大学高等数学 2-3反函数的导数 复合函数求导法

d dy dx = y ( x( y )) = dx dx dy
例3 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = cot x ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = dx du dx u sin x
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
3
1 7、 8、 7、 ； 8、 . 2 2 (1 + x ) 2 x (1 − x ) 2 1 − x (arccos x ) 三、
π
f ( x ) f ′( x ) + g ( x ) g ′( x ) f ( x) + g ( x)
2 2
.
dy = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ ( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ 2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .
x 2 a2 x 2 a − x + arcsin 的导数 . 例5 求函数 y = 2 2 a ( a > 0) 2 x a x 解 y ′ = ( a 2 − x 2 )′ + ( arcsin )′
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
(1)必可导 （ 2） 必不可导 ；（ 3） 不一定可导 ； 必可导（ 必不可导；（ 不一定可导；
练 习 题
一、填空题： 填空题： 1、设 y = ( 2 x + 5) 4 ,则 y ′ =___________. 2、设 y = sin 2 x ,则 y ′ =____________. 3、设 y = arctan( x 2 ) ,则 y ′ =____________. 4、设 y = ln cos x ,则 y ′ =____________. 5、设 y = 10 x tan 2 x ，则 y ′ =____________. 可导， 6、设 f ( x ) 可导，且 y = f ( x 2 ) ， dy 则 =___________. dx tan k x __________， ,则 f ′( x ) =__________， 7、设 f ( x ) = e π f ′ = e ，则 k = ___________. 若 4
y'
：函数 对自变量的导数 函数y对自变量的导数
1) : y = f ( x), y是x的直接函数
dy , y ' = y ' ( x) = = y x = f ' ( x) y ' = f ' dx 2) : y = f (ϕ ( x)), y是x的复合函数 dy , y ' = y ' ( x) = = y x = f ' (ϕ ( x))ϕ ' ( x) dx
(1)必可导 （ 2） 必不可导 ；（ 3） 不一定可导 ； 必可导（ 必不可导；（ 不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（ ） 正确地选择是（3） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
= f ' (u ) |u = 2 x +3
[ f (2 x + 3)]' = f ' (2 x + 3) ⋅ (2 x + 3)' = 2 f ' (2 x + 3)
d d df dt f (t ) = f (t ( x)) = dx dx dt dx
d y (x) dy
→
y= y( x) x= x( y )
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u
∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) 则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u ∆u → 0 ∆u ∆y ∆u ∆u ′( u0 ) ∴ lim = lim [ f +α ] ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u = f ′( u0 ) lim + lim α lim = f ′( u0 )ϕ′( x 0 ). ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
一、反函数的导数
定理 如果函数
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
f [ g ( x )] =| sin x | 在 x = 0 处不可导，(1) × 处不可导，
取 u = g ( x ) = x 4 在 x = 0处可导， 处可导，
( f [ g ( x )] =| x |= x 在 x = 0处可导， 2) × 处可导，
4 4
例4 求函数 y = ( x 2 + 1)10 的导数 . 解
例7 解
求函数 y = e
sin 1 x
sin
1 x
的导数 .
1 sin 1 1 1 ′ = e (sin )′ = e x ⋅ cos ⋅ ( )′ y x x x 1 1 sin x 1 =− 2e ⋅ cos . x x
三、小结
反函数的求导法则（注意成立条件） 反函数的求导法则（注意成立条件）; 复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链 注意函数的复合过程 合理分解正确使用链 导法） 导法）; 已能求导的函数:可分解成基本初等函数 或常 已能求导的函数 可分解成基本初等函数,或常 可分解成基本初等函数 数与基本初等函数的和、 数与基本初等函数的和、差、积、商.
练习题答案
2x 2、 3、 一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x −1 1 4、 ； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、 ； 2 2 x (1 + x ) 4− x
∆x → ∆y
= f ′(u )ϕ ′( x).
f (ϕ ( x ))
∆y ∆y ∆u ∆v ∆w dy du dv dw ∴ lim = lim = ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆u ∆v ∆w ∆x du dv dw dx
∆y ∆y 注意符号的意义： 注意符号的意义： lim , lim → y ' ∆x →0 ∆x ∆u →0 ∆u
且 (a y )′ = a y ln a ≠ 0,
∴ 在I x ∈ (0,+∞ )内有 ,
1 1 1 . = (log a x )′ = y = y x ln a (a )′ a ln a
1 特别地 (ln x )′ = . x
二、复合函数的求导法则
定理 如果函数u = ϕ( x)在点 x0可导, 而y = f (u)
y' ≠ f '
把 f 看作一个法则，与函数区分：
y = f ( x ), y = f (u )是同一个法则 (函数 ), 因为与自变量字母无关 ，这时 y = f。
但若u = ϕ ( x)，y = f (u ) = f (ϕ ( x))是两个法则 复合成的复合函数，这时 y ≠ f
f ' (2 x + 3)
例1 求函数 y = arcsin x 的导数 .
π π 解 Q x = sin y在 I y ∈ ( − , )内单调、可导 , 内单调、 2 2
且 (sin y )′ = cos y > 0,
∴ 在 I x ∈ (−1,1)内有 −
dy 1 1 (arcsin x)′ = y ' = = = dx dx (sin y )′ dy
在点u0 = ϕ( x0 )可导, 则复合函数 y = f [ϕ( x)]在点 x0可导, 且其导数为 dy ′ x= x0 = f ′(u ) ⋅ ϕ ( x0 ). 0 dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
1 1 1 = = . = 2 2 cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
例2
求函数 y = log a x 的导数 .
内单调、 解 Q x = a y在I y ∈ ( −∞ ,+∞ )内单调、可导 ,
二、求下列函数的导数： 求下列函数的导数： 1 sin 2 x 2、 1 、 y = arccos ； 2、 y = ； x x 3、 y = ln( x + a 2 + x 2 ) ；4、 y = ln(csc x − cot x ) ； x 6、 6、 y = e arctan x ； 5、 y = (arcsin ) 2 ； 2 1− x arcsin x 8、 7、 y = ； 8、 y = arcsin . 1+ x arccos x 可导， 三、设 f ( x ) ， g( x ) 可导，且 f 2 ( x ) + g 2 ( x ) ≠ 0 ,求函数 y = f 2 ( x ) + g 2 ( x ) 的导数 . 处可导， 四、设 f ( x ) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ， f ′( 0) ≠ 0 , 处可导， 又 F ( x ) 在 x = 0 处可导，证明 F [ f ( x )]在 x = 0 处 也可导 .
2 2 a
1 2 1 x2 a2 a − x2 − = + 2 2 2 2 a −x 2 a2 − x2
= a2 − x2 .
x2 + 1 例6 求函数 y = ln 3 ( x > 2) 的导数 . x−2
1 1 2 解 Q y = ln( x + 1) − ln( x − 2), 2 3 1 1 1 x 1 ∴ y′ = ⋅ 2 ⋅ 2x − = 2 − 2 x +1 3( x − 2) x + 1 3( x − 2)
推广 设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
∆x → ∆u → ∆y
f (u )
ϕ ( x)
∆y ∆y ∆u ∆y ∆u ∴ lim = lim = lim lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆u ∆x ∆u →0 ∆u ∆x →0 ∆x
证 任取 x ∈ I x , 给x以增量 ∆x ( ∆x ≠ 0, x + ∆x ∈ I x )
由y = f ( x )的单调性可知
于是有
∆y ≠ 0,
1 ∆y , = ∆x ∆x ∆y
Q f ( x )连续,
∴ ∆y → 0 ( ∆x → 0),
又知 ϕ ′( y ) ≠ 0
1 1 ∆y ∴ f ′( x ) = lim = = lim ∆x → 0 ∆ x ∆y → 0 ∆ x ϕ ′( y ) ∆y 1 . 即 f ′( x ) = ϕ ′( y )