运用动能定理求变力做功

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功的几种求法

功的几种求法高二物理组尚田鹤生活中牵涉到物体做功的问题很多，怎样求功是学生在学习机械能这一章中遇到的一个基本问题，也是比较复杂的一个问题，尤其牵涉到变力做功的情况。

下面把求某力做功基本方法总结如下：一．按照功的定义求功。

即由：W=Fscosθ求功。

在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。

恒力F做功大小只与F、S、θ这三个量有关，与物体是否还受其它力，物体的运动状态、运动形式等因素无关。

这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。

例1．如图所示，力F大小相等，A B C D 物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最小（）解析．力F做功多少与接触面粗糙度无关，W=Fs cos α，D中cosα最小，∴F做功最小。

故选D二．求变力功的方法1．用动能定理求变力做功，用动能定理W=ΔE k求功。

当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。

这种方法的依据是：物体所受合外力的功等于物体动能的变化，如果知道某一过程中动能变化的数值，那么也就知道了该过程中对应的合外力功的数值，进一步可求某个力的功。

例2如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。

用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置。

在此过程中，拉力F 做的功各是多少？A.θcos FLB.θsin FLC.()θcos 1-FLD.()θcos 1-mgL解析：若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，整个过程中动能可认为不变，可以用动能定理求解。

F 做的功和重力做功的功相等。

选D例3．如图4所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。

求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。

解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功W G=mgR，水平面上摩擦力做功W f1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。

第四章专题强化11 利用动能定理分析变力做功和多过程问题

利用动能定理分析变力做功和多过程问题[学习目标] 1.进一步理解动能定理，领会应用动能定理解题的优越性.2.会利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题．一、利用动能定理求变力做功1．动能定理不仅适用于求恒力做的功，也适用于求变力做的功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便．2．当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W 变＋ W 其他＝ΔE k .例1 (2022·上海交大附中高一期中)如图所示，质量为1.0 kg 的重物P 放在一长木板OA 上，物体距O 点距离为0.2 m ，将长木板绕O 端缓慢转过30°的过程中，重物P 相对于木板始终保持静止，g 取10 m/s 2，则在这一过程中摩擦力对重物做功为______ J ；支持力对重物做功为______ J.答案 0 1解析重物受到重力、支持力和摩擦力的作用，处于平衡状态，在缓慢上升的过程中，位移方向向左上，重力对重物做功为W G ＝－mgL sin θ＝－1 J ，重物在上升的过程中，重物相对于木板并没有滑动，所以重物受到的摩擦力对重物做的功为零，由于重力对重物做了负功，摩擦力对重物不做功，在这一过程中根据动能定理可知W G ＋W N ＝0，解得W N ＝1 J.针对训练1 质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一水平轻弹簧O 端相距s ，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧接触后，弹簧的最大压缩量为x ，重力加速度为g ，则从开始接触到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内)，物体克服弹簧弹力所做的功为( )A.12m v 02－μmg (s ＋x ) B.12m v 02－μmgxC ．μmgsD ．μmg (s ＋x )答案 A解析设物体克服弹簧弹力所做的功为W ，从开始接触到弹簧被压缩至最短，由动能定理得－W －μmg (s ＋x )＝0－12m v 02，W ＝12m v 02－μmg (s ＋x )，A 正确，B 、C 、D 错误．二、利用动能定理分析多过程问题1．一个物体的运动过程如果包含多个运动阶段，即可以将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况、初末动能进行分析，然后应用动能定理列式联立求解．也可以全过程应用动能定理，这样不涉及中间量，解决问题会更简单方便．2．选择全过程应用动能定理时，要注意有些力不是全过程都做功的，必须根据不同的情况区别对待，弄清楚物体所受的力在哪段位移上做功，做正功还是负功，正确写出总功．例2 (2021·重庆市黔江新华中学高一月考)如图所示装置由AB 、BC 、CD 三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB 、CD 段是光滑的，水平轨道BC 的长度s ＝5 m ，轨道CD 足够长，A 、D 两点离轨道BC 的高度分别为h 1＝4.30 m 、h 2＝1.35 m ．现让质量为m 的小滑块自A 点由静止释放．已知小滑块与轨道BC 间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g 取10 m/s 2.求小滑块第一次到达C 点和D 点时的速度大小．答案 6 m/s 3 m/s解析小物块从A →B →C 过程中，由动能定理得mgh 1－μmgs ＝12m v C 2，代入数据解得v C ＝6m/s.小物块从A →B →C →D 过程中，由动能定理得 mg (h 1－h 2)－μmgs ＝12m v D 2，代入数据解得v D ＝3 m/s.1．本题也可采用分段分析，分段利用动能定理进行列式求解，但全程利用动能定理要更方便． 2．在分段分析时，有些过程可以用牛顿运动定律，也可利用动能定理，动能定理比牛顿运动定律解题更简单方便，所以我们可优先采用动能定理解决问题．针对训练2 如图所示，右端连有一个固定光滑弧形槽的水平桌面AB 长L ＝1.5 m ，一个质量为m ＝0.5 kg 的木块在F ＝1.5 N 的水平拉力作用下，从桌面上的A 端由静止开始向右运动，木块到达B 端时撤去拉力F ，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g ＝10 m/s 2.求：(1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)； (2)木块沿弧形槽滑回B 端后，在水平桌面上滑行的最大距离．答案 (1)0.15 m (2)0.75 m解析 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h ，木块在最高点时的速度为零．从木块开始运动到沿弧形槽上升到最大高度处，由动能定理得： FL －fL －mgh ＝0其中f ＝μN ＝μmg ＝0.2×0.5×10 N ＝1.0 N 所以h ＝FL －fL mg ＝(1.5－1.0)×1.50.5×10m ＝0.15 m(2)设木块离开B 点后，在水平桌面上滑行的最大距离为x ，由动能定理得：mgh －fx ＝0 所以x ＝mgh f ＝0.5×10×0.151.0m ＝0.75 m.1.有一质量为m 的木块，从半径为r 的圆弧曲面上的a 点滑向b 点，如图所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )A ．木块所受的合外力为零B ．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零C ．重力和摩擦力的合力做的功为零D ．重力和摩擦力的合力为零答案 C解析木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A 错；速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，而支持力方向始终与运动方向垂直，支持力不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C 对，B 、D 错．2.一个质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点缓慢地移动到Q 点，OQ 与OP 的夹角为θ，如图所示，重力加速度为g ，则拉力F 所做的功为( )A ．mgl cos θB ．mgl (1－cos θ)C ．Fl cos θD ．Fl sin θ答案 B解析小球缓慢移动，始终处于平衡状态，由平衡条件可知，F ＝mg tan θ，θ为轻绳与OP 的夹角，随着θ的增大，F 也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功．由于小球缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl (1－cos θ)＋W F ＝0，所以W F ＝ mgl (1－cos θ)，B 正确，A 、C 、D 错误．3.如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在水平地面上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，重力加速度为g ，则从A 到C 的过程中弹簧弹力做的功是( )A ．mgh －12m v 2B.12m v 2－mgh C ．－mgh D ．－(mgh ＋12m v 2)答案 A解析小球由A 到C 的过程运用动能定理可得－mgh ＋W ＝0－12m v 2，所以W ＝mgh －12m v 2，故A 正确．4.如图所示，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的小球自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .小球自P 点滑到Q 点的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR 答案 C解析在最低点，根据牛顿第三定律可知，轨道对小球的支持力F ＝2mg ，根据牛顿第二定律可得F －mg ＝m v 2R ，从P 点到最低点Q 的过程，由动能定理可得mgR －W 克f ＝12m v 2，联立可得克服摩擦力做的功W 克f ＝12mgR ，选项C 正确．5．(多选)一质量为m 的物块静止放在一凹凸不平的轨道底端，在一水平向右的恒力F 作用下由图中的位置运动到轨道的一定高度处，物块此时的速度大小为v .经测量可知初、末位置的高度差为h 、水平间距为x ，重力加速度为g ，物块所受的摩擦力不能忽略．则( )A ．物块的重力做功为－mghB ．物块所受的合外力做功为12m v 2C ．物块所受的恒力做功为Fx －mghD ．物块克服摩擦力所做的功为12m v 2＋mgh －Fx答案 AB解析由题图分析可知摩擦力为变力，设克服摩擦力做的功为W克f ，由动能定理可得Fx －mgh －W 克f ＝12m v 2－0，得W 克f ＝Fx －mgh －12m v 2，故D 错误；恒力对物块做的功为Fx ，C错误；由动能定理可知，合外力对物块所做的功等于物块动能的增加量，为12m v 2，B 正确；重力做负功，所做的功为－mgh ，A 正确．6．(2021·太原五中月考)如图所示，将质量为m 的小球以初速度大小v 0由地面竖直向上抛出．小球落回地面时，其速度大小为34v 0.设小球在运动过程中所受空气阻力的大小不变，重力加速度为g ，则空气阻力的大小等于( )A.34mgB.316mgC.716mgD.725mg 答案 D解析小球向上运动的过程，由动能定理得－(mg ＋f )H ＝0－12m v 02，小球向下运动的过程，由动能定理得(mg －f )H ＝12m (34v 0)2，联立解得f ＝725mg ，选项D 正确．7.如图所示为一水平的转台，半径为R ，一质量为m 的滑块放在转台的边缘，已知滑块与转台间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .若转台的转速由零逐渐增大，当滑块在转台上刚好发生相对滑动时，转台对滑块所做的功为( )A.12μmgR B ．2πmgR C ．2μmgR D ．0答案 A解析滑块即将开始发生相对滑动时，最大静摩擦力(等于滑动摩擦力)提供向心力，有μmg ＝m v 2R ，根据动能定理有W f ＝12m v 2，解得W f ＝12μmgR ，A 正确．8．(多选)质量为m 的汽车，发动机的功率恒为P ，阻力恒为F 1，牵引力为F ，汽车由静止开始沿直线运动，经过时间t 行驶了位移x 时，速度达到最大值v m ，则发动机所做的功为( ) A ．Pt B ．F 1x C.12m v m 2 D.mP 22F 12＋Px v m答案 AD解析发动机的功率恒为P ，经过时间t ，发动机做的功为W ＝Pt ，A 正确；当达到最大速度时，有P ＝F 1v m ，得v m ＝P F 1，整个过程中由动能定理有W －F 1x ＝12m v m 2－0，则W ＝12m v m 2＋F 1x ＝mP 22F 12＋Pxv m，B 、C 错误，D 正确．9.如图所示，一质量为2 kg 的铅球(可视为质点)从离地面2 m 高处自由下落，陷入沙坑2 cm 深处，求沙子对铅球的平均阻力大小．(g ＝10 m/s 2)答案 2 020 N 解析方法一：分段法自由下落至地面过程中由动能定理有 mgH ＝12m v 2陷入沙坑至静止过程由动能定理有 mgh －f ·h ＝0－12m v 2联立解得f ＝2 020 N 方法二：全程法整个过程中由动能定理有mg (H ＋h )－f ·h ＝0 解得f ＝2 020 N.10．一列车的质量是5.0×105 kg ，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW 加速行驶，当速率由10 m/s 加速到所能达到的最大速率30 m/s 时，共用了2 min ，设列车所受阻力恒定，g 取10 m/s 2，则：(1)列车所受的阻力为多大；(2)这段时间内列车前进的距离是多少．答案 (1)1.0×105 N (2)1 600 m解析 (1)列车以额定功率加速行驶时，加速度逐渐减小，当加速度减小到零时，牵引力与阻力大小相等，F ＝f ，速度最大，此时有P ＝F v m 所以列车受到的阻力f ＝Pv m＝1.0×105 N(2)这段时间牵引力做功W F ＝Pt ，设列车前进的距离为s ，则列车的速率由10 m/s 加速到30 m/s 过程中，由动能定理得Pt －fs ＝12m v m 2－12m v 02代入数值解得s ＝1 600 m.11.如图所示，在海滨游乐场里有一种滑沙游戏，人坐在滑板上从倾角为θ的斜坡上由静止开始下滑，经过斜坡底端沿水平滑道再滑行一段距离停下．已知滑板与斜坡和水平滑道间的动摩擦因数均为μ＝0.3，斜坡和水平滑道平滑连接．若某人和滑板的总质量m＝60 kg，滑行过程中空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)把人和滑板看作整体，画出该整体从斜坡上下滑过程中的受力示意图．(2)若已知θ＝37°，人和滑板从斜坡滑下时加速度的大小．(3)若已知θ＝37°，水平滑道BC的最大长度为L1＝20 m，人和滑板在斜坡上滑下的高度应不超过多少？(4)若斜坡倾角θ大小可调节且大小未知，水平滑道BC的长度未知，但是场地的水平空间距离DC的最大长度为L2＝30 m，人和滑板在斜坡上从D的正上方A处由静止下滑，那么A 到D的高度不超过多少？答案(1)见解析图(2)3.6 m/s2(3)10 m(4)9 m解析(1)受力分析示意图如图所示．(2)根据牛顿第二定律得，mg sin 37°－f＝ma又N＝mg cos 37°f＝μN联立以上三式，代入数据解得a＝3.6 m/s2.(3)设人和滑板从距水平滑道高H处下滑，从人和滑板在斜坡上开始运动到人和滑板停止运动的过程中，根据动能定理得mgH－μmg cos 37°·Hsin 37°－μmgL1＝0－0代入数据解得H＝10 m.(4)设A到D的高度为h，人和滑板在斜坡上A处开始运动到人和滑板停止运动的过程中，根据动能定理得mgh －μmg cos θ·h sin θ－μmg (L 2－htan θ)＝0－0代入数据解得h ＝9 m.12.(2021·广州市高一期末)如图，一篮球质量m ＝0.60 kg ，运动员使其从距离地面高度h 1＝ 1.8 m 处由静止自由落下，反弹高度h 2＝1.2 m ．若使篮球从距离地面高度h 3＝1.5 m 的高度静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹高度也为1.5 m ．设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间t ＝0.20 s ；该篮球每次与地面碰撞前后的动能比值k 恒定，重力加速度大小g ＝10 m/s 2，不计空气阻力．求：(1)比值k 的大小；(2)运动员拍球过程中对篮球所做的功； (3)运动员拍球时对篮球作用力的大小．答案 (1)32(2)4.5 J (3)9 N解析 (1)该篮球自由落下至第一次与地面碰撞前过程中有E k1＝12m v 12＝mgh 1该篮球第一次碰撞后反弹至高度h 2过程中有 E k2＝12m v 22＝mgh 2可得k ＝E k1E k2＝h 1h 2＝1.81.2＝32.(2)第二次从1.5 m 的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程中有E k4＝mgh 4，第二次从1.5 m 的高度静止下落，同时向下拍球，篮球下落过程中，由动能定理可得W ＋mgh 3＝E k3，因篮球每次和地面碰撞前后的动能比值不变，则有E k2E k1＝E k4E k3，代入数据可得W ＝4.5 J.(3)由于作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此由牛顿第二定律可得F ＋mg ＝ma在拍球时间内运动的位移为x ＝12at 2做的功为W ＝Fx联立可得F＝9 N(F＝－15 N舍去)．。

动能定理求变力做功问题

C.mgR
√D.(1－μ)mgR
7.(2022·上海市复旦中学高一期中)质量为2 kg的物体以50 J的初动能在粗糙的水平面上滑行，其动能的变化与位移的关系如图所示，则该物体在水平面上滑行的时间为
A.5 s
B.4 s
C.2 s
√D.2 2 s
能力综合练
8.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，
过程中摩擦力大小Ff恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示. 重力加速度大小取10 m/s2，物块质
量m和所受摩擦力大小Ff分别为
√A.m＝0.7 kg，Ff＝0.5 N
B.m＝0.7 kg，Ff＝1.0 N C.m＝0.8 kg，Ff＝0.5 N D.m＝0.8 kg，Ff＝1.0 N
(2)物体的最大滑行距离；由动能定理得WF－μmgxmax＝0，代入数据得xmax＝10 m
(3)物体在运动过程中的最大速度.
由题图图像可知，推力为 F＝F0＋kx＝100 N＋0－4100x＝100 N－25x，物体受到的滑动摩擦力 Ff＝μmg＝0.5×4×10 N＝20 N，
当物体所受合力为零时，物体的速度最大，即F＝Ff时，结合图线可知100 N－25x＝20 N，解得x＝3.2 m， F－x图线与坐标轴围成图形的面积等于推力对物体做功，设物体的最大速度为vm，
12.(2021·江苏省外国语学校高一期中)如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5(g取10 m/s2).求： (1)水平推力F在前4 m内做的功；
解：由F－x图像可知推力对物体做的总功等于F－x图像与坐标轴围成的面积，则水平推力 F 在前 4 m 内做的功为 WF＝12×4×100 J＝200 J

第05讲功功率动能定理(解析版)

2020年高考物理二轮精准备考复习讲义第二部分功能与动量第5讲功功率动能定理目录一、理清单，记住干 (2)二、研高考，探考情 (2)三、考情揭秘 (4)四、定考点，定题型 (5)超重点突破1功和功率的分析与计算 (5)命题角度1功的分析与计算 (5)命题角度2功率的分析及应用 (6)命题角度3 变力做功 (7)超重点突破2机车启动中的功率问题 (8)超重点突破3动能定理的基本应用 (10)命题角度1动能定理在直线运动中的应用 (10)命题角度2动能定理在曲线运动中的应用 (12)命题角度3 动能定理在图象问题中的应用 (13)五、固成果，提能力 (14)一、理清单，记住干1．功(1)恒力做功：W ＝Fl cos α(α为F 与l 之间的夹角)．(2)变力做功：①用动能定理求解；②用F -x 图线与x 轴所围“面积”求解． 2．功率(1)平均功率：P ＝Wt ＝F v cos α(α为F 与v 的夹角)．(2)瞬时功率：P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角)．(3)机车启动两类模型中的关键方程：P ＝F ·v ，F －F 阻＝ma ，v m ＝PF 阻，Pt －F 阻x ＝ΔE k . 3．动能定理：W 合＝12mv 2－12mv 20.4．应用动能定理的两点注意(1)应用动能定理的关键是写出各力做功的代数和，不要漏掉某个力做的功，同时要注意各力做功的正、负． (2)动能定理是标量式，不能在某一方向上应用．二、研高考，探考情【2019·高考全国卷Ⅲ，T17】从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用．距地面高度h 在3 m 以内时，物体上升、下落过程中动能E k 随h 的变化如图所示．重力加速度取10 m/s 2.该物体的质量为( )A ．2 kgB ．1.5 kgC ．1 kgD ．0.5 kg 【答案】：C【解析】：画出运动示意图，设阻力为f ，据动能定理知A →B (上升过程)：E k B －E k A ＝－(mg ＋f )hC →D (下落过程)：E k D －E k C ＝(mg －f )h整理以上两式得mgh ＝30 J ，解得物体的质量m ＝1 kg ，选项C 正确．【2019·高考江苏卷】如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态．小物块的质量为m ，从A 点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A 点恰好静止．物块向左运动的最大距离为s ，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，弹簧未超出弹性限度．在上述过程中( )A ．弹簧的最大弹力为μmgB ．物块克服摩擦力做的功为2μmgsC ．弹簧的最大弹性势能为μmgsD ．物块在A 点的初速度为2μgs 【答案】：BC【解析】：小物块处于最左端时，弹簧的压缩量最大，然后小物块先向右做加速运动再做减速运动，可知弹簧的最大弹力大于滑动摩擦力μmg ，选项A 错误；物块从开始运动至最后回到A 点过程，由功的定义可得物块克服摩擦力做功为2μmgs ，选项B 正确；自物块从最左侧运动至A 点过程由能量守恒定律可知E p ＝μmgs ，选项C 正确；设物块在A 点的初速度为v 0，整个过程应用动能定理有－2μmgs ＝0－12mv 20，解得v 0＝2μgs ，选项D 错误．【2018·高考全国卷Ⅲ，T19】地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面．某竖井中矿车提升的速度大小v 随时间t 的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等．不考虑摩擦阻力和空气阻力．对于第①次和第②次提升过程( )A ．矿车上升所用的时间之比为4∶5B ．电机的最大牵引力之比为2∶1C ．电机输出的最大功率之比为2∶1D ．电机所做的功之比为4∶5 【答案】：AC【解析】：由图线①知，矿车上升总高度h ＝v 02·2t 0＝v 0t 0由图线②知，加速阶段和减速阶段上升高度和 h 1＝v 022·(t 02＋t 02)＝14v 0t 0匀速阶段：h －h 1＝12v 0·t ′，解得t ′＝32t 0故第②次提升过程所用时间为t 02＋32t 0＋t 02＝52t 0，两次上升所用时间之比为2t 0∶52t 0＝4∶5，A 对；对矿车受力分析，当矿车向上做加速直线运动时，电机的牵引力最大，由于加速阶段加速度相同，故加速时牵引力相同，B 错；在加速上升阶段，由牛顿第二定律知， F －mg ＝ma ，F ＝m (g ＋a ) 第①次在t 0时刻，功率P 1＝F ·v 0，第②次在t 02时刻，功率P 2＝F ·v 02，第②次在匀速阶段P 2′＝F ′·v 02＝mg ·v 02＜P 2，可知，电机输出的最大功率之比P 1∶P 2＝2∶1，C 对；由动能定理知，两个过程动能变化量相同，克服重力做功相同，故两次电机做功也相同，D 错．三、考情揭秘近几年高考命题点主要集中在正、负功的判断，功率的分析与计算，机车启动模型，题目具有一定的综合性，难度适中．高考单独命题以选择题为主，综合命题以计算题为主，常将动能定理与机械能守恒定律、能量守恒定律相结合．应考策略：备考中要理解功和功率的定义，掌握正、负功的判断方法，机车启动两类模型的分析，动能定理及动能定理在变力做功中的灵活应用．动能定理仍是2020年高考的考查重点，要重点关注本讲知识与实际问题、图象问题相结合的情景题目．四、定考点，定题型超重点突破 1 功和功率的分析与计算1．功和功率的计算 (1)功的计算①恒力做功一般用功的公式或动能定理求解。

巧用动能定理求变力的功

第28点巧用动能定理求变力的功利用动能定理求变力的功通常有以下两种情况：1．如果物体只受到一个变力的作用，那么W＝E k2－E k1.只要求出做功过程中物体的动能变化量ΔE k，也就等于知道了这个过程中变力所做的功．2．如果物体同时受到几个力作用，但是其中只有一个力F1是变力，其他的力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出这几个恒力所做的功，然后再运用动能定理来间接求变力做的功：W1＋W其他＝ΔE k.对点例题如图1所示，质量m＝60 kg的高山滑雪运动员，从A点由静止开始沿滑道滑下，然后由B点水平飞出，最后落在斜坡上的C点．已知BC连线与水平方向夹角θ＝37°，A、B两点间的高度差为h AB＝25 m，B、C两点间的距离为L＝75 m，(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：图1(1)运动员从B点飞出时的速度v B的大小．(2)运动员从A滑到B的过程中克服摩擦力所做的功．解题指导运动员从A点滑下后，由B点水平飞出做平抛运动，先根据平抛运动的规律求出运动员飞离B点时的速度v B，然后对AB段运用动能定理求克服摩擦力所做的功．(1)设由B到C平抛运动的时间为t竖直方向：h BC＝L sin 37°＝12gt2水平方向：L cos 37°＝v B t代入数据，解得v B＝20 m/s.(2)A到B过程由动能定理有mgh AB＋W f＝12m v2B代入数据，解得W f＝－3 000 J，运动员克服摩擦力所做的功为3 000 J 答案(1)20 m/s(2)3 000 J在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( )A ．mgh －12m v 2－12m v 20B ．－12m v 2－12m v 20－mgh C ．mgh ＋12m v 20－12m v 2 D ．mgh ＋12m v 2－12m v 20答案 C解析选取物体从刚抛出到正好落地，由动能定理可得：mgh －W f 克＝12m v 2－12m v 20. 解得：W f 克＝mgh ＋12m v 20－12m v 2.。

如何求变力做功

F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。

既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。

对于具体问题要具体分析。

为此笔者在教学中总结了以下几种方法。

一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。

例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线一致，则转动圆盘一周该力做多少功。

分析与解在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。

这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。

因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。

即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。

再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。

则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。

也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。

二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。

例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。

变力做功的六种常见计算方法

变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。

下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。

方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。

例题1：如图所示。

质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。

解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。

此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。

理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。

例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。

假设机车受到的阻力为恒力。

求机车在运动中受到的阻力大小。

解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。

所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。

在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。

由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。

方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。

例题3：如图所示。

轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。

动能定理典型例题

动能定理典型例题【例题】1、一架喷气式飞机，质量m=5.0×103kg,起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=5.3×102m，达到起飞速度v=60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02）。

求飞机受到的牵引力。

2、在动摩擦因数为μ的粗糙水平面上，有一个物体的质量为m，初速度为V1，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移S，如图所示，试求物体的末速度V2。

拓展：若施加的力F变成斜向右下方且与水平方向成θ角，求物体的末速度V2V滑上动摩擦因数为μ的粗糙水平面上，最后3、一个质量为m的物体以初速度静止在水平面上，求物体在水平面上滑动的位移。

4、一质量为m的物体从距地面高h的光滑斜面上滑下，试求物体滑到斜面底端的速度。

拓展1：若斜面变为光滑曲面，其它条件不变，则物体滑到斜面底端的速度是多少？拓展2：若曲面是粗糙的，物体到达底端时的速度恰好为零，求这一过程中摩擦力做的功。

类型题题型一：应用动能定理求解变力做功1、一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置缓慢地移Q点如图所示，则此过程中力F所做的功为（）A．mgLcos0 B．FLsinθC．FLθ∙D．(1cos).-mgLθ2、如图所示，质量为m的物体静放在光滑的平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面上以速度V向右匀速运动的人拉着，设人从地面上由平台的边缘向右行至绳与水平方向成30角处，在此过程中人所做的功为多少？3、一个质量为m的小球拴在钢绳的一端，另一端用大小为F1的拉力作用，在水平面上做半径为R1的匀速圆周运动（如图所示），今将力的大小改为F2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R2，小球运动的半径由R1变为R过程中拉力对小球做的功多大？4、如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C 点刚好停止。

关于变力做功的详细说明

变力做功的探讨功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又经常涉及到此类问题，而高考中又经常涉及到此类问题，而高考中又经常涉及到此类问题，但由于高中阶段所学的功的计但由于高中阶段所学的功的计算公式a cos Fs W =只能用于恒力做功情况,对于变力做功或物体运动轨迹是曲线时，不能用a cos Fs W =来计算功的大小。

常见的方法有以下几种：微元法、平均力法、图象法、等值法和能量转化的办法。

一：微元法一些变力一些变力((指大小不变指大小不变,,方向改变方向改变,,如滑动摩擦阻力如滑动摩擦阻力,,空气阻力空气阻力),),),在物体做曲线运动或往复运动过程中在物体做曲线运动或往复运动过程中在物体做曲线运动或往复运动过程中,,这些力虽然方向变这些力虽然方向变,,但每时每刻与速度反向但每时每刻与速度反向,,此时可化成恒力做功此时可化成恒力做功,,方法是分段考虑方法是分段考虑,,然后求和然后求和..老驴拉磨时拉力做功跟圆周运动时向心力做功是否一样？“微分”的方法，将运动轨迹细分为若干段，就可以将每一段可以看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根据nnn s F s F s F Waaacos cos cos 222111+¼¼++=来求变力的功。

例题1：如图1，某人用大小不变的力F 转动半径为R 的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。

解：在转动的过程中，力F 的方向上课变化，但每一瞬时力F 总是与该时刻的速度同向，那么F 在每一瞬时就与转盘转过的极小位移s D 同向，因此无数的瞬时的极小位移n ss s s D ¼¼D D D ，321,,，都与F 同向。

在转动的过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有：FRs s s s F s F s F s F s F W nnp 2)(321321=D +¼¼+D +D +D =D +¼¼+D +D +D = 二等值法等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

2.24 动能定理的应用

mgh-w=1/2mv2 得h=v2/2g+w/mg
动能定理的应用五其它问题
❖ ◆运用动能定理求圆周运动问题
例：如图所示，长为L的细绳拴一个小球在竖直平面内做圆周运动，请问：
❖ （1）小球在最低点A初速为多大时，恰好能完成一次圆周的运动。
❖ （2）最高点和最低点绳子拉力之差为多大？
B
6m
O
解题关键：同时列g出动能定理
4、动能定理的研究对象一般是一个物体，也可以是几个物体组成的系统；
5、动能定理的计算式是标量式，遵循代数运算，v为相对地面的速度；
6、对状态与过程关系的理解： a.功是过程量，动能是状态量。 b.动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。
（涉及一个过程两个状态） c.动能定理反应做功的过程是能量转化的过程。等式的左
皮球，测得橡皮球落地前瞬间速度变力做功
抛球时由动能定理：
v＝12 m/s
为12
m/s，求该同学抛球时所做的
W＝mv02 ＝0.5´ 82 J＝16 J
2
2
解得Wf＝-5 J
功和橡皮球在空中运动时克服空气
抛出后由动能定理：
mgh＋Wf＝
1 2
mv2－
1 2
mv02
即橡皮球克服空气阻力做功为5 J
阻力做的功．(g取10 m/s2)
例1.用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s，拉力F跟木箱前进的方向的夹角为α，木箱与冰道间的摩擦因数为μ，求木箱获得的速度？
Fcos αs-fs= 1 mv2 -0
2 f= μ（mg-Fsin α ）
[F cos (mg F sin )]s 1 mv2 0
2

高中物理求变力做功几种常见的方法

教学信息新教师教学功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1.等效法等效法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。

例：如图，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。

T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F 的作用点的位移大小为：2.微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例：如图所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：A 、0JB 、20πJC 、10JD 、20J 分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ ，故B 正确。

3.平均力法若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式W 求解。

(完整)求解变力做功的十种方法

求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。

那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。

解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。

小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。

二。

微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。

解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。

高三物理动能定理及其应用教案

动能定理及其应用知识点动能Ⅱ1．定义：物体由于01运动而具有的能。

2．公式：E k＝0212m v2。

3．标矢性：动能是03标量，只有正值，动能与速度方向04无关。

4．状态量：动能是05状态量，因为v是瞬时速度。

5．相对性：由于速度具有06相对性，所以动能也具有相对性。

6．动能的变化：物体07末动能与08初动能之差，即ΔE k＝12m v22－12m v21。

动能的变化是过程量。

知识点动能定理Ⅱ1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中01动能的变化。

2．表达式(1)W＝02ΔE k。

(2)W＝03E k2－E k1。

(3)W＝0412m v22－12m v21。

3．物理意义：05合力的功是物体动能变化的量度。

4．适用范围广泛(1)既适用于直线运动，也适用于06曲线运动。

(2)既适用于恒力做功，也适用于07变力做功。

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以08不同时作用。

一堵点疏通1．合力做功是物体动能变化的原因。

()2．如果物体所受合力不为零，那么合力的功也一定不为零。

()3．物体的动能不变则物体的速度不变。

()4．物体做变速运动时动能一定变化。

()5．运用动能定理可以求变力做功。

()答案 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√二对点激活1．(人教版必修第二册·P88·T1改编)改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变，下列几种情形中，汽车的动能不变的是()A．质量不变，速度增大到原来的2倍B．速度不变，质量增大到原来的2倍C．质量减半，速度增大到原来的2倍D．速度减半，质量增大到原来的4倍答案 D解析由E k＝12知只有D项所述情形中汽车动能不变，故D正确。

2m v2．(多选)关于动能定理的表达式W＝E k2－E k1，下列说法正确的是()A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功B．公式中的W为包含重力在内的所有力做的总功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合力再求合力的功C．公式中的E k2－E k1为动能的变化量，当W>0时，动能增加，当W<0时，动能减少D．动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功答案BC解析W＝E k2－E k1中的W指合力的功，当然包括重力在内，E k2－E k1为动能的变化量，由合力的功来量度，W>0，ΔE k>0，W<0，ΔE k<0，动能定理也适用于曲线运动和变力做功。

7.2求变力做功的几种

解：
W=2fs
二，等效替代法：用恒力作功取代变力作功：例3：如图所示，一物体（可视为质点）在通过滑轮的绳子作用下沿水平面从A处运动到B处过程中绳对物体做的功为多少？已知：绳的自由端施加的力恒为F，在A处绳与水平面夹角为α，在B处绳与水平面的夹角为β，滑轮与地面间距离为H
H
F

A B

解：由于绳对物体的拉力在水平方向为变力，故不能用W=FS求解，但绳的自由端拉力所做的功等于绳对物体做的功，物体从A移到B时绳的自由端下降的位移为： H H S= sin - sin 绳对物体做的功为： H H W=FS=F（ - sin ）
例8：如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（）
A. FL cos B. FL sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.FL1 cos
D.mgL1 cos
图2
七，用功和能的关系求变力作功：
关闭油门后，汽车的运动，由动量定理得：
- Ff t2 0 mvm
2 mvm mvm 5000 242 t2 s 48s Ff P 601000
则汽车运动的时间为：t＝t1＋t2＝50s＋48s＝98s
六、运用动能定理求变力做功动能定理：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。已知一个物体在某个过程中的初动能和末动能，且可以求出该过程其它力做功，则可以用动能定理求该过程中変力做功。
F
解：W=
( F1 F2 ) 0 KS S= 2 2
S= 1 KS

求变力做功的十种方法

变力做功的十种方法河南省信阳高级中学陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。

一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。

分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。

因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。

【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。

这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。

二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。

例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

用动能定理求变力做功

用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选．
典例1如图1所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功为()
图1
A．FL cos θ
B．FL sin θ
C．FL(1－cos θ)
D．mgL(1－cos θ)
答案D
解析在小球缓慢上升过程中，拉力F为变力，此变力F的功可用动能定理求解．由W F－mgL(1－cos θ)＝0得W F＝mgL(1－cos θ)，故D正确．
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动能定理经典题型总结

一、整过程运用动能定理（一）水平面问题1、一物体质量为2kg ，以4m/s 的速度在光滑水平面上向左滑行。

从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度方向变为水平向右，大小为4m/s ，在这段时间内，水平力做功为（）A. 0B. 8JC. 16JD. 32J2、一个物体静止在不光滑的水平面上，已知m=1kg ，u=0.1，现用水平外力F=2N ，拉其运动5m 后立即撤去水平外力F ，求其还能滑 m （g 取2/10s m ）3、总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，如图所示。

设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。

当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？（二）竖直面问题（重力、摩擦力和阻力）1、人从地面上，以一定的初速度0v 将一个质量为m 的物体竖直向上抛出，上升的最大高度为h ，空中受的空气阻力大小恒力为f ，则人在此过程中对球所做的功为（） A.2021mv B. fh mgh - C. fh mgh mv -+221 D. fh mgh + 2、一小球从高出地面H 米处，由静止自由下落，不计空气阻力，球落至地面后又深入沙坑h 米后停止，求沙坑对球的平均阻力是其重力的多少倍。

（三）斜面问题1、如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板P 为S 0，以初速度V 0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分S 2S 1LV 0V 0A BChS 1 S 2α力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？ 2、一块木块以s m v /100=初速度沿平行斜面方向冲上一段长L=5m ，倾角为︒=30α的斜面，见图所示木块与斜面间的动摩擦因数2.0=μ，求木块冲出斜面后落地时的速率（空气阻力不计，2/10s m g =）。

第29讲变力做功的6种计算方法(解析版)

第29讲变力做功的6种计算方法一．知识回顾方法举例说法1.应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W F，则有：W F－mgL(1－cosθ)＝0，得W F＝mgL(1－cosθ)2.微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f＝F f·Δx1＋F f·Δx2＋F f·Δx3＋…＝F f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝F f·2πR3.等效转换法恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·⎝⎛⎭⎪⎫hsinα－hsinβ4.平均力法弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1＋kx22·(x2－x1)6.图像法在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功7.功率法汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt二.例题精析例1．如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中弹性势能的变化量△E p和力F做的功W分别为（）A ．m 2g 2k，m 2g 2kB ．m 2g 2k，2m 2g 2kC ．0，m 2g 2kD ．0，2m 2g 2k【解答】解：开始时，A 、B 都处于静止状态，弹簧的压缩量设为x 1，由胡克定律有 kx 1＝mg ，解得：x 1=mgk物体A 恰好离开地面时，弹簧对B 的拉力为mg ，设此时弹簧的伸长量为x 2，由胡克定律有 kx 2＝mg ，解得：x 2=mg k由于弹簧的压缩量和伸长量相等，则弹簧的弹性势能变化为零；这一过程中，物体A 上移的距离为：d ＝x 1+x 2=2mgk ，根据功能关系可得拉力做的功等于A 的重力势能的增加量，则有：W ＝mgd =2m 2g 2k ，故D 正确，ABC 错误。

动能定理——变力做功

动能定理——变力做功问题例1如图所示，一质量为m ＝2 kg 的物体从半径为R ＝5 m 的圆弧的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端(圆弧AB 在竖直平面内)．拉力F 大小不变始终为15 N ，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边为竖直方向。

(g 取10 m/s 2)求这一过程中：(1)拉力F 做的功。

(2)重力G 做的功。

(3)圆弧面对物体的支持力F N 做的功。

(4)圆弧面对物体的摩擦力F f 做的功。

例2质量为m 的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k 倍，机车经过时间t 速度达到最大值v ，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。

例3如图所示，原来质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（）A.θcos FLB.θsin FLC.()θcos 1-FLD.()θcos 1-mgL 例4在光滑的桌面上，有一条粗细均匀的链条，全长为L ，垂下桌边的那部分的长度为a ，链条在上述的位置由静止释放，如图所示，则链条的上端离开桌边时，链条的速度为多少？a例5一个质量为m 的小球拴在细绳的一端，另一端用大小为F 1的拉力作用，在水平面上做半径为R 1的匀速圆周运动，如图所示。

今将力的大小改为F 2，使小球仍在水平面上做匀速圆周运动，但半径为R 2。

小球运动的半径由R 1变成R 2的过程中拉力对小球做的功多大？1．跳水运动员从高H 的跳台以速度V 1水平跳出，落水时速率为V 2，运动员质量为m ，若起跳时，运动员所做的功为W 1，在空气中克服阻力所做的功为W 2，则：（）A ．W 1＝2121mv ，B ．W 1＝mgH ＋2121mv C ． W 2＝2121mv ＋mgH －2221mv D ．W 2＝2121mv －2221mv 2.质量为m 的汽车在平直的公路上从速度v 0开始加速行驶，经过一段时间t 后，前进了距离s ，此时恰好达到其最大速度，设此过程中汽车发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受的阻力为恒力F f ，则这段时间里，发动机所做的功为（） A. B. C. D.3．改成斜面选B 如图2所示，质量为m 的物体，由高为h 处无初速滑下，至平面上A 点静止，不考虑B 点处能量转化，若施加平行于路径的外力使物体由A 点沿原路径返回C 点，则外力至少做功为（）A ．mgh ；B ．2mgh ；C ．3mgh ；D ．条件不足，无法计算。