、等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等
已知：如图5，在梯形ABCD中，
A
D
AD∥BC，AB=DC。
求证：∠B=∠C 。
A
D
O
B
CE
1、梯形有关概念及其性质 2、等腰梯形的性质
边
角
等腰梯形
两底平行 两腰相等
同一底上的两 个内角相等 （对角互补， 同一腰上的两 个角也互补）
对角线
两条对角线 相等
对称性 轴对称图形
3、（等腰）梯形常用的辅助线添法
平移一腰
作高
延长两腰
连结对角线
平移对角线
4、转化思想
借助添加辅助线将梯形转化为三角形和平行四边形、矩形；将复杂问题转 化为简单问题；将未知转化为已知。
梯形的性质
上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?
两组对边分别平行
四边形 只有一组对边平行
平行四边形 梯形
一、梯形 1、梯形的定义：
一组对边平行而另一组对边不平 行的四边形叫做梯形。
梯形
平行四边形
底角 上底
认识梯
腰高
腰
形
下底 底角
一组对边平行,另一组对边 不平行的四边形,叫做梯形。
2、梯形的有关概念：
证明：∵ABCD是等腰梯形
E
∴ ∠ B= ∠ C
（等腰梯形同一条底边上的两个内角相等）
∴EB = EC
∴ △ EBC是等腰三角形
A
D
∵ AD∥ BC
∴ ∠ B= ∠EAD ∠ C = ∠EDA
又∵ ∠ B= ∠ C
B
C
∴∠EAD = ∠EDA
∴EA = ED
∴ △ EAD是等腰三角形
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线 AC=BC+AD，求∠ACB的度数。
E
一点，BE=BC，试说明∠A和∠E的关系。
A
B
如图：已知在等腰梯形ABCD中， AD ∥ BC， AB=DC =4，AD =3，BC =7，求∠ B的度数。
2.等腰梯形有哪些性质？.
１）等腰梯形的一组对边平行，两腰相等。 ２）等腰梯形同一底上的两个底角相等，对角线相等。
３）等腰梯形为轴对称图形，对称轴是连接两底中 心的直线。
3.今天我们在研究梯形问题时，用了哪些方法将梯形问 题转化为其他图形问题？ 常用方法有平移一腰、作两高线、延长两腰。
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，E是DC延长线上的 D C
这也是研究梯形
时常用的辅助线作法， 即从同一底的两端作 另一底的垂线段，它 可把梯形分成一个矩 形和两个直角三角形 （如果是等腰梯形， 所得到的两个直角三 角形全等）。
∴四边形AEFD是平行四边形 ∴AE=DF 在Rt△ABE和Rt△DCF中
AE DF
AB DC
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF
∴ ∠B=∠C
∴ ∠B=∠C
等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。
A
D
已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=DC。
BE
F
图6
求证：∠B=∠C 。
C 证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC ， 垂
足分别为E、F ∴AE∥DF，∠AEB= ∠DFC=900 ∵ AD∥BC
A
HD
如图7， 延长等腰梯形的两腰 相交于点E，
由∠B=∠C，AD∥BC，可知
△EBC和△EAD都是等腰三角形。
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图7 F
C 因此从点E作两底的垂线必平分两 底。根据等腰三角形是轴对称图形，
可得等腰梯形也是轴对称图形。过
这也是研究梯形常用的
两底中点的直线是它的对称轴。
辅助线作法，即延长梯
形的两腰交于一点，得
1、连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线。 试问：梯形的中位线与梯形的上、下底有何关系？
（即：EF与AB、CD有什么关系？） A
D
EF =
1（ 2
AB+CD）
E B
F C
结论：梯形的中位线长等于上底和下底之和的一半。
六.反思与小结
１.我们今天学习了哪几种特殊的梯形？主要研究了哪种 梯形？ （直角梯形和等腰梯形，主要研究了等腰梯形）
等腰梯形同一底上的两个底角相等
符号语言
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
A
D
B
C
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∠B=60°，AB⊥AC，那么∠ACD=____, ∠D=_______。
A
D
B
C
2、等腰梯形的对称性：
E
等腰梯形为什么是轴对称图形？
它的对称轴是什么？
（1）梯形平行的两边叫做梯形的底（通常把较短 的底叫上底，较长的底叫做下底）。
AE
D
H
G
B G F HC 图1
E
F
图2
（2）不平行的两边叫梯形的腰。 （3）两底的距离叫做梯形的高。
3、两种特殊的梯形：
A
DA
D
矩形
B
图3
CB
图4
C
（1）一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形（如图3）。
（2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形（如图4）。
两组对边分别平行
平行四边形
四边形
只有一组对边平行 梯形
有一个角是直角 两腰相等
直角梯形 等腰梯形
在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD， 过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将 等腰梯形ABCD沿直线EF对折,你发现了什么？
AE
D
O
B
F
C
在等腰梯形中再画出梯 形的两条对角线，你认 为又出现了哪些相等的
B
E
图5
证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，
C 得到△DEC。
∵ AD∥BC，DE∥AB
∴四边形ABED是平行四边形
研究梯形时，
常常需要添加适当 的辅助线，把梯形 转化成平行四边形 和三角形，此处是 移动一腰，即从梯 形的一个顶点作一 腰的平行线。
∴ AB=DE ∵ AB=DC
∴ DE=DC ∴ ∠DEC=∠C ∵ DE∥AB
到两个三角形（如果是
等腰梯形，则得到两个
分别以梯形两底为底的
等腰三角形）。
3、等腰梯形的性质2：等腰梯形的两条对角线相等。
A
D
已知：如图8，在梯形ABCD中， AD∥BC，AB=DC 。
O
求证：AC=BD
证明：在梯形ABCD中
B
图8
C
∵ AB=DC，
∴ ∠ABC=∠DCB（等腰梯形在同
一底上的两个内角相等）。
在△ABC和△DCB中
AB DC ABC DCB BC CB
∴ △ABC≌△DCB （SAS）
∴ AC=DB
（OB = OC OA = OD）
等腰梯形的两条对角线相等
符号语言 ∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC
∴AC=BD.
A
D
B
C
四边形ABCD是等腰梯形，延长两腰BA， CD后交于点E，问△ EBC和△ EAD的形状如何？
关系？
二、等腰梯形的性质
对称性
等腰梯形是轴对称图形。
对称轴——两底中点所在直线
边
等腰梯形两底平行，两腰相等。
角 对角线
等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。
1、等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等
已知：如图5，在梯形ABCD中，
A
D
AD∥BC，AB=DC。
求证：∠B=∠C 。
A
D
O
B
CE
1、梯形有关概念及其性质 2、等腰梯形的性质
边
角
等腰梯形
两底平行 两腰相等
同一底上的两 个内角相等 （对角互补， 同一腰上的两 个角也互补）
对角线
两条对角线 相等
对称性 轴对称图形
3、（等腰）梯形常用的辅助线添法
平移一腰
作高
延长两腰
连结对角线
平移对角线
4、转化思想
借助添加辅助线将梯形转化为三角形和平行四边形、矩形；将复杂问题转 化为简单问题；将未知转化为已知。
梯形的性质
上面的几幅图中有你熟悉的图形吗?
两组对边分别平行
四边形 只有一组对边平行
平行四边形 梯形
一、梯形 1、梯形的定义：
一组对边平行而另一组对边不平 行的四边形叫做梯形。
梯形
平行四边形
底角 上底
认识梯
腰高
腰
形
下底 底角
一组对边平行,另一组对边 不平行的四边形,叫做梯形。
2、梯形的有关概念：
证明：∵ABCD是等腰梯形
E
∴ ∠ B= ∠ C
（等腰梯形同一条底边上的两个内角相等）
∴EB = EC
∴ △ EBC是等腰三角形
A
D
∵ AD∥ BC
∴ ∠ B= ∠EAD ∠ C = ∠EDA
又∵ ∠ B= ∠ C
B
C
∴∠EAD = ∠EDA
∴EA = ED
∴ △ EAD是等腰三角形
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线 AC=BC+AD，求∠ACB的度数。
E
一点，BE=BC，试说明∠A和∠E的关系。
A
B
如图：已知在等腰梯形ABCD中， AD ∥ BC， AB=DC =4，AD =3，BC =7，求∠ B的度数。
2.等腰梯形有哪些性质？.
１）等腰梯形的一组对边平行，两腰相等。 ２）等腰梯形同一底上的两个底角相等，对角线相等。
３）等腰梯形为轴对称图形，对称轴是连接两底中 心的直线。
3.今天我们在研究梯形问题时，用了哪些方法将梯形问 题转化为其他图形问题？ 常用方法有平移一腰、作两高线、延长两腰。
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，E是DC延长线上的 D C
这也是研究梯形
时常用的辅助线作法， 即从同一底的两端作 另一底的垂线段，它 可把梯形分成一个矩 形和两个直角三角形 （如果是等腰梯形， 所得到的两个直角三 角形全等）。
∴四边形AEFD是平行四边形 ∴AE=DF 在Rt△ABE和Rt△DCF中
AE DF
AB DC
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF
∴ ∠B=∠C