解三角形-解三角形的应用
2025年高考数学总复习课件36第四章第七节解三角形应用举例
落实“四基”
自查自测
知识点 测量中的几个有关术语
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)东南方向与南偏东45˚方向相同．( √ ) (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关
系．( √ ) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝
在△ACM中，由正弦定理得sinA6C0˚＝siAnM45˚，所以AC＝siAnM45˚·sin 60˚，
所以BC＝AC·sin 60˚＝siAnM45˚·sin260˚＝1002 2 × 34＝150(m)．
2
第七节 解三角形应用举例
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
测量高度问题的求解策略 (1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键． (2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图 形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
(2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(方法一)在△ABD与△ACD中，
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
c2=
由余弦定理得൞
b2=
1 4 1 4
a2+1－2×
1 2
a2
+1－2×
1 2
a×1× cos a×1× cos
π－∠ADC ∠ADC，
，
整理得12a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2 3.
△ABC中，若AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，AD2＝14(b2＋c2
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
解直角三角形及其应用说课稿
解直角三角形及其应用说课稿解直角三角形及其应用说课稿1一、教材分析（一）、教材的地位与作用本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。
通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。
从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。
它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。
它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
（二）教学目标：1、知识与技能：使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（直角三角形两锐角互余），边与边（勾股定理），边与角（三角函数）的关系，完成解直角三角形。
2、过程与方法：从复习直角三角形相关性质和锐角三角函数入手，让学生对直角三角形的必备知识做一个必要的回顾，然后通过实例引出利用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形。
3、情感态度与价值观：让学生经历从实际问题中提炼出数学问题的过程，培养学生在生活中应用数学的习惯及数学的兴趣。
（三）教学重难点：1、重点：会利用已知条件解直角三角形。
2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
二、教法设计与学法指导（一）、教法分析本节课采用的是“探究式”教法。
在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。
接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。
学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。
教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。
（二）、学法分析通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。
复习解三角形及其应用(学优)
解三角形及其应用1.正弦定理、余弦定理在△ABC2.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高).(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).3.图形表示例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：概念方法微思考1.若角α，β在第一象限，α>β能否推出sin α>sin β？在△ABC中，A>B是否可推出sin A>sin B?提示第一象限的角α>β不能推出sin α>sin β.在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B.2.在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.提示a<b sin A b sin A<a<b a＝b sin A或a≥b利用正弦、余弦定理解三角形例1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝.(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为.跟踪训练1 (1)(全国Ⅱ)在△ABC中，cos C2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB等于()A.4 2B.30C.29D.25(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝.正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例2 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2b cos C，则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定本例(1)中，若将条件变为a＝b cos C，判断△ABC的形状.本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状.命题点2三角形面积的计算例3 (淄博模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cos A＝a cos C.(1)求角A；(2)若a＝13，△ABC的面积为33，求△ABC的周长.命题点3求解平面图形问题例4 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝π3，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长.跟踪训练2 (1)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形(2)(全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为.(3)(山东平度一中质检)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD ＝2，则cos A＝.一、测量距离问题例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠P AB＝90°，∠P AQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.二、测量高度问题例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为m.(2019·黄山模拟)如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ ⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314三角形中的建模问题 典例 如图，A ，B ，C 三地有直道相通，AB ＝5 千米，AC ＝3千米，BC ＝4 千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t )(单位：千米)．甲的路线是AB ，速度为5千米/时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/时．乙到达B 地后原地等待．设t ＝t 1时乙到达C 地．(1)求t 1与f (t 1)的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t ≤1时，求f (t )的表达式，并判断f (t )在[t 1,1]上的最大值是否超过3.说明理由．1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( ) A.1 B.2 C.4 D.62.(沧州七校联考)已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A.2 5 B.5 C.25或 5 D.均不正确3.(合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B.3C.2 3D.24.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π65.(江西七校联考)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.不含60°角的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形6.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A.27B.4C.2 3D.337.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝ .8.(全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为 .9.如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.10.(·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝ ；ca的取值范围是 .11.(·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .12.(北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求角A ；(2)求AC 边上的高.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫b ，cos B 2，p ＝⎝⎛⎭⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形14.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为 .15.在△ABC 中，C ＝60°，且asin A＝2，则△ABC 面积S 的最大值为 .16.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后，A ，C 同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度为1.5千米/秒.(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离.。
解三角形在实际生活中的应用
第3节 解三角形在实际生活中的应用
1、 小红为了测量某一树身的高度，他站在A 处看树梢，测得此时的仰角为45°，前进200m
到达B 处，测得此时的仰角为60°，小红身高1.8m,试计算树身的高度是多少米？
2、 为了测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为2
3km ,∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，求A ，B 两点间的距离。
3、(2009宁夏、海南)为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向A ，B 两点进行测量。
A ，B ，M ，N 在同一铅垂平面内（如图）飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离。
请设计一个方案。
包括：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）（2）用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
4、已知海岛A 四周8海里内有暗礁。
今有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，望见此岛在北偏东30°。
如果货轮不改变航向继续前进，有无触礁的危险？
5、甲船在A 处发现乙船在方位角45°与A 相距10海里的C 处正以20海里/小时的速度向南偏东75°方向航行。
已知甲船的速度是203海里/小时，问：甲船沿什么方向航行，需多长时间才能与已船相遇？。
解三角形知识点总结
解三角形知识点总结一、正弦定理正弦定理是指在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。
正弦定理的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如，已知三角形的两角$A$、＄B$和一边$c$，则可以先通过三角形内角和为$180^｛＼circ}＄求出角$C$，然后利用正弦定理求出其他两边$a$和$b$。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。
此时需要注意可能会出现一解、两解或无解的情况。
二、余弦定理余弦定理是对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对于边$a$，有$a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$；对于边$b$，有$b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$；对于边$c$，有$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$。
余弦定理的应用包括：1、已知三边，求三个角。
可以直接代入余弦定理的公式求出角的余弦值，进而得到角的大小。
2、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
三、面积公式三角形的面积公式有多种形式，常见的有：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$2、＄S ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A$3、＄S ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B$这些公式可以根据已知条件的不同灵活选择使用。
四、三角形中的常见结论1、大边对大角，大角对大边。
即三角形中，较长的边所对的角较大，较大的角所对的边较长。
2、三角形内角和为$180^｛＼circ}＄。
3、在锐角三角形中，＄＼sin A ＞＼cos B$；在钝角三角形中，若$A$为钝角，＄B$为锐角，则$＼sin A ＜＼cos B$。
解直角三角形及其应用题目
解直角三角形是数学中的一个重要概念，它涉及到利用三角函数来求解三角形的未知元素。
在解直角三角形的问题中，我们通常知道三角形的一个锐角及其对应的两边（直角边和斜边），或者知道两个锐角和一边。
通过使用正弦、余弦和正切等三角函数，我们可以找到三角形的其他元素。
下面解直角三角形的题目示例：1、【题目】在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 5cm，BC = 4cm。
求AC 的长度。
【解析】利用勾股定理求解。
在直角三角形中，AC2= AB2–BC2。
代入已知数值，AC2 = 52– 42 = 9，所以AC = 3cm。
2、【题目】在直角三角形中，∠A = 30°，∠C = 90°，BC = 3cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正弦函数求解。
sin A = BC/AB，所以AB = BC/sin A = 3/sin 30° = 6cm。
3、【题目】在直角三角形中，∠B = 45°，∠C = 90°，AC = 2cm。
求AB 的长度。
【解析】利用正切函数求解。
tan B = AC/BC，所以BC = AC/tan B = 2/tan 45° = 2cm。
因为∠B = 45°，所以AB = sqrt(2) * BC = 2sqrt(2)cm。
4、【题目】在直角三角形中，∠A = 60°，∠C = 90°，AB = 4cm。
求BC 和AC的长度。
【解析】利用余弦函数和勾股定理求解。
cos A = AC/AB，所以AC = AB * cos A = 4 * cos 60° = 2cm。
然后利用勾股定理，BC2 = AB2– AC2 = 16 - 4 = 12，所以BC = 2sqrt(3)cm。
5、【题目】一艘船以15节（海里/小时）的速度向正北方向航行。
同时，一股水流以5节的速度从东向西流过。
求船的实际航向和速度。
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC是半圆⊙O的直径，D是AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)已知BC＝52，CD＝52sin∠AEB的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB的长．【答案与解析】(1)∵AD CD，∴∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝5∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝52552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵ 5CD AD ==，∴ CD 2＝(BD －BE)·BD ， 即25(5)5BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴ 35BE =． 在Rt △ABE 中，AB ＝BEsin ∠AEB ＝32355452⨯=． 【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】 （2015•河南模拟）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=，则AD 的长为多少?【答案与解析】解：作DE ⊥AB 于E ，如图， ∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC=6， ∴∠A=45°，在Rt △ADE 中，设AE=x ，则DE=x ，AD=x ， 在Rt △BED 中，tan ∠DBE==，∴BE=5x ，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即355FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD＝10，∴ AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
解三角形在生活中的应用
c b sin B
c c sin C
所以
a sin A
b sin B
c sin C
可是在斜三角形中是否成立的问题，在高一 的学习中已经证明也是成立的。
4
实际测量的几个例子
问题1：测量书柜的高度
模型转化
H
α
β
a
5
为了避免测量误差，我们采取了多次测量求平均 值的方法
次数
长度单位：厘米（cm) 角度单位：度（）
1730
计算高度
实际高度
第一次 第二次 第三次
此时由于仪器原因，误差较大但在我们的估计范围内。
12
实际测量的几个例子
问题3：测量小河对岸两点间长度
13
模型简化：
D
C
β1 A
α1
β2
α2 B
由于河岸不能保证完全平行，所以我们计算出来 的还是有一定的误差。我们模拟了测河岸的过程.
14
Sm，
在实际测量中，我们测量了门宽和走廊宽度，其原理与测量小河宽 度相同，数据如下：
2
二、测角仪的工作原理
经过组员的讨论和老师的建议，此次课题的中 心内容为通过制作一个简易测角仪把上述应用 和原理转变为研究和实践。模型如下：；
测角仪的简易图示
3
初中时我们学过解直角三角形。如图 在直角三角形中
Aj
sin a c
sin B b c
sinC 1
即 c c
C
B
sin C
c a sin A
水平长度测量计算器
项目 边长a 角
ห้องสมุดไป่ตู้
角
角 1
角
BD
BC
计算 系统 测算 误差 长度S 修偏 高度 估计
高一下学期数学专题：解三角形中的基本结论与应用
8.解三角形中的基本结论与应用一．基本结论1.正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则有2sin sin sin a b cR C===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径).2.正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④RSinC SinB SinA cb a 2=++++.3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =；变形：A bc a c b cos 2222=-+.5.解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理（2）三角形边角不等关系：B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔∠>∠⇔>.6.诱导公式在ABC ∆中的应用（1）()()C B A C B A C B A tan )tan(;cos cos ;sin sin -=+-=+=+；（2）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+二．典例分析例1.在ABC sin cos B c b A =-，则B =（）A．12πB．6πC．4πD．3π解析：根据正弦定理，可知2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，代入原式可得sin sin sin cos A B C B A =-,又A B C π++= ，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+sin sin cos A B A B =，sin 0A ≠ ，sin 3tan cos 3B B B ∴==，得6B π=.故选：B 例2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，sin sin 02c A C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，6c =.（1）求ABC 外接圆的面积；（2）若=c ，13AM AB =，求ACM △的周长.解析：（1）∵sin sin 02c A C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 0c A C =，由正弦定理得：sin sin cos 0C A A C +=，因为sin 0A ≠，所以sin 0C C +=，得tan C =，又0C π<<，故23C π=，∴ABC外接圆的半径112sin 22c R C =⋅==∴ABC 外接圆的面积为12π.（2）由6c =及=c得：b =12s n 2i B ===，∵23C π=，则B 为锐角，∴6B π=，故6A B C ππ=--=.如图所示，在ACM △中，由余弦定理得，(222222cos 22242CM AM AC AM AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，解得2CM =，则ACM △的周长为4+.例3（2020新课标Ⅲ卷）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B.C.4 D.解析：设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=222145cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴==∴=。
解直角三角形及应用(教案)
5.学生在小组讨论中提出了很多有趣的观点和想法，这让我意识到他们对解直角三角形的应用有着广泛的兴趣。在今后的教学中，我可以更多地引入类似的实际案例，激发学生的学习兴趣。
6.总结回顾环节，我发现部分学生对正弦、余弦、正切的记忆仍然不够牢固。在接下来的教学中，我需要加强对这些知识点的复习和巩固，确保学生能够熟练掌握。
1.注重理论与实践相结合，让学生在实际问题中感受数学的魅力。
2.加强对重点、难点的讲解和练习，帮助学生扎实掌握知识点。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的团队协作和沟通能力。
2.在案例分析环节，我尝试让学生通过实际测量和计算，体验到解直角三角形的实际应用。这让他们对知识点的印象更加深刻，也提高了他们解决实际问题的能力。
3.教学难点方面，正弦、余弦、正切在不同象限的正负问题对学生来说是一个挑战。我通过举例和对比，帮助学生理解和记忆这个难点。但从课堂反应来看，这部分内容还需要在后续的练习中进一步巩固。
3.培养学生的数据运算能力，通过计算特殊角的正弦、余弦、正切值，提高学生的计算准确性和速度。
4.培养学生的数学建模素养，使学生能够将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决现实问题，增强学生的应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握正弦、余弦、正切的定义及其在直角三角形中的应用。
-学会使用计算器计算特殊角的正弦、余弦、正切值。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于解直角三角形这一章节的内容充满了好奇心。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更直观地感受到数学知识的实用性和趣味性。在讲授新课的过程中，我注意到以下几点：
解三角形在现实生活中的应用——正,余弦定理
解三角形正,余弦定理在现实生活中的应用解三角形的正弦定理和余弦定理在现实生活中有广泛的应用。
例如，测量距离、测量高度、航海模型、物理问题等都与这些定理有关。
以下是一些例子：
1. 测量距离
利用正弦定理和余弦定理可以测量出无法直接测量的距离。
假设你想知道两个建筑物之间的距离，但你不能直接测量它们之间的直线距离。
你可以站在其中一个建筑物旁边，用一个工具测量你与另一个建筑物之间的角度和高度差，然后使用正弦定理或余弦定理计算出两个建筑物之间的直线距离。
2. 测量高度
同样可以利用正弦定理和余弦定理测量出无法直接测量的高度。
假设你想知道一个树的高度，但你只能在地面附近测量树的影子长度。
你可以使用正弦定理或余弦定理计算出树的高度。
3. 航海模型
在航海中，可以利用正弦定理和余弦定理计算船只的位置。
假设你知道船只在某个时间点的位置和朝向，以及它的速度和方向，你可以使用正弦定理和余弦定理计算出船只在任何其他时间点的位置和朝向。
这对于导航非常重要。
4. 物理问题
在物理学中，正弦定理和余弦定理也有很多应用，例如在振
动、波动等问题中。
例如，当一个弹簧上放置一个小球时，小球会以一定的频率来回摆动。
通过测量小球的振幅、周期等参数，可以使用正弦定理和余弦定理计算出小球的运动轨迹和速度。
解三角形在生活中的应用
解三角形在生活中的应用一、前言解三角形是初中数学中的一个重要内容，它是指已知三角形中的某些元素（如两个角度和一个边长），求出其余未知元素的过程。
虽然这个知识点在我们的学生时代可能并没有什么实际用处，但实际上，在我们的日常生活中，解三角形却有着广泛的应用。
二、建筑工程建筑工程是解三角形最常见的应用之一。
在建筑设计和施工过程中，经常需要测量建筑物各部分之间的距离、高度、倾斜度等信息。
这些信息可以通过解三角形来计算得出。
例如，在设计一座桥梁时，需要测量桥梁两端之间的距离和高度差。
如果只是简单地使用测量工具来进行测量，得到的结果可能会存在误差。
而通过解三角形来计算，则可以得到更加精确的结果。
三、导航导航也是解三角形的应用之一。
在旅行或驾车过程中，我们通常会使用地图或导航软件来确定行进方向和距离。
而这些软件所依据的原理就是通过解三角形来计算出当前位置与目标位置之间的距离和方向。
例如，当我们使用导航软件时，它会根据我们当前的位置和目标位置的坐标来计算出两点之间的距离和方向。
这个计算过程就是通过解三角形来实现的。
四、天文学天文学也是解三角形的应用之一。
在观测天体时，需要测量其位置、距离、速度等信息。
而这些信息可以通过解三角形来计算得出。
例如，在观测恒星时，需要测量其视差和视差变化，以确定其距离和速度。
而这个计算过程就是通过解三角形来实现的。
五、摄影摄影也是解三角形的应用之一。
在拍摄照片时，需要考虑拍摄角度、焦距等因素。
而这些因素可以通过解三角形来计算得出。
例如，在拍摄远景风景照片时，需要选择合适的焦距和拍摄角度，以保证整张照片都能清晰地呈现在画面中。
而这个计算过程就是通过解三角形来实现的。
六、总结综上所述，解三角形在我们日常生活中有着广泛的应用。
从建筑工程到导航、天文学再到摄影，它都扮演着重要的角色。
因此，学好解三角形不仅可以帮助我们在学术上取得更好的成绩，还能够为我们的生活带来更多便利和乐趣。
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解三角形的实际应用知识点仰角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方；俯角：目标视线在水平线____方时叫俯角．(如图所示)正余弦定理应用类型已知条件定理选用一般解法三边（,,a b c）两边和夹角（如,,a b C）两边和其中一边的对角正弦定理（如,,a b A）两边和其中一边的对角余弦定理（如,,a b A）一边和二角（如,,a B C）总结：单角用余弦，两角用正弦题型一 测量距离的问题【例1】. 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩如图，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2．57cm ，CE=3．57cm ，BD=4．38cm ，B=45°，C=120°．为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0．01cm)．【例2】. 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为23a的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.【巩固练习】1.一蜘蛛向北爬行xcm 捕捉到一只小虫，然后向右转105︒，爬行10cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135︒爬行回它的出发点，那么x = .2.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15︒的方向上，且此时货轮与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔S 在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( ).A ．()2062+海里/小时 Ｂ．()2062-海里/小时Ｃ．()2063+海里/小时Ｄ．()2063-海里/小时3.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船（ ）触礁的危险（填“有”或 “无”）。
题型二 测量高度的问题【例1】. 如图测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面 内的两个测点C 与D ．现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为，求塔高AB ．【例2】. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米， 60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚172秒。
A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH 。
（声音的传播速度为340米/秒）【过关练习】1.在 200m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（ ）。
A . m 3400B . m 33400C . m 33200D . m 32002.有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75 ，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡地要延长（ ）。
A . m 5B . m 10C . m 210D . m 3103.北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m ，则旗杆的高度为 m.题型三 测量角度问题【例1】. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的C B A ,,,三点进行测量，已知AB=50m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得水深C ，求DEF 的余弦值。
【例2】. 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．【过关练习】1：两座灯塔A 和B 与海岸观察站的距离相等,灯塔A 在观察站北偏东40°,灯塔B 在观察站的南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的( )A. 北偏东10°B. 北偏西10°C. 南偏东10°D. 南偏西10°2：如图所示，一艘船上午9:30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°方向，且与它相距28n mile. 此船的航速是 n mile/h.题型四：解三角形的综合应用【例1】．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC ，ED ，则sin CED ∠=（ ）. A. 31010 B. 1010 C. 510 D. 515【例2】．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和60︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距________m .【过关练习】1．如图所示,已知在梯形ABCD 中(//AB CD )，2CD =，19AC =,60o BAD ∠=,求梯形的高DEBCDEA2. 若海上有,,A B C 三个小岛，测得,A B 两岛相距10海里，60,75BAC ABC ∠=︒∠=︒，则,B C 间的距离是________海里．3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( ). A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时D ．2小时课后练习【补救练习】1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里2．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 3．如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是（ ）. （A ）202（B ）203（C ）402（D ）2064、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A ． 7150分钟 B ．715分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟5．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )A 4003米 B 40033米C20033米 D 2003米 6.如图所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m ，则河的宽度为： . A ．40m B ．50mC ．60mD ．70m【巩固练习】1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2、如图，某货轮在A 出看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向，距离为612海里；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向，距离为38海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°方向，求： ①A 与D 间的距离 ②灯塔C 与D 间的距离。
3、平地上有A 、B 两点，A 在山（高为CD ）的正东方向，，B 在山的东南方向，B 在A 的南偏西15°距A 地300m 的地方，在A 处测山顶C 的仰角是30°，求山高。
ACDB4、在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知()A A m sin 3,cos 2=，()A A n cos 2,cos -=，1-=⋅n m①求A 的大小；②若32=a ，2=c ，求△ABC 的面积。
【拔高练习】1.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O (如右图所示)的东偏南θ⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＝210方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若3,6)(22π=+-=C b a c ，则ABC ∆的面积是（ ）A. 3B.239 C. 233 D. 33。