三角形中求周长、面积的最值

三角形中求周长、面积的最值

一、解答题

1．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+. (1)求角A 的大小;

(2)若2a =,求ABC ∆周长的取值范围.

2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()2

2

sin B sin A sinC sinB sinC -=⋅-.

（1）求角A ；

（2）若ABC ∆为钝角三角形，且b c >，当a =b c -的取值范围.

3．已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，且√3(b 2+c 2−a 2)=4S （1）求角A 的大小；

（2）若a =√3，当b +2c 取得最大值时，求cosB

4．已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，其对应边分别是,,a b c ，且满足cos cos 2cos b C c B a B +=． （Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若b =2+a c 的最大值.

5．如图所求扇形OPQ 的半径为1，圆心角为

3

π

，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP

.

（1）当AB =时，求tan2α的值；

（2）记矩形ABCD 的面积为()f α，求()f α最大值，并求此时α的值.

6．已知ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC −√3

3

csinB ． （1）求B ；

（2）若点D 为边AC 的中点，BD =1，求ΔABC 面积的最大值．

7．（本小题满分12分）已知函数f(x)=−sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递减，在区间[π3,2π

3

]上单调递增；

如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角以B ， C 的对边，且满足tanA =sinB+sinc 4ω

3

−cosB−cosC

．

（Ⅰ）证明：b+c =2a ：

（Ⅱ）若b=c ，设∠AOB =θ．(0<θ<π),OA =2OB =2，求四边形OACB 面积的最大值．

8．在ΔABC 中，已知内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且a 2+b 2=c 2+ab ， （1） 若a

b =cosB

cosA ，且c =2，求ΔABC 的面积；

（2）已知向量m ⃑⃑ =(sinA,cosA ),n ⃑ =(cosB,−sinB )，求|m ⃑⃑ −2n ⃑ |的取值范围. 9．

在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ， （1） 建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域. （2） 求y 的最小值，并指出x 的值.

10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222()()4f x a x a b x c =---. (1)若(1)0f =，且3

B C π

-=

，求角C ；

(2)若(2)0f =，求角C 的取值范围．

11．在锐角ABC ∆中，,,A B C 三内角所对的边分别为,,a b c ．

设(cos ,),(cos ,),m A sinA n A sinA a ==-=12

m n ⋅=-

且 （Ⅰ）若3b = ，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求b c +的最大值.

12．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin a b A =． （I ）求B 的大小；

（II ）求cos cos A C +的取值范围．

参考答案

1．（1）

3

π

； （2）(]4,6. 【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得1

cos 2

A =

，从而可求A 的大小. （2）利用基本不等式和三角形两边之和大于第三边可求b c +的取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】 (1)在ABC ∆中，

2cos cos cos a A c B b C =+，

2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ∴=+即()2sin cos s sin in A A C A B =+=，

因为()0,A π∈，所以sin 0A >，1 cos 2

A ∴=

， (),0,.3

A A π

π∴∈=

(2)由于2,3

a A π

==由余弦定理有2221

cos 22b c a A bc +-=

=， ()2

22

442bc b c

b c bc ∴=+-=+--，(

)2

4

3

b c bc +-∴=

又根据基本不等式有2

2b c bc +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭，所以()2

2

432b c b c +-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

解得4b c +≤(当且仅当2c b ==时等号成立) 又因为三角形两边之和大于第三边，所以2b c +>. 因为2a =，所以ABC ∆周长a b c ++的取值范围为(]4,6. 【点睛】

在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值