第5章 换面法

33
例6：求平面ABC和ABD的两面角。（逆推法）
空间及投影分析： 在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面 也垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角 即为所求。 d a XV H c a c b b a'1 d' 1
● ●
θ c' 1
.
● ●
b'1
.
d
a2 b2
●
θ
●
a1
V

A
X
V
ax
H
a
ax1 H V1 X1
X

ax1
H X1
a
1. a1a X1 2. a1ax1= aax
点的换面规律（一个垂直，一个相等） 1. 点的新投影与保留投影的连线，必垂直
于新投影轴。
2. 点的新投影到新投影轴的距离等于被“换”去投影
到被“换”去投影轴的距离。
6
⑶ 求新投影的作图方法 更换H面
36
●
求m点是难点，MN是V1面的平行线，mn//X1
*例9：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， M N 且AB为水平线，求CD及MN的投影。（轨迹法） 空间及投影分析： d ● 由直角投影定理，把AB换成垂直于V1时 作图： n● 公垂线MN平行于V1 ，它的投影反映实长 ,且m1n1⊥c1d1。 c● A a m b ● M
3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面 需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面 6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面
27
五、换面法的应用
1 、求直线实长和与投影面的倾角 →将直线变换成投影面的平行线。 2 、求平面实形和重心 →将平面变换成投影面的平行面。
25
点的换面规律
点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新 投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到 旧投影轴的距离。

a ax
. a1
X
V H
ax1
H P1 X1
26
a

换面法的六个基本作图问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面
2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面
问题的关键：新轴要垂直 于反映实长的那个投影。 a 1( b 1)
X1 V a' b' B A
b' a1’ (b1) X V H a b
12

a'
X
b
H
a
2.求△ABC与EF的交点，并判别可见性.
e a
k1 V X H d
b
分析：转换为线 线相交问题，把 △ABC换成投影面 垂直面 用重影点判别可 见性
V1面没动，空间点A到V1面的距离没变。
8
⑵ 求新投影的作图方法
a V X H

ax
a2
a


ax1. H X1 V1
作图规律 aa1 X1轴
ax2
.
a 1
H2 V1 X 2
第二次新投影关 键：隔面量距
9
a1ax1 = a’ax
作图规律 a 1 a2 X 2 轴 a2ax2 = aax1
●
c2
d2
34
例7: 过C点作直线CD与AB相交成60º 。#
空间及投影分析：当AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹 角才反映实角（60°），将AB与C点所确定的平面变换成投影 面平行面，即得 。（逆推法） c ● 作图： a
X
V H
d d● c
●
b
两个解！ d2
●
●
a2
D点的投影如 何返回？
20
b
n
a m
m a
k ●
c
c bk
●
n
21
(f)直线与平面相交
解题思路
1.首先进行空间分析，解题方法有直观法、逆推法和轨 迹法。 逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联 系，再顺着做题。 轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是 答案。 2.思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。
22
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。（逆推法）
空间及投影分析： 求C点到直线AB的距离， 就是过C作AB的垂线CD。 如下图：把AB换成投影面 垂直线，变成两点的距离 ，且CD平行于新投影面， 其投影反映实长。
AD C X
c
V H
作图: d
b
a
c a
H X1 V 1
.
b d
4
三、点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑴建立新的投影体系
a A a’1
V



V1
ax
X

ax1
H X1
a
V1 V 新投影体系: X1 — 旧投影体系: X — H H A点的投影：a(V), a(H)，a1(V1)-标注规定.
5
⑵
新旧投影之间的关系
a ax a 1 V1

a

空间及投影分析：因为高 CE⊥AB，根据直角投影 定理，把ab换成平行线， 则c'1e'1⊥ a'1b'1. C
b' a'
X
V H
c
e e' 1 a a'1
b b'1
A
E
B
c' 1
24
换面法小 结
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投投影保持垂直关系同 时又有利于解题需要，这样才能使用正投影规律。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，六个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法
一、问题的提出
如何求一般位置直线的实长？ 解决方法：更换投影面V为V1//AB。
反映实长
V1
a
V
A B a
a1 b1
b
H
H
b
1
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某一 新投影面（辅助投影面）代替原有投影面， 使物体相对新的投影面处于解题所需要的特 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。
（5）两交叉直线之间 →将一直线变换成投影面垂直线。
29
距离:
1.点到直线的距离； 4.线、面平行间的距离； 2.平行两直线的距离； 5.点到平面的距离； 3.两直线的公垂线； 6.平行两平面的距离。
30
5 、求夹角
（1）两直线之间 →将两直线组成的平面变换成投影面平行 面。 （2） 两平面之间 →将两平面变换成投影面的垂直面，即应将 两平面的交线变换成投影面的垂直线。
（3）一直线和平面之间 →将平面变换成投影面平行面，再将直线换 成投影面平行线。
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角度：
1.相交两直线的夹角； 2.交叉两直线的夹角；
3.两平面的夹角；
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解题时一般要注意下面几个问题： ⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件 中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。 ⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。 ⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
3、 求平面与投影面的倾角 →将平面变换成投影面的垂直面。 4、 求距离 （1）点与直线之间 a. 将直线变换成投影面垂直线。 b. 将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。
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（2） 点与平面之间 →将平面变换成投影面垂直面。 （3） 两平行线之间 →将两直线变换成投影面垂直线
（4） 两平行平面之间 →将两平面变换成投影面垂直面。
C A
a● c d
H V 1
●b ●
B
D
a'1(b'1)
a'1 b'1 c'1 d'1
●
V1
c'1(d'1)
实长
X1
15
4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面 （可求解平面与投影面的倾角）
例：把△ABC变换成投影面垂直面。
a
V H
b
d
c
a b
X
空间分析： 如果把平面内的一 条直线变换成新投影面的垂直 线，那么该平面则变换成新投 影面的垂直面。 作图过程：在平面内取一条 水平线AD，将AD变换成新投 影面的垂直线。 α
c a
k
f f b d
●
f 1
.
e
c c1
● ●
k 1 a 1 d 1
d 1
e1
13
3.
把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
V
b H2
a2(b2)

ax2 b1
作图：
X
V H
b
V1
a
a'1 d'1
.
距离
a 2 b2 d2 b ' 1 .
B
abd H2 c
如何确定d1点 的位置？
c'1

V1 H2 X2
c2

在反映实形的投影面上找直角， 即过c1作线平行于x2轴。
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c'
例 5： 已知等腰三角形ABC 的底边为AB，试用换面法求 出等腰三角形ABC的正面投 影（轨迹法）。
1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面
2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面
3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面 4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面 需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线 5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面 6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面
a1d1
● ●
c
H
d
.
c 1 V 1 X1
●
b1
反映平面对哪个投 影面的夹角？
16
求α，H面不动；求β，V面不动。
c V a
X C
V1 c 1
b
A B
a1
c α
b1
X1
a
b H
17
5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面
一次换面后可 求解平面实形 a'
V
a'1
V1
实形
问题的关键： 新投影轴必须 平行于该平面 的积聚性投影。
2
换面法中的主要名称：
旧投影
新投影
a'
B
b1'
V
旧轴
V1 b' X A
被保留 的投影
b
a1' X1
新轴
3
H
a
二、新投影面的建立原则
a
V V1
A
a1 B
b1
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
a
H H
b
来自百度文库
1. 新投影面必须使空间物体处于最有利的特殊 位置。 2. 为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于 某一保留的投影面(如图V1⊥H)，以构成一个相 互垂直的两投影面的新体系。

a1’

中： H是旧投影面，H2 是新投影面， V1 是保留投影面； X1是旧轴， X2是 新轴。
a
H

ax1 X1 V1 X1 — H
1.先把V面换成V1面， V1H，得到中间新投影体系: H面没动，空间点A到H面的距离没变。
V1 X — 2 2.再把H面换成H2面， H2 V1，得到新投影体系: H2
a
b
b2●
. .
60°
●
a1b1
● ●
c2
如何解？
解法相同！
思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。 35
H V 1 X1
H2 c1 V 1 X 1
例8*：已知两交叉直线AB和CD，且AB为水平线，求其 公垂线的长度MN及其投影。 空间及投影分析：
作图：
新投影轴的位置？ 与ab平行
10
1.5.用换面法在直线AB上取一点C,使AC=25。 用换面法在直线AB上取一点C，使AC=25。
c′
分析：找AB实长
一次换面，将AB投影 变换为新投影面的平 行线，则在新投影面 中的投影反应实长。
c a′1
c′1

b ′1
11
2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
a
XV H ax

X1 H 1 V
.
a1
ax1
a
作图规律： 首先确定好新投影轴，由点的保留投影 向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于 被换投影到被换投影轴的距离。
7
⒉
两次换面
X2 a2
V H2

⑴ 新投影体系的建立

V1 在 X2 — 投影体系 H2 V1
ax2
a
ax
X

A



b
a b a
.
B A
a1
X
a H
H1 ● X1 V1 a1
//
●
X1
b1 a 2(b2)
X2轴的位置？
与a1b1垂直
14
例3：求两平行直线的距离.
作图： c● a
V H
●
d b
分析：转换为点到点 的距离问题。把AB、 CD换成投影面垂直线， 两点的距离即为所求。 （逆推法）
c' b'1 b'
A
c' 1
C B
X
X1
b
H
a
c
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6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 一般平面
c b b2●
.
垂直面
平行面
作 图：
a
X V H
AB是水平线
●
a2
a b c
H V1 X1
●
a'1b'1 . c' 1
●
●
c2
平面的实形
X2轴的位置？
与其平行
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换面法的六个基本作图问题：
四、换面法的六个基本作图问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线 例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，V1 // AB 。 a V1 a 作图： a1 b A
V
b
B
b1
X
V
H
a b
H
.
a
X
X1
b H
X1
V1
b1
●

a1
●
求α，H面不动；求β，V面不动。
c● a
V XH
●
d
n●
●
由直角投影定理，把AB变为投影面 垂直线时，公垂线MN平行于V1 ， 它的投影反映实长,且m1n1⊥c1d1。
A C N M
m
b
a c
●m ●
n
d b
B
D
d1
.
●
′
c1
a1(b1m1)
n1 d1
a′1（b ′1m ′1）
● ●
V1
.
n′ 1
H V 1
#
X1
c′ 1