自考-数量方法-讲义二

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2011-2-15
高等教育自学考试网上辅导《数量方法》
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从上表中的数据不难看出，随着试验次数N的不断增大，频率NA/N越来越近p=0.5 随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右。
最后，是主观判断的方法，它是建立判断基础之上。一些概率既不能由等可能来计算，也不
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第二章 随机事件及其概率
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大部分的商业决策都包含不确定和随机的影响因素，例如：机器停工时间及维修时间都包含 着不确定性。要预测一种投资组合的未来收益也需要对未来不确定的经济状况和市场行为进行假 设。没有概率论的必要知识，我们就无法用抽样信息推断总体特征，就无法在充满不确定的现代 化社会中，做出正确的决策。
事件的交或积 事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所 有公共样本点所组成的集合，记为B∩A 或AB 教材p39图2.3
【例】同时抛掷两枚硬币，并考察其结果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？
解：用H表示正面，T表示反面，下标1和2表示硬币1和硬币2。该项试验会有4个互斥事件之
本节主要介绍概率中的基本概念：随机试验与随机事件。
第一节 随机试验与随机事件
一、随机试验 概率这个概念我们每天都在使用，从俱乐部的赌博到天气预报、股票市场的预期。那么什么 是概率呢？ 概率是一个事件将要发生的可能性。 我们可以想象事件是一个或一些实验的结果，如掷骰子、预期天气或观看股票市场等，这些 结果可能是掷骰子的点数和第二天的温度、以及股票综合指数。 试验的特点： 1.可以在相同的条件下重复进行； 2.每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 3.在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果； 我们把满足上面特点的试验称为随机试验，而随机试验的结果则称为事件。
主观概率是基于对各种信息的掌握，某人对某事件发生或者对某断言的真实性的自信程度。
二、概率的性质和运算法则 1.非负性 对任意事件A，有 P（A）≥0 2.规范性 一个事件的概率是一个介于0与1之间的值，即对于任意事件 A，有0 ≤ P（A）≤ 1 3.必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P （Ω）=1； P（Φ）=0 4.可加性 互斥事件： 在试验中，两个事件有一个发生时，另一个就不能发生，则称事件A与事件B是互斥事件, （没有公共样本点） 教材p39图2.4
二、随机事件 1.事件：试验的每一个可能结果 掷一颗骰子出现的点数为1、2、3…… 事实上，自然界中有两类现象：一类为确定性现象，即在一定条件下，必然会发生某种结果 的现象，如在一定的条件下，把水加热到1000C时，水一定会沸腾；另一类为不确定性现象或随 机现象，即在一定的条件下，出现的结果具有一定的偶然性，而不是发生已确定的结果。如抛一 枚均匀硬币，有时会出现正面，有时会出现反面。 随机试验产生随机现象，虽然一次随机试验产生的结果呈现一定的偶然性，但大量随机试验 所产生的随机现象呈现出一定的规律性。（例如抛一枚均匀硬币，“出现正面”和“出现反 面”。）概率论就是研究随机现象规律性的学科。 2.随机事件：对随机现象进行试验，每次试验可能出现，也可能不出现的事件。 如：掷一颗骰子可能出现的点数 用大写字母A，B，C，…表示。 3.简单事件：不能被分解成其他事件组合的基本事件。 掷一枚骰子，出现点数3是一个基本事件，而事件“出现的点数小于3”则可分解为“出现点 数1”和“出现点数2”的组合。 任何随机事件都可以分解成基本事件的组合。在一次试验中，可能观察到一个且只有一个基 本事件，因此，在一次试验中，我们说事件A发生了，当且仅当A中的某一基本事件发生了。如， 在一次掷一枚骰子的试验中，如果出现了点数2，我们就可以说，事件“出现的点数小于3”发生 了，如果出现的点数是1，我们也说事件“出现的点数小于3发生了。 4.必然事件（基本俗语）：每次试验一定出现的事件，用Ω表示 掷一颗骰子出现的点数小于7 5.不可能事件（基本俗语）：每次试验一定不出现的事件，用Φ表示 掷一颗骰子出现的点数大于6 注意：随机事件是与它所对应的随机试验紧密相关的。如掷两枚骰子，点数之和大于12是不 可能事件，而掷三枚骰子时，点数之和大于12就是一个一般的随机事件。 那么，一个试验中有多少个基本事件呢？怎样描述？
一发生 （1）两枚硬币都正面朝上，记为H1H2 （2）1号硬币正面朝上而2号硬币反面朝上，记为H1T2 （3）1号硬币反面朝上而2号硬币正面朝上，记为T1H2 （4）两枚硬币都是反面朝上，记为 T1T2 解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面
的4个简单事件中每一事件发生的相对频数（概率）将近似等于1/4。因为仅当H1T2或T1H2发生 时，才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件H1T2或T1H2又为互斥事件，两个事件中一个事 件发生或者另一个事件发生的概率便是1/2（1/4+1/4）。
第二节 事件的概率与古典概型
本节我们将讨论概率的性质和运算法则以及古典概型的概率计算
一、概率的概念 对于随机事件，在一项试验中我们无法肯定其是否发生，但我们可以对其发生的可能性大小 进行度量，这样的度量值称为概率。事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用以度量试验 完成时事件A发生的可能性大小， 记为P（A）。 概率可以从以下三个角度理解： 利用等可能事件。如果导致某一事件发生的过程是已知的，那么概率可以从理论上决定，这 是对于概率的经典定义，如：如果我们要了解掷两个骰子的点数可能结果，我们可以简单的计算 出36种可能结果，出现点数为2的可能性只有一次、出现点数为3的可能性两次、出现点数为7的 可能性6次等等。因此掷出7点的可能性是6/36＝1/6；从52张牌中随机抽取一张，那么它是黑桃 的概率是多少？13/52=1/4；抽到的牌是J.Q.K.A四种的概率是多少？16/52=4/13。 由此可知，计算这些概率的基础是事先知道（或者假设）某些事件是等可能的。 第二种获得概率的方法被称为相对频数的定义。它是建立在经验数据的基础之上。 在多数情况下，时间并不一定是等可能的，或者人们对于其出现的可能性一无所知。这是就 要靠观察它在大量重复实验中出现的频数来估计它出现的概率。如某广告公司想知道某个橱窗设 计吸引力的概率，可以观察有多少过往的人在他面前逗留观看。如果观察了500人，有12人在该 橱窗前逗留，那么可以大致地说，该橱窗吸引行人的概率近似地为12/500，试验次数越多，则该 值越接近于真正的概率。 很明显，当试验的次数很多时，概率P（A）可以由所观察到的事件A发生次数（频数）的比 例来逼近。在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为
灯管的寿命不可能是负数，它可以是大于或等于 零的任何实数，因此Ω={t∣t≥0}; （4）连续抛两枚硬币，观察出现正面和反面的情况； 这个随机试验有四个样本点，即两次都出现正面，第一次出现正面、第二次出现反面，第一 次出现反面、第二次出现正面和两次都出现反面。所以样本空间Ω={正正，正反，反正，反反}； （5）同时抛两枚硬币，观察出现正面和反面的情况。 这个试验只有三个样本点，即出现两个正面，出现一正一反，出现两个反面。所以样本空间 Ω={正正，正反，反反}； 从上述例子我们可以看出：样本空间是由随机试验的方式决定。 样本空间和随机事件的表示方法： 列举法和描述法 如：同时抛两枚均匀硬币，观察什么面朝上，确定该试验的样本空间。 列举法：{ （正，正），（正，反）,（反，反）} 描述法：{“出现两个正面”，“出现一正一反”，“出现两个反面”} 随机事件：同时掷两枚骰子，“出现的点数之差等于2”用的就是事件的描述法。而{（1， 3），（2，4），（3，5），（4，6）}用的就是事件的列举法。这两种方法表示的是同一个事 件。
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可能从实验中得出。如金融分析师认为上综指在未来一年增长10%的可能性是75%，在足球赛开始 前，体育专家会预测某一球队有20%的机会参加决赛等。
课本p43例2.7
【例2.7】历史上，有不少人做过“抛硬币”的试验，其中包括德摩根、蒲丰、卡皮尔逊，
他们的试验结果如下表所示：
实验人 N
NA
NA/N
德摩根 2048 1061 0.5181
蒲丰
4040 2048 0.5069
卡皮尔逊 12000 6019 0.5016
卡皮尔逊 24000 12012 0.5005
三、样本空间 1.样本空间。一个试验中所有基本事件的集合，我们称为样本空间，它是必然事件，用Ω表 示 例如：在掷一颗骰子的试验中，样本空间表示为：Ω={1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，Ω={正面，反面} 2.样本点。样本空间中每一个基本事件称为样本点，用符号ω表示 从前面的分析可知，每一个随机事件就是由若干样本点组成的集合，即随机事件是样本空间 的子集。即概率论中所说的事件相当于集合论中的集合，而概率则是事件的某种函数。 不包含任何样本点的随机事件就是不可能事件。 课本p36例题 【例2.1】写出下列随机试验的样本空间 （1）掷一颗骰子，观察出现的点数； 这一随机试验的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6} （2）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止，观察抛硬币的点数； 在这个随机试验中，可能第一次抛硬币就出现正面，也可能出现第二次，第三次……才出现 正面，因此它的样本空间为Ω={1,2,3…}； （3）任取一支灯管，观察它的寿命；
Байду номын сангаас
四、古典概型试验 满足下列条件的随机试验我们称之为古典概型试验： （1）它的样本空间只包含有限个样本点。 （2）每个样本点的发生是等可能的 【例1】、某对夫妇生了一对双胞胎，观察老大和老二的性别。问：该样本空间包含多少个 样本点？ 每个样本点发生的可能性是多少？ 该样本空间包含4个样本点 列举法：W={ （男男），（男女）,（女男）（女女）} 每一个发生的概率为1/4 【例2】从一批次品率为3%的产品中随机地抽取一个，检验它是否为次品。问：这个试验的 样本空间具有的样本点个数，它们是等可能的吗？ 这个试验的样本空间具有两个样本点：W={次品，正品}，次品发生的概率为0.03，正品发生 的概率为0.97。 因此，这个随机试验不是古典概型试验。
【例】在一所城市中随机抽取600个家庭，用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。定义 如下事件：
A.600个家庭中恰好有265个家庭拥有电脑 B.恰好有100个家庭拥有电脑 C.特定户张三家拥有电脑 说明下列各对事件是否为互斥事件，并说明你的理由 （1）A与B （2） A与C （3） B与 C 解答：（1）事件A与B是互斥事件。因为你观察到恰好有265个家庭拥有电脑，就不可能恰好 有100个家庭拥有电脑。 （2）事件A与C不是互斥事件。因为张三也许正是这265个家庭之一，因而事 件有可能同时 发生。 （3） 事件B与C不是互斥事件。理由同（2） 事件的并或和 事件A或事件B至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或事件B的 所有样本点的集合，记为A∪B或A+B 。如掷一次骰子得到5或者6点的概率。它是“得到5点”的 概率与“得到6点”的概率之和，即1/6+1/6=1/3 教材p38图2.2