导数变化率
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速度，并解释此时的运动状态;在t 0.5s 呢?
h h(1 t ) h(1) t t 4.9(t 1) 2 6.5(t 1) 10 4.9 12 6.5 1 10 t 4.9t 3.3 h / h 1 lim lim ( 4.9t 3.3 ) 3.3 t 0 t t 0 / / h 1 3.3 同理，h (0.5) 1.6
h / (t1 ), h / (t 2 ) 0 曲线在 t1 , t 2 处切线 l1 , l 2 的斜率 小于 0 大于 l 3 , l 4 h / (t 3 ), h / (t 4 ) 0 t3 , t 4
t 0 附近比较平坦，几乎没有升降．
在 t1 , t 2 附近，曲线 下降 ，函数在 t1 , t 2
图像上，(1)用图形来体现导数 h (1) 3.3 ，
h (0.5) 1.6 的几何意义.
/
h
O
0 .5
1 .0
t
(2)请描述，比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢？
h
O
t3
t4
t0
t1
t2
t
(2)请描述，比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在
f ( x0 x) f ( x0 ) f （2）求平均变化率: ； x x f lim ． （3）取极限，得导数: f ( x0 ) x 0 x
V (t0 ) S (t0 ),
K切 f ( x0 )
例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh 时，原油的温度（单位：℃）为
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) s v t 0 t t 0 t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况， 我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得 出函数的平均变化率
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化， 从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f ( x x) f ( x)
s
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度 v
的极限．即
s s ( t t ) s ( t ) v lim t t 0 t
y
y f ( x)
T P
o
f ( x 0 x) f ( x 0 ) k lim x 0 x f ( x 0 )
x
x0
即 kPT tan f ( x 0 )
函数y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 )在几何上表示 曲线y f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率。
量 f 的平均变化率为
f f ( x x ) f ( x ) x x
令 x 0， 则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
f f ( x x ) f ( x ) lim lim x 0 x x 0 x
2． 瞬时速度 平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
P
P
P
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。 大多数函数曲线就一小范围来看，大致可 看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此 点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简 单的对象刻画复杂的对象）
1.在函数 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 的
/
t 3 , t 4 附近呢？
附近：瞬时 增（减): 变化率（正或负） 即：瞬时变化率（导数） =切线的斜率 增（减）快慢： 即：导数 的绝多值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 （陡峭程度） 大小 画切线（数形结合，以直代曲） 以简单对象刻画复杂的对象
(2) 曲线在 t 0 时，切线平行于x轴，曲线在
r (V )
3
3V 4
高台跳水运动中，运动员相对
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
引导： 1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念
4 3 3V V (r ) r r (V ) 3 3 4 当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６
平均速度 v 的极限为: s v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) t 0 t 0 t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
f ( x) x 7 x 15 (0 x 8).
2
计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率，
并说明它们的意义。
例:
高台跳水运动中，
t
秒 (s ) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
（单位： m ），求运动员在 t 1s 时的瞬时
h (0.5) 1.6m / s 这说明运动员在t 1s附近，正以大约 3.3m / s
运动员在 t 1s 时的瞬时速度为 h / (1) 3.3m / s ， /
t 0.5s t 0.5s
的速率 下落 。 上升
1.6m / s
１．你能借助函数 f (x)的图象说说平均变化率
t3 , t 4
Βιβλιοθήκη Baidu
附近单调 递减
递增
上升
t3 , t 4
如图，切线 l 2 的倾斜程度大于切线 l1 的 l4 倾斜程度， l 3
这说明曲线在 t 2 附近比在 t1附近 下降 t3 得迅速． 上升 t4
2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) （单位：mg/ml）随时间t（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
导数的概念 一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变
化率是
f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数， 记为 f ( x0 ) 或
y
x xo
，即
f ( x0 x) f ( x0 ) f f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
f ( x0 )
。 若这个极 限不存在，则 称在点x0 处不 可导。
即 f ( x0 ) lim 也可记作
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
y
x xo
V (t0 ) S (t0 ), K切 f ( x0 )
说明：
（1）函数 f (x) 在点 x0 处可导，是指 x 0 时，
y y 有极限．如果 不存在极限，就说函数在 x x
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2） x 是自变量x在
x0 处的改变量， x 0 ，而
y 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: f f ( x0 x) f ( x0 ) ；
曲线y f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处
的切线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 )
y
l1
A
圆的切线定义并不适
用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将
l2
割线趋于的确定位置的
B
直线定义为切线（交点
x 可能不惟一）适用于各
C
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
经过的路程 s 150 v 54( km / h) 所有的时间 t 10
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了 解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度— —瞬时速度．
已知物体作变速直线运动，其运动方程为 s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在 t0 时刻的速度．
湖 南 省 示 范 性 高 级 中 学
株洲市九方中学高二数学备课组 2010年10月24日
教学目标
• 了解导数概念的实际背景，体会导数的思 想及其内涵 • 教学重点： • 导数概念的实际背景，导数的思想及其内 涵
变化率问题
问题1 气球膨胀率
4 3 V (r ) r 3
问题2
于水面的高度是
f x0 x f ( x0 ) 表示什么吗？请在函数 x
图象中画出来．
２．在 x 0 的过程中， 割线AB的的变化情况 你能描述一下吗？ 请在函数图象中画出来．
3.1.1
导数的几何意义 y y f ( x) T
P 0
x0 xn
x
f ( xn ) f ( x0 ) kn xn x0
导数的概念
设函数
y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x
在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相 应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与 △x之比当 △x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处 可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数， 记为
如图设该物体在时刻t0 的位置是 ｓ (t0)＝OA0 ，在时刻t0 +t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s( t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
．
v 的极限．即
s s ( t t ) s ( t ) v lim t t 0 t
例 物体作自由落体运动， 1 2 运动方程为： s gt ，其中位移 2 单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2． 求 ： (1) 物 体 在 时 间 区 间 [2，2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2，2.01] 上的平均速度； (3) 物体在t =2时的瞬时速度.
高台跳水 h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
Δt -0.1 -12.61
v
Δt 0.1 -13.59
-0.01 -0.001
-0.0001
-13.051 -13.0951
-13.009951
0.01 0.001
0.0001
-13.149 -13.1049
-13.10049
-0.00001 -13.099951
0.00001 -13.100049
高台跳水 h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h h(t t ) h(t ) v t t
h(2 t ) h(2) v(2) lim t 0 t lim(4.9t 13.1) 13.1
t 0
v
(1) 将 t=0.1代入上式，得
s 1 2 g gt t 2
O s(2) s(2+t)
v 2.05 g 20.09( m / s )
(2) 将 t=0.01代入上式，得
s
v 2.005 g 19.65( m / s ) ( 3) 当 t 0, 2 t 2
h h(1 t ) h(1) t t 4.9(t 1) 2 6.5(t 1) 10 4.9 12 6.5 1 10 t 4.9t 3.3 h / h 1 lim lim ( 4.9t 3.3 ) 3.3 t 0 t t 0 / / h 1 3.3 同理，h (0.5) 1.6
h / (t1 ), h / (t 2 ) 0 曲线在 t1 , t 2 处切线 l1 , l 2 的斜率 小于 0 大于 l 3 , l 4 h / (t 3 ), h / (t 4 ) 0 t3 , t 4
t 0 附近比较平坦，几乎没有升降．
在 t1 , t 2 附近，曲线 下降 ，函数在 t1 , t 2
图像上，(1)用图形来体现导数 h (1) 3.3 ，
h (0.5) 1.6 的几何意义.
/
h
O
0 .5
1 .0
t
(2)请描述，比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢？
h
O
t3
t4
t0
t1
t2
t
(2)请描述，比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在
f ( x0 x) f ( x0 ) f （2）求平均变化率: ； x x f lim ． （3）取极限，得导数: f ( x0 ) x 0 x
V (t0 ) S (t0 ),
K切 f ( x0 )
例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh 时，原油的温度（单位：℃）为
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) s v t 0 t t 0 t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况， 我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得 出函数的平均变化率
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化， 从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f ( x x) f ( x)
s
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度 v
的极限．即
s s ( t t ) s ( t ) v lim t t 0 t
y
y f ( x)
T P
o
f ( x 0 x) f ( x 0 ) k lim x 0 x f ( x 0 )
x
x0
即 kPT tan f ( x 0 )
函数y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 )在几何上表示 曲线y f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率。
量 f 的平均变化率为
f f ( x x ) f ( x ) x x
令 x 0， 则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
f f ( x x ) f ( x ) lim lim x 0 x x 0 x
2． 瞬时速度 平均速度的概念
这段时间内汽车的平均速度为
P
P
P
根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。 大多数函数曲线就一小范围来看，大致可 看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此 点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简 单的对象刻画复杂的对象）
1.在函数 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 的
/
t 3 , t 4 附近呢？
附近：瞬时 增（减): 变化率（正或负） 即：瞬时变化率（导数） =切线的斜率 增（减）快慢： 即：导数 的绝多值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 （陡峭程度） 大小 画切线（数形结合，以直代曲） 以简单对象刻画复杂的对象
(2) 曲线在 t 0 时，切线平行于x轴，曲线在
r (V )
3
3V 4
高台跳水运动中，运动员相对
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
引导： 1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念
4 3 3V V (r ) r r (V ) 3 3 4 当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６
平均速度 v 的极限为: s v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) t 0 t 0 t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
f ( x) x 7 x 15 (0 x 8).
2
计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率，
并说明它们的意义。
例:
高台跳水运动中，
t
秒 (s ) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
（单位： m ），求运动员在 t 1s 时的瞬时
h (0.5) 1.6m / s 这说明运动员在t 1s附近，正以大约 3.3m / s
运动员在 t 1s 时的瞬时速度为 h / (1) 3.3m / s ， /
t 0.5s t 0.5s
的速率 下落 。 上升
1.6m / s
１．你能借助函数 f (x)的图象说说平均变化率
t3 , t 4
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附近单调 递减
递增
上升
t3 , t 4
如图，切线 l 2 的倾斜程度大于切线 l1 的 l4 倾斜程度， l 3
这说明曲线在 t 2 附近比在 t1附近 下降 t3 得迅速． 上升 t4
2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) （单位：mg/ml）随时间t（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
导数的概念 一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变
化率是
f ( x0 x) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数， 记为 f ( x0 ) 或
y
x xo
，即
f ( x0 x) f ( x0 ) f f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
f ( x0 )
。 若这个极 限不存在，则 称在点x0 处不 可导。
即 f ( x0 ) lim 也可记作
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x
y
x xo
V (t0 ) S (t0 ), K切 f ( x0 )
说明：
（1）函数 f (x) 在点 x0 处可导，是指 x 0 时，
y y 有极限．如果 不存在极限，就说函数在 x x
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2） x 是自变量x在
x0 处的改变量， x 0 ，而
y 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: f f ( x0 x) f ( x0 ) ；
曲线y f ( x)在点M ( x0 , f ( x0 ))处
的切线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 )
y
l1
A
圆的切线定义并不适
用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将
l2
割线趋于的确定位置的
B
直线定义为切线（交点
x 可能不惟一）适用于各
C
种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
经过的路程 s 150 v 54( km / h) 所有的时间 t 10
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了 解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度— —瞬时速度．
已知物体作变速直线运动，其运动方程为 s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物体在 t0 时刻的速度．
湖 南 省 示 范 性 高 级 中 学
株洲市九方中学高二数学备课组 2010年10月24日
教学目标
• 了解导数概念的实际背景，体会导数的思 想及其内涵 • 教学重点： • 导数概念的实际背景，导数的思想及其内 涵
变化率问题
问题1 气球膨胀率
4 3 V (r ) r 3
问题2
于水面的高度是
f x0 x f ( x0 ) 表示什么吗？请在函数 x
图象中画出来．
２．在 x 0 的过程中， 割线AB的的变化情况 你能描述一下吗？ 请在函数图象中画出来．
3.1.1
导数的几何意义 y y f ( x) T
P 0
x0 xn
x
f ( xn ) f ( x0 ) kn xn x0
导数的概念
设函数
y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x
在 x0 处取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相 应地函数 y 取得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与 △x之比当 △x→0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处 可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数， 记为
如图设该物体在时刻t0 的位置是 ｓ (t0)＝OA0 ，在时刻t0 +t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s( t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
．
v 的极限．即
s s ( t t ) s ( t ) v lim t t 0 t
例 物体作自由落体运动， 1 2 运动方程为： s gt ，其中位移 2 单位是m ，时间单位是s ， g=9.8m/s2． 求 ： (1) 物 体 在 时 间 区 间 [2，2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2，2.01] 上的平均速度； (3) 物体在t =2时的瞬时速度.
高台跳水 h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
Δt -0.1 -12.61
v
Δt 0.1 -13.59
-0.01 -0.001
-0.0001
-13.051 -13.0951
-13.009951
0.01 0.001
0.0001
-13.149 -13.1049
-13.10049
-0.00001 -13.099951
0.00001 -13.100049
高台跳水 h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h h(t t ) h(t ) v t t
h(2 t ) h(2) v(2) lim t 0 t lim(4.9t 13.1) 13.1
t 0
v
(1) 将 t=0.1代入上式，得
s 1 2 g gt t 2
O s(2) s(2+t)
v 2.05 g 20.09( m / s )
(2) 将 t=0.01代入上式，得
s
v 2.005 g 19.65( m / s ) ( 3) 当 t 0, 2 t 2